03 PP doi bien so tim nguyen ham p2 pros(2016) (1)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 2. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
Nếu hàm f(x) có chứa

dx = d (a sin t ) = a cos t dt
a 2 − x 2 thì đặt x = a sin t 
→ 2
2
2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t

Nếu hàm f(x) có chứa

adt

dx = d (a tan t ) = cos 2 t
a 2 + x 2 thì đặt x = a tan t 
→
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a

cos t

MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =
c) I 3 =

∫

∫

dx
2

; ( a = 2)

b) I 2 =

2

; ( a = 1)

d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3)

4− x

x 2 dx
1− x

∫

1 − x 2 dx ; ( a = 1)

∫

Lời giải:
 dx = d (2sin t ) = 2cos t dt
dx
2cos t dt
a) Đặt x = 2sin t 
→

→ I1 = ∫
=∫
= ∫ dt = t + C
2
2
2
2cos t
4− x
 4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t
x
 x
Từ phép đặt x = 2sin t ⇔ t = arcsin   
→ I1 = arcsin   + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
b) Đặt x = sin t 
→
2

2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
1 + cos 2t
1
1
t 1
Khi đó I 2 = 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt =
dt =
dt +
cos 2t dt = + sin 2t + C
2
2
2
2 4
2
2
cos t = 1 − sin t = 1 − x
Từ x = sin t ⇒ 

→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x

∫

∫

∫

∫

∫

arcsin x 1
+ x 1 − x2 + C
2
2
dx = d (sin t ) = cos t dt
c) Đặt x = sin t 
→
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x 2 dx
sin 2 t.cos t dt
1 − cos2t
1 1
Khi đó, I 3 = ∫
=∫
= ∫ sin 2 t dt = ∫
dt = t − sin 2t + C
2
cos t
2
2 4
1− x

→ I2 =

cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2
Từ x = sin t ⇒ 


→ sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2
t = arcsin x
arcsin x 1

→ I3 =
− x 1 − x2 + C
2
2
 dx = d (3sin t ) = 3cos t dt
d) Đặt x = 3sin t 
→
2
2
 9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t
81
81 1 − cos4t
Khi đó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt =
sin 2 2t dt =
dt
4
4
2

∫

∫

∫

∫

∫

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
=

Facebook: LyHung95

81  1
1
 81  t 1

dt −
cos4t dt  =  − sin 4t  + C

4 2
2
 4 2 8


∫

∫


x2

2
cos t = 1 − sin t = 1 −
x2
2x

9
Từ x = 3sin t ⇒ 

→ sin 2t =
1−
3
9
t = arcsin  x 



3
2

2x2
2x
x2  2x2 
 x
Mặt khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −

→ sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2.
1 − .1 −

9
3

9 
9 
3


 x
arcsin  
2
2 

81
 3  − x 1 − x .  1 − 2 x   + C.
Từ đó ta được I 4 = 


4
2
6
9 
9 



Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

dx
; ( a = 1)

2
x +1

b) I 2 =

∫

c) I 3 =

x 2 + 2 x + 5 dx

∫

x 2 dx
x2 + 4

; ( a = 2)

Lời giải:

dt

= (1 + tan 2 t )dt
(1 + tan 2 t )dt
 dx = d (tan t ) =
2
x
=
tan
t


→

→
I
=
cos
t
a) Đặt

1
∫ 1 + tan 2 t = ∫ dt = t + C
2
2
1 + x = 1 + tan t

Từ giả thiết đặt x = tan t ⇔ t = arctan x 
→ I1 = arctan x + C.

b) Ta có I 2 =

∫

x 2 + 2 x + 5 dx =

∫

t = x +1
( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1) 
→I =

∫

t 2 + 4 dt

2du

 dt = d (2 tan u ) = cos 2 u
2du
cos u du
du
→

→ I2 = ∫
=∫
=∫
Đặt t = 2 tan u 
2
cos u
cos 2 u
 4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2
.cos 2 u
cos u

cos u
d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u )
1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u
=∫
= ∫
d (sin u ) = ∫

+
= ln
+ C.
2
1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u )
2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u
t
1
t2
4
t2
2
2

→
=
1
+

→
sin
u
=
1
−
c
os
u
=
1

−
=
2
cos 2 u
4
4 + t2 4 + t2
t
x +1
1+
1+
1 1 + sin u
1
4 + t 2 + C = 1 ln
x 2 + 2 x + 5 + C.
Từ đó ta được I 2 = ln
+ C = ln
t
x +1
2 1 − sin u
2 1−
2 1−
2
2
4+t
x + 2x + 5
2dt

2
 dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt
→

c) Đặt x = 2 tan t 
 x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4

2
4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt
sin 2 t
sin 2 t.cos t dt
sin 2 t. d (sin t )

→ I3 = ∫
= 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫
dt
=
4
=
4
∫ cos4 t
∫ 1 − sin 2 t 2
cos3 t
2 1 + tan 2 t
(
)
Từ phép đặt t = 2 tan u ⇔ tan u =

Đặt u = sin t 
→ I 3 = 4∫

2

 1 (1 + u ) − (1 − u ) 

 u 
du = 4 ∫ 
du = 4 ∫ 
 du
2 
2 2
1
−
u
2
(1
+
u
)(1
−
u
)




1
−
u
( )
u2

2

1 

du
du
2du
d (1 − u )
d (1 + u )
(1 − u ) + (1 + u )du
 1
= ∫
−
+∫
−∫
= −∫
+∫
−∫
 du = ∫
2
2
2
2
1
−
1
+
(1
−
)
(1
+
)
(1

−
)(1
+
)
(1
−
)
(1
+
)
(1 − u )(1 + u )
u
u
u
u
u
u
u
u


1
1
1 
1
1
du
du
1
1

 1
−
−
− ∫
+
−
−∫
−∫
=−
−
− ln 1 + u + ln u − 1 + C
 du = −
1− u 1+ u
1− u 1+ u
1+ u
1− u
1− u 1+ u
1+ u 1− u 
2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
1
u −1

1
1
u −1
1
1
sin t − 1
−
+ ln
+ C 
→ I3 =
−
+ ln
+C =
−
+ ln
+ C.
u −1 1+ u
u +1
u −1 u +1
u +1
sin t − 1 sin t + 1
sin t + 1
x
1
x2
4
x2
2
2
2

→
=
+
t
=
+
⇔
c
t
=

→
t
=
Từ giả thiết x = 2 tan t ⇔ tan t = 
1
tan
1
os
sin
2
cos 2t
4
4 + x2
4 + x2
x
−1
2
x
1

1
4
x
+
⇔ sin t =

→ I3 =
−
+ ln
+ C.
x
x
x
4 + x2
−1
+1
+1
4 + x2
4 + x2
4 + x2
=

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I1 =

∫

dx

b) I 2 =

x −1
2

∫x

dx

c) I 3 =

x −4
Lời giải:

2

2

∫

dx
x − 2x − 2
2


 1  − cos t dt
− cos t dt

 dx = d  sin t  = sin 2t
dx
1

− cos t dt



 dx = sin 2 t

→
←
→

→ I1 = ∫
=∫ 2
a) Đặt x =
2
sin t
sin t.cot t
1
x −1
 x2 − 1 =
 x 2 − 1 = cot t
−1

2

sin t
sin t dt
d (cos t )
d (cos t )
1 (1 − cos t ) + (1 + cos t )
1 1 + cos t

= −∫
=
=
=
d (cos t ) = ln
+ C.
sin 2 t ∫ 1 − cos 2 t ∫ (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 ∫ (1 − cos t )(1 + cos t )
2 1 − cos t
Từ phép đặt x =

1
1

→ cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x

x2 − 1
1
x2 − 1
x

→ I1 = ln
+ C.
x
2
x2 − 1
1−
x
1+


 2  −2cos t dt
−2 cos t dt

dx =
dx = d  sin t  = sin 2 t

2




sin 2 t

→
←
→
b) Đặt x =
sin t
4
 x2 − 4 =
 x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t
−
4

sin 2 t

sin 2 t
dx

−2cos t dt
1
1
Khi đó, I 2 =
=
= − sin t dt = cos t + C.
2
2
8cot
t
4
4
x x −4
sin 2 t. 2
sin t

∫

∫

∫

2
4

→ cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t =
sin t
x
dx
d ( x − 1)

t = x −1
c) I 3 =
=

→ I3 =
2
2
x − 2x − 2
( x − 1) − 3
Từ x =

∫

∫

∫

x2 − 4
x2 − 4

→ I2 =
+ C.
x
4x
dt
dt
=
2
2
t −3

t2 − 3

∫

( )


 3  − 3 cos u du

 dt = d 
− 3 cos u du
 =
2
dt =
sin
u
sin
u
3





→
←
→
sin 2 u
Đặt t =
sin u

 2
 2
3
−3
 t − 3 = 3 cot u
 t −3 =
2
sin u


→ I3 = ∫
=

1
2∫

dt

=∫

− 3 cos u du

= −∫

sin u du
d (cos u )
d (cos u )
=∫
=∫
2

2
sin u
1 − cos u
(1 − cos u )(1 + cos u )

sin u. 3 cot u
t −3
(1 − cos u ) + (1 + cos u )
1 1 + cos u
d (cos u ) = ln
+ C.
(1 − cos u )(1 + cos u )
2 1 − cos u
2

2

t2 − 3
x2 − 2x − 2
+
1
t2 − 3
3
3
1
1
t
x −1
⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =


→ I 3 = ln
+ C = ln
+ C.
Từ t =
2
2
sin u
t
t
2
2
t −3
x − 2x − 2
1−
1−
t
x −1
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
1+

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

dx
1
x

= arc tan   + C.
2
+a
a
a
dx
1
x+a
∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C.
dx
1
x−a
∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C.
dx
2
∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C.

∫x

2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) I1 = ∫
4) I 4 =

∫

x 2 dx
x2 + 4
1

3x − 2 x
2

2) I 2 = ∫
dx

5) I 5 =

∫

1 − x2
dx
x2

3) I 3 = ∫

2 x 2 + 1 dx

6) I 6 =

∫

x 2 dx
4 − x2
dx
2 x2 − 5

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!