Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

LỜI CẢM ƠN
------------

Luận văn này đươc hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ
tận tình, chu đáo của thầy Nguyễn Phú Lộc. Và thầy cũng là người
cho em động lực để hoàn thành luận văn. Em xin phép gửi đến thầy sự
kính trọng và lòng biết ơn sâu sắn nhất về sự tận tâm của thầy đối với
em trong suốt cả quá trình.
Em cũng xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô trong bộ môn
Sư phạm Toán học, khoa Sư phạm và trường Đại học Cần Thơ, những
người mà trong suốt 4 năm học vừa qua đã cho em kiến thức, quan
tâm, động viên và truyền cho em lòng yêu nghề, sự tận tâm với nghề
giáo.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người
thân và bạn bè đã luôn bên cạnh, quan tâm giúp đỡ em trong suốt
chặng đường vừa qua.

Cần Thơ, ngày 25 tháng 4 năm 2016
Sinh viên thực hiện
Trương Hồ Minh Thụy


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu ...........................................................................................5
3. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................6
4. Đối tượng nghiên cứu ..........................................................................................6
5. Nội dung nghiên cứu ...........................................................................................6

PHẦN NỘI DUNG .....................................................................................................7
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN .....................................................................................7
1.1 Giải tích toán học...............................................................................................7
1.1.1 Lịch sử hình thành giải tích toán học..........................................................7
1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời giải tích toán học ..................................................7
1.2 Vị trí của khái niệm và các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm ..............7
1.2.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm ....................................7
1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ ...................8
1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ .................10
1.2.4 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại
khái niệm............................................................................................................11
1.2.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các nhóm
đối tượng ............................................................................................................13
1.2.6 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu
(pattern) ..............................................................................................................15
Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu
(pattern) ..............................................................................................................15
Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng
– mẫu (pattern) ...................................................................................................16
1.2.7 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa ...............17
1.3 Vị trí của dạy học định lý và các mô hình cơ bản dùng cho dạy học định lý .18
1.3.1 Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý ...........................................18
1.3.2 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý ..............................18
1.3.3 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh .......................21
Bảng 1.15 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh..............21
Bảng 1.16 Ví dụ mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh ....22
1.3.4 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết......................................24
Bảng 1.17 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết ............................24
1.3.5 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm ..................................25
Bảng 1.19 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm .........................25

Bảng 1.20 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm ...............26
1.3.6 Mô hình dạy học với sách giáo khoa ........................................................27
1.3.7 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở ...................................29
Bảng 1.23 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở ..........................29
Bảng 1.24 Ví dụ mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở ................30

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

2


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Chương 2. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN HÀM SỐ BẬC BA
y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  .................................................................................32
2.1 Định nghĩa .......................................................................................................32
2.2 Đạo hàm...........................................................................................................32
2.2.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm............................................................32
2.2.2 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng .....................................................32
2.2.3 Đạo hàm hàm số bậc ba ............................................................................33
2.3 Tính đơn điệu của hàm số................................................................................33
2.3.1 Định nghĩa.................................................................................................33
2.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu ............................................................33
2.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu .............................................................34
2.3.4 Quy tắc xét chiều biến thiên của hàm số ..................................................34
2.3.5 Sự biến thiên của hàm số bậc ba ...............................................................34
2.4 Cực trị của hàm số ...........................................................................................34
2.4.1 Định nghĩa.................................................................................................34
2.4.2 Nguyên lý cực trị của hàm số ...................................................................35
2.5 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ..........................................................37

2.5.1 Định nghĩa.................................................................................................37
2.5.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ................................37
2.6 Tính lồi ............................................................................................................38
2.6.1 Định lý ......................................................................................................38
2.6.2 Hệ quả .......................................................................................................39
2.7 Điểm uốn của đồ thị ........................................................................................39
2.7.1 Định nghĩa.................................................................................................39
2.7.2 Định lý ......................................................................................................39
2.7.3 Quy tắc tìm điểm uốn ...............................................................................39
2.8 Đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  ........................................40
Chương 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC BA TRONG SÁCH GIÁO KHOA
GIẢI TÍCH 12 ...........................................................................................................41
3.1 Các bài toán về sự biến thiên của hàm số ........................................................41
3.2 Các bài toán về cực trị của hàm số bậc ba .......................................................45
3.3 Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số bậc ba ......................................50
3.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
y  ax3  bx 2  cx  d  a  0  .................................................................................54
Chương 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ
BẬC BA ....................................................................................................................63
4.1 Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số ..........................................................63
4.1.1 Kiến thức cơ bản .......................................................................................63
4.1.2 Một số dạng bài tập thường gặp ...............................................................63
4.1.3 Các bài toán ví dụ .....................................................................................66
4.2 Dạng toán về cực trị.........................................................................................70
4.2.1 Kiến thức cơ bản .......................................................................................70
4.2.2 Một số dạng toán thường gặp ...................................................................70

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

3

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

4.2.3 Các bài toán ví dụ .....................................................................................73
4.3 Dạng toán về sự tương giao .............................................................................84
4.3.1 Kiến thức cơ bản .......................................................................................84
4.3.2 Một số dạng bài toán thường gặp .............................................................85
4.3.3 Các bài toán ví dụ .....................................................................................87
4.4 Dạng toán về tiếp tuyến ...................................................................................90
4.4.1 Kiến thức cơ bản .......................................................................................90
4.4.2 Một số dạng toán thường gặp ...................................................................91
4.4.3 Các bài toán ví dụ .....................................................................................93
4.5 Dạng toán về biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị .................100
4.5.1 Các dạng toán thường gặp .....................................................................100
4.5.2 Các bài toán ví dụ ...................................................................................101
Chương 5. CÁC GIÁO ÁN ĐỀ NGHỊ SỬ DỤNG GIẢNG DẠY MỘT VÀI KIẾN
THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC BA .....................................................106
5.1 Giáo án 1........................................................................................................106
5.2 Giáo án 2 ....................................................................................................111
5.3 Giáo án 3 ....................................................................................................117
Chương 6. KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH VỀ HÀM SỐ
BẬC BA ..................................................................................................................122
6.1 Mục đích khảo sát ..........................................................................................122
6.2 Đối tượng khảo sát ........................................................................................122
6.3 Phương pháp khảo sát....................................................................................122
6.4 Thời gian khảo sát .........................................................................................124
6.5 Kết quả khảo sát ............................................................................................124
PHẦN KẾT LUẬN .................................................................................................127
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................128

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

4


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết tất cả các ngành khoa học tự
nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội. Vì vậy toán học có vị
trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí. Toán học không chỉ cung cấp
cho người học (học sinh) những kiến thức cơ bản, những kĩ năng tính toán cần thiết
mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng tư duy logic, một phương pháp luận
khoa học.
Ta có thể thấy tầm quan trọng của toán học, điển hình nhất môn toán là môn
thi bắt buộc đối với thí sinh xét tốt nghiệp, cũng như là môn xét tuyển đối với hầu
hết các ngành học ở bậc đại học. Trong cấu trúc đề thi thì kháo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị hàm số chiếm một phần năm tổng số điểm. Ở chương trình giải tích 12,
học sinh được học 3 hàm gồm: hàm số bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức
hữu tỉ. Trong đó, các bài toán liên quan đến khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số
bậc ba là phong phú và đa dạng hơn cả.
Ở chương trình giải tích 12, cũng đã đưa vào giảng dạy khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị hàm số bậc ba. Tuy nhiên, kiến thức không chuyên sâu vào hàm số bậc
ba nên học sinh gặp khó khăn trong việc tiếp cận lý thuyết và giải quyết các bài tập
liên quan, đặc biệt là các dạng bài tập nâng cao cần vận dụng nhiều kiến thức khác
nhau.
Trong dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp giải bài tập toán đòi hỏi người

giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phương pháp dạy học, giải bài tập
góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Nhằm giúp học sinh nắm
vững và vận dụng tốt những kiến thức đã học vào việc giải toán. Tôi quyết định
chọn đề tài “ HÀM SỐ BẬC BA TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG”.
Thông qua đề tài tôi muốn tổng hợp nội dung về khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị
hàm số bậc ba trong sách giáo khoa lớp 12 ở phổ thông. Qua đó, phân loại và tổng
hợp cũng như đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập thường gặp thích
hợp về hàm số bậc ba, giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kỳ thi đại học cũng như kỳ thi
Trung học phổ thông quốc gia.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về “ Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông” nhằm phân tích
nội dung liên quan đến hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông và tổng hợp các
dạng toán dùng để ôn thi trung học phổ thông quốc gia. Cũng như đề ra một số

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

5


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

phương pháp dạy thích hợp giúp học sinh hiểu, nắm vững kiến thức và vận dụng tốt
kiến thức đã học vào việc giải toán về hàm số bậc ba.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích nội dung chương trình, tổng hợp và phân dạng các toán trong
chương trình sách giáo khoa giải tích 12.
- Tổng hợp các dạng toán nâng cao về hàm số bậc ba trong các tài liệu. tham
khảo.
- Khảo sát thực trạng về khả năng quan sát và đọc đồ thị hàm số bậc ba của
học sinh trường trung học phổ thông.

4. Đối tượng nghiên cứu
- Các kiến thức liên quan đến hàm số bậc ba trong chương trình giải tích 12 cơ
bản và nâng cao.
- Các bài toán cơ bản và nâng cao về hàm số bậc ba trong chương trình phổ
thông.
- Các mô hình dạy học khái niệm và định lý.
- Đối tượng khảo sát: 100 học sinh lớp 12A1, 12A2 và 12C4 ở trường THPT
Giai Xuân.
5. Nội dung nghiên cứu
Luận văn gồm có 6 chương
Chương 1: Trình bày những cơ sở lý thuyết về hoạt động dạy học khái niệm và
dạy học định lý toán học.
Chương 2: Trình bài các kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu hàm số bậc ba
bao gồm đạo hàm, sự biến thiên, cực trị,…
Chương 3: Tổng hợp, phân dạng, đưa ra phương pháp giải và một số ví dụ các
bài toán về hàm số bậc ba trong Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao.
Chương 4: Tổng hợp, phân dạng, phương pháp giải và một số ví dụ về các bài
toán nâng cao về hàm số bậc ba dùng thể ôn thi trung học phổ thông quốc gia.
Chương 5: Các giáo án đề nghị sử dụng giảng dạy một vài kiến thức liên quan
đến hàm số như sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Chương 6: Khảo sát mức độ hiểu biết của học sinh về đồ thị hàm số bậc ba
Mặc dù đã cố gắng học tập nghiên cứu kỹ đề tài, song khó tránh khỏi thiếu sót,
hạn chế. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô, bạn bè để luận
văn được hoàn chỉnh hơn. Em chân thành cảm ơn!

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

6

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

PHẦN NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Giải tích toán học
1.1.1 Lịch sử hình thành giải tích toán học
Theo [11,tr.1] Giải tích toán học (tiếng Anh: mathematical analysis), còn gọi
đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo
hàm, tích phân... Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay.
Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn
của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét
giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là Ma trận (toán học), tôpô được tạo ra
để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn
là tính chất "tĩnh" như trong đại số.
Lịch sử giải tích trải qua vài thời kỳ riêng biệt, chủ yếu chia thành ba giai
đoạn cổ đại, trung đại và hiện đại. Từ thời cổ đại người ta đã đưa ra ý niệm về phép
tính tích phân nhưng chưa phát triển thành một phương pháp có hệ thống. Phần cơ
bản của phép tích phân như tínhdiện tích và thể tích được ghi nhận từ các nhà toán
học Ai Cập khi họ tính được thể tích tứ diện vào thời điểm năm 1800 trước Công
nguyên. Cho dù không có bằng chứng xác thực cho biết họ đã làm cách nào nhưng
theo Morris Kline trong tác phẩm "Tư tưởng toán học từ thời cổ đại đến hiện đại,
tập 1" cho rằng họ đã dùng phương pháp thử và sai.
1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời giải tích toán học
Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài
toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết
lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là
"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp. Giải tích có một cách
gọi phổ thông hơn là phương pháp tính.
1.2 Vị trí của khái niệm và các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm

1.2.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
a) Định nghĩa khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một
khái niệm có thể được xem xét theo phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định
được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của các lớp đối tượng này
được gọi là nội hàm của khái niệm đó. Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ
có tính quy luật: nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

7


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

ngược lại. Nếu ngoại diên của khái niệm A cũng là một bộ phận của khái niệm B,
thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B
được gọi là một khái niệm loại của A.
b) Ví trí của khái niệm và yêu cầu của việc dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở
trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho
học sinh khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề
quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học. Quá trình
hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng
góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá
trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học).
Việc dạy học khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho
học sinh dần đạt được các yêu cầu sau:
“a) Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho

trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện
khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm ví một khái niệm cho
trước.
c) Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
d) Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng trong thực tiễn.
e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với
những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lý do sư phạm, các
yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng
khái niệm” (theo 5, tr.87  )
1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ
Theo  7, tr.87 
Quy trình: Xem bảng 1.1
Bảng 1.1 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Học sinh hành động theo yêu cầu
của thầy.
2a. Đưa ra vào ví dụ và đặt câu hỏi:
2b. Liệt kê các tính chất giống nhau
Các ví dụ này có những tính chất gì nhờ quan sát và phân tích các mối
giống nhau?
liên hệ để phát hiện tính chất chung

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

8


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

của các ví dụ.
3a. Giới thiệu tên khái niệm và đặt câu 3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm.
hỏi: “Một cách tổng quát, các em hãy
phát biểu định nghĩa khái niệm...?
4a. Giáo viên chỉnh sửa và chính xác 4b. Phát biểu và ghi lại định nghĩa.
hóa định nghĩa khái niệm
Nhận định về mô hình
- Hình thành khái niệm theo mô hình trên, giáo viên tạo cơ hội cho học sinh
phân tích tìm đặt điểm chung của các ví dụ, trừu tượng hóa, khái quát hóa để cuối
cùng tự phát biểu định nghĩa khái niệm.
- Đối với một số khái niệm khó, giáo viên nên đưa ra thêm một số câu hỏi để
từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái niệm.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.2
Bảng 1.2 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ
Hoạt động của thầy
Hoạt động của học sinh
1a. Gợi động cơ học tập
1b. Số thóc từ ô 1 đến ô 6 là:
Tương truyền nhà vua Ấn Độ cho phép 1, 4, 8, 16, 32. (*)
người phát minh ra bàn cờ vua được lựa
chọn một phần thưởng. Người đó chỉ xin
nhà vua thưởng một số thóc được đặt lên
64 ô của bàn cờ như sau: đặt lên ô thứ
nhất củ bàn cờ một hạt, tiếp đến ô thứ 2
là 2 hạt, ô thứ ba là bốn hạt,...cứ như thế

số thóc ô sau gấp đôi ô trước.
Hãy cho biết số thóc ô thứ nhất đến ô thứ
sáu.
2a. Đưa ra các ví dụ:
2b. Dãy số (1): số hạng sau bằng
Chúng ta xét một dãy số có tính chất số hạng trước nhân với 3.
giống dãy số (*) ở ví dụ trên:
Dãy số (2): số hạng sau bằng số
hạng trước nhân với 2 .
3, 9, 27, 81,.., 3n ,... (1)
Dãy số (3): số hạng sau bằng số
4, -8, 16, -32, (2)n1 ,... (2)
1
1 1
n
hạng trước nhân với .
8, 2, , ,...,32. 1 4  ,... (3)
4
2 8
Các dãy số trên có tính chất gì giống Vậy các dãy số trên có cùng tính
chất là số hạng sau bằng số hạng
nhau?
3a. Các dãy số trên được gọi là cấp số trước nhân với một số không đổi.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

9


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

nhân.
Một cách tổng quát hãy định nghĩa cấp
số nhân.
4a. Chính xác hóa khái niệm
Từ số hạng thứ hai, số hạng sau bằng tích
số hạng đứng ngay trước nó với một số
không đổi q . Số không đổi q được gọi là
công bội của cấp số nhân.
Cấp số nhân có thể hữu hạn hoặc vô hạn.

3b. Phát biểu định nghĩa
Cấp số nhân là dãy số mà số hạng
sau bằng số hạng trước nhân với
một số không đổi.
4b. Phát biểu lại định nghĩa
Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn
hoặc vô hạn) trong đó kể từ số
hạng thứ hai mỗi số hạng đều là
tích của số hạng đứng ngay trước
nó với một số không đổi q . Số
không đổi q được gọi là công bội
của cấp số nhân.

1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ
Theo  7, tr.89 
Quy trình: Xem bảng 1.3 như sau
Bảng 1.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ

Hoạt động của thầy (a)

1a. Gợi động cơ học tập.
2a. Đưa ra một số ví dụ và phản ví dụ.
Yêu cầu học sinh hãy chỉ ra những
tính chất khác biệt của ví dụ và phản
ví dụ.
3a. Các ví dụ trên,... được gọi là... Một
cách tổng quát, khi nào ...được gọi
là...?
4a. Chính xác hóa định nghĩa khái
niệm và yêu cầu học sinh lập lại định
nghĩa.

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của thầy.
2b. Quan sát, liệt kê những điểm khác
nhau của ví dụ và phản ví dụ (Quan
sát và so sánh).
3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm.

4b. Nhắc lại định nghĩa.

Nhận định về mô hình
- Hình thành khái niệm theo mô hình trên, tạo cơ hội cho giáo viên phân tích,
so sánh chỉ ra các đặc điểm khác biệt của các ví dụ và phản ví dụ, khái quát hóa để
cuối cùng tự phát biểu định nghĩa khái niệm.
- Đối với một số khái niệm khó, giáo viên nên đưa ra thêm một số câu hỏi để
từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái niệm.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

10


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.4 như sau
Bảng 1.4 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ

Hoạt động của thầy
1a. Gợi động cơ
Chúng ta biết hai đoạn thẳng gọi là bằng nhau
nếu độ dài của chúng bằng nhau. Vậy đối với
hai vectơ thì điều kiện trên còn đúng không?
2a. Đưa ra ví dụ và phản ví dụ:
Cho học sinh quan sát ví dụ và phản ví dụ
Ví dụ
Phản ví dụ

Hoạt động của học sinh
1b. Cần tìm điều kiện để hai
vectơ bằng nhau là gì.

2b. Liệt kê các điểm giống
nhau và khác nhau của các cặp
vectơ trong cột ví dụ và phản
ví dụ
Ví dụ
Phản ví dụ
- Có cùng Không
phương

cùng phương
- Có độ dài - Không có
bằng nhau.
độ dài bằng
- Có cùng nhau.
hướng
Không
cùng hướng
3a. Mỗi cặp vectơ trong cột ví dụ trên được 3b. Phát biểu định nghĩa khái
niệm:
gọi là hai vectơ bằng nhau.
Một cách tổng quát, hai vectơ thỏa mãn điều Hai vectơ bằng nhau có cùng
phương, cùng hướng, cùng độ
kiện gì thì được gọi là hai vectơ bằng nhau.
dài.
4a. Điều kiện cùng hướng đã bao gồm điều 4b. Phát biểu định nghĩa bằng
kí hiệu cùng hướng.
kiện cùng phương nên ta có định nghĩa:
def  a = b
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng

a

b


có cùng hướng và cùng độ dài.
 a  b
Nếu a và b bằng nhau ta viết a  b
Hãy phát biểu định nghĩa bằng cách kí hiệu.

1.2.4 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại
khái niệm
Theo  7, tr.91
Quy trình: Xem bảng 1.5 như sau

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

11


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Bảng 1.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại
khái niệm

Hoạt động của thầy (a)
1a. Từ các kiến thức đã học, chỉ ra sự
tồn tại khái niệm mới (cần học).
2a. Giới thiệu định nghĩa và đặt câu
hỏi: Một (đối tượng)... phải thỏa mãn
những điều kiện gì... thì nó được gọi
là... (tên khái niệm)?
3a. Đưa ra các ví dụ và phản ví dụ và
yêu cầu học sinh xét xem trường hợp
nào là ví dụ và trường hợp nào không
là ví dụ bằng câu hỏi: Trong các... sau
đây, nào là (tên khái niệm) và ...nào
không là (tên khái niệm)?
4a. Yêu cầu học sinh đưa ra một số ví
dụ.

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo sự yêu cầu giáo
viên.
2b. Phân tích định nghĩa để chỉ ra
những dấu hiệu đặc trưng của khái
niệm.
3b. Đối chiếu với định nghĩa để đưa
ra câu trả lời.

4b. Đối chiếu với định nghĩa để đưa
ra câu trả lời (Cho ví dụ về khái
niệm).

Nhận định về mô hình
- Mô hình này phỏng theo cách xây dựng khái niệm của các nhà toán học: bắt
đầu chỉ ra sự tồn tại khái niệm, tiếp đến là định nghĩa khái niệm (giới thiệu tên khái
niệm).
- Chỉ ra sự tồn tại khái niệm có thể bằng các cách khác nhau như: chứng minh
sự tồn tại, bằng ví dụ, bằng mô hình,...
- Khi sử dụng mô hình này, giáo viên nên chú ý khâu củng cố khái niệm vì qua
chúng học sinh nắm rõ hơn các dấu hiệu dặc trưng khái niệm.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.6 như sau
Bảng 1.6 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn
tại khái niệm

Hoạt động của thầy
Hoạt động của học sinh
1a. Chỉ ra sự tồn tại của khái 1b.
niệm

a. F ( x)  x3  1
Tìm hàm số F ( x) sao cho b. F ( x)  tan x
F ( x)  f ( x) nếu
a. f ( x)  3x 2 x  ℝ

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

12


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

1
  
x

 ; 
cos 2 x
 2 2
Vậy tồn tại các hàm số sao cho
đạo hàm của nó bằng một hàm số
đã cho.
Các hàm số này gọi là nguyên
hàm của hàm số f ( x) .
b. f ( x) 

2a. Phát biểu định nghĩa của 2b.
F ( x) là nguyên hàm của f ( x)
nguyên hàm:
Cho hàm số f ( x) xác định trên  F ( x)  f ( x) x 

 . Hàm số F ( x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f ( x)
trên

F ( x)  f ( x) x   .

nếu

Một hàm số thỏa mãn điều kiện
gì thì được gọi là nguyên hàm
của f ( x) ?

3b.
3a. Đưa ra ví dụ và phản ví dụ:
a. F ( x) không phải là nguyên hàm của
Trong các hàm số sau số nào là
f ( x) vì F ( x)  3x2  2 x  5  f ( x)
nguyên
hàm
của
b. G ( x) là một nguyên hàm của f ( x) vì
f ( x)  3 x 2  2 x  5 :
G( x)  3x2  2 x  5  f ( x)
3
2
a. F ( x)  x  3x  5x
c. H ( x) là một nguyên hàm của f ( x) vì
b. G( x)  x3  x 2  5x
H ( x)  3x2  2 x  5  f ( x)

3
2
c. H ( x)  x  x  5x  7
4b.
4a. Hãy cho một ví dụ về nguyên
1 2

hàm của hàm số f ( x)  x  sin x
F ( x)   x  cos x  C   x  sin x  f ( x)
2


1.2.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các
nhóm đối tượng
Theo  7, tr.93
Quy trình: Xem bảng 1.7 như sau

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

13


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Bảng 1.7 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các nhóm
đối tượng

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ.

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo sự yêu cầu của
giáo viên.
2a. Đưa ra một nhóm đối tượng trong 2b. Học sinh thực hiện phân các đối
đó có một số thuộc ngoại diên khái tượng thành các nhóm khác nhau.
niệm mà học sinh sắp học và yêu cầu
học sinh phân các đối tượng trên thành
các nhóm khác nhau.
3a. Yêu cầu học sinh trình bày kết quả 3b. Học sinh trình bày kết quả của
và nêu cơ sở của sự phân nhóm của mình
mình.
4a. Nếu học sinh có sự phân loại mà 4b. Học sinh phát biểu định nghĩa
nhóm đối tượng thuôc ngoại diên đối khái niệm theo cách hiểu của mình
tượng sắp học (Nếu không có như
mong đợi, giáo viên gợi ý) thì giáo viên
giới thiệu tên khái niệm và yêu cầu học
sinh phát biểu định nghĩa khái niệm.
5b. Chính xác hóa định nghĩa khái 5b. Học sinh phát biểu lại định nghĩa
niệm và yêu cầu học sinh lập lại định
nghĩa.
Nhận định về mô hình
- Mô hình này tạo cơ hội học sinh phân tích, so sánh và phân loại đối tượng và
tập luyện cho học sinh kỹ năng khái quát hóa.
- Khi sử dụng mô hình này, giáo viên có thể cho học sinh làm việc theo nhóm,
tranh luận với nhau khi trình bày kết quả phân loại trước toàn lớp.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.8 như sau
Bảng 1.8 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các
nhóm đối tượng

Hoạt động của thầy

Hoạt động của học sinh
1a. Gợi động cơ học tập
1b. Tìm hiểu tính chất đặc biệt
Chúng ta đã được học về dãy số, hôm
nay chúng ta sẽ tìm hiểu các dãy số có
tính chất đặc biệt.
2a. Cho một số dãy số sau:

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

14


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

1,3,5,...2n  1,...

(1)

2,4,8,...,2n ,...

(2)

1
1
3
,0,  , 1,  ,... (3)
2
2
2

1 1 1 1
(4)
, , , ,...
2 4 8 16
3a. Hãy phân chia 4 nhóm trên thành
hai nhóm khác nhau cà cho biết lý do?
4a. Trong cách phân nhóm thức hai:
dãy (1), dãy (3) được gọi là cấp số
cộng.
Một cấp số cộng có tính chất gì?
5a. Chính xác hóa định nghĩa
Từ số hạng thứ hai, các số hạng sau
bằng tổng số hạng đứng trước nó với
một số không đổi d . Số không đổi d
được gọi là công sai của cấp số cộng.
Cấp số cộng có thể là hữu hạn hoặc vô
hạn.

3b. Nhóm 1: (1), (2); (3),(4)
Nhóm 2: (1), (3); (2),(4)
4b. Phát biểu định nghĩa
Cấp số cộng là dãy số mà số hạng
sau bằng số hạng trước cộng với
một số không đổi.
5b. Phát biểu lại định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (có thể
hữu hạn hoặc vô hạng) mà trong đó
kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tổng cuẩ số hạng đứng
ngay trước nó và một số d không

đổi.
Số d được gọi là công sai.

1.2.6 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu
(pattern)
Theo  7, tr.95
Quy trình: Xem bảng 1.9 như sau
Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu
(pattern)

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập cho học sinh

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của
thầy.
2a. Đưa ra một đối tượng mẫu và yêu 2b. Quan sát và tìm đặc điểm của
cầu học sinh tìm đặc điểm, tìm mối liên dạng mẫu.
hệ giữa các yếu tố trong vật mẫu.
3a. Khi học sinh tìm đúng dạng mẫu 3b. Học sinh phát biểu định nghĩa
thuộc nội hàm của khái niệm cần học. khái niệm.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

15


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Giáo viên giới thiệu tên khái niệm và

yêu cầu phát biểu định nghĩa khái niệm
một cách tổng quát.
4a. Chính xác hóa định nghĩa khái 4b. Phát biểu lại định nghĩa.
niệm và yêu cầu học sinh lặp lại định
nghĩa.
Nhận định về mô hình
- Mô hình này có thể từ một ví dụ hay một mô hình học sinh, giáo viên hình
thành khái niệm cho học sinh thông qua hoạt động phân tích để tìm ra cấu trúc tổng
quát của đối tượng.
- Mô hình này có thể ứng dụng dạy học nhiều khái niệm ở trường phổ thông.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.10 như sau
Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu
(pattern)

Hoạt động của thầy
1a. Gợi động cơ học tập của học sinh
2a. Cho dãy số sau: 3, 5, 7,...
Hỏi: Ba số trên là ba số hạng đầu của
một dãy số. Hãy cho biết dãy số này
được cho theo quy luật nào?

Hoạt động của học sinh
1b. Tìm quy luật của dãy số
2b.
HS1: Là dãy các số nguyên tố liên
tiếp nhau mà bắt đầu từ số 3.
HS2: Là dãy số tự nhiên lẻ bắt đầu từ
số 3.
HS3: Là dãy số có tính chất là số sau
bằng số đứng trước nó cộng thêm 2.

3b. Phát biểu định nghĩa
Cấp số cộng là dãy số mà số hạng
sau bằng số hạng trước cộng với một
số không đổi.

3a. Các các câu trả lời đều đúng.
Trong bài học hôm nay, ta chú ý đến
ý kiến thứ 3: Là dãy số có tính chất là
số sau (kể từ số hạng thứ hai) bằng số
hạng đứng trước nó cộng thêm 2.
Người ta gọi đó là một cấp số cộng
với số hạng đầu là 3, và 2 được gọi là
công sai.
Như vậy, một dãy số được gọi là một
cấp số cộng thì phải có tính chất gì?
4a. Chính xác hóa lại định nghĩa
4b. Phát biểu lại định nghĩa
Từ số hạng thứ hai, các số hạng sau Cấp số cộng là một dãy số (có thể
bằng tổng số hạng đứng trước nó với hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó kể

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

16


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

một số không đổi d . Số không đổi
d được gọi là công sai của cấp số
cộng. Cấp số cộng có thể là hữu hạn

hoặc vô hạn.

từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng tổng cuẩ số hạng đứng ngay
trước nó và một số d không đổi.
Số d được gọi là công sai..

1.2.7 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa
Theo  7, tr.96 
Quy trình: Xem bảng 1.11 như sau
Bảng 1.11 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập cho hoc sinh

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của giáo
viên.
2a. Giới thiệu định nghĩa, và đặt câu 2b. Phân tích định nghĩa để chỉ ra
hỏi: Một (đối tượng) ... phải thỏa mãn những dấu hiệu đặc trưng của khái
những điều kiện gì ... thì nó được gọi niệm.
là ... (tên khái niệm)?
3a. Đưa ra các ví dụ và phản ví dụ và 3b. Nhận dạng khái niệm và trả lời câu
yêu cầu học sinh xem xét trường hợp hỏi
nào là ví dụ và trường hợp nào không
là ví dụ bằng câu hỏi: Trong các ... sau
đây,... nào là (tên khái niệm) và ... nào
không là (tên khái niệm)?
4a. Yêu cầu học sinh đưa ra một số ví 4b. Đối chiếu với định nghĩa để đưa ra
dụ (Các em hãy cho ví dụ là (tên khái câu trả lời (Cho ví dụ về khái niệm)

niệm)?).
Nhận định về mô hình
- Đây là mô hình có tính truyền thống nhưng yếu tố “tích cực hóa hoạt động”
của học sinh trong quá trình hình thành khái niệm bởi đề ra những câu hỏi cho học
sinh phân tích định nghĩa tìm ra những dấu hiệu đặc trưng của khái niệm.
- Hình thành khái niệm từ mô hình này, giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra
nhiều ví dụ và phản ví dụ để củng cố khái niệm.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.12 như sau
Bảng 1.12 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa
Hoạt động của thầy
1a. Gợi động cơ học tập cho học sinh.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

Hoạt động của học sinh
1b. Hành động theo yêu cầu của giáo

17


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

2a. Gọi học sinh phát biểu định nghĩa
và đặt câu hỏi: Một dãy số phải thỏa
mãn những điều kiện gì thì nó được gọi
là cấp số cộng ?
3a. Trong các dãy số sau đây, dãy số
nào sau đây là cấp số cộng ? Vì sao?
a) 3,  1, 1, 3,...

7
13
19
, 5,
, 8,
, 21,...
2
2
2
c) 3, 1, 5, 9, 13, 17,...
b)

4a. Yêu cầu học sinh đưa ra một số ví
dụ.

viên.
2b. Học sinh phát biểu định nghĩa:
Dãy số bắt đầu từ số hạng thứ hai trở
đi, mỗi số hạng đứng sau bằng số
hạng đứng trước cộng với một số
không đổi.
3b.
a) Đây là cấp số cộng với công sai là
2.
b) Đây là cấp số cộng với công sai là
3
.
2
c) Đây là cấp số cộng với công sai là
4.

4b. Đối chiếu với định nghĩa đưa ra
câu trả lời.

1.3 Vị trí của dạy học định lý và các mô hình cơ bản dùng cho dạy học định lý
1.3.1 Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý
Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của
môn toán, làm nên tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đăc biệt là khả năng
suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm
chất và đạo đức.
1.3.2 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý
Theo  7, tr.98
Quy trình: Xem bảng 1.13 như sau
Bảng 1.13 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập định lý

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của giáo
viên.
2a. Phát biểu định lý. Yêu cầu học 2b. Chỉ ra đâu là giả thiết đâu là kết
sinh phân tích định lý.
luận của định lý.
3a. Yêu cầu học sinh tìm hướng 3b. Đề xuất các hướng chứng minh.
chứng minh định lý có thể có
4a. Yêu cầu học sinh xem xét và 4b. Phân tích để xác định cách chứng

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

18

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

đánh giá các hướng chứng minh.
5a. Yêu cầu học sinh trình các hướng
chứng minh.
6a. Kết luận, chỉ ra công dụng, tầm
quan trọng của định lý,...

minh.
5b. Trình bày chứng minh.
6b. Nhận biết được tầm quan trọng
của định lý.

Nhận định về mô hình
- Dạy học định lý bằng cách này, giáo viên tập luyện cho học sinh biết phân
tích một định lý. Biết chỉ rõ đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý và rèn luyện
cho học sinh biết cách phân tích để tìm ra cách chứng minh cho một mệnh đề đúng.
- Mô hình này có thể sử dụng dạy học những định lý có cách chứng minh khá
dài cần nhiều thời gian để trình bày trên lớp.
- Mô hình này có thể sử dụng khi giáo viên muốn giới thiệu cho học sinh
nhiều cách chứng minh định lý hoặc một cách chứng minh nào đó khác với cách
chứng minh của sách giáo khoa.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.14 như sau
Bảng 1.14 Ví dụ mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý
Hoạt động của thầy
1a. Gợi động cơ học tập
Chúng ta thường gặp nhiều dãy số là
cấp số cộng trong khoa học, kĩ thuật

cũng như trong cuộc sống; chẳng hạn,
tiền lương của một công nhân tăng lên
theo từng tháng. Sau mỗi tháng lương
được tăng lên 70.000 đồng. Biết rằng
tháng thứ nhất lương là 1.500.000
đồng. Một yêu cầu đặt là tính tổng tiền
lương của công nhân này trong 3 năm.
Vậy làm thế nào có được tổng?
Nếu ta tính lương của từng tháng rồi
cộng lại thì quá chậm. Ta chú ý lương
từng tháng của công nhân lập thành
cấp số cộng (36 số hạng). Định lý nào
sao đây cho chúng ta cách tính nhanh
tổng số tiền mà công nhân nhận được
sau 3 năm.
2a. Phát biểu định lý:

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

19

Hoạt động của học sinh
1b. Tính lương từng tháng rồi cộng
lại.
- Biết được mục đích cảu tiết học là
học công thức tính tổng các số hạng
đầu tiên của cấp số cộng.

2b. Giả thiết  u n  là cấp số cộng

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Giả sử  u n  là một cấp số cộng. Với Và Sn  u1  u2  ...  un
mỗi số nguyên dương n , gọi Sn

là

Kết luận: Sn 

 u1  un 

(1)
2
tổng n số hạng đầu tiên của nó. Khi
đó, ta có
(u  u )n
Sn  1 n
2
Yêu cầu học sinh phân tích tìm giả
thiết và kết luận.
3a. Yêu cầu học sinh tìm hướng chứng 3b. HS đề xuất các hướng chứng
minh:
minh định lý.
Hướng 1: Tính Sn theo u1 và d
công thức số hạng tổng quát, biểu

 u1  un 

theo u1 và d . Chứng

2
minh hai kết quả bằng nhau.
Hướng 2: Dùng biến đổi tương
đương
(1)  2Sn   u1  un  n
diễn

4a. Yêu cầu học sinh xem xét và chọn
lựa hướng chứng minh.
5a. Yêu cầu học sinh trình bày cách
chứng minh
6a. Nhận xét cách chứng minh của học
sinh và nêu lên tầm quan trọng của
định lý trong thực tế giúp lựa chạn
phương án phù hợp, có hiệu quả.
Ví dụ 1: Tính tổng tiền lương của công
nhân trong bài toán mở đầu.
Ví dụ 2: Một kỹ sư chọn ký hợp đồng
5 năm với một công ty. Nếu theo
phương án A, người lao động sẽ được
36 triệu đồng năm đầu tiên và sau đó
mỗi năm tăng 3 triệu đồng. Nếu theo
phương án B, người lao động nhận 7
triệu đồng quý đầu tiên và từ quý thứ 2

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

20

 2  u1  u2  ...  un    u1  un  n

4b. HS chọn hướng để chứng minh.
5b. HS trình bày chứng minh
6b. Vận dụng:
Ví dụ 1: Áp dụng công thức.
Ví dụ 2:
Xét phương án A: Giả sử số tiền
lương mỗi năm là các số hạng của
cấp số cộng  u n  với số hạng đầu
tiên là 36 và công sai là 3.
Đến năm thứ 5 thì tiền lương là
u5  36  4.3  48 triệu
Tổng tiền lương 5 năm là
(36  48)5
SA 
 210 triệu
2


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

tăng 500.000 đồng. Nếu em là người Xét phương án B: Giả sử số tiền
ký hợp đồng, em sẽ chọn phương án lương mỗi quý là các số hạng của
nào?
cấp số cộng  vn  với số hạng đầu
tiên là 7 và công sai là 0,5.
Đến năm thứ 5 thì tiền lương quý 20
là v20  7  19.0,5  20,5 triệu
Tổng tiền lương 5 năm là
(7  20,5)5
SB 

 275 triệu
2
Vậy chọn phương án B.
1.3.3 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh
Theo  7, tr.101
Quy trình: Xem bảng 1.15 như sau
Bảng 1.15 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập cho học sinh.

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hoạt động theo yêu cầu của giáo
viên.
2a. Phát biểu bài toán có yêu cầu là 2b. Chỉ ra đâu là giả thiết và đâu là
chứng minh một điều sắp học. Yêu kết luận.
cầu học sinh phân tích bài toán.
3a. Yêu cầu học sinh tìm hướng chứng 3b. Đề xuất các hướng giải.
minh có thể có.
4a. Yêu cầu học sinh xem xét và đánh 4b. Phân tích các hướng chứng minh.
giá các hướng chứng minh.
5a. Yêu cầu học sinh thực hiện lời giải 5b. Tiến hành chứng minh.
theo hướng chứng minh thích hợp
nhất.
6a. Kết luận, điều được chứng minh là 6b. Lĩnh hội định lý mới, nhận biết
định lý cần học, chỉ ra công dụng, tầm được tầm quan trọng của định lý.
quan trọng của định lý,...
Nhận định về mô hình
- Mô hình này có thể sử dụng khi quá trình dạy học định lý nhấn mạnh đến
quá trình tìm tòi cách chứng minh định lý, đặc biệt là nhấn mạnh đến sử dụng

phương pháp phân tích để tìm cách chứng minh định lý.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

21


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

- Mô hình có thể sử dụng khi giáo viên gợi ý học sinh tìm ra cách chứng minh
khác với cách chứng minh nêu ra trong sách giáo khoa.
Ví dụ minh họa
Dạy học định lý “Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) thì mọi
nguyên hàm của hàm số f ( x) đều có dạng F ( x)  C , với C là hằng số tùy ý”
(SGK giải tích 12 cơ bản). Xem bảng 1.16 như sau
Bảng 1.16 Ví dụ mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh

Hoạt động của thầy
Hoạt động của học sinh
1a. Gơi động cơ học tập cho HS:
1b.
Cho hàm số f ( x)  2 x . Hãy chỉ ra F ( x)  x2 , G( x)  x2  1 ,...
các nguyên hàm của hàm số trên.
G(x)= x 2  C ( C là hằng
số) vì
Theo các em, một nguyên hàm bất kì G( x)  2 x với mọi C .
của hàm f ( x)  2 x có dạng ra sao?
Nhận biết được mục đích học tập.
Vấn đề đặt ra là có đúng là mọi
nguyên hàm của hàm số f ( x) đều có

dạng G( x)  x 2  C ( C là hằng số)
hay không ? Đó chính là một vấn đề
ta cần giải quyết như sau đây.
2b. Giải thiết: F ( x) là nguyên hàm của
2a. Phát biểu bài toán:
Bài toán: Cho F ( x) là nguyên hàm f ( x) .
của hàm số f ( x) trên K . Chứng Chứng minh: Mọi nguyên hàm của f ( x)
minh rằng: Mọi nguyên hàm của đều có dạng F ( x)  C .
f ( x) đều có dạng F ( x)  C , với C
là hằng số.
Hãy chỉ ra giải thiết, điều cần chứng
minh.
3a. Yêu cầu HS tìm hướng chứng 3b. Tìm các hướng chứng minh
minh
Hướng 1: Chứng minh F ( x)  C là
nguyên hàm của f ( x)
Hướng 2: Giả sử G ( x) là một nguyên
hàm bất kì của f ( x) . Ta chứng minh

G ( x)  F ( x)  C
4b. Xem xét các hướng chứng minh
4a. Yêu cầu HS xem xét, đánh giá các
Hướng 1: Chỉ chứng minh F ( x)  C là
hướng chứng minh.
nguyên hàm của f ( x) chứ chưa khẳng

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

22

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

định dạng của mọi nguyên hàm của
f ( x) .
Hướng 2: Có thể khẳng định dạng của
mọi nguyên hàm của f ( x) .
5a. Yêu cầu HS chứng minh theo 5b. Chứng minh bài toán
hướng 2.
Giả sử G ( x) là một nguyên hàm của

f ( x) , tức G( x)  f ( x) , x   .
Vậy G( x)  F ( x) là một hàm hằng trên

.
Ta có G ( x)  F ( x)  C , x   với C
là hằng

số hay G ( x)  F ( x)  C ,

x   .
6a. Kết luận, từ kết quả trên đây ta có 6b. Áp dụng tìm họ nguyên hàm của một
định lý: “Nếu F ( x) là một nguyên hàm số f ( x) .
hàm của hàm số f ( x) thì mọi - Tìm một nguyên hàm F ( x) của f ( x) .
nguyên hàm của hàm số f ( x) đều có - Kết luận:
dạng F ( x)  C , với C là hằng số tùy  f ( x)dx  F ( x)  C ( C là hằng số bất
ý”.
kỳ).
- Định lý đã chỉ ra được họ tất cả các

nguyên hàm của hàm số f ( x) trên

 nếu biết một nguyên hàm của
F ( x) của nó và ta thường kí hiệu:

 f ( x)dx  F ( x)  C

( C là hằng số

bất kỳ).
- Muốn tìm họ tất cả các nguyên hàm
của hàm số f ( x) trên  ta làm sao?
Ví dụ: Tìm họ nguyên hàm của các
a. Vì F ( x)  x2  3x là một nguyên hàm
hàm số sau:
của f ( x)  2 x  3 nên:
a. f ( x)  2 x  3
2
 (2 x  3)dx  x  3x  C
b. g ( x)  cos x  1
1

b. Lập luận tương tự, ta có:

 (cos x  1)dx  sin x  x  C2
với C1 , C2 là hằng số bất kỳ

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

23

Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

1.3.4 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết
Theo  7, tr.104 
Quy trình: Xem bảng 1.17 như sau
Bảng 1.17 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của giáo
viên.
2a. Yêu cầu học sinh quan sát, xem xét 2b. Phân tích để tìm ra các mối liên hệ.
các trường hợp riêng, tìm các mối liên
hệ?
3a. Yêu cầu học sinh đưa ra giải thuyết 3b. Nêu ra giải thuyết (dự đoán).
(dự đoán): Em có thể phát biểu gì
về ... ?; Từ... em thể nêu ra một dự đoán
gì...?...
4a. Chỉnh sửa và kết luận về giả thuyết 4b, Đề xuất cách kiểm chứng và thực
mà lớp cần kiểm chứng. Yêu cầu học hiện vùng kiểm chứng.
sinh tìm cách kiểm chứng giả thuyết.
5a. Yêu cầu học sinh xem xét và đánh 5b. Kết luận về tính đúng sai của giả
giá đúng đắng của giải thuyết.
thuyết để chấp nhận hay bác bỏ.
6a. Kết luận, phát biểu định lý, chỉ ra 6b. Nhận biết được tầm quan trọng của
công dụng, tầm quan trọng của định định lý.

lý,...
Nhận định về mô hình
- Mô hình này có thể sử dụng khi khâu đưa ra giả thuyết không quá mất thời
gian.
- Khi vận dụng giáo viên cần lưu ý học sinh là giả thuyết cần phải được kiểm
chứng mới khẳng định được tính đúng hay sai của nó.
Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.18 như sau
Bảng 1.18 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết

Nội dung

Hoạt động của thầy

1/ Kiểm tra kiến cũ
3. Công thức Moa-vrơ
Cho số phức
a) Công thức Moa-vrơ
Với mọi số nguyên dương



z  2  cos  i sin 
n
3
3


GVHD: Nguyễn Phú Lộc

24

Hoạt động của học
sinh
Hoạt động nhóm giải
quyết bài toán, trình
bài sản phẩm trên
bảng nhóm.


Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

 r  cos   i sin   
 r n  cos n  i sin n 
n

và khi r  1

 cos  i sin  

n

 cos n  i sin n

Bằng công thức nhân số
phức dưới dạng lượng
giác, hãy tính z 2 , z 3 .
Tổng quát hóa bài toán.

Dựa vào kết quả trên
phán đoán kết quả

Nhận xét, chính xác hóa tổng quát.
Phát biểu lại định lý.
kết quả.
2/ Chỉnh sửa và phát biểu
Hoạt động nhóm giải
định lý.
quyết bài toán.
3/ Vận dụng:
Ba học sinh lên bảng
Tính
9
trình bài bài giải.

 
 
a)  2  cos  i sin  
3
3 
 
b) 1  i 

12

c)



3 i



9

1.3.5 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm
Theo  7, tr.106 
Quy trình: Xem bảng 1.19 như sau
Bảng 1.19 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

Hoạt động của thầy (a)
1a. Gợi động cơ học tập cho học sinh
2a. Nêu ra vấn đề (Bài toán) với nội
dung là tìm kiếm công thức, một hệ
thức,... nào đó.
3a. Yêu cầu học sinh phân tích đề bài.

Hoạt động của học sinh (b)
1b. Hành động theo yêu cầu của thầy.
2b. Nhận ra được vấn đề cần giải
quyết.

3b. Chỉ ra được đâu là điều đã cho,
đâu là điều phải tìm.
4a. Yêu cầu học sinh tìm hướng giải 4b. Đề xuất các hướng giải.
quyết có thể có.
5a. Yêu cầu học sinh xem xét và đánh 5b. Phân tích các hướng giải.
giá các hướng giải.
6a. Yêu cầu học sinh thực hiện lời giải 6b. Thực hiện lời giải.
theo hướng giải thích hợp nhất.
7a. Thể chế hóa: GV cho biết điều vừa 7b. Học sinh phát biểu định lý.

GVHD: Nguyễn Phú Lộc

25