12 cac PP tinh tich phan p2 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7

1. I1 =

∫
0
e

4. I 4 = ∫
1

5

x 3 dx
3

2. I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx

1 + x2

1

3. I 3 = ∫ x15 1 + 3x8 dx

4

0

e3

1 + 3ln x ln x
dx
x

5. I 5 =

ln 2 x
dx
x ln x + 1

∫
1

6. I 5 =

− 2

∫

−2

x2 + 1
x x2 + 1

dx

Lời giải:
 2 xdx = 3t 2 dt
1. Đặt 3 1 + x 2 = t ⇔ 1 + x 2 = t 3 ⇒  2 3
 x = t − 1

 x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận : 

→ I1 =
 x = 7 ⇒ t = 2

7

∫

x3 dx
3

0

1 + x2

7

=

∫
0

2

2
2
 3t 5 3t 2 
3 (t 3 − 1)t 2
3
141
dt = ∫ (t 4 − t )dt = 
= ∫
−
=

3
t
21
4  1 20
1 + x2 2 1
 10

x 2 .xdx

 dx = dt
2. Đặt x − 4 = t ⇒ 

x = t + 4
1

5
1
1
1
 t 22 4t 21 
x = 4 ⇒ t = 0
109
Đổi cận : 

→ I 2 = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + 4 ∫ t 20 dt = 
+
 =
x
=
5
⇒
t
=
1

 22 21  0 462
4
0
0
0

tdt


7
7
24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12
3. Đặt 1 + 3 x8 = t ⇔ 1 + 3 x8 = t 2 ⇒ 
2
 x8 = t − 1

3
x = 0 ⇒ t = 1
Đổi cận : 
x = 1 ⇒ t = 2
1


→ I3 = ∫ x

15

1 + 3 x dx = ∫ x

0
e

4. I 4 = ∫
1

2

2

8

8

1

2
2
1 (t 2 − 1)
1
1  t5 t3 
29
1 + 3x .x dx = ∫
.t.tdt = ∫ (t 4 − t 2 )dt =  −  =
.
12 1 3
36 1
36  5 3  1 270
8

7

1 + 3ln x ln x
dx = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x)
x
1
e

3d (ln x) = 2tdt


Đặt 1 + 3ln x = t ⇔ 1 + 3ln x = t 2 ⇒ 
t2 −1
ln x =
3

2

e
2
2
 2t 5 2t 3 
x = 1 ⇒ t = 1
t2 −1 2
2 4 2
116
Đổi cận : 

→ I 4 = ∫ 1 + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t.
. tdt = ∫ (t − t )dt = 
−
.
 =
3 3
91
x = 3 ⇒ t = 2
 45 27  1 135
1
1

e3

5. I 5 = ∫
1

ln 2 x
x ln x + 1

e3

dx = ∫
1

ln 2 x
ln x + 1

d (ln x)

 d (ln x) = 2tdt
Đặt 1 + ln x = t ⇔ 1 + ln x = t 2 ⇒ 
2
ln x = t − 1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95
2

e
2
2
x = 1 ⇒ t = 1
 t 5 2t 3

ln 2 x
(t 2 − 1) 2 2t
76
4
2

→
I
=
d
x
=
dt
=
t
−
t
+
dt
=
+t = .
Đổi cận : 
(ln

)
2
(
2
1)
2
 −
5
∫
∫
∫
3
t
3
ln x + 1
5
 1 15
x = e ⇒ t = 2
1
1
1
3

 xdx = tdt
x2 + 1 = t ⇔ x2 + 1 = t 2 ⇒  2 2
x = t −1
− 2
x2 + 1
 x = −2 ⇒ t = 5
Đổi cận : 


→ I6 = ∫
dx =
2
 x = − 2 ⇒ t = 3
−2 x x + 1

6. Đặt

3

1
= ∫ dt +
2
5

3

dt 1
∫ t −1 − 2
5

5

dt  1 t − 1 
∫ t + 1 =  t + 2 ln t + 1 
5
3

5

3

t2
∫ t 2 − 1 dt =
5

t −1 +1
∫ t 2 − 1 dt =
5
3 2

3



∫ 1 + t
5

2

1 
 dt
−1

1
3 −1
5 −1
= 3 − 5 +  ln
− ln


2
3 +1
5 + 1 

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

3
2 
8

2

2
= ∫ x + 2 −
 dx =  ( x + 2 ) − 4 x + 2  =
x+2 0
x+2
3
0 3

2

2

xdx

1. I1 = ∫
0

1

3

3

3
2
4 2
− 6 I 2′
( x − 1) 2 − 6 I 2′ =
3
3
1
3

Để tính I 2′ = ∫
1

⇒ I 2′ =

2

∫
0

( x − 1)dx
ta đặt
x−7

1

( x − 1)dx
x−7

x −1 = t ⇒ x = t2 + 1
2

6

2

với I 2′ = ∫

2

2t 2 dt
6 
t− 6 

=
2
 =2
1 + 2
 dt = 2  t + 3ln
2
∫
t −6
t −6

t + 6 
0 

0

Do đó: I 2 = 48ln(2 − 3) −
3. I 3 = ∫

)

2 −1

3
3
( x − 7) ( x − 1)dx 3 6 x − 1dx 3
( x − 1)dx
x x − 1dx
=∫
+∫
= ∫ x − 1d ( x − 1) − 6 ∫
x−7
x−7
x−7
x−7
1
1
1
1

3

2. I 2 = ∫
=

(

1
2x + 1 + 4x + 1

(

2 + 3ln(2 − 3)

)

32 2
3

dx

Đổi biến t = 4 x + 1 ⇒ t 2 = 4 x + 1 ⇒ tdt = 2dx
5

tdt
d (t + 1)
d (t + 1) 
1
3
 1 
⇒ I3 = ∫ 2

=∫
−∫
=  ln ( t + 1) + 
  = − + ln
2
12
2
 t +1 3

3 t + 2t + 1
3 (t + 1)
3 (t + 1)
10
dx
4. I 4 = ∫5
= 2 ln 2 + 1 (đổi biến t = x − 1 )
x − 2 x −1
5

5

5

1

5. I 5 = ∫ x8 1 − x3
0

Đổi biến t = 1 − x 3 ⇒ t 2 = 1 − x3 ⇒ 2tdt = −3 x 2 dx
1

0
1
2
2
2
2  t 6 2t 5 t 3 
⇒ I 5 = − ∫ (1 − t 2 ) t 2 dt = ∫ ( t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt =  −
+  = ....
31
30
3 7
5
3 0
1

6. I 6 = ∫
0
2

7. I 7 = ∫
1

3x + 2
2x + 1 + 1

dx. (đổi biến t = 2 x + 1 + 1 )

x2 − 1

( x + 2)

x+2

2

dx =

∫
1

( x + 2)

2

− 4 ( x + 2) + 3
3

( x + 2)2

2

1
1
3
−
− 

dx = ∫ ( x + 2 ) 2 − ( x + 2 ) 2 + 3 ( x + 2 ) 2  dx


1

2

3
1
1
5
− 
2
=  ( x + 2) 2 − 2 ( x + 2) 2 − 6 ( x + 2) 2  = 2 3 −
3
3
1

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
2 2

∫

8. I 8 =

x

=

2

2

0

1

ex

dx = ∫

ex −1

0

2

2

1

1 
x
d ( ex ) = ∫  ex − 1 +
 d ( e − 1)
x
x
e −1
e −1 
0

1

e2 x

9. I 9 = ∫

3

 t 7 2t 5 t 3 
t
t
−
1
dt
=
+  = ...
(
)
 −
∫1
5
3 1
7
3

t = 1+ x 2

1 + x dx

5

Facebook: LyHung95

0

1

3
1
2

2
=  ( e x − 1) 2 + 2 ( e x − 1) 2  =
e −1 ( e + 2)
3
3

0
ln 3

ex

∫

10. I10 =

(e

0

x

2

⇒ I10 =

2tdt
∫ t3 =
2
e

11. I11 = ∫

1

+ 1)

3

dx . Đặt t = e x + 1 ⇒ t 2 = e x + 1 ⇒ 2tdt = e x dx

2

2dt
2
∫ t2 = − t
2

2

= 2 −1
2

3 − 2 ln x
dx
x 1 + 2 ln x
1
dx
x

Đặt t = 2 ln x + 1 ⇒ t 2 = 2 ln x + 1 ⇒ tdt =
2

⇒ I11 =

∫
1

4 − t2
tdt =
t

2


t3 
10 2 11
4
−

t
dt
=
4
t
−
−
(
)

 =
∫1
3 1
3
3

2

2

2x + 1
dx
1
+
2
x
+
1
0
4

12. I12 = ∫

Đặt t = 1 + 2 x + 1 ⇒ ( t − 1) = 2 x + 1 ⇒ dx = ( t − 1) dt
2

4

4
 t2

t −1
1
⇒ I12 = ∫
( t − 1) dt = ∫  t − 2 +  dt =  − 2t + ln t  = 2 + ln 2
t
t
2
2
2
2
4

1

x3
13. I13 = ∫  xe 2 x −
4 − x2
0

1
1

1
1
x2
2x
dx
xd
e
d ( 4 − x2 )
=
+
(
)

∫
∫
2
2
2
4− x
0
0

4

1

4

1
e2 x 
1 4−t
1  e2 1  1 
2 32 
dt
8
t
t 
=  xe2 x −
−
=
+
−
−




2
2  0 2 ∫3 t
2 2 2 2
3 3

=

2
e 2 + 1 1  32
61
 e

−  −6 3 = +3 3 −
4
2 3
12
 4

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

∫ x x + 2dx

3x − 4
dx
4− x

3

2

a)

b)

∫
0

1

3

c)

∫

−4

3x − 4
dx
4− x

3

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

∫
0

x2 + 1
dx
x +1

7

∫

b)

0

3

x3
3

1+ x

2

dx

c)

∫x

3

1 + x 2 dx

0

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
7
3

a)

∫

0

x +1
dx
3
3x + 1

2

b)

∫
0

1

3

8 − 4xdx

c)

∫x

x 2 + 1dx

0

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
1

a)

1
dx
3 − 2x

∫
0

Facebook: LyHung95

5

b)

∫ x 2 x − 1dx

2

c)

1
2

∫x

4 − x 2 dx

0

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

23 3
∫ x x − 8dx

2

b)

0

4

x2

∫

3

0

1+ x

3

dx

c)

∫x

x 2 + 9dx

0

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
4

a)

1
dx
1+ x

∫
0

1

1
b) ∫
dx

+
x
1
0

3

c)

∫

( x − 1)

2

x +1

0

dx

Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2 3

∫

a)

2

dx
x x +4
2

5

∫

b)

2

dx
x x −1
2

1
2

∫ (2 x + 3)

c)

−

3

1
2

dx
4 x 2 + 12 x + 5

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2

a)

∫x
1

2

dx
x3 + 1

b)

∫

2

x 2 + 2013dx

6.

1

dx

∫

x 2 + 2013

1

Bài 9: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

2
2
∫ x 1 + x dx

1

b)

0

∫

x2 +1

3

(1 − x 2 ) 3 dx

c)

0

∫x
1

2

x2 +1

dx

Bài 10: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
2
2

a)

∫
0

1+ x
dx
1− x

1

b)

2

2

dx

∫

(1 + x )

2 3

0

c)

∫
0

dx
(1 − x 2 ) 3

Bài 11: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

a)

ln 3

dx

∫1+ x +

x2 +1

−1

b)

∫
0

e

dx
ex +1

c)

∫
1

1 + 3 ln x ln x
dx
x

Bài 12: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

∫

0

x5 + x3
1+ x

2

π
3

0

dx

b)

∫ x (e

2x

+ 3 x + 1)dx

c)

−1

∫
0

cos 2 x

+ 2 3 tan x
cos 2 x
dx
cos 2 x

Bài 13: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
π
ln 2

a)

∫
0

e x dx
(e x + 1) 3

ln 2

b)

∫
0

e 2 x dx
ex +1

2

c)

∫
0

sin 2 x + sin x
1 + 3 cos x

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!