3.PHƯƠNG PHÁP XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ
1 x 4 x 1 y 4 2 y
(1)
2
2
x 2 x y 1 y 6 y 1 0
2
Bài toán 7(A – 2013).
Giải: Điều kiện : x 1. Phương trình 1 1 x 4 x 1 y y 4 2 .
Đặt u 4 x 1, u 0 x u 4 1 x 1 u 4 2
Khi đó,phương trình (1) trở thành :
u u 4 2 y y 4 2 3
Xét phương trình (2) : x 2 2 y 1 x y 2 6 y 1 0
Xem x là ẩn, y là tham số, ta có : 4 y
Phương trình có nghiệm y 0
Xét hàm số f t t t 4 2, t 0;
f ' t 1
2t 2
t4 2
0, t 0;
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên 0;
Từ đó, phương trình 3 u y 4 x 1 y .
y 4 x 1 x y 4 1 4
Thế (4) vào phương trình (2) ta được :
y
4
2
1 2 y 4 1 y 1 y 2 6 y 1 0
y8 2 y5 y 2 4 y 0
y y 1 y 6 y 5 y 4 3 y 3 3 y 2 3 y 4 0
y 0 x 1
y 1 x 0, loai
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1; 0
x y 1 y x 1 4
Bài toán 11.
2
2
x x 1 y + y 1
1
2
Giải:
x 1
. Xét hàm số f t t 2 t 1, t 1;
y
1
Điều kiện :
f ' t 2t
1
0, t 1; . Suy ra hàm số đồng biến trên 1;
2 t 1
Từ đó, phương trình 2 x y .
1 2 x
x 1 4 x 2 x 1 4 x 3 x 2 4 0 x 2 y
Vậy hệ phương trình có nghiệm 2; 2 .
x y x y 0
(1)
x y 3x 2 y 1
2
Bài toán 2.
Giải: Điều kiện : 0 x, y 1
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế, ta được :
1 y2
1 x2
x
y
f ' t
1
t
2
1 t2
. Xét hàm số f t
1 t2
, t 0;1
t
0, t 0;1
Suy ra hàm số liên tục và nghịch biến trên [0; 1]
Từ đó, phương trình x y . Khi đó
1 x
1 x2
1
1
x 2 1 x 2
2
4
2
x
, loai
1
2
2
x
2
2
y
x
2
4 x 4 4 x 2 1 0
2 2
;
2
2
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
x 2 1 3 y 2 1 10 x 2 y 2
Bài toán 17.
x 2 16 2 x 2 y 2 - 628 = 0
1
2
x 2 0
2 x8
Giải: Điều kiện :
16 2 x 0
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cop-xki cho 4 số : 1, x 1,3, y 1 ta được
x2 1 3
y 2 1 12 32 . x 2 1 y 2 1
x2 1 3
y 2 1 10 x2 y 2
Do phương trình (1) nên dấu “ =” xảy ra. Khi đó ta có :
x2 1
1
y2 1
9 x 2 1 y 2 1 9 x 2 10 y 2
3
Thế 9 x 2 10 y 2 vào phương trình (2), ta được :
x 2 16 2 x 2 9 x 2 10 - 628 = 0
(3)
Xét hàm số : f x x 2 16 2 x 2 9 x 2 10 - 628, x 2;8
f ' x
1
1
36 x 0, x 2;8
2 x2
16 2 x
Vậy hàm số f x đồng biến trên (2; 8) và f 6 0 do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất x
= 6. Với x = 6 ta có y 314
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : 6; 314 ; 6; 314
x 5 y 2 7
Bài toán 65.
x 2 y 5 7
1
2
x 2
y 2
Giải: Điều kiện :
Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2) vế với vế, ta được :
x5 x2
y 5 y2
3
Xét hàm số : f t t 5 t 2 ,t 2;
f ' t
t 2 t 5
0, t 2
2 t 5. t 2
Vậy hàm số nghịch biến trên 2; .
Phương trình 3 f x f y x y
Khi đó, hệ phương trìnhtrở thành :
2 x 3 2 x 5. x 2 49
2 x 23
2
x 5 x 2 23 x
x5 x2 7
x 5. x 2 23 x
2 x 23
539
x
y
49
49 x 539 0
539 539
;
Hệ phương trình có 1 nghiệm
49 49
x x 2 + y 2 = y 4 1+ y 2
Bài toán 78.
4 x 5 y 2 8=6
1
2
Giải: Điều kiện : x 0
Nếu y = 0 thì phương trình(1) tương đương : x 3 0 x 0 , không thỏa hệ.
Xét y 0 : phương trình 1
3
x x
3
y y
y y
3
Xét hàm số f (t ) t 3 t , t ; f ' t 3t 2 1 0, t
Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên
3
x
y x y2
y
4 y 2 5 y 2 18 6
4 . Thế (4) vào phương trình(2) ta được :
2
Điều kiện : 23 5 y 2 0
4 y
2
5 y 2 18 23 5 y 2
115
115
y
5
5
Bình phương 2 vế của phương trình trên, ta được :
4 4 y 4 37 y 2 40 23 5 y 2
2
9 y 4 378 y 2 369 0
y2 1 x
2
y 1
y 41, loai
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 1;1 , 1; 1
2 x 3 2 x y 1 x 2 y 1
Bài toán 89.
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0
Giải: Điều kiện : y 2 2 x 0
Phương trình(1) 2 x 3 2 x 2 y 1 x 2 y 1 0
2 x x 2 2 y 1 x 2 2 0 2 x y 1 x 2 2 0
y 2x 1
3
1
2
Thế (3) vào phương trình(2) ta được :
2 x 1
3
2
4 x 1 ln 2 x 1 2 x 0
3
2
2 x 1 4 x 1 ln 2 x 1 2 x 0
3
2
Xét hàm số f x 2 x 1 4 x 1 ln 2 x 1 2 x , x
2
f ' x 3 2 x 1 4
8x 2
4x2 2x 1
2
f ' x
3 2 x 1 4 x 2 2 x 1 16 x 2 2
4x2 2x 1
0, x
Suy ra, hàm số f(x) đồng biến và liên tục trên . Mặt khác , f(0) = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0, suy ra y = -1
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 0; 1 .
x 3 y y 4 =278
2
2
3
x y 2 xy y 100
Bài toán 90.
Giải:
y x 3 y 3 =278
Hệ phương trìnhtương đương với
2
y x y 100
1
2
Từphương trình (2) suy ra y > 0.Viết lạiphương trình (1) :
y x y x 2 xy y 2 278 . . Vì y > 0 và x 2 xy y 2 0, x, y
nên (1) x y 0 x y 0 .Phương trình(2) x
Thế (3) vào phương trình(1) ta được :
10
y
y
3
3
10
y
y y 3 278 . Đặt t y , t 0 , ta có phương trình :
y
3
10
t 2 t 2 t 6 278
t
3
t 9 10 t 3 278t 0
3
Xét hàm số f t t 9 10 t 3 278t 0, t 0;
2
f ' t 9t 8 9t 2 10 t 3 278 0, t 0;
Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên 0; . Mặt khác , f(1) = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất t = 1.
Từ đó,
y 1 y 1 x 9 . Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 9;1 .
3 x 2 x - 2y 2 y 1 = 0
Bài toán 109.
2 2 x -
3
2 y 1 = 1
1
2
1
y
Giải : Điều kiện :
2 . Phương trình (1) 3 x 2 x 2 y 2 y 1
x 2
1 2 x 2 x 1 2 y 1 2 y 1
u = 2 x
Đặt
v =
(3)
u, v 0
2 y 1
Phương trình (3) 1 u 2 u 1 v 2 v u 3 u v 3 v
Xét hàm số f t t 3 t , t 0 ; f ' t 3t 2 1 0, t 0
Suy ra, hàm số f t đồng biến trên 0; .
Phương trình u v 2 x 2 y 1
2 x 2 y 1 x 3 2 y
Thế : x = 3 – 2y vào phương trình (2) ta được : 2 2 y 1
2 y 1
Đặt X 2 y 1 0 , phương trình trở thành :
X 1
5 1
3
X 2 X 1 0 X
2
X 5 1 , loai
2
X 1 2 y 1 1 y 1 x 1
X
5 1
5 1
2 y 1
2
2
2 y 1
62 5
5 5
1 5
y
x
4
4
2
1 5 5 5
;
.
4
3
Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : 1;1 ,
x 1 - y = 8 x 3
Bài toán 115.
4
x 1 = y
x 1
y 0
Giải : Điều kiện :
x 1 - y = 8 x3
Hệ phương trình
2
x 1 = y
x 1 - x 12 = 8 x 3 1
2
x 1 = y
Xét phương trình (1) :
2
x 1 - x 1 = 8 x3
3
1
x 1 - x 2 + 2x - 1= 8 x 3
x 3 - x 2 + 2x +
x 1 - 9= 0
Xét hàm số : f x = x 3 - x 2 + 2x + x 1 - 9, x 1
f' x = 3x 2 - 2x + 2 +
1
, x 1
2 x 1
Xét hàm số : g x = 3x 2 - 2x , x 1
g ' x = 6x - 2 > 0 , x 1
Hàm số g(x) đồng biến trên 1;
g x g 1 , x 1 g x 1, x 1
f ' x 0, x 1
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên 1;
Mặt khác, f(2) = 0.Suy ra, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2, y = 1
Hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm : 2;1 .
2
y2
1
y
y 2 2 x 2 1
x
Bài toán 121(THPTQG 2014-2015).
x x 1 y y2 y
2
y
x
x 2
Giải : Điều kiện :
y 0
Phương trình (2) x 2 y x x 1 y 2 y 3 x y 2 x
x xy x y 2 x y 2 y 3 x y 2 x
xy x x y 2 y 2 xy x 0
xy x x y 2 x y 2 0 xy x 1 x y 2 0
x y2
x y2 0
x y 1 1
xy x 1 0
x y 2 0 , thế vàophương trình (1) ta được :
2
y 1
y2
y 2 2 y2 2 y 2 y 2 y2 2 y2 2 0
y2
y 2 y y 2 2 2 y 2 2 0 y 2 y y 2 2 2 y 2 2
u y
Đặt
2
u , v 0 , Phương trình trở thành : u 2 2u v 2 3v
v y 2
Xét hàm số : f ( x) t 2 2t , t 0;
f ' t 2t 2 0, t 0
Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên 0;
Phương trình u v y y 2 2
y y2 2 y2 y 2 0
x y 1 1 x
Do x ≥ 2
y 1, loai
y 2 x 4
1
y 1
1
1
2 2 y 2 1 y , vô lý.
y 1
2
Vậy hệ phương trình có nghiệm : 4; 2
xy 2 1 x 2 1 y + 1 y 2
1
Bài toán 128(Chuyên Lê Hồng Phong)
4 y 1
1
1
4
3 +8 2
xy
xy
1 3 y 2 y
4 y 1
1
1
4
3 + 8 (3)
xy
1 3 y 2 y xy
Giải : Phương trình (2)
1
3, u 0 ,ta có :
xy
Với xy 0 , đặt u
1
1
-4
3 + 8 = u 2 4u 5
xy
xy
1
1
2
-4
3 + 8= u - 2 1 0
xy
xy
Từ phương trình (3) ta có : 4 y 1 0 y
y 2 1
Ta lại có :
y y
y2 y
1
4
y y 2 1 0, y
x 0
Từ phương trình (1) ta suy ra : x 0 . Điều kiện : 1
4 y 2
Ta có : xy 2 1 x 2 1 y + 1 y 2
1 1 1 y2
+
y y
y
2
1 1 1 y2
x 1 x 1 +
y y
y2
2
x 1 x2 1
1 1 1
x x x 1 +
1
y y y
2
1
f x f . Xét hàm số : f (t ) t t t 2 1 t
y
f ' t 1 t 2 1
t2
t2 1
0, t
Suy ra, hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên
Xét 2 điểm M x, f x , N 1 , f 1 thuộc đồ thị hàm số f(t).
y y
Ta có : yM yN và hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên nên
xM xN x
1
xy 1 (3)
y
Xét phương trình (1) :
y 2 4 4 y 2 3x3 +3x - 1
Thế (3) vào phương trình (1) ta được : x 4 4 x 2 3 x 3 + 3x - 1
x 4 3 x3 4 x 2 3x 1 0 (4)
Nếu x = 0, không thỏa phương trình (4), xét x ≠0.
Chia 2 vế củaphương trình (4) cho x2 ta đựợc :
x2
1
3
3x 4 0
2
x
x
1 1
1
x 2 2.x. 2 3 x 2 0
x x
x
1 1
1
x 2 2.x. 2 3 x 2 0
x x
x
2
1
1
x 3 x 2 0
x
x
Đặt t x
1
, phương trình trở thành :
x
t 2 3t 2 0
t 1
t 2
1
t 1 x =1 x 2 x 1=0,VN
x
1
t 2 x =2 x2 2 x 1 = 0 x = 1 y = -1 thỏa điều kiện : y 2
x
Hệphương trìnhphương trình có nghiệm duy nhất : 1; 1
3 y x 2+8 x 2 = 10y - 3xy + 12
Bài toán 134.(Chuyên Hạ long)
3
2
3
5 y 2 x 8 6 y xy 2 x
1
2
x 2 0
Giải : Điều kiện :
2 x 2
2 x 0
y 0 không thỏa phương trình (2).
Chia 2 vế của phương trình (2) cho y3 ta được :
8 6
6 2
5 2 x 3 x 2 x 2 x 2 2 x 5 2 x
y y
y
y
3
2 x
3
3
2
2
3 2 x 3.
y
y
(3)
Xét hàm số : f t t 3 3t , t ; f ' t 3t 2 3 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
3
f
2
2
2 x f 2 x
y
y
y 0, x 2
2 (4)
y 2 x
Thế (4) vào phương trình (1) ta được :
6
2 x
x 2+8 x 2 =
20
6
-x
+ 12
2 x
2 x
3 x 2 - 6 2 x +4 4 x 2 = 10 - 3x (5)
Đặt : t 3 x 2 - 6 2 x
t 3 x 2 - 6 2 x t 2 9 x 2 36 2 x 36 4 x 2 90 27 x 36 4 x 2
90 27 x t 2
4 4 x 2 (6)
9
Thế (6) vào phương trình (5) ta được :
t+
90 27 x t 2
= 10 - 3x
9
t 0
t 2 +9t = 0
t 9
t 0 3 x2 - 6 2 x 0
3 x 2 = 6 2 x 9 x 2 36 2 x
t 9 3 x2 - 6 2 x 9
45 x 54 0 x
6
y 5
5
3 x 2 96 2 x
9 x 2 81 36 2 x 108 2 x
5 x 15 12 2 x , vô nghiệm vì : 5x – 15 < 0, x 2;2
6
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : ; 5
5
2 y3 12 y 2 25 y 18 2 x 9 x 4
Bài toán 135.(THPT Nghi Sơn)
2
2
3x 1 3 x 14 x 8 6 4 y y
1
3 x 1 0
x
3
Giải : Điều kiện :
2
6 4 y y 0 2 10 y 2 10
Phương trình (1) 2 y 3 6 y 2
25
9
y 9 2 x x 4
2
2
1
1
2 y3 6 y 2 12 y 8 y 1 2 x 4 x 4
2
2
3
2 y 2 y 2 2
3
x4 x4
3
Xét hàm số : f t 2t 3 t , t ; f ' t 6t 2 1 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
Phương trình 3 f y 2 f
x4 y2
x4
2 y 2 10
2
y 4 y 4 x 4
1
2
2 y 2 10
2
y 4 y x 4
Thế (4) vào phương trình (2) ta được :
3x 1 3 x 2 14 x 8 6 x 3 x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
3 x 1 4 1 6 x 3x 2 14 x 5 0
3 x 5
x 5
3x 1 4 1 6 x
x 5 3x 1 0
3
1
x 5
3 x 1 0
3x 1 4 1 6 x
x 5 y 1
3
1
1
3x 1 0, VN x
3 x 1 4 1 6 x
3
Hệphương trình có nghiệm duy nhất : 5;1
x2 y x2 1 2 x x2 y 2
Bài toán 136.(Sở GDĐT Thanh Hóa)
3
6
2
2
y x 1 3 y x 2 3 y 4 0
Giải Điều kiện : x2 y 2 0 x2 y 2
Phương trình (2) y 3 x 6 y 3 3 yx 2 6 y 3 y 2 4 0
3
3
y 3 x 6 3 yx 2 y 3 3 y 2 6 y 4 yx 2 3 yx 2 y 1 3 y 1
3
Xét hàm số : f t t 3 3t , t ; f ' t 3t 2 3 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
3
f yx 2 f y 1
x2 y y 1 4 .Điều kiện : y 1 2 y 1
Thế (4) vào phương trình (1) ta được :
1
2
y x2 2x y 1 y 1 x2 1 2x y 1 0
2
x y 1 1 0
x y 1 1 0
x y 1 1 0
x y 1 1 x y 1 1 0
x y 1 1 0 y 1 x 1
x 1
x 1
2
2
y 1 x 1
y 1 x 1
x 1
2
y x 2x
5
Thế (5) vàophương trình (4) ta được :
x 2 x 2 2 x x2 2 x 1
x 4 2 x3 x 2 2 x 2 2 x 1 0
2
x2 x 2 x2 x 1 0
2
x2 x 1 0 x 2 x 1 0
1 5
1 5
y
x
2
2
1 5
, loai
x
2
x y 1 1 0 y 1 x 1
x 1
x 1
2
2
y 1 x 1
y 1 x 1
x 1
2
y x 2 x
6
Thế (6) vào phương trình (4) ta được :
x 2 x 2 2 x x2 2 x 1
x 4 2 x3 x 2 2 x 1 0
x4 2 x3 x2 2 x2 2 x 1 0
1 5
1 5
y
x
2
2
1 5
, loai
x
2
2
x2 x 1 0 x2 x 1 0
1 5 1 5 1 5 1 5
;
;
Hệ phương trình có 2 nghiệm :
;
2
2
2
2
2 x x 2 3 - y y 2 3 = 3xy x y
2
2
x 2 4 2 y
Bài toán 139.(THPT Can Lộc)
Giải : Từ phương trình (2) suy ra : 2 y 0 y 2
(1) 2 x3 6 x - y3 3 y 3x 2 y + 3xy2 0
x3 3 x + x 3 - y3 3x 2 y + 3xy2 3 y 3x 0
3
x 3 3x + x - y 3 y 3x 0
Xét hàm số : f t t 3 3t , t
3
x 3 3x = y - x 3 y x
3
; f ' t 3t 2 3 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
3 f x = f y x
x = y - x y = 2x .Điều kiện : 2x 2 x 1
Thế y = 2x vào phương trình (2) ta được :
x
2
2
2 4 2 2 x x 4 x 1
4
x2 2 x 2 0,VN
2
x 2x 2 0
2
x 2 2 x 1
2
x 2 x 1
x 1 3 y 2 2 3
x 1 3 y 2 2 3
Hệ có 2 nghiệm : 1 3; 2 2 3 ; 1 3; 2 2 3
xy 2 = y x 2 2
2
y 2 x 1 x 2 2 x 3 = 2x 2 - 4x
Bài toán 142.
Giải : (1) y
x2 2 x 2
3 . Vì
1
2
x2 2 x 0, x y 0
1
2
Phương trình (3)
2y
2
2 y x2 2 x
4
x 2 x
Thế (4) vào phương trình (2), ta được :
2
x 2 2 x 2 x 1 x2 2 x 3 = 2x 2 - 4x .
1 x x2 2 2 x x 1 x 2 2 x 3 = 0
2
x x2 2 x x 1 x 1 2 - x 1
Xét hàm số : f t t t 2 2 t , t
5
f ' t t 2 2
t2
t2 2
1 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
1
2
Phương trình 5 f x f x 1 x x 1 x y 1
1
Hệ phương trình có 1 nghiệm : ;1
2
2 y3 y + 2x 1 x = 3 1 x
2
2 y 1 - y = 2 - x
Bài toán 143.(THPT Triệu Sơn 4)
1
2
Giải
1 x 0
x 1
Điều kiện :
y 2 x 0 y 2 x 0
Phương trình (1) 2 y 3 y = 3 1 x 2x - 1 + 1 1 x
3
2 y 3 y = 1 x 2 1 x 1 x
2 y3 y = 2
Xét hàm số : f t 2t 3 t , t
f ' t 6t 2 1 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
1 x 1 x
3
Phương trình 3 f y f
y2 1 x x 1 y 2
1 x y 1 x , y 0
4
Thế (4) vào phương trình (2), ta được :
2 y 2 1 - y = 2 - 1 y 2 2 y 2 1 - y - y2 - 1= 0
1
- y2 + 1 = 0
-1 y 2 + 1 = 0
2 y2 1 + y
2 y2 1 + y
y2 1
1
2
-1= 0 2 y 2 1 + y= 1
2 y 1 + y
y 1
2 y2 1 = 1 - y 2
2
2 y 1 1 y
y 1
y 2, loai
2
y 2y 0 y 0 x 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : 1;0
x
2 1
x x y y
Bài toán 144.
5y 1 x y 1
x 0
Giải : Điều kiện : 1 . Phương trình (1) x3 y y xy 2 x2
y 5
x2 xy 1 y xy 1 0
x2 y
x2 y xy 1 0
xy 1
x 2 y . Thế vào phương trình (2) ta được :
5x2 1 - x x = 1 5x 2 1 = 1 + x x
3
TH 1 : x 0 : 3 5 x2 1 = 1 + x 2
x2 1
x 4 3x2 2 = 0 2
x 2
5 x 2 1 = 1 + 2x 2 x 4
x 1 y 1
x 2 y 2
TH 2 : x 0 : 3 5x 2 1 = 1 - x 2
5 x 2 1 = 1 - 2x 2 x 4
7 41
7 41
x
y
2
2
x 7 41 y 7 41
2
2
2 7 41
x
2
4
2
x 7x 2 = 0
2 7 41
x
2
xy 1 x
5 y 1
1
.Thế vào (2) ta được :
y
1
1
y 1 5 y 1
1
y
y
y 5 y 1 1 y
y 5 y 1 1 2 y 5 y 1 y
2 y 5 y 1 5 y 2 2 y 1,VN (do vế trái không âm, vế phải âm)
Hệ phương trình có 4 nghiệm : 1;1 ;
7 41 7 41 7 41 7 41
;
2;2 ;
;
;
2
2
2
2
x x2 4 y y2 1 2
Bài toán 145.
12 y 2 10 y 2 2 3 x 3 1
Giải :Phương trình (1) x x 2 4
Vì : y y 2 1 0, y nên :
x x2 4
2 y
2
2
y y2 1
3 x
4 2 y
4
x2 4
1
2
(3)
2 y y2 1
1
Xét hàm số : f t t t 2 4, t
f ' t 1
t
t2 4
0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
4 f x f 2 y
x 2 y
Thế x = -2y vào phương trình (2), ta được :
3
x 1 2 x 1 x3 1 2 3 x3 1
3 x 2 5 x 2 2 3 x3 1
Xét hàm số : g t t 3 2t , t
5
g ' t 3t 2 2 0, t
Hàm số g(t) đồng biến và liên tục trên và
Phương trình 5 g x 1 g
3
3
x 1 x 1 3 x 3 x 0
3
2
x3 1 x 1 3 x3 1
x 0 y 0
x 1 y 1
2
1
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 0;0 ; 1;
2
Bài toán 146.
x3 y 3 3 y 2 3x 2 0
2
2
2
x 1 x 3 2 y y 2 0
1
2
1 x 2 0
1 x 1
1 y 1 1
Giải : Điều kiện :
2
2 y y 0 0 y 2
phương trình (1) x3 3x y3 3 y 2 3 y 1 3 3 y
3
x3 3x y 1 3 y 1
Xét hàm số : f t t 3 3t , t 1;1
(3)
f ' t 3t 2 3, t 1;1
f ' t 0 3t 2 3 0 t 1
t
f ' t 0, t 1;1
-1
1
f’(t)
-
f(t)
0
2
-2
1;1 và
Hàm số f(t) nghịch biến và liên tục trên
Phương trình 3 f x f y 1 x y 1 y x 1
Thế x +1 = y vào phương trình (2), ta được :
x2 1 x2 3 1 x2 2 0
x2 2 1 x 2 2 0
1 x2 2 1 x2 1 0
1 1 x 2 0 1 x2 1 x 0
Hệ phương trình có 1 nghiệm : 0;1
Bài toán 146
y 3 3x 2 2 x 1 4 y 8
2 3
2
2
y x 4 y x 6 y 5 y 4
1
2
Giải : Do y = 0 không thõa hệ phương trình nên y 0
8
4
2
3 x 2 x 1 y 3 y 2
Hệ phương trình
x3 4 x 5 4 6
y2 y
Cộng 2 phương trình của hệ với nhau ta được :
8 6
x 3x 6 x 4 3
y
y
3
2
3
2
2
x 3x 3x 1 3x 3 3
y
y
3
3
2
2
x 1 3 x 1 3
y
y
3
(3)
2
Xét hàm số : f t t 3 3t , t
f ' t 3t 2 3 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên và
2
2
f x 1 f x 1
y
y
4
Thế (4) vào phương trình , ta được :
x 1 y 1
x3 x 2 x 1 0
x 1, loai
2
x3 4 x 5 x 1 3 x 1
Hệ phương trình có nghiệm : 1;1
2 y3 y 2 x 1 x = 3 1 x
Bài toán 155.
2
2
2
9 4 y 2 x 6 y - 7
1
2
x 1
1 x 0
3
Giải : Điều kiện :
3
2
9 4 y 0 y
2
2
Phương trình (1) 2 y3 y = 3 1 x 2 2 x 2 1 x
2 y 3 y = 2 1 x 1 x 1 x
3
2 y3 y = 2 1 x 1 x (3)
Xét hàm số : f t 2t 3 t, t
f ' t 6t 2 1 0, t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên
Phương trình 3 f y f
1 x y 1 x 0
Thế vào phương trình (2) ta được :
4 x 5 2 x 2 6 x 1
2 4 x 5 4 x 2 12 x 2 2 4 x 5 4 x 5 1 4 x 2 8 x 4
2
4x 5 1 2x 2
2
4x 5 1 2 2x
4 x 5 1 2 x 2, loai vì : 2 x 2 0, x 1
1 2 x 0
2
4 x 5 1 2 x
1
x
1
2
x
2
x 1 2, loai
4 x 2 8 x 4 0
x 1 2 y 4 2
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 1 2; 4 2 ; 1 2; 4 2
Bài toán 156.
2 x 2 x x 2 = 2y2 + y + 2 y 1
2
2
x 2 y 2 x y 2 0
1
2
x 2
x 2 0
Giải : Điều kiện :
1
2 y 1 0 y
2
Phương trình (2) x 2 2 y 2 2 x y 2
(3)
Thế (3) vào phương trình (1) ta được :
x2 2 y2 2 x y 2 x x 2 = 2y2 + y + 2 y 1
x 2 3x 2 x 2 = 4y 2 + 2y + 2 y 1
2
x 1 x 1
x 1 1 = 2y
2
+ 2y + 2 y 1 (4)
f ' t 2t 1
Xét hàm số : f t t 2 t t 1, t 1;
f '' t 2
1
4 t 1 t 1
8 t 1 t 1=1
Bảng biến thiên :
f '' t 0 2
3
t 1 =
t
1
8
1
=0
4 t 1 t 1
1
3
t 1= t = 2
4
-3/4
-1
f’’(t)
1
,t -1
2 t 1
-
0
+∞
+∞
+
+∞
f’(t)
1/2
Ta thấy f ' t 0, t 1; . Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên
1;
Phương trình 4 f x 1 = f 2y x 1 2 y x 2 y 1
Thế vào phương trình (2) ta được :
2 y 1
2
y 1 x 1
6 y 7 y 1 0
y 1 x 2
6
3
2
2 y 2 2 y 1 y 2 0
2
2 1
Hệ phương trình có 2 nghiệm : 1;1 ; ;
3 6
Bài toán 157.
2 x 2 2 x 1 = y3 + 3y
2
y xy 5 5x 6 y
Giải : Điều kiện : x
1
2
1
. Phương trình (1)
2
2 x 1 3 2 x 1 = y3 + 3y
Xét hàm số : f t t 3 3t, t
3
2 x 1 3 2 x 1 = y3 + 3y (3)
f ' t 3t 2 +3 > 0,t
Hàm số f(t) đồng biến và liên tục trên
1;
y2 1
Phương trình 3 y 2 x 1, y 0 y 2 x 1 x
2
2
Thế vào phương trình (2) ta được :
y
2
y
2
1 y
2
5 5
y2 1
6y
2
y3 3 y 2 11y 5 0