NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (HÌNH HỌC 12)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

--------------

ĐINH TRỌNG HIẾU

NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (HÌNH HỌC 12)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
--------------

ĐINH TRỌNG HIẾU

NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (HÌNH HỌC 12)

Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI DUY HƯNG

HÀ NỘI – 2012

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin; các thầy, cô
trong tổ bộ môn Lý luận và Phương pháp dạy học; cán bộ và nhân viên phòng
Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn nhiệt tình giúp
đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu cùng tập thể sư phạm trường
THPT Đoàn Kết - Hòa Bình đã tạo điều kiện tốt nhất, động viên, giúp đỡ tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên cùng
nhóm chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán đã luôn
giúp đỡ và nhiệt tình chia sẻ với tôi những kinh nghiệm học tập, công tác
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Bùi Duy Hưng,
người đã tận tình giúp đỡ tôi hình thành, nghiên cứu và hoàn chỉnh luận văn.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn hẹp về thời gian, điều kiện nghiên
cứu và trình độ của bản thân, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn đồng
nghiệp.
Hà Nội, ngày 25 tháng 09 năm 2012.

Đinh Trọng Hiếu


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt
ĐC
GV

HHKG
HS
PP
PPDH
SGK
THPT
TN
Tr

Viết đầy đủ
Đối chứng
Giáo viên
Hình học không gian
Học sinh
Phương pháp
Phương pháp dạy học
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông
Thực nghiệm
Trang


MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Theo luật giáo dục Việt Nam năm 2005, PP giáo dục phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, khả năng làm việc
theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS. (chương I, điều 28).
Môn Toán giữ một vị trí quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư
duy cho HS. Trong dạy học môn Toán, trang bị cho HS kiến thức, rèn luyện kĩ
năng tính toán, vận dụng toán học vào thực tiễn có tầm quan trọng đặc biệt.
Thông qua các bài toán, HS nắm vững và hiểu sâu kiến thức hơn, đồng thời HS
được tập dượt vận dụng những tri thức đã được trang bị qua các môn học.
Các bài toán tính thể tích khối đa diện, trong đó có các bài toán tính thể
tích khối chóp là một nội dung quan trọng trong chương trình Hình học 12.
Các bài toán tính thể tích khối chóp thường xuất hiện trong các kì thi cuối cấp
THPT. Việc trang bị kiến thức và rèn luyện kĩ năng tính thể tích khối chóp
cho HS như thế nào để HS có kiến thức một cách hệ thống và kĩ năng tốt là
vấn đề được nhiều GV chú ý và quan tâm.
Thực tế hiện nay, ở một số trường THPT, kết quả của việc dạy và
học các bài toán tính thể tích khối chóp đạt được chưa cao. Vì không có
thời gian nên các thầy/cô không thể hướng dẫn tỉ mỉ HS trong giải toán,
còn HS cũng đã biết áp dụng công thức tính thể tích khối chóp vào giải
bài toán, song vẫn còn nhiều lúng túng, hạn chế. Vì vậy, để đạt kết quả
cao hơn trong dạy học giải các bài toán tính thể tích khối chóp, GV cần
đề xuất những PPDH thích hợp.
Vì những lý do trên đây, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là:
“Nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12)”.
1


2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Đề xuất các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học
và xây dựng hệ thống bài toán về tính thể tích khối chóp nhằm góp phần nâng

cao hiệu quả dạy học Hình học 12 THPT.
Từ mục đích đó, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về PPDH giải bài toán và mục tiêu dạy
học môn Toán.
- Nghiên cứu thực tế dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp.
- Nghiên cứu các dạng toán về tính thể tích khối chóp và các PP tính
cho mỗi dạng.
- Đề xuất các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán tính thể
tích khối chóp.
- Đề xuất hệ thống bài toán nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ
năng tính thể tích khối chóp.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của đề tài.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tìm hiểu và phân tích các
sách báo, tài liệu và các công trình nghiên cứu khoa học có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát tiến trình dạy học và điều
tra về thực trạng dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12).
- Thực nghiệm sư phạm.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học và xây dựng hệ
thống các bài toán tính thể tích khối chóp thích hợp thì có thể góp phần nâng
cao chất lượng dạy học Hình học 12 THPT.

2


5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Quá trình dạy học các bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12).
6. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn gồm
ba chương:
Chương 1: Cơ sơ lý luận và thực tiễn
Chương 2: Các biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học các bài toán tính thể
tích khối chóp
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. MỤC TIÊU DẠY HỌC MÔN TOÁN
(Mục này viết dựa theo tài liệu [9] của GS. Nguyễn Bá Kim)
1.1.1. Những căn cứ xác định mục tiêu dạy học môn Toán:
Việc xác định mục tiêu dạy học môn Toán phải xuất phát từ mục tiêu
giáo dục nước ta và từ đặc điểm, vị trí môn Toán.
1.1.1.1. Mục tiêu giáo dục:
Mục tiêu giáo dục đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình
thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn
diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam.
Luật giáo dục của nước ta năm 2005 trong chương I, điều 27 quy định:
"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí
tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ
nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho HS tiếp tục học
lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".
Xuất phát từ đặc điểm vị trí của mình, phối hợp cùng các môn khác và
các hoạt động khác nhau trong nhà trường, môn Toán góp phần thực hiện các
mục tiêu trên.

1.1.1.2. Đặc điểm và vị trí môn Toán:
Về đặc điểm môn Toán, thứ nhất, môn Toán có tính trừu tượng cao độ và
tính thực tiễn phổ dụng; thứ hai, Toán học có tính lôgic và tính thực nghiệm.
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng, bởi vì:
- Môn Toán là môn học công cụ do Toán học có tính thực tiễn phổ
4


dụng, trang bị cho HS tri thức, rèn luyện cho HS những kĩ năng Toán học,
hình thành và phát triển những PP, phương thức tư duy và hoạt động như
Toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện
và giải quyết vấn đề…
- Toán học góp phần phát triển nhân cách: môn Toán góp phần phát
triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát
hóa…, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính
cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, tính thẩm mĩ.
1.1.2. Xác định và phân tích các mục tiêu:
Xuất phát từ mục tiêu của nhà trường Việt Nam, từ đặc điểm và vị trí
môn Toán, việc dạy học môn này nhằm đạt các mục tiêu sau:
1.1.2.1. Truyền thụ tri thức, kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán
học vào thực tiễn.
HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng là cơ sở để thực hiện các mục tiêu
về các phương diện khác. Việc thực hiện mục tiêu này được cụ thể hóa như sau:
- Cần tạo điều kiện cho HS kiến tạo những dạng tri thức khác nhau.
- Cần rèn luyện cho HS kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn
Toán, kĩ năng vận dụng tri thức Toán vào những môn học khác và kĩ năng
vận dụng Toán học vào đời sống xã hội.
- Cần có ý thức để HS phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ
năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao: biết, thông hiểu, vận dụng,

phân tích, tổng hợp và đánh giá.
- Cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình.
1.1.2.2. Phát triển năng lực trí tuệ chung.
Môn Toán cần được khai thác để góp phần phát triển những năng lực
trí tuệ chung như: tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy
lôgic và tư duy biện chứng…; rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như:
5


phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa …; các phẩm chất tư duy như: linh
hoạt, độc lập, sáng tạo… Mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ chung cần được
thực hiện một cách có ý thức, có hệ thống, có kế hoạch, cụ thể:
- Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác: Việc phát triển tư duy
lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác cho HS thông qua môn
Toán có thể thực hiện theo ba hướng:
+ Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết
lôgic và, hoặc, nếu.. thì.., phủ định, những lượng từ tồn tại, khái quát…
+ Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.
+ Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và
độc lập tiến hành chứng minh.
- Phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Muốn khai thác khả
năng này, GV cần phải lưu ý:
+ Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như:
xét tương tự, khái quát hóa, quy lạ về quen… Cần chú ý có thể mạnh dạn suy
đoán nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định
chứ không phải là đoán mò, nghĩ liều.
+ Tập luyện cho HS khả năng hình dung được những đối tượng quan hệ
không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay hình,
từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo
ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống…

- Rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi HS phải
thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tổng
hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,… và các phép tương tự hóa, so sánh,…
do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những hoạt động này.
Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a.
Đầu tiên, hoạt động phân tích chia khối tám mặt đều ABCDEF thành 2
6


khối chóp tứ giác đều A.BCDE và F.BCDE. Sự phân tích này diễn ra trên cơ

sở tổng hợp, liên hệ với công thức tính thể
1
tích khối chóp V = B.h . Việc khớp với
3
trường hợp riêng tính thể tích khối chóp tứ
giác đều vào công thức tính thể tích khối
chóp tổng quát là một sự khái quát hóa;
việc này được thực hiện nhờ trừu tượng
hóa, nêu bật bản chất “khối chóp” và tách

Hình 1

ra khỏi đặc điểm riêng “đều”. Tiếp theo
1
khái quát hóa là đặc biệt hóa công thức V = B.h cho trường hợp
3

a3 sin2α .tan β a3 cosα tan β
=

12sinα
6

a 2
1 2 a 2 a3 2
a3 2
để được V1 = a .
; từ đó suy ra V = 2 V1 =
.
h=
=
2
3
2
6
3
Quá trình tư duy vừa trình bày có thể được minh họa bằng sơ đồ (Hình 2):

7

và


Thể tích khối bát
diện đều cạnh a

Tổng hợp

V =

a3

2
3

Phân tích
Thể tích khối chóp
tứ giác đều cạnh a

V1 =

Khái quát hóa

1 2 a 2
a .
3
2

Đặc biệt hóa

V =

Thể tích khối chóp

1
B .h
3

Hình 2
- Hình thành những phẩm chất trí tuệ quan trọng như: tính linh hoạt,

tính độc lập, tính sáng tạo,… Bởi những phẩm chất trí tuệ này có ý nghĩa to
lớn đối với việc học tập, công tác và trong cuộc sống.
1.1.2.3. Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ.
Môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi dưỡng cho HS thế
giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho HS những phẩm chất của người
lao động mới trong học tập và sản xuất như làm việc có mục đích, có kế
hoạch, có PP, có kiểm tra, tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tiết kiệm, sáng tạo,
dám nghĩ dám làm, có óc thẩm mỹ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ chân lí, xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc.
Cũng như các môn học khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một
quá trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Cụ thể:
- Cần giáo dục lòng yêu nước, chủ nghĩa xã hội.
- Cần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng: Làm cho HS
thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn và làm cho HS ý thức được
những yếu tố của phép duy vật biện chứng.

8


- Cần rèn luyện phẩm chất đạo đức cho HS dựa trên căn cứ đặc thù của
từng nội dung, và tình hình cụ thể của HS.
- Giáo dục thẩm mỹ cho HS qua môn Toán cần chú ý phát triển đồng
thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm mỹ, quan niệm và thị hiếu thẩm
mỹ, tình cảm và năng lực thẩm mỹ…
1.1.2.4. Bảo đảm chất lượng phổ cập đồng thời phát hiện và bồi dưỡng
năng khiếu về Toán.
Để đạt mục tiêu này, môn Toán có nhiệm vụ phổ cập học vấn Toán học
phổ thông cần thiết cho mọi HS, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng HS có năng
khiếu, tài năng về toán. Việc kết hợp giữa phổ cập với đề cao, giữa đại trà và
mũi nhọn có thể được thực hiện bằng dạy học phân hóa theo hai con đường:

+ Phân hóa trong: bao gồm những biện pháp chỉ đạo cá biệt hoặc tiến
hành những pha phân hóa trong dạy học đồng loạt.
+ Phân hóa ngoài: được thực hiện bằng cách giúp đỡ tách riêng những
nhóm HS yếu kém, bồi dưỡng tách riêng những nhóm HS giỏi, mở những
chuyên đề tự chọn, những lớp chuyên ở trình độ thích hợp, phân ban…
1.1.3. Yêu cầu đặc biệt đối với cấp THPT:
Do đặc điểm cấp học và đặc điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán
trong trường THPT có những yêu cầu đặc biệt sau đây:
Về kiến thức và kĩ năng, cần chú ý những tri thức PP, đặc biệt những PP
không có tính chất thuật giải và những kĩ năng tương ứng như kĩ năng giải bài
toán bằng cách lập phương trình, kĩ năng chứng minh, kĩ năng tư duy hàm…
Về năng lực trí tuệ cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như
tính độc lập, tính tự giác…
Về chính trị, tư tưởng, cần nhấn mạnh những yếu tố hình thành thế giới quan.
Ngoài ra, cần yêu cầu tăng cường bồi dưỡng HS có năng khiếu, tăng
cường phân hóa trong dạy học vì HS tốt nghiệp THPT sẽ đi theo những con
9


đường khác nhau như vào đại học, học nghề, tham gia lao động sản xuất…
Tóm lại, các mục đích dạy học môn Toán cùng với những yêu cầu đặc
biệt của cấp THPT chi phối nội dung và PPDH ở cấp THPT. Cần nhấn mạnh
rằng các mục tiêu dạy học không tách rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau,
hỗ trợ, bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở HS năng lực nhận thức, năng lực
hành động, những cơ sở của nhân cách con người Việt Nam mới.
1.2. DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
1.2.1. Vị trí, vai trò của bài tập Toán ở trường phổ thông
Theo GS.Nguyễn Bá Kim, bài tập Toán học có vai trò quan trọng trong
môn Toán. Bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài
tập, HS phải thực hiện các hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa,

định lý, quy tắc, PP, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học… Bài tập Toán học ở trường phổ thông là một phương tiện có
hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát
triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập Toán học giúp hoàn chỉnh hay bổ sung
cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết. Khai thác
tốt các bài tập sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc
trong giao lưu. Bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về PPDH:
đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố
hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh
giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát
triển của HS.…
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Các yêu cầu cơ bản là:
10


- Kết quả đúng: Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu
thức, một hàm số, một hình vẽ,… thoả mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các
bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai
lầm về tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức….
- Lập luận chặt chẽ: luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận
chứng phải hợp lôgic.
- Lời giải đầy đủ: lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi
tiết cần thiết nào như giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia
trường hợp không được thiếu một khả năng nào,…
- Ngôn ngữ chính xác: Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra
cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn,
chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất: Với một
bài toán cần khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải, phân tích so sánh những
cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời
giải đã tìm được.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.2.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán:
Không có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Tuy nhiên,
trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách
giải bài toán lại là có thể và cần thiết. Trong quá trình dạy học PP chung giải
toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho HS và để HS tự định hướng suy
nghĩ tìm ra lời giải. Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với bản gợi ý của
Polya về cách thức giải bài toán, PP chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán.

11


Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời các câu hỏi như: Cái gì chưa
biết? Cái gì đã cho? Điều kiện của bài toán là gì?… Nếu là bài toán hình học,
chúng ta tiến hành vẽ hình, viết giả thiết, kết luận…
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS
bằng các câu hỏi như: Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài
toán nào gần giống bài toán này không? Em có biết bài toán nào có liên quan
mà dễ hơn không? Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa?
Bước 3: Thực hiện chương trình.
Khi thực hiện chương trình GV cần chú ý HS kiểm tra lại từng bước
thông qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa?

Em có thể chứng minh là nó đúng không?
Bước 4: Nhìn lại, nghiên cứu và phân tích lời giải đã tìm ra.
Giải xong bài toán không có nghĩa là bài toán đó đã kết thúc. GV nên
hướng dẫn HS hình thành dần thói quen xem xét lại lời giải bài toán thông
qua các câu hỏi: Em có thể kiểm tra lại kết quả hay quá trình giải bài toán
không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Em có thể sử dụng kết
quả hay PP đó cho một bài toán nào khác không?
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = x , các cạnh còn lại có độ dài bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a và x.
Bước 1: Hiểu rõ bài toán.
- Viết giả thiết, kết luận của bài toán?
Giả

Cho tứ diện ABCD; AB = x, AC = AD = BD = CD = a.

thiết
Kết luận Tính VABCD?
- Hãy vẽ hình?

12


Vì AD = BD = CD = a nên chọn D là đỉnh của hình chóp và vẽ hình chóp có
ba cạnh bên bằng nhau như sau:

a sin2α.tan β a cosα tan β
=
12sinα 6
3

B1: Vẽ đáy là tam giác ABC.
B2: Xác định H là tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC.
B3: Vẽ đường thẳng đi qua H và vuông
góc với đáy (ABC).
B4: Trên đường thẳng vừa vẽ, lấy điểm D.
B5: Nối D với các đỉnh A, B, C.

3

Hình 3

Bước 2: Xây dựng chương trình giải..

- Muốn tính thể tích khối chóp em sử dụng công thức nào? (V =

1
Bh )
3

- Trong công thức ấy, muốn tính V em phải tính những đại lượng nào?
(Diện tích đáy B và chiều cao h)
- Trong bài toán đã cho, đâu là đáy B? đâu là chiều cao h?
(Đáy B là ∆ABC, chiều cao h là DH, với H là trọng tâm của ∆ABC)
- Tính diện tích ∆ABC? (?)
+ ∆ABC có gì đặc biệt? (∆ABC cân tại C có CA = CB = a, AB = x)
+ Biết ba cạnh của ∆ABC, tính diện tích bằng công thức nào? (Công thức
Hêrông S = p ( p - a )( p - b)( p - c ) , với p là nửa chu vi)
+ Tính diện tích ∆ABC theo công thức đó?
(p=a+

2
2
x
x x2
x
, S ABC = ( a + ). .(a - ) = x 4a - x )
2
2 4
2
4

- Tính chiều cao DH dựa vào ∆DCH vuông tại H? ( DH = DC 2 - CH 2 )
- Tính CH? (?)
2
+ CH liên hệ với CM như thế nào? ( CH = CM )
3
13


2

æö
x÷
4a 2 - x 2
+ Tính CM? ( CM = CA - AM = a - ç
)
÷
ç
÷=

ç
è2 ø
2
2

+ Suy ra CH? ( CH =

2

2

4a 2 - x 2
)
3

- Suy ra DH?( DH = DC 2 - CH 2 = a 2 -

4a 2 - x 2
5a 2 + x 2
=
9
3

- Từ đó tính thể tích khối chóp ABCD?
(VABCD =

1
1 x 4a 2 − x 2 5a 2 + x 2 x 4a 2 − x 2 5a 2 + x 2
)
S ABC .DH = .

.
=
3
3
4
3
36

Bước 3: Thực hiện chương trình.
Do DA = DB = DC nên hình chiếu vuông góc H của D trên mặt phẳng

( ABC )

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ABC cân tại C có CA = CB = a, AB = x nên diện tích ∆ABC là:
SABC

x x2
x
x 4a2 − x 2 .
=
= p( p − a)( p − b)( p − c) = (a + ). .(a − )
2 4
2
4

x2
4 a2 − x 2
Xét ∆ACM vuông tại M có CM = AC − AM = a −

=
4
2
2

2

2

2
4a2 − x 2
⇒ CH = CM =
3
3
Xét ∆CDH vuông tại H có DH = CD 2 − CH 2 = a2 −

4a2 − x 2
5a 2 + x 2
=
9
3

Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là:
VABCD

1
x 4 a 2 − x 2 5 a2 + x 2 .
= S ABC .DH =
3
36

Bước 4: Nhìn lại, nghiên cứu và phân tích lời giải đã tìm ra.
- Trong câu hỏi tính diện tích đáy ABC, HS trả lời sử dụng công thức

14


1
S ABC = AB. AC.sin A để tính, ta cũng tính được và kết quả thể tích khối chóp
2
gọn gàng hơn như sau:
Cách 2:
Vì ∆ABC cân tại C có CA = a, AB = x nên cos A =

x
4a2 − x 2
hay sin A =
.
2a
2a

BC
a2
=
Theo định lý hàm số Sin, ta có HA =
.
2sin A
4a2 − x 2
Tam giác DHA vuông tại H nên DH = DA2 − AH 2 = a
Tam giác ABC có diện tích là: SABC

3a2 − x 2
.
4a2 − x 2

1
x 4a2 − x 2 .
= AB. AC.sin A =
2
4

1
1
Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD = DH .S ABC = ax 3a 2 − x 2 .
3
12
- Nếu ngay từ khi bắt đầu vẽ hình để giải bài toán, HS không định hướng đây
là hình chóp đỉnh D mà vẫn vẽ hình chóp đỉnh A, ta có thể hướng dẫn HS giải
bài toán theo cách sau đây:
Cách 3:
Từ A kẻ AE ⊥ CD, E ∈ CD . Vì ∆ACD đều
cạnh a nên E là trung điểm của CD. Lại do
∆BCD

đều

nên

BE ⊥ CD .

Vậy

CD ⊥ ( ABE ) .
Khi đó hình chóp A.BCD chia thành hai
hình chóp bằng nhau là C.ABE và D.ABE

15

Hình 4


có đường cao lần lượt là CE, DE và chung đáy ABE. Từ E kẻ
EF ⊥ AB, F ∈ AB . Xét ∆ABE cân tại E với EA = EB = a 3 ; AB = x , ta có:
2
EF = AE 2 − AF 2 =
Suy ra diện tích ∆ABE là: SABE =

3a2 − x 2 .
2

1
x 3a2 − x 2
AB.EF =
2
4

1
1
Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD = CD.S ABE = ax 3a 2 − x 2 .
3

12
- Đặc biệt cho x = a, ta có bài toán sau :
Bài toán 2a : Cho tứ diện ABCD có các cạnh bằng a. Tính theo a thể tích
khối tứ diện ABCD.
Theo công thức trên ta tính được thể tích khối tứ diện ABCD là :
VABCD

1 2
a3 2
2
2
= a 3a − a =
12
12

- Nếu coi a là một hằng số thì thể tích khối tứ diện ABCD là một hàm số theo
biến x : f ( x ) =

1
ax 3a 2 − x 2 (x∈ (0; a 3 ). Lấy đạo hàm f’(x) và lập bảng
12

a3
biến thiên của f(x) ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất là max f ( x ) =
khi
8
x=

a 6
. Từ đó ta đưa ra bài toán sau:

2

Bài toán 2b : Cho tứ diện ABCD có AB = x , các cạnh còn lại có độ dài bằng
a. Tính x theo a để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

16


Với cách suy nghĩ như trên, sau khi tính được thể tích khối tứ diện
VABCD =

1
ax 3a 2 − x 2 , ta tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng các
12

cách sau:
Cách 1: Sử dụng hàm số.
Điều kiện để tứ diện tồn tại là 0 < x < a 3 .
Xét hàm số f ( x ) =
Ta có f ' ( x ) =

(

)

1
ax 3a 2 − x 2 trên khoảng 0; a 3 .
12

a(3a2 − 2 x 2 )

12 3a − x
2

2

; f ' ( x ) = 0 ⇔ 3a 2 − 2 x 2 = 0 ⇔ x =

a 6
.
2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x ) :
x
f '( x )

a 6
2

0

+

0

-

a 3

a3
8

f ( x)

a3
f
x
Từ bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của hàm số ( ) là
.
8
Vậy thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng

a3
a 6
, đạt được khi x =
.
8
2

(

)

2
2
2
* Hoặc có thể xét hàm số g ( x ) = x ( 3a − x ) trên khoảng 0; a 3 .

Tính g ' ( x ) và lập bảng biến thiên của g(x), ta tìm được giá trị lớn nhất của
4
g ( x ) là 9a . Vậy thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng

4

17


a 6
1
9 a 4 a3
.
a
= , đạt được khi x =
2
12
4
8
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức:
Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số
dương, ta có: x 3a2 − x 2 ≤
Suy ra VABCD

x 2 + 3a2 − x 2 3a 2
.
=
2
2

1 3a 2 a 3
a 6
.
≤ a.

= . Dấu đẳng thức xảy ra khi x =
12 2
8
2

a3
a 6
Vậy thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng
, đạt được khi x =
.
8
2
Từ đó ta cũng có thể đề xuất bài toán sau:
Bài toán 2c: Cho tứ diện ABCD có AB = x , các cạnh còn lại có độ dài bằng
a3
.
8
- Trở lại bài toán ban đầu, sau khi tính được thể tích khối tứ diện ABCD, ta
a, thể tích khối tứ diện là VABCD. Chứng minh rằng VABCD ≤

biến đổi biểu thức V như sau:
VABCD =

1
1
ax 3a 2 − x 2 =
(2 a 2 )(2 x 2 )(3a 2 − x 2 )
12
24

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số
3

 5a 2 + x 2 
dương, ta có: (2a )(2 x )(3a − x ) ≤ 
÷
3


2

2

2

2

3

1  5a2 + x 2 
Suy ra VABCD ≤

÷ . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = x.
24 
3

Vậy ta có bài toán sau:
Bài toán 2d: Cho tứ diện ABCD có AB = x , các cạnh còn lại có độ dài bằng
3

a, thể tích khối tứ diện là VABCD. Chứng minh rằng : VABCD

18

1  5a 2 + x 2 
≤

÷ .
24 
3



1.3. THỰC TRẠNG DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI
CHÓP Ở MỘT SỐ TRƯỜNG THPT TỈNH HÒA BÌNH
1.3.1. Nội dung, chương trình của vấn đề tính thể tích ở lớp 12.
Trong chương trình Hình học 12, vấn đề thể tích của khối đa diện được
trình bày trong bài 3, bài cuối của chương I. Với thời lượng 4 tiết, bài “§3.
Khái niệm thể tích khối đa diện” trình bày khái niệm về thể tích khối đa diện,
chứng minh công thức tính thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước là các
số nguyên dương, sau đó công nhận công thức đó đúng với hình hộp chữ nhật
có ba kích thước là những số dương, tiếp đó công nhận công thức tính thể tích
khối lăng trụ và khối chóp bất kì. Như vậy, nội dung bài học cung cấp cho HS
kiến thức về khái niệm thể tích khối đa diện, các công thức tính thể tích các
khối lăng trụ và khối chóp. Và yêu cầu đối với HS là: hiểu được khái niệm thể
tích khối đa diện; hiểu, nhớ các công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật,
khối lăng trụ, khối chóp và vận dụng được chúng vào các bài toán tính thể
tích cụ thể.
1.3.2. Tình hình dạy và học bài toán tính thể tích khối chóp.
Chúng tôi đã điều tra để tìm hiểu thực trạng dạy và học giải các bài

toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12) vào tháng 02 năm 2012 ở các
trường THPT trên địa bàn tỉnh Hòa Bình.
STT
1
2
3

Số lượng điều tra

Trường THPT

GV
07
07
07

Đoàn Kết
Tân Lạc
Mường Bi

HS
237
45
43

- Đối với GV: Chúng tôi đã xây dựng mẫu phiếu điều tra để nắm bắt
những ý kiến, đánh giá của GV Toán THPT về các vấn đề xoay quanh SGK,
hệ thống bài tập, việc dạy và học bài toán thể tích khối chóp; cụ thể về mức
độ khó của các bài toán tính thể tích khối chóp trong chương trình, mức độ kĩ
19

năng đạt được của HS, thời lượng dành cho việc rèn luyện kĩ năng giải bài
toán tính thể tích khối chóp cho HS có phù hợp không và những ý kiến đề
xuất, trao đổi của GV (mẫu phiếu điều tra xin xem phần Phụ lục 1).
Những ý kiến của GV được tổng hợp lại như sau:
+ Nội dung dạy học tính thể tích khối đa diện được đưa ra trong
chương trình lớp 12 là phù hợp.
+ Nội dung dạy học tính thể tích khối đa diện được đánh giá ở mức độ
tương đối khó trong khi thời gian dạy trong 4 tiết là quá ít.
+ Số lượng bài tập về tính thể tích khối chóp được trình bày trong sách
Hình học 12 không nhiều và chưa đầy đủ các dạng.
+ Khi dạy học giải bài toán tính thể tích khối chóp (Hình học 12), GV
mới chú ý trang bị cho HS công thức tính thể tích khối chóp và rèn luyện kĩ
năng tính toán, biến đổi mà chưa rèn được cho HS kĩ năng vẽ hình cụ thể, tỉ
mỉ, chưa rèn luyện và phát triển khả năng phân tích, tổng hợp của HS cũng
như tính linh hoạt, mềm dẻo, nhuần nhuyễn, tính cẩn thận, chính xác và tính
thẩm mỹ. Nguyên nhân chủ yếu là do hạn chế về thời gian.
+ Bên cạnh nhiều điểm thuận lợi như: HS ngoan, chú ý nghe giảng, kĩ
năng tính toán tương đối tốt…, khi dạy học nội dung này, GV còn gặp không
ít khó khăn như: HS còn lười suy nghĩ, chỉ biết áp dụng máy móc các công
thức tính mà chưa biết vận dụng kiến thức linh hoạt, quên nhiều kiến thức về
HHKG đã học từ lớp 10, lớp 11…
+ Trong quá trình giải toán tính thể tích khối chóp HS còn mắc nhiều
lỗi về vẽ hình, tính toán… nên kĩ năng giải toán về nội dung này của HS được
đánh giá ở mức độ trung bình - khá.
+ Những ý kiến đề xuất, trao đổi của GV: Bài Thể tích khối đa diện cần
được tăng thêm bài tập chia nhỏ theo từng dạng và số tiết luyện tập; chú ý sửa
chữa những sai lầm hay gặp của HS.
20