Hình học xạ ảnh 07 -08

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
KHOA SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NỘI DUNG ĐÁP ÁN
Câu I: (2,0 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”( Thay n = 3)
1.( 1,0 đ )Xây dựng mơ hình aphin.
+Xét X

= P
3
\P
2
≠ φ, P
2
là một siêu phẳng của P
3
. Chọn mục tiêu xạ ảnh của P
3
sao cho phương trình của P
2
là x
4
= 0. (0,25 đ)
+ K
3
là khơng gian véc tơ 3 chiều trên K. (0,25 đ)
+ Lập ánh xạ: X x X → K
3
(0,25 đ)
+ Chứng minh ánh xạ trên thỏa 2 tiên đề A
1

, A
2
(0,25 đ)
2.(1,0 đ)
+Xét trong P
3
(0,5 đ)
+ Xét trong A
3
(0,5 đ)
Câu II:. (1,5 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”
1.(0,50 đ).Phát biểu định nghĩa. (0,5 đ)
2.(1,0 đ ) Chứng minh định lý
+ Chứng minh f là đơn ánh. (0,5 đ)
+ Chứng minh f là tồn ánh. (0,5 đ)
Câu III:. ( 2,0 đ )
1.(1,5 đ).
+ Nêu nội dung định lý. : “ Trong màût phà ng xả a nh Pó í
2
cho hai tam
giạc ABC va A’B’C’. N u cạc â ng thà ng AA’, BB’, CC’ â ng qu ãú ỉåì ó äư
tải O thç cạc âi m P = AB x A’B’, Q = BC x B’C’, R = CA x C’A’ thà ngãø ó
ha ng’’.( ënh l Desargues).ì Â (0,25 đ)
+Xét phép chiếu xun tâm f
1
:OA → OC có tâm R (0,25 đ)
+Xét phép chiếu xun tâm f
2
: OC → OB có tâm Q(0,25 đ)
+Xét ánh xạ xạ ảnh f = f

2
o f
1
: OA → OB(0,25 đ)
+Ta có f(O) = O và f(A) = B, f(A’) = B’ ⇒f là phép chiếu xun tâm có tâm P
= ABxA’B’(0,25 đ)
+Gọi A
1
=RQxOA, B
1
=RQxOB , C
1
=RQxOC. Ta có f(A
1
) = B
1
nên P, A
1
, B
1
thẳng hàng hay P, Q, R thẳng hàng (0,25 đ)
2.(0,5 đ) Phát biểu định lý đối ngẫu. Trong màût phà ng xả a nh Pó í
2
cho
hai tam giạc abc va a’b’c’. N u cạc ì ãú điểm a x a’, b x b’, c x c’ thẳng hàng
thç cạc đường thẳng p, q, r đồng quy ; với p đi qua a x b và a’ x b’, q đi qua b x c và
b’ x c’, r đi qua a x c và a’ xc’ (0,5 đ).
Câu IV: ( 2,0 đ )
+Bài tốn aphin: Trong mặt phẳng aphin A
2

, cho một tiếp tuyến d bất kỳ của một
hyperbol (H) tiếp xúc với (H) tại C và cắt hai tiệm cận d
1
, d
2
của (H) tại A và B. Chứng
minh rằng: Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) .( 0,25 đ )
+ Xét P
2
= A
2
2
V
∪

= A
2

∞
∆
.( 0,25 đ )
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2007-2008
Đề thi mơn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317C
LỚP TỐN – TỐN TIN – KHỐ 31
+ Bài toán xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh P
2
, cho một conic (S) cắt
∞
∆
tại hai

điểm P, Q. Gọi
1
∆
,
2
∆
là các tiếp tuyến với (S) tại P, Q cắt nhau tại O và ∆ là một tiếp
tuyến bất bỳ của (S) tiếp xúc với (S) tại C; cắt
1
∆
,
2
∆
,
∞
∆
tại A, B, R. Chứng minh
rằng: ( ABCR) = -1.( Hình vẽ). .( 0,5 đ )
* ( 1,0 đ ) Giải bài toán xạ ảnh:
+ Xét lục giác OPACBQ ngoại tiếp conic (S) ta có AQ, BP, OC đồng quy tại
D( Theo định lý Brianchon). .( 0,5 đ )
+ Xét hình 4 cạnh toàn phần OPADBQ có A, B là 2 đỉnh đối diện và C, R là hai
giao điểm của đường chéo AB và 2 đường chéo còn lại, nên ( ABCR)= -1(đfcm).(0,25đ)
Câu V: ( 2,5 đ )
1.(0.75 đ).+ {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh. .( 0,25 đ )
+{A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh.( 0,25 đ )
+ Kết luận phép biển đổi xạ ảnh duy nhất . .( 0,25 đ )
2.(1.75đ).
+Cơ sở sinh ra{A, B, C, D} là
1,2,3

{ }
i
a
r
, trong đó
1
1 1
( , ,0)
3 3
a =
r
,
2
2 1
( ,0, )
3 3
a =
r
,
3
2 2
(0, , )
3 3
a =
r
( 0,5 đ )
+ Cơ sở sinh ra{A’, B’, C;’, D’} là
'
1,2,3
{ }

i
a
r
, trong đó
1
' (1,2,1)a =
r
,
2
1 1 1
' ( , , )
2 2 2
a = − −
r
,
3
1 1 1
' ( , , )
2 2 2
a = −
r
( 0,5 đ )
+Sơ đồ, dạng phương trình .( 0,25 đ )
+ Tìm B =
6 0 3
1 1 2
3 3 0
� �
� �
−

� �
� �
−
� �
và phương trình [X’] = B
x
[X]

( 0,5 đ
Giáo viên ra đề
P
R
Q
C D
A
∆
2
B
∆
∆
1
O
ĐẶNG VĂN THUẬN