BÀI TẬP TÌM ĐIỂM LOẠI HAI THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

TÌM I M LO I 2 HAY VÀ KHÓ
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tìm đi m lo i 2 hay và khó thu c khóa h c Luy n thi THPT
qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này,
b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1.Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD vuông t i A và D có đáy l n CD và
BCD  450 .

trình đ

ng th ng AD và BD l n l

t có ph

ng trình 3x  y  0 và x  2 y  0 . Vi t ph

ng th ng BC bi t di n tích hình thang b ng 15 và đi m B có tung đ d

ng

ng.

Gi i :

+) Do AD  BD  D nên t a đ đi m D là nghi m c a h :

x  0
3x  y  0

 D(0;0)

y  0
x  2 y  0
Ta có các vect pháp tuy n t ng ng c a AD và BD là:

nAD  (3; 1), nBD  (1; 2) . Suy ra:
cos( AD, BD) 

nAD .nBD
nAD . nBD



3 2
10. 5

Khi đó tam giác ABD và BDC l n l



1
 ADB = 450
2

t vuông cân t i A và B , suy ra : AB  AD 

DC
2

( AB  DC ). AD ( AB  2 AB).AB 3

 AB2  15  AB  10  BD  2 5
2
2
2
+) G i B(2t; t ) v i t  0

+) Ta có : SABCD 

Khi đó : BD  2 5  BD2  20  (2t )2  t 2  20  t 2  4  t  2 ho c t  2 (lo i)  B(4; 2)
+)

ng th ng BC đi qua B(4; 2) và có véct pháp tuy n : nBC  uBD  (2;1)
(vì tam giác BDC vuông t i B ) nên ta có ph

ng trình : 2( x  4)  ( y  2)  0  2 x  y  10  0

Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A n i ti p đ
ng th ng AI c t đ

ng tròn (T ) t i đi m M (5;0) v i M  A.

ng tròn (T ) có tâm I (0;5)

ng cao t đ nh C c t đ

ng tròn

 17 6 
(T ) t i đi m N   ;   v i N  C . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC , bi t B có hoành đ
5
 5
d ng.
Gi i:

+) Vì I là trung đi m c a AM nên A(5;10)
+) Ta có NCB  MAB (cùng ph v i ABC )  BN  BM
(tính ch t góc n i ti p)
Suy ra IB là đ ng trung tr c c a MN , khi đó IB đi qua I
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

vuông góc v i MN nên có ph

ng trình:
6
 42 6 
7 x  y  5  0 (v i MN    ;      7;1 )
5
5
 5
+) G i B(t;5  7t ) v i t  0 , khi đó :
IB2  IM 2  t 2  (7t )2  50  t 2  1  t  1 ho c

t  1 (lo i)  B(1; 2)
+) Ph ng trình AM : x  y  5  0 , suy ra BC đi qua B
vuông góc AM có ph ng trình: x  y  3  0
G i AM

BC  H  , suy ra t a đ đi m H là nghi m c a

x  y  3  0
x  4

 H (4;1)
h 
x  y  5  0
y 1
Do H là trung đi m c a BC  C (7;4)
V y A(5;10), B(1; 2), C(7;4) .
Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm G(2; 3) và B(1;1) .
 : x  y  4  0 đi qua A và đ

tam giác IAB b ng
d

ng th ng

ng phân giác trong c a góc A c t BC t i đi m I sao cho di n tích

4
di n tích tam giác IAC . Vi t ph
5

ng trình đ

ng th ng BC bi t A có hoành đ

ng.

Gi i :
+) G i A(t; t  4)  v i t  0 . Do G(2; 3) là tr ng tâm tam

 xC  3xG  xA  xB  5  t
 C (5  t; 6  t )
giác ABC nên : 
 yC  3 yG  yA  yB  6  t
+) Vì AI là phân giác trong c a tam giác ABC nên
d ( I , AB)  d ( I , AC ) , khi đó :
SIAB 

4
1

4 1
4
SIAC  .d ( I , AB). AB  . .d ( I , AC ). AC  AB  AC  25 AB2  16 AC 2
5
2
5 2
5
 25 (t  1)2  (t  5)2   16 (2t  5)2  (2t  2) 2 

31
(lo i)  C (4; 7)
13
ng trình : 8x  3 y  11  0 .

 39t 2  54t  93  0  t  1 ho c t  

+) Khi đó BC đi qua B(1;1), C (4; 7) nên có ph

Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Bi t t a đ
B(3;3), C (5; 3) . Giao đi m I c a hai đ

ng chéo n m trên đ

ng th ng  : 2 x  y  3  0 . Xác đ nh t a

đ còn l i c a hình thang ABCD đ CI  2BI , tam giác ABC có di n tích b ng 12, đi m I có hoành
đ d ng và đi m A có hoành đ âm.
Gi i:
+) G i I (t;3  2t )  (v i t  0 ), khi đó:
CI  2BI  (t  5)2  (2t  6)2  4 (t  3)2  4t 2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

5
(lo i)  I (1;1)
3
ng trình: x  y  2  0

 3t 2  2t  5  0  t  1 ho c t  

+) Khi đó AC đi qua I , C có ph
và BD đi qua I , B có ph
+) Ta có d ( B, AC ) 

33 2
2

ng trình: x  y  0

2 2.

2SABC
2.12

6 2
d ( B, AC ) 2 2
G i A(a ; 2  a )  AC (v i a  0 ), khi đó :

Khi đó: AC 

AC 2  72  2(a  5)2  72  a  1 ho c a  11 (lo i)  A(1;3) .

+)

ng th ng CD đi qua C và song song v i AB có ph

ng trình: y  3  0

x  y  0
 x  y  3  D(3; 3)
Khi đó t a đ đi m D là nghi mc c a h : 
y3  0
V y A(1;3), D( 3; 3) .
Bài 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A(6;6) ; đ
qua trung đi m c a các c nh AB và AC có ph
bi t đi m E (1; 3) n m trên đ

+) T

Ah đ

ng th ng d đi

ng trình x  y  4  0 . Tìm t a đ các đ nh B và C ,

ng cao đi qua đ nh C c a tam giác đã cho.

Gi i :
ng cao AH ( H  BC ) c t d t i I .

Vì tam giác ABC cân t i A nên H , I l n l

t là trung đi m

c a BC và AH . Khi đó AH đi qua A(6;6) vuông góc v i d
nên có ph ng trình : x  y  0
Suy ra t a đ đi m I là nghi m c a h :
x  y  4  0
 x  y  2  I (2; 2)  H (2; 2)

x  y  0
+) BC đi qua H , song song v i d nên có ph

ng trình: x  y  4  0


 AB  (t  6; 10  t )
+) G i B(t; 4  t )  BC  C (4  t; t ) (do H là trung đi m c a BC )  


CE  (t  5; 3  t )
Do E (1; 3) n m trên đ ng cao đi qua đ nh C c a tam giác ABC , suy ra :
  B(0; 4)

t  0
C (4;0)
2

AB.CE  0  (t  6)(t  5)  (10  t )(3  t )  0  t  6t  0  
t  6   B(6; 2)

 C (2; 6)

+) V y B(0; 4), C( 4;0) ho c B(6;2), C(2; 6) .
Nh n xét:
bài toán này ta nh n th y có s m r ng c a đi m lo i 2. Thay vì 3 đi m t o thành tam giác vuông,
ta có m i liên h qua 4 đi m có y u t vuông (hình v minh h a). V b n ch t hai d ki n này là nh
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

nhau, đ u giúp ta “c t ngh a” y u t vuông đ thi t l p đ

c m t ph

Hình h c Oxy

ng trình ch a n mà ta c n tìm.

( đây đi m B “suy bi n” thành hai đi m B1 và B2 )
Bài 6. (A, A1 – 2012 – CB ). Cho hình vuông ABCD. G i M là trung đi m c a c nh BC, N là đi m trên
 11 1 
c nh CD sao cho CN = 2ND. Gi s M  ;  và AN có ph ng trình 2 x  y  3  0 . Tìm t a đ đi m
 2 2
A.
Gi i:
+) G i H là hình chi u c a M lên AN
11 1
2.   3
3 5
2 2
 MH  d ( M , AN ) 

2
2
2
2 1
 ND  2a ; NC  4a
t AB  6a  
 MB  MC  3a
( vì ABCD là hình vuông và CN  2 ND )
(Các b n có th đ t AB  a , đây ta đ t AB  6a đ vi c bi u di n các đ dài khác đ

Khi đó áp d ng Pitago ta đ

c đ n gi n)

c: AM  3 5a ; MN  5a và AN  2 10a

Trong AMN ta có: cos MAN 

60a 2
2
AM 2  AN 2  MN 2 45a 2  40a 2  25a 2



2
2 AM . AN
2
2.3 5a.2 10a
60 2a

 MAN = 450  MAH c n t i H  AM  2MH  2.

3 5 3 10
(*)

2
2

+) G i A(t; 2t  3)  AN
45

+) Ta có AM 
(theo (*)) 
2
2

2
2
t  1
 A(1; 1)
7  45
 11  



 t 2  5t  4  0  

t
t
2
.

 
 
2 
2
2

t  4  A(4;5)

+) V y A(1; 1) ho c A(4;5) .

Nh n xét:
*) Khi mu n chuy n vi c tìm đi m v đi m lo i 2 mà y u t đ dài AM ch a bi t thì th ng ta hay “c t
ngh a” thông qua d ki n v đ nh l ng. N u không có đi u này thì trong đ bài th ng n ch a nh ng
y u t b t bi n nh góc (ví nh trong bài toán này góc MAH ta luôn tính đ c), kho ng cách (trong ví d
này d (M , AN) c ng là m t đ i l ng không đ i)…T đây vi c tìm đ dài AM s khá đ n gi n và đi m
A lúc này chính là đi m lo i 2.
*) Ngoài cách tìm ra đ
cách sau:

c AM 

3 10
nh
2

ví d trên, các b n có th tham kh o vi c tìm AM theo

t AB  a  SAMN  SABCD   SADN  SCNM

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

5a 2
a 10
 SBAM  
và AN 
12
3

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

5a 2
2S
3 5
a 5 3 10
Khi đó: d ( M , AN )  AMN 
 12  a  3 2  AM 

2
2
2
AN
a 10
3
Bài 7. Trong m t ph ng Oxy , cho hai đ ng th ng 1 : 3x  y  5  0 , 2 : x  2 y  3  0 và đ
2.

(C ) : x2  y2  6 x  10 y  9  0 . G i M là m t đi m thu c đ

ng tròn

ng tròn (C ) và N là đi m thu c đ

ng

th ng 1 sao cho M và N đ i x ng nhau qua  2 . Tìm t a đ đi m N .
Gi i :

+)

ng tròn (C ) có tâm I (3; 5) và bán kính R  5 .

+) G i I ' là đi m đ i x ng v i I qua  2 , suy ra II ' đi qua I và vuông góc v i  2 nên
II ' có ph

ng trình : 2 x  y  1  0 . G i II ' 2  H  , khi đó t a đ đi m H là nghi m c a h :

2 x  y  1  0
x  1

 H (1; 1)  I '(1;3) ( vì H là trung đi m c a II ' )

x  2 y  3  0
 y  1
+) G i N(t; 3t  5)  1 , khi đó do N, I ' l n l t là hai đi m đ i x ng c a M , I qua  2 nên :
t  1  N (1; 2)

NI '  IM  R  5  NI '2  25  (t  1)2  (3t  8)2  25  t 2  5t  4  0  
t  4  N (4;7)
+) V y N (1; 2) ho c N (4;7) .
Bài 8. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD có E , F l n l

t thu c các đo n AB, AD

sao cho EB  2EA , FA  3FD , F (2;1) và tam giác CEF vuông t i F . Bi t r ng đ
x  3 y  9  0 đi qua hai đi m C , E . Tìm t a đ đi m C , bi t C có hoành đ d

ng th ng

ng.

Gi i :
+) Ta có F1 = C1 (vì cùng ph v i F2 ) và A = D = 900
Suy ra AEF

DFC 

Hocmai.vn – Ngôi tr

AE AF EF


DF DC FC

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

1

AE  AB

 EB  2 EA 
3
Mà 

 FA  3FD  DF  1 AD; AF  3 AD

4
4
1
3
AB
AD
AB 3
9
Suy ra 3
4
 AB2  AD 2 
 .
1
16
4

AB
AD
AD
4
1
AB
EF AE 3
Do đó


 1  EF  FC . Suy ra FEC vuông cân t i F
FC DF 1 AD
4
+) G i H là hình chi u vuông góc c a F trên EC . Khi đó :
239
CF  2 FH  2.d ( F , CE )  2.
2 5
12  32
+) G i C (3t  9; t ) v i t  3 (do xC  0 ) . Suy ra:
CF 2  20  (3t  7)2  (t  1)2  20  t 2  4t  3  0  t  1 ho c t  3 (lo i)  C (6; 1)

Bài 9. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD có di n tích b ng 18 , đ

AC có ph

ng trình x  2 y  9  0 , đ

ng th ng AB đi qua đi m E (5;5) , đ

ng chéo

ng th ng AD đi qua

đi m F (5;1) . Tìm t a đ các đ nh A, B, D c a hình ch nh t, bi t đi m A có tung đ l n h n

3
và đi m
2

B có hoành đ l n h n 3 .

Gi i :
+) G i A(9  2t; t )  AC v i t 

3
2

 AE  (4  2t ; t  5)
Khi đó 
 AF  (4  2t ; t  1)
+) Do tam giác AEF vuông t i A nên :
AE. AF  0  (2t  4)2  (t  5)(t  1)  0

7
(lo i)  A(3;3)
5
+) Khi đó AB đi qua A(3;3) và E (5;5) có ph ng trình : x  y  0
 5t 2  22t  21  0  t  3 ho c t 

AD đi qua A(3;3) và E (5;1) có ph

ng trình : x  y  6  0

 B(t1 ; t1 )  AB
G i 
v i t1  3
 D(t2 ;6  t2 )  AD
 t t t t 6 
G i AC  BD  I  , khi đó I là trung đi m c a BD nên I  1 2 ; 1 2
.
2
 2

t t
t t  6
M t khác : I  AC  1 2  2. 1 2
 9  0  3t1  t2  6  0  t2  6  3t1
2
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

 AB  (t  3)2  (t  3)2  2. t  3  2  t  3

1
1
1
1

 AB  (t1  3; t1  3)
 D(6  3t1;3t1 )  

2
2

 AD  (3  3t1;3t1  3) 
 AD  (3t1  3)  (3t1  3)  3 2. t1  1  3 2  t1  1

+) Khi đó SABCD  18  AB. AD  18  2  t1  3 .3 2  t1  1  18  t12  4t1  0  t  4 ho c t  0
(lo i)
Suy ra B(4; 4) và D(6;12) .
Bài 10 (B – 2013 – CB ). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đ
vuông góc v i nhau và AD  3BC .

ng th ng BD có ph

ng chéo

ng trình x  2 y  6  0 và tam giác ABD có

tr c tâm là H (3; 2) Tìm t a đ các đ nh C và D .
Gi i:
+) Vì AC  BD  nAC  uBD  (2; 1) , nên AC
có ph ng trình là:
2( x  3)  ( y  2)  0  2 x  y  8  0
G i BD  AC  I  . Khi đó t a đ đi m I
là nghi m c a h :
x  2 y  6  0
 x  2

 I (2; 4)

2 x  y  8  0
y  4
+) Do ABCD là hình thang cân nên IB  IC  BCI = 450  BCH là tam giác cân t i B
Suy ra I là trung đi m c a HC  C (1;6)
+) Áp d ng đ nh lí Ta – lét v i AD / / BC ta có:

ID AD

 3  ID  3IB  3IH  3 5
IB BC

+) G i D(6  2t; t )  BD , khi đó ID  3 5  ID2  45  (2t  8)2  (t  4)2  45

t  1
 D(4;1)
 t 2  8t  7  0  


t  7  D(8;7)
C (1;6)
C (1;6)
V y 
ho c 
.
 D(4;1)
 D(8;7)
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông t i A , đi m B(1;1) . Trên tia BC l y đi m M sao cho BM.BC  75 .
Ph

ng trình đ

ng th ng AC : 4 x  3 y  32  0 . Tìm t a đ đi m C bi t bán kính đ

tam giác MAC b ng

ng tròn ngo i ti p

5 5
.
2

Gi i :
+) AB đi qua B(1;1) và vuông góc v i AC
nên có ph

ng trình: 3x  4 y  1  0

Do AC  AB   A nên t a đ đi m A
là nghi m c a h :

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

4 x  3 y  32  0
x  5

 A(5; 4)

3x  4 y  1  0
y  4
+) K MD vuông góc v i BC và c t AB
t i K , suy ra ACMD là t giác n i ti p
đ ng tròn đ ng kính CD (c ng chính là đ

ng tròn ngo i ti p tam giác MAC ), khi đó :

CD  2R  5 5
75
BM BD
BM .BC

 BD 

 15  5  AB
BA BC
BA
42  32
 A n m gi a B và D .

Ta có BMD ~ BAC (g.g) nên

Khi đó AD  BD  BA  15  5  10 , suy ra AC  CD2  AD2  (5 5)2  102  5
+) G i C (8  3t; 4t )  AC , khi đó AC  5  AC 2  25  (3t  3)2  (4t  4)2  25

t  0
C (8;0)
 25t 2  50t  0  

t  2  D(2;8)
Bài 12. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vuông ABCD và A(1; 2) . G i M , N l n l

t là trung

đi m c a AD và DC , E là giao đi m c a BN và CM . Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p tam
giác BME bi t BN n m trên đ ng th ng 2 x  y  8  0 và B có hoành đ l n h n 2.
Gi i :

+) G i H là hình chi u vuông góc c a A trên BN, khi đó:

AH  d ( A, BN ) 
G i AH

2  2  8
22  12



8
5

BC  I  , suy ra I là trung đi m c a BC
2

a 5
a
t AB  a  AI  a    
2
2
2

8 a 5
.
 a  4 hay AB  4
5 2
+) G i B(t;8  2t )  BN v i t  2 , khi đó:
Ta có AB2  AH . AI  a 2 

AB2  16  (t  1)2  (6  2t )2  4  5t 2  22t  21  0  t  3 ho c t 

7
(lo i)  B(3; 2)
5

ng trình: x  1
 x  1
 x  1

 J (1;10)
G i AD BN   J  , suy ra t a đ đi m J là nghi m c a h 
2 x  y  8  0
 y  10

+) AD đi qua A vuông góc v i AB nên có ph

M t khác D là trung đi m c a AJ  D(1;6)  M (1;4) (do M là trung đi m c a AD )
+) Do ABCD là hình vuông và M , N l n l

t là trung đi m c a AD, DC  BCN  CDM  C1 = B1

Mà C1 + C2 = 900  B1 + C2 = 900  CEB = 900
hay tam giác BME vuông t i E , nên tâm đ ng tròn ngo i ti p K là trung đi m c a BM

 K (1;3)
Suy ra 
. V y đ ng tròn ngo i ti p tam giác BME là: ( x  1)2  ( y  3)2  5

 R  KB  5

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 13. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác nh n ABC có ph
ng th ng ch a c nh BC l n l

đ

v i BC c t đ

t là 3x  5 y  2  0 và x  y  2  0 .

Hình h c Oxy

ng trình trung tuy n k t

A và

ng th ng qua A vuông góc

ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i đi m th hai là D(2; 2) . Tìm t a đ các đ nh c a

tam giác ABC , bi t B có tung đ âm.
Gi i :
+) Ta có ph ng trình AD : x  y  0
Khi đó t a đ đi m A là nghi m c a h :
x  y  0
 x  1

 A(1;1)

3x  5 y  2  0
y 1
+) G i AD

BC  K và M là trung

đi m c a BC . Khi đó đ đi m K là
x  y  0
x  1
nghi m c a h 

 K (1; 1)
x  y  2  0
 y  1
T a đ đi m M là nghi m c a h

3

 x  2

3x  5 y  2  0
3 1

 M  ; 

2 2
x  y  2  0
y   1

2

+) G i H là tr c tâm tam giác ABC và AC

BH  E

Ta có H1  C (cùng ph v i HAC ) và BDA  C (cùng ch n AB )
Suy ra H1  BDA  BHD cân t i B  K là trung đi m c a HD  H (0;0)
+) G i B(b; b  2)  BC ( v i b  2 )  C (3  b;1  b) (do M là trung đi m c a BC )

 HB  (b; b  2)
Suy ra 
. Khi đó: HB  AC  HB. AC  0
 AC  (4  b; b)
 b(4  b)  b(b  2)  0  b2  3b  0  b  0 ho c b  3 (lo i)  B(0; 2)

V y A(1;1), B(0; 2), C(3;1)
Bài 14. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang ABCD vuông t i A và D có đáy l n CD . Bi t

BC  2 AB  2 AD , trung đi m c a BC là đi m M (1;0) , đ

ng th ng AD có ph

ng trình

x  3 y  3  0 . Tìm t a đ đi m A bi t A có tung đ nguyên.

Gi i :
+) G i H là hình chi u vuông góc c a B trên DC
Khi đó ABHD là hình vuông
t AB  BH  HD  AD  a  BC  2a

 HC  BC 2  BH  a 3  DC  a  a 3
+) G i N là hình chi u vuông góc c a M trên AD
Suy ra N là trung đi m c a AD và
4
MN  d ( M , AD)   2
2
M t khác MN là đ ng trung bình c a hình thang ABCD nên:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

AB  DC  2MN  a  a  a 3  4  a 

Hình h c Oxy

4
a
 8  4 3  AN   4  2 3
2
2 3

+) Xét tam giác vuông AMN ta có: AM  AN 2  MN 2 

4  2 3

2

 22  32  16 3

+) G i A( 3t  3; t )  AD v i t  , khi đó :

AM 2  32  16 3 





2

3t  4  t 2  32  16 3  t 2  2 3t  4  4 3  0  t  2 ho c t  2 3  2

(lo i)





V y A 2 3  3;2 .
Bài 15. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ
.

ng tròn (C1 ) có ph

ng tròn (C2 ) có bán kính b ng 2 10 . Tìm t a đ tâm c a đ

ng trình x2  y2  25 , đi m M (1; 2)
ng tròn (C2 ) , sao cho (C2 ) c t (C1 )

theo m t dây cung qua M có đ dài nh nh t.
Gi i :
ng tròn (C1 ) có tâm O(0;0) và bán kính R1  5 .

+)

+) G i (C2 ) c t (C1 ) t i A và B , G i I là tâm c a
đ

ng tròn (C2 ) và OI

AB  H  .

Khi đó AB  2 AH  2 OA2  OH 2  2 25  OH 2 .
Suy ra AB nh nh t khi OH l n nh t.
M t khác OH  OM nên OH max  OM  M  H .
+) AB đi qua M và vuông góc v i OM
nên AB có ph ng trình: x  2 y  5  0

x  2 y  5  0 x  2 y  5
x  5
 x  3


Khi đó t a đ A, B là nghi m c a h :  2
ho c 


2
2
 y  4
 x  y  25
y  4y  0 y  0
Không m t tính t ng quát gi s A(5;0) và B(3; 4) .
+) Ph

ng trình OM : 2 x  y  0 . G i I (t; 2t )  OM , khi đó:

t  1  I (1; 2)

IA  2 10  IA2  40  (t  5)2  4t 2  40  t 2  2t  3  0  
t  3
 I (3; 6)

V y tâm c a đ

ng tròn (C2 ) là I (1; 2) ho c I (3; 6) .

Bài 16. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình vuông OABC có đ nh A(3; 4) và đi m B có hoành đ
âm. G i E , F theo th t là các giao đi m c a đ

ng tròn (C ) ngo i ti p hình vuông OABC v i tr c

hoành và tr c tung ( E và F khác g c t a đ O ). Tìm t a đ đi m M trên (C ) sao cho tam giác MEF
có di n tích l n nh t.
Gi i :
+) AB đi qua A(3; 4) và có vect pháp tuy n OA (3; 4) nên có
ph

ng trình: 3x  4 y  25  0 . G i B(3  4t;4  3t ) , khi đó :

AB  OA  AB2  OA2  (4t )2  (3t )2  25
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

t  1
 t2  1  
 B(1;7) ho c B(7;1) (lo i)
t  1
ng tròn (C ) ngo i ti p OABC có tâm I là trung đi m

+)

5 2
 1 7
c a OB  I   ;  và bán kính R  OI 
nên (C ) có
2
 2 2
2

ph

2

1 
7
25

ng trình:  x     y   
.
2 
2

2


Ox (C )  E  O  E (1;0)


Do 

Oy (C )  F   O  F (0;7)
+) EF là đ

ng kính nên MEF vuông t i M . Ta có: SMEF 

ME.MF ME 2  MF 2 EF 2 25



.
2
4
4
2

25
. D u “=” x y ra khi: ME  MF hay M thu c đ ng trung tr c
2
 1 7
ng trung tr c c a EF đi qua I   ;  nh n EF  (1;7) là vecto pháp tuy n
 2 2

V y di n tích MEF l n nh t b ng
c a EF .
nên có ph

1 
7

ng trình:  x    7  y    0  x  7 y  24  0
2 
2

2

2

5 2
25
49   7 
25

G i M (24  7t; t ) , khi đó : MI  R 
 MI 2 
  7t     t   
2
2
2   2
2

t  3  M (3;3)
 t 2  7t  12  0  


t  4  M (4; 4)
(có th trình bày b ng cách thay t a đ đi m M vào ph ng trình (C ) do M  (C ) )

+) V y M (3;3) ho c M (4; 4) thì tam giác MEF có di n tích l n nh t.
Bài 17. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho t giác ABCD n i ti p đ
c a tia DA l y đi m E sao cho DE  AB . Ph

ng tròn và CB  CD . Trên tia đ i

ng trình c nh BC : x  3 y  13  0 , ph

ng trình

AC : x  y  1  0 . Tìm t a đ đ nh A, B bi t A có hoành đ nh h n 3 và E (14;1) .

Gi i :
+) T a đ đi m C là nghi m c a h
 x  3 y  13  0
x  8

 C (8;7)

x  y 1  0
y  7
+) Ta có CBA  CDE (cùng bù v i CDA),
Suy ra ABC  EDC (c.g.c)  CA  CE
G i A(a ; a  1) v i a  3 , khi đó:
CA  CE  CA2  CE 2  (a  8)2  (a  8)2  72  a  2 ho c a  14 (lo i)  A(2;1)


CE  (6; 6)
 CE.CA  0  ACE  900  BCD  900  BAD  900 hay AB  AE
+) Ta có 

CA  (6; 6)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

Khi đó AB đi qua A(2;1) và nh n AE  (12;0) làm vecto pháp tuy n nên có ph

ng trình: x 2  0

x  2  0
x  2
+) Suy ra t a đ đi m B là nghi m c a h : 

 B(2;5)
 x  3 y  13  0

y  5
V y A(2;1), B(2;5) .
Bài 18. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đ

ng tròn (T ) : ( x 1)2  ( y  1) 2  2 và hai đi m

A(0; 4), B(4;0) . Tìm t a đ hai đi m C , D sao cho ABCD là hình thang (AB // CD ) và đ

ng tròn (T )

n i ti p hình thang đó.
Gi i :
+) G i M , N l n l

t là các ti p đi m c a AB, CD v i đ

ng

 AB  4 2
tròn (T ) . Khi đó ta có : 
2
2
 MA  IA  IM  10  2  2 2
 AB  2MA
Suy ra M là trung đi m c a AB  M (2; 2)  N(0;0)
(do I là trung đi m c a MN )
+) Khi đó DC đi qua N (0;0) song song v i AB nên có ph

ng

trình: x  y  0


DAB
 A1 
DAB  ADC 1800

2
+) Do 
 A1  D1 

 900  ID  IA
2
2
ADC


D
1

2
G i D(t; t )  DC  ID  (t  1; t  1) . Ta có: AI  (1;3)
1
 1 1
Khi đó ID  IA  ID. AI  0  t  1  3(t  1)  0  t    D   ;  
2
 2 2

+) M t khác IAB cân t i I  DAB  CBA ABCD là hình thang cân
1 1

Suy ra tam giác IDC cân nên N là trung đi m c a DC  C  ; 
2 2
1 1
 1 1
V y C  ;  và D   ;   .
2 2
 2 2

Chú ý: Ngoài cách trình bày trên các b n có th tìm D b ng cách vi t các ph
h đ tìm giao đi m D .

ng trình ID , CD và gi i

Bài 19. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr c tâm H (2;1) và tâm đ
ti p I (1;0) . Trung đi m BC n m trên đ
bi t r ng đ

ng th ng có ph

ng tròn ngo i

ng trình x  2 y  1  0 . Tìm t a đ đ nh B, C

ng tròn ngo i ti p tam giác HBC đi qua đi m E (6; 1) và hoành đ đi m B nh h n 4.
Gi i :

+) G i M là trung đi m c a BC và J là đi m đ i x ng c a I qua BC
Khi đó AH  2IM  IJ  AHJI là hình bình hành
 JB  JC  JH
Suy ra J là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

+) G i M (2t  1; t )  J (4t  1; 2t ) . Do E thu c đ ng tròn
ngo i ti p tam giác HBC nên ta có:
JH 2  JE 2  (4t  1)2  (2t  1)2  (4t  5)2  (2t  1)2
 24t  24  t  1  M (3;1)  J (5;2)
Khi đó BC đi qua M nh n IM  (2;1) làm vecto pháp tuy n
nên BC có ph ng trình: 2 x  y  7  0
+) G i B(b;7  2b)  BC v i b  4 , khi đó: JB2  JE 2
 (b  5)2  (5  2b)2  10  b2  6b  8  0  b  2
ho c b  4 (lo i)  B(2;3)
+) Do M là trung đi m c a BC nên suy ra C (4; 1)
V y B(2;3), C(4; 1)
Bài 20. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC có t a đ tr c tâm H (2;1) và tâm đ ng tròn
ngo i ti p I (1;0) . Trung đi m c a BC n m trên đ ng th ng có ph ng trình x  2 y  1  0 . Tìm t a đ các
đ nh B, C . Bi t r ng đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC đi qua đi m M (6; 1) và hoành đ đi m B nh h n
4.

Hình 1
Hình 2
+) G i D là trung đi m c a BC và J là đi m đ i x ng v i I qua D . Ta s ch ng minh J chính là tâm c a
đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC (Hình 1). Th t v y :
IBJC là hình thoi nên JB  JC  IB  IC (1)

G i E là trung đi m c a AC (Hình 2)
Khi đó : HAB
IDE và HBA
IED (góc có c nh t ng ng song song)
HA AB
Suy ra HAB ~ IDE nên

 2  AH  2ID  AH  IJ
ID DE
 AHJI là hình bình hành nên JB  IA (2)
T (1) và (2) suy ra J là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC .
+) Vì D đ ng th ng có ph ng trình x  2 y  1  0 nên g i D(2t  1; t )  J (4t  1;2t )

 D(3;1)
 J (5; 2)

Khi đó JH 2  JM 2  (4t  1) 2  (2t  1) 2  (4t  5) 2  (2t  1) 2  24t  24  t  1  
+) BC đi qua M và nh n ID  (2;1) làm vecto pháp tuy n nên có ph
G i B(b;7  2b) v i b  4 . Khi đó :

ng trình: 2 x  y  7  0

JB2  JM 2  (b  5)2  (5  2b)2  10  b2  6b  8  0  b  2 ho c b  4 (lo i)
Suy ra B(2;3)  C (4; 1) (vì D(3;1) là trung đi m c a BC ).

Giáo viên
: Nguy n Thanh Tùng
+) V y B(2;3) và C (4; 1) .
Ngu n
:
Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài

b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-