BÀI TẬP TÌM ĐIỂM LOẠI HAI THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

TÌM ĐIỂM LOẠI 2
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Tìm điểm loại 2 thuộc khóa học Luyện thi THPT quốc gia
Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần này, bạn cần
kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

nT
hi
Da
iH
oc
01

Bài 1 (A – 2011). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y  2  0 và đường tròn
(C ) : x2  y 2  4 x  2 y  0 . Gọi I là tâm của (C ) , M là điểm thuộc  . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và
MB đến (C ) ( A , B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .

ie

 I (2;1)
+) Ta có (C ) : x2  y 2  4 x  2 y  0  
 R  IB  5
+) Vì MA và MB là các tiếp tuyến ( A và B là các tiếp điểm)

uO

Giải :

iL

 SMAIB  2SMBI  IB.MB  5.MB  10

s/

Ta

 MB  2 5  MI  MB2  IB 2  5
+) Gọi M (t; t  2) 

/g

ro

up

t  2
 M (2; 4)
+) Khi đó MI  5  MI 2  25  (t  2)2  (t  3) 2  25  t 2  t  6  0  

t  3  M (3;1)
Bài 2. Cho đường tròn (C ) : x2  y 2  2 x  4 y  20  0 và điểm A(4; 2) . Gọi d là tiếp tuyến tại A của

om

(C ) . Viết phương trình đường thẳng  đi qua tâm I của (C ) và  cắt d tại M sao cho tam giác AIM

bo

ok

.c

có diện tích bằng 25 và M có hoành độ dương.
Giải :
+) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  5 .

ce

Vì d là tiếp tuyến tại A của (C ) nên nd  IA  (3; 4)

ww

w.

fa

 x  4  4t
 ud  (4; 3) , suy ra phương trình d : 
 y  2  3t
1
+) Ta có: S AIM  25  MA.IA  25  MA  10 ( IA  R  5)
2
+) Gọi M (4  4t;2  3t )  d , khi đó:

MA  10  16t 2  9t 2  10  5 t  10  t  2  M (10; 4) hoặc M (4;8) (loại)

 x  1  9t
+) Khi đó IM  (9; 2) , suy ra phương trình  : 
 y  2  2t
1 
Bài 3 (B – 2002). Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng AB là
2 
x  2 y  2  0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ các điểm A, B, C, D biết rằng A có hoành độ âm.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

Giải :

Suy ra AH 

1 2
2

2



5
2

nT
hi
Da
iH
oc
01

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB , khi đó IH  d ( I , AB) 

1
2
2

5
5
AB
5 
 AD  2 IH  5  IB  IA  IH 2  AH 2 
4
2
2

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tròn tâm I , bán kính R 

x  2

y  2

và BD nên suy ra

iL

ie

uO

x  2 y  2  0
 x  2

2
Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ : 
hoặc
1
25  
2
y

0
x


y






2
4

Suy ra A(2;0), B(2, 2) ( Vì xA  0 ). Mặt khác I là trung điểm của AC

5
.
2

Ta

C (3;0), D(1; 2)

s/

Vậy A(2;0), B(2,2), C(3;0), D( 1; 2) .

ro

up

Nhận xét : Khi bài toán yêu cầu tìm từ hai điểm trở lên, mà các điểm có vai trò như nhau (trong bài trên
A, B có vài trò như nhau ) thì các bạn nên trình bày theo C2 để từ điểm này ta suy ra được điểm kia.

/g

Bài 4. (B – 2009 – NC). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(–1;4) và các

ww

w.

fa

ce

bo

ok

.c

om

đỉnh B,C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 . Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác
ABC bằng 18.
Giải :

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  , khi đó H là trung điểm của BC và :
1  4  4
2S
9
2.18
AH  d ( A, ) 

 BC  ABC 
 4 2  BH  CH  2 2
9
AH
2

12  12
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

81
97
8 
2
2

 AB  AH 2  BH 2 

97
97
, suy ra B, C thuộc đường tròn tâm A(1; 4) và bán kính R 
2
2
97
có phương trình : ( x  1)2  ( y  4)2 

2
x  y  4  0
y  x  4


+) Khi đó tọa độ B, C là nghiệm của hệ : 
 2
97
2
2
4 x  28 x  33  0
( x  1)  ( y  4)  2
3
11


 x  2
 x  2
hoặc 
.

y  3
y   5


2
2

nT
hi

Da
iH
oc
01

+) Vậy AB  AC 

uO

 3 5   11 3 
 11 3   3 5 
+) Vậy B  ;   , C  ;  hoặc B  ;  , C  ;   .
2 2  2 2
 2 2 2 2

ie

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm trên đường thẳng có phương

iL

trình x  y  3  0 , điểm M (1; 2) thuộc đường thẳng AB , điểm N (2; 2) thuộc đường thẳng AD . Tìm

s/

Ta

tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương.

/g

ro

up

Giải:
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên BD
1  2  3
 MH  d ( M , BD) 
 2 . Do MHB là
12  12

.c

om

tam giác vuông cân tại H  BM  2MH  2
+) Gọi B(t;3  t ) với t  0 , khi đó :

ok

BM 2  4  (t  1)2  (t  1)2  4  t 2  1  t  1

ce

bo

hoặc t  1 (loại)  B(1; 2)

fa

+) AB đi qua B và M nên có phương trình y  2

w.

AD đi qua N và vuông góc với AB nên có phương trình x  2 , Suy ra A(2; 2)

ww

x  2
x  2

 D(2;1)
+) Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ: 
x  y  3  0
y 1
3 3
Gọi I là trung điểm của BD  I  ;   C (1;1) (do I là trung điểm của AC )
2 2
(Có thể tìm C qua hệ thức DC  AB )
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AD : 2 x  y  1  0 , điểm
I (3; 2) thuộc đoạn BD sao cho IB  2ID . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết D có hoành độ

dương và AD  2 AB .
Giải :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

nT
hi
Da
iH
oc
01

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AD , khi đó:
2.(3)  2  1
IH  d ( I , AD) 
 5
22  12
Vì IH // BA nên theo Ta – let ta có:
HD AD

 2  HD  2 HI  2 5
HI
AB
+) Xét tam giác IHD : DI 2  IH 2  HD2  5  20  25 (*). Gọi D(t;1  2t ) với t  0 , khi đó:
(*)  (t  3)2  (2t  1)2  25  t 2  2t  3  0  t  1 hoặc t  3 (loại)  D(1; 1)
+) Gọi B(a; b)  IB  (a  3; b  2) . Ta có IB  2DI (với DI  (4;3) )

uO

a  3  8 a  11


 B(11;8)
b  2  6
b  8

iL

ie

AB đi qua B(11;8) nhận u AD  (1; 2) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình: x  2 y  27  0

ro

up

s/

Ta

 x  2 y  27  0
 x  5

 A(5;11)
+) Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 
2 x  y  1  0
 y  11
7


+) Gọi J là trung điểm của BD  J  5;   C (5; 4) (vì J cũng là trung điểm của AC )
2


om

/g

Vậy A(5;11), B( 11;8), C( 5; 4), D(1; 1) .

.c

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A là

bo

ok

1 
3x  y  5  0 , trực tâm H (2; 1) và M  ; 4  là trung điểm của cạnh AB . Tìm tọa độ các đỉnh của tam
2 

ww

w.

fa

ce

giác ABC , biết BC  10 và B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ của C .
Giải :

+) Gọi N là trung điểm của AC , khi đó MN là đường trung bình
của ABC  MN 

BC
10
1 
. Mặt khác MN đi qua M  ; 4 

2
2
2 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

và vuông góc với AH nên có phương trình: 2 x  6 y  25  0
5

5
 1   1  2t 
 25  2t 
2
Gọi N  t;
 
  MN , khi đó: MN    t    
2
2
6 
 2  6 

t  1
9

 7
 t2  t  2  0  
 N  1;  hoặc N  2; 
2

 2
t  2
Gọi A(a;3a  5)  AH  B(1  a;3  3a) (do M là trung điểm của AB )
2

2

 7
+) Với N  2;   C (4  a; 2  3a) (do N là trung điểm của AC )
 2

nT
hi
Da
iH
oc
01

9

+) Với N  1;   C (2  a; 4  3a) (do N là trung điểm của AC )
2

Nhận thấy 2  a  1  a  xC  xB (không thỏa mãn)

a  0
 AB  (1  2a; 2  6a)

2
Khi đó 
nên ta có: AB  CH  AB.CH  0  4a  5a  0  
a  5

CH  (a  6;3a  3)

4

uO

5

 5 35   1 3   11 7 
 A ;  , B  ;  , C  ;  
4
4 4   4 4   4 4

ie

Khi a  0  A(0;5), B(1;3), C (4;2) . Khi a 

Ta

iL

 5 35   1 3   11 7 
Vậy A(0;5), B(1;3), C(4;2) hoặc A  ;  , B  ;  , C  ;  
4 4   4 4   4 4

s/

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Biết tọa độ

up

B(3;3), C (5; 3) . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng  : 2 x  y  3  0 . Xác định tọa

fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

độ còn lại của hình thang ABCD để CI  2BI , tam giác ABC có diện tích bằng 12, điểm I có hoành
độ dương và điểm A có hoành độ âm.
Giải :

ww

w.

+) Gọi I (t;3  2t )  (với t  0 ), khi đó:
CI  2BI  (t  5)2  (2t  6)2  4 (t  3)2  4t 2 
5
 3t 2  2t  5  0  t  1 hoặc t   (loại)  I (1;1)
3
+) Khi đó ta có phương trình AC đi qua I , C có phương

trình: x  y  2  0
Phương trình BD đi qua I , B có phương trình: x  y  0
+) Ta có d ( B, AC ) 

33 2
2

 2 2 . Khi đó: AC 

2S ABC
2.12

6 2
d ( B, AC ) 2 2

Gọi A(a; 2  a)  AC (với a  0 ), khi đó: AC 2  72  2(a  5)2  72  a  1 hoặc a  11 (loại)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Hình học Oxy

 A(1;3) +) Phương trình đường thẳng CD đi qua C và song song với AB có phương trình:

y 3 0

x  y  0
 x  y  3  D(3; 3)

Khi đó tọa độ điểm D là nghiệmc của hệ: 
y 3  0
Vậy A(1;3), D( 3; 3) .

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

ww

w.

fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO

nT
hi
Da
iH
oc
01

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN







Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.






nT
hi
Da
iH
oc
01

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN

Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

up

s/

Ta

iL

ie

uO

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa

trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

ww

w.

fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

-