ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐỒNG THÁP NĂM 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
TỈNH ĐỒNG THÁP
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013
ĐỀ THI MÔN : TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi : 10/3/2013
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 : (4đ)
18 − 8 2 + 3 + 2 2
25
 x + y + z = 2013

1
b ) Cho ba số x , y ,z thỏa mãn :  1 1 1
 x + y + z = 2013

a ) Rút gọn biểu thức : A =

(

)(

)(

)

2010
2010
y 2012 − z 2012 z 2014 − x 2014
Tính giá trị biểu thức B = x − y

Câu 2 : (4đ)
x
1
−
Cho P =
x −1 1 − x
a ) Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P .
1
b ) Tìm tất cả số thực x sao cho x >
, với P nhận các giá trị nguyên .
25
Câu 3 : (4đ)

a ) Giải phương trình : 2 − 2 x = x + x −

1
4

1
diện tích một khu
20
đất . Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 21 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm
một mình trong 11 giờ thì cả hai máy san lấp được 12,5% diện tích khu đất đó . Biết rằng
giá san lấp 1 giờ của máy ủi thứ nhất là 30.000 đ/giờ , giá san lấp 1 giờ của máy ủi thứ hai
là 40.000 đ/giờ . Hãy tính số tiền mà mỗi máy ủi thực hiện một mình để san lấp toàn bộ
diện tích khu đất nêu trên , từ đó nhận xét xem nên chọn thuê máy ủi nào thì sẽ trả tiền ít
hơn .
Câu 4 : (4đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và đường cao AH . Gọi M , N , P lần lượt
là trung điểm của các cạnh BC , CA , AB . Biết AH = 4cm , AM = 5cm .

a ) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC .
b ) Chứng minh rằng các điểm A , H , M , N , P cùng thuộc một đường tròn .
c ) Vẽ đường thẳng d vuông góc AM tại A , đường thẳng d cắt hai đường thẳng MP
và MN lần lượt tại B’ và C’ . Tính tích BB’.CC’
Câu 5 : (4đ)
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10cm , CB = 40cm . Vẽ về một phía
của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB , AC , CB và có tâm theo thứ
tự là O , I , K . Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại E . Gọi M , N
theo thứ tự là giao điểm của EA , EB với các nửa đường tròn (I) , (K) .
a ) Chứng minh EC = MN .
b ) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I) , (K) . Tính MN
c ) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn đã cho . HẾT
b ) Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 6 giờ thì san lấp được


ĐÁP ÁN
CÂU 1:( 4đ)
NỘI DUNG

ĐIỂM
2.0

a)
Ta có 18 − 8 2 = 42 − 2.4 2 +
3+ 2 2 =
Vậy A =

( 2)

2

( 2)

2

+ 2 2 +1 =
2

=

( 4− 2) = 4− 2
( 2 + 1) = 2 + 1
2

2

4 − 2 + 2 +1 5
= =1
5
25

0.75
0.75
0.5đ

b)

2.0

Từ giả thiết ta có x,y,z ≠ 0 và

1 1 1
1
+ + =
x y z x+ y+z

0.25

1 1 1

1
x+ y
x+ y
⇔  + ÷+  −
+
=0
÷= 0 ⇔
xy
z( x + y + z)
 x y  z x+ y+z
 1

1
⇔ ( x + y)  +
= 0 ⇔ ( x + y ) xz + yz + z 2 + xy = 0
2 ÷
xy
xz
+
yz

+
z



(

(

)

)

⇔ ( x + y ) xz + z 2 + yz + xy = 0 ⇔ ( x + y )  z ( x + z ) + y ( z + x )  = 0
⇔ ( x + y) ( y + z) ( z + x) = 0

 x 2010 = ( − y )
 x 2010 − y 2010 = 0
x + y = 0
x = − y


2012
⇔  y + z = 0 ⇔  y = − z ⇔  y 2012 = ( − z )
⇔  y 2012 − z 2012 = 0

 z 2014 − x 2014 = 0
 z + x = 0
 z = − x
 z 2014 = ( − x ) 2014



Vậy B = 0
Câu 2 : (4đ)
NỘI DUNG
a)
x ≥ 0
x ≥ 0

x > 0

( *)
Điều kiện để P có nghĩa là :  x − 1 ≠ 0 ⇔  x ≠ 1 ⇔ 
x ≠ 1

x ≠ 0

x − x ≠ 0
x
1
x −1
x +1
P=
−
=
=
x −1
x
x x −1
x x −1

0.25
0.5
0.25

2010

(

)

(

)

b)
Ta có

0.25
0.25
0.25
ĐIỂM
2.0
1.0

1.0
2.0

1
P = 1+

x

(1)

1
>1
x
1
1
1
1
⇒ x> ⇒
< 5 ⇒ P = 1+
< 6 (2)
Với x >
25
5
x
x
1
;x ≠1 )
Từ (1) và (2) ta có 1 < P <6 ( với mọi x >
25
⇒ P = 1+

0.25
0.25
0.5
0.25

P ∈ Z ⇒ P = 2, P = 3, P = 4, P = 5
+ P = 2 ⇒ x = 1 không thỏa mãn điều kiện (*) . Không nhận x = 1
1
1
+P = 3 ⇒ x =
thỏa mãn (*) . Nhận x =
4
4
1
1
+ P = 4 ⇒ x = thỏa mãn (*) . Nhận x =
9
9
1
1
+P = 5 ⇒ x =
thỏa mãn (*) . Nhận x =
16
16
1
1
1
Vậy các giá trị x cần tìm là x =
, x = và x =
4
9
16
CÂU 3 : (4đ)
NỘI DUNG

0.25

ĐIỂM
2.0

a)
1
≤ x ≤1
4
1
1
2
Đặt t = x − , t ≥ 0 suy ra x = t +
4
4
Điều kiện

Thay vào phương trình đã cho ta được : 2 − 2t 2 −

0.25
0.25

0.5
0.5
1
1
= t2 + t +
2
4

2

0.25

1
 1
⇔ 2 − 2t − =  t + ÷
2
 2
( vì t ≥ 0 )
1
⇔ 2t 2 + t − 1 = 0 ⇔ t =
2
1
1 1
1
Với t = , ta được x − = ⇔ x = ( thỏa điều kiện )
2
4 2
2
b)
Gọi x ( giờ ) , y ( giờ ) lần lượt là thời gian làm một mình của máy số 1 và
máy số 2 để san lấp toàn bộ khu đất ( x > 0 , y > 0 )
1
Nếu làm một mình tì trong một giờ máy ủi thứ nhất san lấp được
khu đất ,
x
1
và máy thứ 2 san lấp được

khu đất
y
6 6 1
 x + y = 20


Theo giả thiết ta có hệ phương trình :  21 11 1
+ =
 x y 8

0.25

1
1
Đặt u = ; v = ( u > 0 , v > 0 ) ta được hệ phương trình :
x
y

0.25

2

0.25

0.25
2.0
0.25

0.25

0.5


1

6u + 6v = 20
120u + 120v = 1
⇔

168u + 168v = 1
 21u + 11v = 1

8

1
1
,v=
, vậy x = 300 và y = 200 ( nhận )
300
200
+ Số tiền phải trả nếu thuê xe 1 san lấp khu đất là : 300 x 30.000 = 9.000.000
đồng .
+ Số tiền phải trả nếu thuê xe 2 san lấp khu đất là : 200 x 40.000 = 8.000.000
đồng .
Vậy nếu thuê xe 2 để san lấp khu đất thì chi phí sẽ tốn ít hơn (và nhanh hơn )
Câu 4 : ( 4đ )
Giải hệ ta được u =

0.25
0.25

NỘI DUNG
a)
Ta có BC = 2AM = 10 (cm)
HM 2 = AM 2 − AH 2 = 52 − 42 = 32
⇒ HM = 3(cm)
Do AB < AC nên HB < HC , nên M
thuộc đoạn HC . Ta có :
BH = BM – HM = 2 (cm)
CH = CM + HM = 8 (cm)
AB 2 = BH .BC = 2.10 = 20

ĐIỂM
1.5
0.25

AC 2 = CH .BC = 8.10 = 80

0.5

BC = AB + AC = 100
Vậy AB = 2 5 cm ,
AC = 4 5 cm và BC = 10cm
2

2

0.25

0.25

2

b)
1
AB (tính chất đường trung bình ΔABC) ⇒ AP / / = MN và
2
PÂN = 1v , nên tứ giác APMN là hình chữ nhật .
Gọi O là trung điểm AM , ta có OA = OP = OM = ON (1)
Tam giác AHM vuông tại H có O là trung điểm AM , ta có OH = OA = OM
(2)
TỪ (1) và (2) ta được : OA = OP = OM = ON = OH
Vậy các điểm A,H,P,M,N cùng thuộc một đường tròn
c)
Theo chứng minh trên ta có MB’ là trung trực của AB nên BB’ = AB’
Tương tự MC’ là trung trực của AC , nên CC’ = AC’
Mà tam giác MB’C’ vuông tại M có đường cao MA nên AB’.AC’ = MA2
Vậy BB’.CC’ = AB’ . AC’ = MA2 = 25
Ta có MN / / =

0.25

0.25
1.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0

0.25
0.25
0.25
0.25


Câu 5 : (4đ)
NỘI DUNG

a)
Ta có góc BNC = 90° ( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K )
⇒ góc ENC = 90° ( hai góc kề bù ) (1)
Ta có góc AMC = 90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I )
⇒ góc EMC = 90° ( hai góc kề bù ) (2)
Góc AEB = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O )
Hay góc MNE = 90° (3)
Từ (1) , (2) và (3) ⇒ tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên EC = MN ( tính
chất đường chéo hình chữ nhật ) đpcm .
b)
Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên : góc C1 = góc N 3 (4)
Lại có KC = KN ⇒ ΔKCN cân tại K ⇒ (góc) C2 = N 2 (5)

ĐIỂM

1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
2.0

0.25
0.25

Từ (4) và (5) ta có : (góc) C1 + C2 = N 3 + N 2 = 90°
⇒ (góc) MNK = N 3 + N 2 = 90° hay MN vuông góc KN tại N , vậy MN là
tiếp tuyến của (K) tại N .

0.25

Tương tự chứng minh MN là tiếp tuyến của (I) tại M .
KL : MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) , (K)
+ Tính MN
ΔABE vuông tại A có EC vuông góc AB (gt)
⇒ EC 2 = AC.BC = 400 ⇒ EC = 20cm.
Vậy MN = EC = 20cm
c)
Theo giả thiết Ac = 10cm , BC = 40cm , nên AB = 50cm suy ra OA = 25cm

0.25
0.25
0.5
1.0
0.25