02 PP vi phan tim nguyen ham pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2

6.

dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x

1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3

7.

dx
=d
2 x

3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)

8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )

4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)

9.

5.

dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x

( x) = d(

)

(

x ± a = −d a − x

)

dx

= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x

10. dx =

1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

x
dx
1 + x2

∫

c) I 3 = ∫

b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

Lời giải:

x  1
1

2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a

2
2
2
 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
 u = d ( ln u )

( )

2

( )

(

(

x 2 dx
x3 + 1

)

)

2

2
du
x
1 d x
1 d x +1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = 1 ln x 2 + 1 + C.
dx
=
=
←→
1
2 1 + x2 2
2
1 + x2
1 + x2
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = d x ± a
2
2
2

 
b) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 
 n

u
du
=
d



 n +1


Ta có I1 =

∫

∫

∫

(

( )

∫ (

Ta có I 2 = x 1 + x

2

)

10

1
dx =
2

∫ (1 + x ) d ( x
2

10

2

)

+1

(

(1 + x )
=
2

)

11

22

 2

 x3  1
3
 x dx = d   = d x ± a

 3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân 
 du
2 u = d u


(

)

+ C.

)

( )

3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
=
∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C.
x3 + 1 3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫

2x −1

Ta có I 3 = ∫

x 2 dx

=

c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
2

x  1
1
2
2
 xdx = d   = d x = − d a − x
2

 2  2
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u n +1 

 n
u
du
=
d



 n +1


( )

(

)

(1 − x )

2 3

1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1


dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân 
 du = d u
 2 u
2

+ C.

3

( )

du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
←
→ I5 = 2 x − 1 + C.
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1

 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )

c) Sử dụng các công thức vi phân 

 n +1 
u n du = d  u 

 n +1

Ta có I 5 = ∫

3

1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c)

I
=
9
∫ x dx
5 4
(3 − 2 x)5
x −5
3

∫

Lời giải:
 3
x  1
1
4
4
 x dx = d   = d x ± a = − d a − x
4
4
4

 
a) Sử dụng các công thức vi phân 
 u − n +1 
 du
=
d



 un
 −n + 1 

 x4 
4
d
4
 
5
1
3
5 5 x4 − 5
5
x
−
5
−
4
2x
1
1


4
4
5
⇒ I7 =
dx = 2
=
x −5 d x −5 = .

+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5
x −5 2

(

4

∫

∫(

∫

)

(

)

(

(

)

)

(

)

)

4

+ C.

( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
b) Ta có I 8 = ∫
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6

dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =

+ C.
x
x
4
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)

c) Sử dụng công thức vi phân

∫

∫

Lời giải:
a) Ta có I10 = ∫

( 4 − 2x )

3
3 (4 − 2x)
−2010
( 4 − 2x ) d ( 4 − 2x) = −

∫
2
2 −2009

−2009

3 dx
2010

=−

cos u du = d ( sin u )

b) Sử dụng các công thức vi phân  dx
=d x

2 x

+C =

3
4018 ( 4 − 2 x )

2009

+ C.

( )

( )

cos x
cos x
dx = 2
dx = 2 cos x d x = 2sin x + C.
x
2 x
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Ta có I11 =

∫

∫

∫


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân 
sin x dx = −d ( cos x )
3

Ta có I12 =

∫

1
2

cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −

∫

2 ( cos x ) 2

3
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
a) I13 = 3 sin x cos x dx
b) I14 = ∫
dx
cos5 x
Lời giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân 
cos x dx = d ( sin x )

=−

2 cos3 x
+ C.
3

∫

Ta có I 3 =

∫

3

sin x cos x dx =

∫

c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx

1
4
3  
u 3 du = d  u 3 
4  
 

1
3

4

→ I13 =
( sinx ) d ( sin x ) ←

3 ( sinx ) 3
4

+C =

3 3 sin 4 x
+C
4

( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )

c) Sử dụng các công thức vi phân  n
 u n +1 
u
du
=
d



 n +1


−4

b) Ta có I14 = ∫

 u5 
u 4 du = d  
 5 
 

Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ←
→ I15 =
4

4

sin 5 x
+ C.
5

Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx

b) I17 =

∫

sin 4 x cos 4 x dx

c) I18 = ∫

sin x dx
1 + 3cos x

Lời giải:
sin x dx = −d (cos x)

a) Sử dụng các công thức  du
 ∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
4
4

∫

∫

∫

sin 4 x d ( sin 4 x )

3

1 2 ( sin 4 x ) 2
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2

4sin x − 3
( 2 − 5sin x )

Lời giải:
cos xdx = d (sin x)

a) Sử dụng công thức vi phân  du
 1
 u2 = d  − u 



2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )

cos xdx = d (sin x)


b) Sử dụng công thức vi phân  du
2 u = d u


( )

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta được I 20 = ∫

Facebook: LyHung95

d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2


d ( cos x )
sin xdx

=−
= − ln cos x + C
 tan xdx =
cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 
2
 u du = u + C

2
d ( cos x )
sin x
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C 
→ I 21 = −
+ C.
2
2
Ví dụ 8: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =

dx
b)
I
=
dx
c) I 24 =
dx
23
2
4
cos x
cos x
cos 2 2 x
Lời giải:
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
dx
=
tan
x
.

=
tan
x
d
tan
x
=
+
C

→
I
=
+ C.
Ta có I 22 =
(
)
22
2
2
cos 2 x
cos 2 x
 dx
 cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức 
 1 = 1 + tan 2 x
 cos 2 x

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

(

)

∫(

)

tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .

= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2
cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C 
→ I 23 =
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
 dx
 cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx

1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C 
→ I 24 =
+
+ C.
2
2
4
2

4
2
Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x

cos  x + 
2

Lời giải:
 dx
 sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức 
2
 u du = u + C
 ∫
2
cot x
dx
cot 2 x

cot 2 x
dx
=
cot
x
.
=
−
cot
x
d
cot
x
=
−
+
C

→
I
=
−
+ C.
Ta có I 25 =
(
)
25
2
2
sin 2 x

sin 2 x
Ta có I 23 =

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

sin x dx = −d ( cos x )

b) Sử dụng các công thức  du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
 u
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C 
tan x
sin xdx
1
dx = ∫
= −∫
=−
→ I 26 =
+ C.
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3

3cos3 x
3cos3 x

cos x dx = d ( sin x )

π
 
c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x
2
 
 du
1
∫ 2 = − + C
u
 u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C 
→ I 27 =
+ C.
2

2
π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x

cos  x + 
2

Ví dụ 10: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
−3

Ta có I 26 = ∫

a) I 28 =

∫

e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Lời giải:

x

3e

x

c) I 30 = ∫ x.e1− x dx

b) I 29 = ∫

dx

d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx

2

( )

 dx
=d x

a) Sử dụng các công thức  2 x
 eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =

∫

3e

x

x

∫

dx = 3.2 e

x

dx
= 6 e xd
2 x

∫

( x ) = 6e

x

+ C 
→ I 28 = 6e

x

+ C.

 dx
 cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫

tan x + 2
e
dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C 
→ I 29 = e tan x + 2 + C.
2
2
cos x
cos x
1
1

2
2
 x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức 
 eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C 

→ I 30 = − e1− x + C .
2
2
2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức  u
u
 ∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C 
→ I 31 = −ecos x + C .
 dx
 = d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức  x
 eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
e2 ln x + 3
1 2 ln x + 3
Vậy I 32 = ∫

dx = e
+ C.
x
2

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................

xdx

• I3 = ∫

• I4 = ∫

4

3 − 2 x2

= ...........................................................................................................................................

x5

dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3

• I5 = ∫
• I6 = ∫

2 + 3x 4

dx = ......................................................................................................................................

xdx

( 2 − 3x )

2 2

= .........................................................................................................................................

• I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................
• I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ...............................................................................................................................
• I 9 = ∫ xe −4 x

2

+5

dx = ..........................................................................................................................................

4

x

• I10 = ∫

e dx
= ................................................................................................................................................
x2

• I11 = ∫

e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x

• I12 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x

2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫

sin xdx

= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
sin xdx
= ......................................................................................................................................
1 − 3cos x

cos xdx

(1 − 2 sin x )

2

= .....................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

• I8 = ∫

sin 2 xdx
= ......................................................................................................................................
7 − 2 cos 2 x

• I9 = ∫

sin 3 xdx

= .....................................................................................................................................
1 + 2 cos 3 x

• I10 = ∫

tan xdx
= ...........................................................................................................................................
3cos 2 x

• I11 = ∫

tan xdx
= ............................................................................................................................................
cos 4 x

• I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = .................................................................................................................................
• I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = .............................................................................................................................
• I14 = ∫

e2cot x −1
dx = ........................................................................................................................................
sin 2 x

• I15 = ∫

dx
= ...........................................................................................................................
sin 2 x 4 cot x − 3

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga

• I1 = ∫
• I2 = ∫
• I3 = ∫

ex
dx = .........................................................................................................................................
2e x − 1
e3 x
1 − 5e3 x

dx = .....................................................................................................................................

e −2 x

(1 − 3e−2 x )

2

dx = ..................................................................................................................................

• I4 = ∫

ln 3 x
dx = ...........................................................................................................................................
x

• I5 = ∫

dx
= .....................................................................................................................................

x 1 − 5 ln x

• I6 = ∫

• I7 = ∫

dx
x ( 2 + 3ln x )

2

ln xdx
x 1 − 4 ln 2 x

= ..................................................................................................................................
= ...................................................................................................................................

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x

1) I1 =

∫ 1+ x

4) I 4 =

∫

2

dx

cos x sin xdx

x
dx
x2 + 5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5

7) I 7 = ∫
10)
13)
16)

∫

∫

2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx

3) I 3 =

sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1

6) I 6 =

5) I 5 =

∫ cos

cos x
dx
x

∫

3

sin x cos xdx

3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx

11) I11 = ∫ x.e x +1dx

12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx

14) I14 = ∫ cot x dx

15) I15 = ∫

2

17) I17 = ∫

e

x

18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx

dx

x

tan x
dx
cos 2 x

x 2 dx

20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx

21) I 21 = ∫

22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx

23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx

24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx

25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx

26) I 26 = ∫ x.e x

19)

∫

28) I 28 = x.e1− x dx
2

29) I 29 =

∫ (e

2

+2

sinx

x3 + 1

sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x

27) I 27 = ∫

dx

)

+ cos x cos x dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!