phan loai theo phương pháp phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác
Dạng 3. Phương trình
Cách giải
Đặt

, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 theo . Giải
phương trình này ra nghiệm , từ đó đưa về dạng phương trình cơ bản (1) đã biết cách giải.
Ví dụ 8: Giải phương trình

(8)

Lời giải.

Đặt

Với

, suy ra

. Phương trình (8) trở thành:

ta có

Ví dụ 9: Giải phương trình
Lời giải.
Đặt

. Khi đó

1

Phương trình lượng giác
Phương trình trở thành

Với

Với
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) sin x + sin 2 x + cos 3 x = 0
3
2
2 ( s inx + cos x ) = tan x + cot x 3(cot x − cos x) − 5 ( tan x − s inx ) = 2

3
3
h) −1 + sin x + cos = sin 2 x

i)

3 ( 1 + tan x )
π x 
= 8cos  − ÷
2
cos x

 4 2
3
3
2sin x − s inx = 2 cos x − cos x + cos 2 x
1
1
1
1 
+
( s inx + cos x ) + 1 +  tan x + cot x +
÷= 0
2
2
sin x cos x 
cos3 x + sin 3 x = 2 sin x.cosx
tan 2 x ( 1 − sin 2 x ) + cos 3 x − 1 = 0

3
j) 3 tan x − tan x +

k)
l)

m)
n)
o) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x
p) 2sin x + cot x = 2sin 2 x + 1
2

Phương trình lượng giác
π

q) sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1
4




r) 1 + tan x = sin x + cos x
s) sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x
t) cot x − tan x = sin x + cos x
u) cos3 x + sin 3 x = cos 2 x
2
2
v) 2 cos 2 x + sin x.cos x + sin x.cos x = 2 ( sin x + cos x )
w) 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x
x) cos3 x + cos 2 x + 2sin x − 2 = 0
y) cos 2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x ) ( sin x − cos x )
1. Phương pháp phân tích thành tích
Đây là phương pháp cơ bản và thường được sử dụng nhất trong việc giải phương trình
lượng giác. Việc phân tích tùy thuộc vào bài toán, tuy nhiên chúng ta cần biết một số biến
đổi hay sử dụng như: các công thức biến tổng thành tích,

,
,…Chúng ta sẽ xét một vài ví dụ

sau đây.
Ví dụ 10. Giải phương trình lượng giác:

Lời giải.

3


Phương trình lượng giác
Ví dụ 11 Tìm nghiệm thuộc

của phương trình sau
(11)

Lời giải.

Từ đó ta có các nghiệm thuộc

Ví dụ 12. Giải phương trình:

của phương trình trên là:

(12) (A, 2003)

Lời giải.
Điều kiện
Ta có

TH1:
TH2:

(Vô nghiệm)

Bài tập
Bài 1. Giải các phương trình sau:
4


Phương trình lượng giác
a)
b)
c)
d)
e)
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)

(ĐHSP TPHCM 2000)

b)
c)
d)
I. Phương trình lượng giác trong các kì thi đại học gần đây
1. (A, 2005)
2. (B, 2005)
3. (D, 2005)
4. (Dự bị 2005)
5. (Dự bị 2005)
6. (A, 2006)
7. (B, 2006)
8. (D, 2006)
9. (Dự bị A, 2006)
5

Phương trình lượng giác
10. (Dự bị A, 2006)
11. (Dự bị B, 2006)
12. (Dự bị B, 2006)
13. (Dự bị D, 2006)
14. (Dự bị D, 2006)
15. (B, 2007)
16. (D, 2007)
17. (Dự bị A, 2007)
18. (Dự bị A, 2007)
19. (Dự bị B, 2007)
20. (Dự bị B, 2007)
21. (Dự bị D, 2007)
22. (Dự bị D, 2007)
23. (A, 2008)
24. (D, 2008)
25. (Dự bị A, 2008)
26. (Dự bị A, 2008)
27. (Dự bị B, 2008)

6


Phương trình lượng giác
28. (Dự bị B, 2008)
29. (Dự bị D, 2008)
30. (A, 2009)
31. (D, 2009)

Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

i)
j)
k)
Bài tập. Giải các phương trình lượng giác sau
a)
7


Phương trình lượng giác
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

e)
f)
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
b)

c)
d)

8


Phương trình lượng giác
e)

f)
g)

9