Hình học xạ ảnh 5

BÀI
BÀI TẬP
TẬP HÌNH
HÌNH HỌC
HỌC XẠ
XẠ ẢNH
ẢNH
Nhóm 4.
Bài 5.


Bài giải:
Gọi P P  P và gọi V , V , V
là các không gian con của V
lần lượt sinh ra các phẳng P , P , P
m

r

s

m 1

r 1

s 1

n1

m

r

s


Với M  P và N  P ta suy ra
r

s

M, N  P . Do đó đường thẳng
MN thuộc phẳng tổng Pm Ps  Pr
m


Ngược lại giả sử X là một
điểm thuộc phẳng tổngP .Cần
chứng minh X thuộc một đường
thẳng nào đó cắt cả P lẫn P .
m

r

s


XP

m



xV

V

m 1

r 1

V

s 1

Vectơ x đại diện cho điểm X
được phân tích thành hai vectơ,
trong đó có một vectơ thuộc
V và một vectơ thuộc V
r1

s1


Muốn chứng minh tập hợp
các điểm X của đường thẳng
MN, M  P và N  P là
tập hợp điểm của phẳng tổng
P P  P
r

m

s

r

s


Ta phải chứng minh:
X  MN (M  P , N  P )
r

 a  V

r 1

,

s

b  V

s 1

Sao cho: a  b x  V

m 1

V  V

r 1

s 1


Gọi x đại diện cho điểm X  MN
thì cần và đủ là x thuộc không gian
vectơ hai chiều sinh ra đường thẳng
MN.

Gọi m và n lần lượt là các vectơ
đại diện cho M, N (vì M N).


Do đó:
x  V (sinh ra đường thẳng
MN)  x pm  q n
2

Hai vectơ m, n được dùng làm cơ
sở của V
2


Mặt khác: vì M  Pr , N  Ps
Nên m  V , n  V
Do đó p m  V , q n  V
Với (p,q) (0,0)
s 1

r 1

r 1

s 1


Vậy
x p m  q n  Vm 1

 V
Ta suy ra điểm X thuộc phẳng
tổng P P  P
Dễ thấy:
Nếu X ≡ M hoặc X ≡ N thì điểm
X thuộc phẳng tổng P P  P
m

s

r 1

s 1

r

m

s

r


Để ý: phẳng tổng P P  P
có thể là một cái phẳng có số
chiều m = r + s +1. Khi P  P =
m

s

r

r

.M
N

.

Ps

s

P

r