PHƯƠNG TRÌNH PHỨC THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

D NG

IS

C AS

L

ng giác – S ph c

PH C

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ ANH TU N
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng D ng đ i s c a s ph c (ph n 02) thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n
th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1: Tính c n b c hai c a các s ph c sau:
a) –1 + 2i 2

b) 16 – 30i

c) 8 + 6i
Gi i

d) 1 – i

a. G i w  x  yi  x, y  R là m t c n b c hai c a s ph c z  1  2i 2 . Khi đó


2
y
1


x
y
1



2


x

 x  yi   1  2i 2  
2 xy  2 2
 x2  2  1  2 

x2
y  2
x  1

 2   x4  x2  2  0  x2  1  
 x  1  y   2

2

2

V y s ph c z  1  2 2i có hai c n b c hai là w1  1  2i và w 2  1  2i .
b) G i w  x  yi  x, y  R là m t c n b c hai c a s ph c z  16  30i . Khi đó

15

y

1
 x  y  16
2

x

 x  yi   16  30i  
2 xy  30
 x2  225  16  2 

x2
x  5
 y  3

 2   x4  16 x2  225  0  x2  25  
 x  5
y  3
2

2

V y s ph c z  16  30i có hai c n b c hai là w1  5  3i và w 2  5  3i .

c) G i w  x  yi  x, y  R là m t c n b c hai c a s ph c z  8  6i . Khi đó

3

y

1

x  y  8
2
x

 x  yi   8  6i  
2 xy  6
 x2  9  8  2 

x2
x  3
y 1

 2   x4  8 x2  9  0  x2  9  
 x  3
 y  1
2

2

V y s ph c z  16  30i có hai c n b c hai là w1  3  i và w 2  3  i .
d) T

ng t ta tìm đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

c 2 c n b c hai c a s ph c z  1  i l à  (

ng chung c a h c trò Vi t

1 2
1  2
–i
)
2
2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

L

ng giác – S ph c

Bài 2. Tìm c n b c 2 c a các s ph c sau:
a. 1  2 6i

`

b. 5  12i

c. 8  6i

Gi i:
a. Gi s s ph c đó có c n b c 2 là : w  a  bi; a , b  R
Ta có:

w 2  1  2 6i
 2 6
a 4  a 2  6  0
a  a 2  1  0
 a 2  b 2  1

a   2





 6
2abi  2 6i
 b  3
 b  6

 b
a


a
V y w 
Các tr



2  3i



ng h p khác t

b.   2  3i 

ng t :

c.  1  3i 

Bài 3: Gi i các ph ng trình:
a) 2x2 + 3x + 5 = 0
b) x2 – (2 + i)x + (–1 + 7i) = 0
c) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = 0
d) x4 – 3x2 + 4 = 0
Gi i
a)

Ta c ó   9  40  31  31i 2

Do đó ph
b)

ng trình đã cho có hai nghi m là: x1 

3  31i
3  31i
; x2 
4
4

Ta c ó    2  i   4  1  7i   7  24i
2

G i w  a  bi  a , b  R là m t c n b c hai c a s ph c 7  24i . Khi đó

12

b

1

a  b  7
2
a

 a  bi   7  24i  
ab

2
24



a 2  144  7  2 

a2
a  4
b  3

 2   a 4  7a 2  144  0  a 2  16  
 a  4
b  3
2

2

Suy ra, 4  3i là m t c n b c hai c a s ph c 7  24i .
Do đó ph
c)

ng trình đã cho có hai nghi m là: x1 

2  i   4  3i 
2  i   4  3i 
 3  i; x2 
 1  2i
2
2

Ta có    3  2i   4  5  5i   15  8i
2

Làm t ng t ta tìm đ c m t c n b c hai c a s ph c 15  8i là s ph c 1  4i .
Do đó ph ng trình đã cho có hai nghi m là:

x1 
d)

t z  x2 , ph

3  2i  1  4i 
3  2i  1  4i 
 1  3i; x2 
 2  i
2
2

ng trình tr thành z2  3z  4  0

Ta có   9  16  7  7i 2 . Do đó z1 
Hocmai.vn – Ngôi tr

3  7i
3  7i
; z2 
2
2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Gi s

x  a  bi,  a , b  R . Khi đó, v i z1 

 a  bi 

2

ng giác – S ph c

3  7i
ta có
2

 2 2 3


7
7
a b 

a
a 



3  7i
2



2 hoac
2




2
2ab  7
b  1
b   1



2
2
2


Do đó x1 

7 1
7 1
 i, x2  
 i
2 2
2 2

V i z2 

3  7i
ta có
2

 a  bi 

 2 2 3


7
7
a b 
a


a  
3  7i
2


2 hoac

2




2
2ab   7
b   1
b  1



2
2
2


2

L

Do đó x3 

7 1
7 1
 i, x4  
 i
2 2
2 2

7 1
7 1
7 1
7 1
 i, x2  
 i; x3 
 i, x4  
 i
2 2
2 2
2 2
2 2
Bài 4: Cho ,  là hai nghi m c a ph ng trình:
x2 + (2 – i)x + 3 + 5i = 0 không gi i ph ng trình, hãy tính:

V y ph

ng trình đã cho có 4 nghi m x1 

a) 2 + 2

b) 4 + 4

c)

 

 

d) 4 + 4

Gi i

b

     a  2  i
ng trình. Theo đ nh lí Vi – et, ta có 
  c  3  5i

a

Vì ,  là hai nghi m c a ph

a) Ta có  2   2       2
2

  2   2   2  i   2  3  5i   3  14i
2

b) Ta có  4   4   2   2   2     3  14i   2.  3  5i   55  24i
2

c) Ta có

2

2

2

   2   2 3  14i

79 27
 

  i
 

3  5i
34 34

d) Ta có

 4    4    3   3         2     2    3  5i  2  i   3  14i   3  5i    63  99i

Bài 5: Gi i các ph
a) z3 – 1 = 0

ng trình:
b) z4 + 1 = 0

c) 2 z3  5z2  3z  3   2 z  1 i  0 bi t ph
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình có nghi m th c
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

d) z4  z3 

L

ng giác – S ph c

z2
 z 1  0
2
Gi i

z  1
a) Ta có z3  1  0   z  1  z2  z  1  0   2
z  z 1  0
Gi i ph

ng trình z2  z  1  0


1  3i
z 
2
  1  4  3  3i 2  

1  3i
z 


2

V y ph

ng trình đã cho có ba nghi m phân bi t: z1  1; z2 

1  3i
1  3i
; z3 
2
2

 z2  i
b) Ta có z  1  0  z  i  0  z  i  z  i   0   2
 z  i
4

4

2

2

2

Gi s

z  a  bi,  a , b  R . Khi đó, v i z2  i ta có

 a  bi 

1
1


a

a



a  b  0
2 hoac 
2
i


2ab  1
b  1
b   1

2
2

2

2

Do đó z1 
V y ph

c)

2

2
2
2
2

i, z 2  

i.T
2
2
2
2

ng trình đã cho có 4 nghi m z1 

Vì ph
 z

ng t , v i z2  i ta có z3 

2
2
2
2

i, z 4  


i
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

i, z 2  

i; z3 

i, z 4  

i
2
2
2
2
2
2
2

2

2 z3  5 z2  3z  3  0
ng trình có nghi m th c nên 
2 z  1  0
1
th a mãn c hai ph
2

ng trình c a h .

1

z

Do đó, ph ng trình đã cho t ng đ ng v i  2 z  1  z  3z  3  i   0 
2
 2
 z  3z  3  i  0
1
Gi i ph ng trình ta tìm đ c 3 nghi m c a ph ng trình đã cho là: z1   , z 2  2  i; z3  1  i
2
2

1 1 1
z2

d) Ta có z  z   z  1  0  z2  z2  z    2   0
2
2 z z 


4

3

z  0
2

1 
1  5

2
 z  z     z      0   
1 
1 5
z
z
2

 z 
z










z 
z 2
2

1
t w  z  , ph
z
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng trình th hai tr thành w2  w 

ng chung c a h c trò Vi t

5
0.
2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Gi i ph

ng trình b c hai n w ta đ

c hai nghi m là: w1 

L

ng giác – S ph c

1  3i
1  3i
; w2 
2
2

1  3i
1 1  3i
 z 
 2 z2  1  3i  z  2  0  z1  1  i; z2  1  i
z
2
2
1  3i
1 1  3i
1  i
1  i
V i w1 
; z4 
 z 
 2 z2  1  3i  z  2  0  z3 
2
2
2
2

z
1  i
1  i
V y ph ng trình đã cho có 4 nghi m z1  1  i; z2  1  i; z3 
, z4 
2
2

V i w1 

Bài 6: Bi u di n các s ph c sau trên m t ph ng ph c:
2i 2i
a)  5 + 2i
b) 3  i
c)

2i 2i
H ng d n

c bi u di n b i đi m M  5; 2  trên m t ph ng t a đ Oxy.

a) S ph c z  5  2i đ
b) S ph c z  3  i đ

d) i

c bi u di n b i đi m N  3;1 trên m t ph ng t a đ Oxy.

 2  i    2  i   3  4i  3  4i  6
2i 2i

c)


2  i 2  i  2  i  2  i   2  i  2  i 
5
5
5
2

V y s ph c

2

2i 2i
đ

2i 2i

6 
c bi u di n b i đi m  ;0  trên m t ph ng t a đ Oxy.
5 

d) S ph c z  i đ

c bi u di n b i đi m  0;1 trên m t ph ng t a đ Oxy.

Bài 7: Gi i các ph

ng trình:

a) 2iz  3  5z  4i

c) z2  z

b) 3z  2  i   1  2iz 1  i   3i

d) z2  z  0
Gi i

a) 2iz  3  5 z  4i   2i  5 z  3  4i  z 

 3  4i  5  2i   23  14 i
3  4i
 z
5  2i
 5  2i  5  2i  29 29

b)
3z  2  i   1  2iz 1  i   3i  3z  2  i   1  2 z  1  i   3i  z 8  5i   1  3i
 z

1  3i  1  3i  8  5i  23  19i 23 19



 i
8  5i
89
89 89
8  5i 8  5i 

c) Gi s ph

ng trình có nghi m z  a  bi . Thay vào ph

 a  bi 
Gi i h ph

ng trình trên đ

2

ng trình ta có

a 2  b 2  a
 a  bi  a 2  b 2  2abi  a  bi  
2ab  b

 1 3  1
3
c  a ; b    0;0  , 1;0  ,   ;
 ,   ; 

2 
 2 2   2

1
3
1
3

ng trình có 4 nghi m là: z  0; z  1; z   
i; z   
i
2 2
2 2
d) Gi s ph ng trình có nghi m z  a  bi . Thay vào ph ng trình ta có

V y ph

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 a  bi 
Gi i h ph
V y ph

2

L

ng giác – S ph c


a 2  b 2  a 2  b 2  0
 a 2  b 2  0  a 2  b 2  2abi  a 2  b 2  0  

2ab  0

ng trình trên đ

c  a ; b    0;0  ,  0;1 , 0; 1

ng trình có 3 nghi m là: z  0; z  i; z  i

Bài 8: Tìm x và y đ :

a) (x + 2i)2 = yi
H

b) (x – 2i)2 = 3x + yi
ng d n

2

a) (x + 2i) = yi.

 x2  4  0
 x  2i   yi  x  4  4 xi  yi  
4 x  y
b) (x – 2i)2 = 3x + yi
2

2

 x2  4  3x
 3x  yi  x2  4  4 xi  3x  yi  
4 x  y
Bài 9: Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i các đi u ki n sau:

 x  2i 

2

z  1  2i  z  2  i và z  i  5
Gi i
Gi s

z  a  bi,  a , b  R . Theo gi thi t

 a  12   b  2 2   a  2 2  1  y 2
 a  1   b  2  i  a  2  1  b  i


2
2



a
b
i

2
5



a   b  1  5
2

a   5
b  3a
a  1
 2

hoac 

b
3



a
a
10
6
4
0


b   6


5
2 6
V y có hai s ph c th a mãn là z  1  3i; z    i
5 5
im
; m R
Bài 10. Xét s ph c z th a mãn z 
1  m  m  2i 
1
b)Tìm m đ
2
c) Tìm s ph c z có modun l n nh t

a) Tìm m đ zz 

zi 

1
4

Gi i
a) Ta có

m 1  m2   i 1  m2 
 i  m 1  m2  2mi 
im
z


2

1  m2  2mi 1  m2  2mi 1  m2  2mi 
1  m2 

1
1
m
m
i z
i


2
2
2
1 m 1 m
1  m 1  m2
1
1
m2  1
 zz  
  m2  1  2  m  1
2
2
2
 m  1 2


b) Ta có
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

zi 


L

ng giác – S ph c

m
m
m2
1
1
1
 1

i
i
1









2
2
2
2
4
1 m  1 m
4
1 m 1 m
4


m2

m4



1  m  1  m 
2 2

2 2



m2  1

c) Ta có z 

m

2

 1

2

1
1
1
 16m2  1  m2  
 m
16
15
15



1
m2  1

1

 z max  1  m  0

V y s ph c có modun l n nh t là z  i
Bài 11: Gi i ph ng trình sau trong t p s ph c:
a. z4 – z3  6 z2 – 8z –16  0 .
b. z2  2(2  i) z  7  4i  0 trên t p s ph c.
Gi i:

 z  1
z  2
4
3
2
2
a. z – z  6 z – 8z –16  0  ( z  1)( z  2)( z  8)  0  
 z  2 2i

 z  2 2i
b. z  2  i; z  2  3i .
Bài 12: Tìm các s th c a, b, c đ có: z3  2(1  i) z2  4(1  i) z  8i  ( z  ai)( z2  bz  c) .
T đó gi i ph

ng trình: z3  2(1  i) z2  4(1  i) z  8i  0 trên t p s ph c.

Tìm môđun c a các nghi m đó.
Gi i:
Cân b ng h s ta đ
Ph

c a = 2, b = –2, c = 4

ng trình  ( z  2i)( z2  2 z  4)  0  z  2i; z  1  3i; z  1  3i  z  2 .

Bài 13: Gi i ph

ng trình: z2  2.

(1  i)2009
z  2i  0 trên t p s ph c.
(1  i)2008

Gi i:

(1  i)2009  1  i 
2008
Ta có:

 .(1  i)  i (1  i)  1  i
(1  i)2008  1  i 
PT  z2  2(1 + i)z +2i = 0  z2  2(1 + i)z + (i + 1)2 = 0
 (z  i  1)2 = 0  z = i + 1.
Bài 14: Ký hi u x1 và x2 là hai nghi m ph c c a ph ng trình 2x2 – 2x + 1 = 0. Tính giá tr các s ph c:
1
1
và 2 .
2
x1
x2
2008

Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

L

ng giác – S ph c

1
1
1
1
PT có hai nghi m x1  (1  i), x2  (1  i)  2  2i; 2  2i
2
2
x1
x2

Bài 15: Tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn m t trong các đi u ki n sau:

a. z  1  i  2

b. 2  z  z  2

d. z  z  3  4

e. z2  z



2

4

c.1  z  1  i  2
f.

z
3
zi

g.

zi
là s th c.
zi

Gi i:
Chú ý:
gi i d ng tìm t p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n ta làm nh sau:
- B c 1: G i s ph c z = x + yi (x, y  R)
- B c 2: Thay vào đi u ki n đ bài.

M t s công th c hay dùng:

z  a  bi  z  a  bi; z  a 2  b2
a. T p h p nh ng đi m M chính là đ ng tròn tâm A(1; -1) bán kính R = 2.
b. M n m bên ph i tr tung (x = 0).
c. M thu c mi n có hình vành kh n t o b i 2 đ ng tròn tâm A(-1; 1) bán kính l n l
1
7
d. M có th n m trên đ ng th ng x   x  
2
2
 M  xy  1
e. 
 M  xy  1

t là 1 và 2.

3
 9
ng tròn tâm I  0;  bán kính R  .
8
 8
g. Qu tích các đi m bi u di n s ph c z chính là t t c nh ng đi m n m trên 2 tr c t a đ b đi đi m
có t a đ (0; 1).

f. T p h p đi m M bi u di n s ph c z th a mãn đi u ki n là đ

Bài 16. Gi i ph

ng trình  z  i   z2  1 z3  i   0 (1)

Gi i:

 zi  0
 zi
 2
(1)   z  1  0   z  i
 z3  i  0
 z3  i (*)
Gi i ph ng trình (*):
Gi s s ph c c n tìm là : z  a  bi; a , b  R

 (a  bi )3  i
  a 0
 a 3  3ab 2  0

 2
   a 2  3b 2
3
3a b  b  1  2
3
3a b  b  1
* a  0, b  1
 zi

* a 2  3b2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 8b3  1  b 

V y ph

ng giác – S ph c

1
3
a 
2
2

ng trình đã cho có nghi m z  i; z  i; z 

Bài 17. Gi i ph

L

3 i
3i
;z  

2
2

ng trình:

a) z3  3z2  3z  63  0 (1)

b) z2  z

c) z2   2i  1 z  1  i  0

Gi i:
a) (1)  ( z  3)( z  6 z  21)  0
2

z3

 2
 z  6 z  21  0(*)
Gi i ph ng trình (*)
 '  9  21  12  12i 2

 z  3  2 3i
z3

V y: 

 z  3  2 3i
 z  3  2 3i
b) Gi s ph ng trình có nghi m z  a  bi . Thay vào ph

 a  bi 

2

a 2  b 2  a
 a  bi  a  b  2abi  a  bi  
2ab  b
2

Gi i h ph

V y ph

ng trình ta có

2

ng trình trên đ

 1 3  1
3
c  a ; b    0;0  , 1;0  ,   ;
 ,   ; 

2 
 2 2   2

1
3

1
3
ng trình có 4 nghi m là: z  0; z  1; z   
i; z   
i
2 2
2 2

c)   (2i  1)2  4(1  i)  1

(2i  1)  1

i
 z
2

 z  (2i  1)  1  1  i

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

Giáo viên
Ngu n

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tu n

:
Hocmai.vn

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.

i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-