BÀI TẬP MẶT CẦU NGOẠI TIẾP THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

M T C U NGO I TI P KH I A DI N
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng gi ng M t c u ngo i ti p kh i đa di n thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho tam giác vuông cân ABC ( B  900 ), c nh góc vuông b ng a . M t đ

ng th ng   ( ABC )

t i A . Trên  l y đi m S sao cho SB t o v i ( ABC ) m t góc 600 . M t ph ng ( P ) đi qua A vuông góc
v i SC và c t SB, SC l n l

t t i H , K . Xác đ nh tâm và bán kính.

1) m t c u ( S1 ) đi qua 4 đi m S, A, H , K .

2) m t c u ( S2 ) đi qua 5 đi m A, B, C, K, H .

Gi i :
Do SA  ( ABC )   SB,( ABC )   SBA  600

S

Suy ra SA  AB.tan 600  a 3

CB  AB
1)Ta có 
 CB  ( SAB)  CB  AK
CB  SA

H
I1

M t khác, AK  SC nên suy ra AK  (SBC )  AK  SB
Nh v y K, H cùng nhìn SA d

i 1 góc vuông nên tâm c a m t c u ( S1 )

đi qua 4 đi m S, A, H , K là trung đi m I1 c a SA.

K
A

C

I2

SA a 3
.

2
2
2) Do AK  (SBC ) (ch ng minh trên), suy ra AK  KC

Khi đó ( S1 ) có bán kính R1 

Khi đó 3 đi m B, H , K cùng nhìn AC d

B

i m t góc vuông nên tâm c a m t c u ( S2 ) đi qua 5 đi m

A, B, C, K, H là trung đi m I 2 c a AC . Khi đó ( S2 ) có bán kính R2 

AC a 2
.

2
2

Bài 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình ch nh t AB  a , BC  a 3, SA  a 5 và SA vuông góc
S
v i m t đáy. Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
Gi i :

CB  AB
 CB  ( SAB)  CB  SB hay CBS  900
Ta có 

CB
SA

Ch ng minh t

ng t ta đ

I

c CDS  90

0

A

M t khác SA  ( ABCD)  SA  AC hay CAS  900
Nh v y CBS  CDS  CAS  900
Ngh a là 3 đi m B, D, A cùng nhìn CS d
Hocmai.vn – Ngôi tr

i 1 góc vuông

ng chung c a h c trò Vi t

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

D

C
- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Do đó m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD có tâm I là
trung đi m c a SC và có bán kính :

SC
SA2  AC 2
SA2  AB2  BC 2
5a 2  a 2  3a 2 3a
R




2
2
2
2
2
3a
V y R .
2
Bài 3. Cho hình vuông ABCD c nh b ng a . Trên đ

ng th ng  vuông góc v i m t ph ng ( ABCD) t i

A l y đi m S . M t ph ng đi qua A vuông góc v i SC c t SB, SC, SD l n l

t t i B1 , C1 , D1 .

1) Ch ng minh r ng 7 đi m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 cùng n m trên m t m t c u . Tính di n tích c a m t
c u và th tích c a kh i c u đó.
2) Xác đ nh v trí c a S trên  sao cho th tích c a kh i đa di n ABCDC1 l n nh t. Tính th tích khi
đó.
Gi i :
S

G i O là giao đi m c a AC và BD

CB  AB
 CB  ( SAB)  CB  AB1
1) Ta có 
CB  SA

C1

Mà AB1  SC , suy ra AB1  (SCB)  AB1  BC
1
Ch ng minh t

ng t ta c ng đ

c AD1  D1C

Khi đó ta có : ABC
 AC1C  AD1C  ADC  ABC  900
1

D1

B1
D

A

Suy ra 7 đi m A, B, C, D, B1 , C1 , D1 cùng n m trên m t c u
tâm O ( O là trung đi m c a AC ) và có bán kính

H

O

B
C
 Smc  4 R2  2 a 2
AC a 2


R

4 3  a3 2
2
2

V
R 
 kc

3
3

2) Trong m t ph ng ( SAC ) k C1H  AC ( H  AC ), khi đó C1H // SA, suy ra C1H  ( ABCD)

1
a2
V y VABCDC1  VC1 . ABCDC  C1H .SABCD  .C1H
3
3
Trong tam giác vuông HC1O có C1H  C1O , suy ra C1H l n nh t khi H  O hay C1H  C1O  R 
ng trung bình trong tam giác SAC , suy ra SA  2C1H  a 2 .

Lúc đó C1H là đ
Khi đó VABCDC1 

a 2
2

a2 a 2 a3 2
.
.

3 2
6

Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u AB  BC  CD  a , AD  2a . C nh
bên SA  2a 3 và SA vuông góc v i m t ph ng đáy. Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình
chóp.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Gi i :

Hình h c không gian

S

Cách 1 :
G i O là trung đi m c a AD , khi đó O là tâm c a
n a l c giác đ u ABCD . Suy ra ABD vuông t i B
 DB  AB
Khi đó 
 DB  ( SAB)  DB  SB hay SBD  900

DB
SA

Ch ng minh t

ng t ta đ

c SCD  900

Nh v y SBD  SCD  SAD  900
Ngh a là B, C , A cùng nhìn SD d i 1 góc vuông
Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD là
trung đi m I c a SD .
Khi đó m t c u có bán kính :

R

I

O

A

SD
SA2  AD 2
12a 2  4a 2


 2a
2
2
2

D

C

B

Cách 2 :
+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD , khi đó :
 IA  IB  IC  ID (1)
IA  IB  IC  ID  IS hay 
 IA  IS (2)
+) G i O là trung đi m c a AD , do ABCD là n a l c giác đ u
nên ta có OA  OB  OC  OD  a hay O là tâm đ ng tròn
ngo i ti p t giác ABCD .
D ng d đi qua O và vuông góc ( ABCD) , khi đó d là tr c

S
d

K

I

c a đ ng tròn ngo i ti p t giác ABCD
T (1) suy ra I  d (*)
+) Ta có d / / SA (cùng vuông góc v i đáy) nên SA, d thu c cùng
m t m t ph ng. Trong m t ph ng (SA, d ) d ng đ

ng trung tr c

A

 c a SA. Khi đó, t (2) suy ra I   (2*)

+) T (*) và (2*), suy ra d

D

O

  I 

B
Ta có KIOA là hình ch nh t ( K là trung điêm c a SA)
SA
Khi đó IO  KA 
 a 3 . Suy ra bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp :
2

C

R  IA  OA2  IO2  a 2  3a 2  2a
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông cân t i A và BC  a 2 . T B và C d ng các đo n BD, CE vuông
góc v i m t ph ng ( ABC )

v m t phía c a ( ABC ) sao cho BD  CE  a . Tính di n tích m t c u ngo i

.
ti p hình chóp ABCED
và th tích c a kh i c u đó.
Gi i :

D

E
I

G i I là giao đi m c a DC và BE .
CA  AB
 CA  ( ABD)  CA  AD hay CAD  900
Ta có 

CA
BD

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C

A

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Khi đó CED  CBD  CAD  900 , ngh a là 3 đi m E, B, A cùng
nhìn CD d

i 1 góc vuông, do đó m t c u ( S ) ngo i ti p hình chóp

DC
DB2  BC 2
a 2  2a 2 a 3



có tâm I là trung đi m c a DC và bán kính : R 
ABCED
.
2
2
2
2
4
 a3 3
3
Suy ra S( S )  4 R  3 a và V( S )   R 
3
2
Bài 6. Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng a , c nh bên t o v i đáy góc  .
Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
Gi i :
2

2

S

+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD
 IA  IB  IC  ID (1)
khi đó IA  IB  IC  ID  IS hay 
 IA  IS (2)

M

+) G i H là giao đi m c a AC và BD .
Do S. ABCD là hình chóp đ u nên SH  ( ABCD)

I

Suy ra  SA,( ABCD)   SAH  

B

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD
T (1) , suy ra I  SH (*)

a

H
C

+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung tr c

c a SA. T (2), suy ra I   (2*)
T (*) và (2*), suy ra SH

A

D

  I 

+) Xét tam giác SHA ta có : SH  HC tan  

HA
a 2
a 2
tan  và SA 

2
cos  2cos 

G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :
2

.
2
SI SM
SM .SA SASA
SA2 1  a 2 
a

 SI 



 

 .
2SH
2SH 2  2cos   a 2 tan 
SA SH
SH
2 sin 2
a
V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là R  SI 
.
2 sin 2
Bài 7. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là t giác có AB  a , BC  a 3, CD  a 2, DA  a 2 ,
AC  2a C nh bên SA vuông góc v i đáy và SA  2a 3 . Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p
hình chóp.
S
Gi i :
+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD
d
 IA  IB  IC  ID (1)
K
khi đó IA  IB  IC  ID  IS hay 

IA
IS
(2)

 AB2  BC 2  a 2  3a 2  4a 2  AC 2


+) Ta có  2
 ABC  ADC  900
2
2
2
2
2

 AD  DC  2a  2a  4a  AC

I
A

B
Khi đó trung đi m O c a AC là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p
t giác ABCD . Qua O d ng đ ng th ng d vuông góc v i ( ABCD)

D

O
C

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Suy ra d là tr c c a t giác ABCD và d / / SA
T (1), suy ra I  d (*)
+) Trong m t ph ng ( SAO) ch a SA và d , ta d ng đ

Hình h c không gian

ng th ng trung tr c  c a SA.

  I 

T (2), suy ra I   (2*) . T (*) và (2*), suy ra d

+) Ta có KIOA là hình ch nh t ( K là trung điêm c a SA). Khi đó IO  KA 

SA
 a 3 . Suy ra bán
2

kính m t c u ngo i ti p hình chóp : R  IA  OA2  IO2  a 2  3a 2  2a
Chú ý :

bài toán này ta có th ch ra B, D, A cùng nhìn SC d

i m t góc vuông, suy ra tâm I là trung

SC
 2a .
2
Bài 8. Cho hình l ng tr đ ng ABC. A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông t i A và AC  a ,

đi m c a SC và bán kính R 
ACB  600 .

ng chéo BC ' c a m t bên ( BB ' C ' C ) t o v i m t ph ng ( AA' C ' C ) góc 300 .
1) Tính th tích kh i l ng tr .
2) Xác đ nh tâm và bán kính m t c u ( S ) ngo i ti p hình l ng tr .
Gi i :

A'

C'

 BA  AC
Ta có 
 BA  ( AA' C ' C )   BC ', ( AA' C ' C )   AC ' B  300

BA
AA
'

Ta có AB  AC tan 600  a 3  SABC 

O2
300

1
1
a2 3
AB. AC  .a 3.a 
2
2
2

B'
I

Xét tam giác ABC ' vuông t i A ta có :
AC '  AB.cot 300  a 3. 3  3a

a

A

600

Khi đó CC '  AC '2  AC 2  9a 2  a 2  2a 2

O1

a2 3
1) Suy ra VABC . A' B'C '  CC '.SABC  2a 2.
 a3 6
2
2) G i O1 , O2 l n l t là trung đi m c a BC, B ' C '

Do ABC và A' B ' C ' là các tam vuông l n l

t t i A và B nên O1 , O2 l n l

B

t là tâm đ

ng tròn ngo i

ti p các tam giác ABC và A' B ' C ' . Khi đó O1O2 là tr c c a hai đáy
Suy ra tâm I c a m t c u ngo i ti p l ng tr là trung đi m c a O1O2 . Th t v y :

 IA  IB  IC
Do I  O1O2  
(*)
 IA'  IB '  IC '
M t khác : I là trung đi m c a O1O2 nên IC  IC ' (2*)
T (*) và (2*), suy ra I là tâm c a m t c u ngo i ti p l ng tr ABC. A' B ' C ' .
Khi đó bán kính R  IB 

BB '
CC '2  BC 2
CC '2  AB2  AC 2
8a 2  3a 2  a 2



a 3.
2

2
2
2

Bài 9. Cho t di n ABCD có hai m t ( ABC ) và ( DBC ) vuông góc v i nhau. Bi t BC  a , BAC  600 và
BDC  300 . Tính bán kính và th tích c a kh i c u ngo i ti p t di n ABCD .
Gi i :
*) D ng tâm
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

C


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

G i O1 , O2 l n l

t là tâm các đ

Hình h c không gian

ng tròn

A

ngo i ti p các tam giác BCD và ABC .
G i E là trung đi m c a BC .
Ta có O1E  BC  O1E  ( ABC ) (do ( DBC )  ( ABC) )
T

d2
O2

ng t ta có O2 E  ( BCD)

Qua O1 d ng đ

d1

ng th ng d1 vuông góc v i ( BCD)

I

B

D

thì d1 là tr c c a tam giác BCD và d1 // O2 E
Qua O2 d ng đ

O1
E

ng th ng d 2 vuông góc v i ( ABC )

thì d 2 là tr c c a tam giác ABC và d 2 // O1 E

C
Khi đó giao đi m I c a d1 và d 2 chính là tâm c a m t c u ngo i ti p t đi n ABCD . Th t v y :

 I  d1  IB  IC  ID
 IA  IB  IC  ID , suy ra I là tâm c a m t c u c n xác đ nh.

 I  d 2  IA  IB  IC
*) Tính bán kính R c a m t c u
Ta có EO1IO2 là hình ch nh t, suy ra IE 2  O1E 2  O2 E 2
G i R1 , R2 l n l

t là bán kính c a các đ

ng tròn ngo i ti p tam giác BCD và ABC , khi đó:

2

 BC 
2
2
2
2
O1 E  O1C  EC  R1  

2
2

BC
BC

 2 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 IE  R1  R2 
 R  IC  IE  EC  R1  R2 

2
2
4
 BC 

2
2
2
2
O
E
O
C
EC

R




2
2
2



 2 

Áp d ng đ nh lý sin trong các tam giác BCD và ABC ta có :
BC
a

2 R1  sin BDC  sin 300  2a  R1  a
a 2 a 2 13a 2
a 39
2
2



 
 R
R
a


3 4
12
6
2 R  BC  a  2a  R  a
2
 2 sin BAC sin 600
3
3

3

4 3 4  a 39  13 a 3 39
Khi đó th tích c a kh i c u là : V   R   
 
3
3  6 
54
Bài 10. Cho hình chóp đ u S. ABC có đ
ngo i ti p hình chóp đã cho.

ng cao SH  h , SAB  450 . Xác đ nh tâm và bán kính m t c u

Gi i :
+) G i I là tâm c a m t c u ngo i ti p hình chóp S. ABCD
 IA  IB  IC  ID (1)
khi đó IA  IB  IC  ID  IS hay 
 IA  IS (2)

S

M

+) G i H là giao đi m c a AC và BD .
Do S. ABCD là hình chóp đ u nên SH  ( ABCD)

I

Ta có SH là tr c c a hình vuông ABCD
T (1) , suy ra I  SH (*)
+) Trong m t ph ng SAH d ng đ ng th ng  là trung tr c
c a SA. T (2), suy ra I   (2*)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

450

B

A

H
C

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

D

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

T (*) và (2*), suy ra SH

Hình h c không gian

  I 

+) G i M là trung đi m c a SA, khi đó SMI và SHA là hai tam giác đ ng d ng nên :

SI SM
SM .SA SASA
.
SA2

 SI 


2SH
2SH
SA SH
SH
Tam giác SAB cân t i S và có SAB  450 , suy ra SAB vuông cân t i S .
t SA  x , khi đó : AB  x 2 và HA

AB 3 x 6

3

3

Trong tam giác vuông SHA có : SA2  HA2  SH 2  x2 
V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp là R 

6 x2
3h2 3h
 h 2  x2  3h 2  R 

9
2h
2

3h
.
2

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-