BÀI 18
BÀI 18
Tìm phương trình của phép biến đổi xạ
Tìm phương trình của phép biến đổi xạ
ảnh của
ảnh của
P
P
n
n
biến các đỉnh A
biến các đỉnh A
i
i
, i=1,…,n+1
, i=1,…,n+1
của mục tiêu
của mục tiêu
{
{
A
A
i,
i,
E
E
}
}
1,n+1
1,n+1
thành chính nó và
thành chính nó và
biến các điểm của siêu phẳng x
biến các điểm của siêu phẳng x
n+1
n+1
= 0
= 0
thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi
thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi
phép như thế biến các đường thẳng đi
phép như thế biến các đường thẳng đi
qua A
qua A
n+1
n+1
thành chính nó.
thành chính nó.
GIẢI
GIẢI
* Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh:
* Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh:
Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm.
Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm.
φ
φ
là đẳng cấu tuyến tính sinh ra f.
là đẳng cấu tuyến tính sinh ra f.
Vì f(A
Vì f(A
i
i
) = A
) = A
i
i
, i=1,…,n+1 với A
, i=1,…,n+1 với A
i
i
là các đỉnh
là các đỉnh
của mục tiêu nên theo bài 17, phương trình
của mục tiêu nên theo bài 17, phương trình
f có dạng: x’
f có dạng: x’
i
i
= k
= k
i
i
x
x
i
i
, k
, k
i
i
≠ 0 , i=1,…,n+1 (1)
≠ 0 , i=1,…,n+1 (1)
Gọi (
Gọi (
β
β
) là siêu phẳng có phương trình x
) là siêu phẳng có phương trình x
n+1
n+1
= 0
= 0
Lấy M(x
Lấy M(x
1
1
,...,x
,...,x
n
n
,0) thuộc (
,0) thuộc (
β
β
)
)
Khi đó f(M)=M
Khi đó f(M)=M
Thay vào (1) ta được
Thay vào (1) ta được
Kết hợp với (1) ta suy ra phương trình của
Kết hợp với (1) ta suy ra phương trình của
f là:
f là:
≠=
=≠=
++++
0k , '
n1,...,i 0,k , '
1n111 nnn
ii
xkx
kxx
)0( , ,...,1 ,
0
1
0
,...,1 ,
≠=∀=⇒
+
=
==
knik
i
k
n
k
ni
i
x
i
k
i
kx
*
*
Chứng minh f biến các đường thẳng đi
Chứng minh f biến các đường thẳng đi
qua A
qua A
n+1
n+1
thành chính nó
thành chính nó
Gọi d là đường thẳng đi qua A
Gọi d là đường thẳng đi qua A
n+1
n+1
, khi đó d
, khi đó d
luôn cắt (
luôn cắt (
β
β
) tại một điểm duy nhất, ta kí
) tại một điểm duy nhất, ta kí
hiệu là N.
hiệu là N.
Dễ thấy f(A
Dễ thấy f(A
n+1
n+1
) = A
) = A
n+1
n+1
và f(N) = N
và f(N) = N
Giả sử d’ là ảnh của d qua f, khi đó d’ đi qua
Giả sử d’ là ảnh của d qua f, khi đó d’ đi qua
A
A
n+1
n+1
và N. Suy ra d’ trùng d.
và N. Suy ra d’ trùng d.