Hình học xạ ảnh 23

HÌNH HỌC XẠ ẢNH
NHÓM 5


Bài tập 23
Trong P
2
cho tam giác A
1
A
2
A
3
và một đường thẳng d không
đi qua các đỉnh của tam giác. Gọi K
1
=dxA
2
A
3
, K
2
=dxA
3
A
1
,
K
3

=dxA
1
A
2
. Giả sử L
1
,L
2
,L
3
là ba điểm lần lượt nằm trên
ba đường thẳng A
2
A
3
,A
3
A
1
,A
1
A
2
và không trùng với ba
đỉnh của tam giác.
a. CMR:L
1
,L
2
,L

3
thẳng hàng khi và chỉ khi (A
2
A
3
K
1
L
1
).
(A
3
A
1
K
2
L
2
).(A
1
A
2
K
3
L
3
)=1
b. CMR:A
1
L

1
,A
2
L
2
,A
3
L
3
đồng quy khi và chỉ khi
(A
2
A
3
K
1
L
1
).(A
3
A
1
K
2
L
2
).(A
1
A
2

K
3
L
3
)= -1


Bài giải:
Trong P
2
chọn mục tiêu xạ ảnh {A
1
,A
2
,A
3
,E} với E là điểm đơn vị
được chọn sao cho đường thẳng d là đường thẳng đơn vị (tức
là d[1,1,1]). Khi đó: A
1
(1,0,0), A
2
(0,1,0), A
3
(0,0,1).
Ta có: K
1
=d x A
2
A

3
với d[1,1,1], A
2
A
3
[1,0,0]
=> K
1
(0,1,-1) [K
1
]=[A
2
] - [A
3
] (1)
Ta có: K
2
=d x A
3
A
1
với d[1,1,1], A
3
A
1
[0,1,0]
=> K
2
(-1,0,1) [K
2

]=[A
3
] - [A
1
] (2)
Ta có: K
3
=d x A
1
A
2
với d[1,1,1], A
1
A
2
[0,0,1]
=> K
3
(1,-1,0) [K
3
]=[A
1
] - [A
2
] (3)
⇒
⇒
⇒
( )











−+










=











−
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
⇔


Mặt khác:
L
1
A
2
A
3
=> [L
1
]=x
1
.[A
2
]+x
1

.[A
3
] (1’)
=> L
1
(0,x
1
,x
2
)
L
2
A
3
A
1
=> [L
2
]=y
1
.[A
3
]+y
2
.[A
1
] (2’)
=> L
2
(y

2
,0,y
1
)
L
3
A
1
A
2
=> [L
3
]=z
1
.[A
1
]+z
2
.[A
2
] (3’)
=>L
3
(z
1
,z
2
,0).
∈
∈

∈


Từ (1) và (1’) (A
2
A
3
K
1
L
1
)=
Từ (2) và (2’) (A
3
A
1
K
2
L
2
)=
Từ (3) và (3’) (A
1
A
2
K
3
L
3
)=

(A
2
A
3
K
1
L
1
).(A
3
A
1
K
2
L
2
).(A
1
A
2
K
3
L
3
)
⇒
2
1
1
2

x
x
x
x
:
1
1
−=−
2
1
1
2
y
y
y
y
:
1
1
−=−
⇒
⇒
2
1
1
2
z
z
z
z

:
1
1
−=−
⇒
.
z.y.x
z.y.x
222
111
−=