BÀI TẬP TÌM ĐIỂM LOẠI 3 THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

TÌM I M LO I 3
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tìm đi m lo i 3 thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia
Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n
k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Trong m t ph ng v i tr c t a đ Oxy cho hình ch nh t ABCD . Bi t G 1; 1 , H  0; 2  l n l

t

là tr ng tâm tam giác ABD và ADC . Tìm t a đ các đ nh c a hình ch nh t, bi t đ nh D n m trên
đ ng th ng có ph ng trình 2 x  y  2  0 .
Gi i:

A(?)

B(?)
G(1;-1)
I
H(0;-2)

D(?)

C(?)

K

G i I là giao đi m c a AC và BD .
IG 1 IH
GH 1

 
 GH // AD  GH  DC và
Cách 1: Ta có
(1)
AD 3
IA 3 ID
HK DH 1
HK 1

 

G i K là giao đi m c a GH và DC , khi đó
(2)
BC DB 3
AD 3
T (1) và (2), suy ra GH  HK , suy ra H là trung đi m c a GK  K  1; 3
Khi đó DC đi qua K  1; 3 và vuông góc v i GH ( v i HG  1;1 ) nên có ph

ng trình:

x y 4  0

2 x  y  2  0

 x  y  2  D(2; 2)
Khi đó t a đ đi m D là nghi m c a h 
x  y  4  0

 xA  2  3
 xA  yA  1  A(1;1) .
T (1) ta có DA  3HG  (3;3)  
 yA  2  3

 xB  3xG  ( xA  xD )  4
 B(4; 2)
Do G là tr ng tâm tam giác ABD , suy ra 
 xB  3 yG  ( yA  yD )  2
T ng t H là tr ng tâm tam giác ADC, suy ra C (1; 5) .
V y A(1;1), B(4; 2), C(1; 5), D(2; 2) .
Cách 2: Vì D thu c đ

ng th ng 2 x  y  2  0 , suy ra D(a ; 2a  2)

Vì H là tr ng tâm tam giác ADC nên:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

a

0  a  2( xI  0)
 xI  
 a

DH  2 HI  

2  I   ; a  4 
 2

2  (2a  2)  2( yI  2)

 yI  a  4
Vì G là tr ng tâm tam giác ABD nên :


 a 
 xA  a  3
1  xA  2    1
AG  2GI  

 A(a  3; 2a  5)
 2 
2

5
y
a


A

1  y  2(a  4  1)
A



 DA  (3;3)
Vì I là trung đi m c a AC nên C (2a  3; 4a  13)  

 DC  (3a  3; 6a  15)
.
 0  9(a  1)  9(2a  5)  0  a  2 , suy ra D(2; 2) ,
Do DA  DC  DADC
A(1;1), C (1; 5), I (1; 2)

Vì I là trung đi m c a BD nên B(4; 2) .
V y A(1;1), B(4; 2), C(1; 5), D(2; 2) .
Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC , bi t ph

ng trình các đ

ng th ng AB, AC l n

 1 5

t là x  y  3  0 và 2 x  y  2  0 . Bi t trung đi m c a c nh BC là M   ;  . Hãy vi t ph
 2 2
trình đ ng th ng BC .
Gi i :

l

ng

Cách 1 :

 B(t1 ; t1  3)  AB
 1 5
+) G i 
. Do M   ;  là trung đi m c a BC nên suy ra :
 2 2
C (t2 ; 2t2  2)  AC
 xB  xC  2 xM
t  t  1
t  t  1
t  4 
 B  4;1
1 2
1 2
1


t1  3  2t2  2  5 t1  2t2  10
t2  3
 yB  yC  2 yM


C  3; 4 
+) Khi đó BC đi qua B, C (ho c M ) có ph ng trình : 3x  7 y  19  0 .
Cách 2:
+) G i B(t; t  3)  AB , khi đó M là trung đi m c a BC nên suy ra:

 xC  2 xM  xB  1  t
 C (1  t; t  8)

 yC  2 yM  yB  t  8

 B  4;1
+) M t khác C  AC  2(1  t )  (t  8)  2  0  3t  12  t  4  

C  3; 4 
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+) Khi đó BC đi qua B, C (ho c M ) có ph
Cách 3:

Hình h c Oxy

ng trình : 3x  7 y  19  0 .

1

 x   3
x  y  3  0
 1 8

 A  ;  
+) T a đ đi m A là nghi m c a h 
 3 3
2 x  y  2  0
y   8

3
+) G i N là trung đi m c a AB
7
 1 5
Khi đó MN đi qua M   ;  và song song v i AC nên có ph ng trình : 2 x  y   0
2
 2 2
13

7
x


2

0
x
y





 13 5 
6

 N   ;    B(4;1)
+) T a đ đi m N là nghi m c a h 
2
 6 6
y   5
 x  y  3  0
6

+) Khi đó BC đi qua B, M có ph ng trình : 3x  7 y  19  0 .
Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có G là tr ng tâm c a tam giác BCD ,
ph ng trình đ ng th ng DG là 2 x  y  1  0 , ph ng trình đ ng th ng BD là 5x  3 y  2  0 và
đi m C (0; 2) . Tìm t a đ các đ nh còn l i c a hình bình hành ABCD .
Gi i:

2 x  y  1  0
 x  1

 D(1; 1)
T a đ đi m D là nghi m c a h 

5 x  3 y  2  0
 y  1
G i DG

BC  M , suy ra M là trung đi m c a BC

Do M  DG  M (m;2m  1)  B(2m; 4m)
M t khác B  BD  5.2m  3.4m  2  0  m  1  B(2;4)
1 3
Suy ra trung đi m c a BD có t a đ I  ;  .
2 2

Do I c ng là trung đi m c a AC  A(1;1) (có th suy ra đi m A nh h th c BA  CD )
CHÚ Ý:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

+ ) Ngoài cách trình bày ph n cách gi i chung (cho ph n tìm t a đ hai đi m M , N ) các b n có th trình

bày
à h th c véct "
N  2
N
(
t
)
f (t )  0  t  ?  M , N (*)
theo cách sau: G i M (t )  1
+) Cách trình bày (*) th
cách làm này.

ng đ

c s d ng khi bài toán có y u t trung đi m và bài toán trên ta đã áp d ng

Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(2;3) .
ng cao CH n m trên
đ ng th ng 2 x  y  7  0 và đ ng trung tuy n BM n m trên đ ng th ng 2 x  y  1  0 . Tìm t a đ
các đ nh còn l i c a tam giác ABC .
Gi i:

AB đi qua A(2;3) và vuông góc v i CH nên nh n uCH  (1; 2) làm vecto pháp tuy n.

Do đó AB có ph

ng trình : x  2  2( y  3)  0  x  2 y  8  0

x  2 y  8  0
x  2


 B(2;5)
Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h 
2 x  y  1  0
y  5
t 2

;5  t 
G i C (t;7  2t )  CH . Do M là trung đi m c a AC nên suy ra M 
 2


+ M t khác M  BM  2.

t 2
 (5  t )  1  0  2t  6  0  t  3  C (3;1)
2

V y B(2;5), C (3;1) .
Bài 5. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình vuông ABCD , đi m C (3; 3) và đi m A thu c
đ ng th ng d : 3x  y  2  0 . G i M là trung đi m c a BC , đ ng th ng DM có ph ng trình
x  y  2  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh còn l i c a hình vuông ABCD .
Gi i:
G i I, N l n l

t là giao đi m c a AC v i BD, DM .

2
2 1
1

CN  CI  .. CA
A CA
 CA33CN (*)
Khi đó N là tr ng tâm c a tam giác BCD 
3
3 2
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy


 A(t1 ; 2  3t1 )  d
CA  (t1  3;5  3t1 )
G i 

 N (t2 ; t2  2)  DM
CN  (t2  3; t2  1)


T

t1  1
t1  3  3(t2  3)
t1  3t2  6



(*)  
5  A(1;5)

t
5  3t1  3(t2  1)
3t1  3t2  2
2

3


Do I là trung đi m c a AB nên I (1;1)
Khi đó BD đi qua I và vuông góc v i AC nên có ph

ng trình : x  2 y  1  0

x  y  2  0
x  5

 D(5;3)
V y t a đ đi m D là nghi m c a h 

x  2 y 1  0
y  3
Suy ra B(3; 1) (do I (1;1) là trung đi m c a BD )
V y A(1;5), B(3; 1), D(5;3) .
Bài 6. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t tr c tâm H (1;0) , chân
đ ng cao h t đ nh B là K (0; 2) , trung đi m c nh AB là đi m M (3;1) .
Gi i:

Ta có AC đi qua K (0; 2) và vuông góc v i HK nên nh n KH  (1; 2) làm vecto pháp tuy n
Do đó AC có ph

ng trình : x  2( y  2)  0  x  2 y  4  0

BK đi qua H (1;0) nh n nKH  (2;1) làm vecto pháp tuy n nên có ph

ng trình:

2( x  1)  y  0  2 x  y  2  0

 A(2a  4; a )  AC
G i 
, khi đó M (3;1) là trung đi m c a AB nên ta có:
 B(b; 2  2b)  BK

 xA  xB  2 xM
 2a  4  b  6
2a  b  10 a  4  A(4; 4)






a  2  2b  2 a  2b  0
b  2  B(2; 2)
 yA  yB  2 yM
+ Ta có BC đi qua B(2; 2) nh n HA (4;3) làm vecto pháp tuy n nên có ph

ng trình:

4( x  2)  3( y  2)  0  4 x  3 y  2  0 . Khi đó t a đ đi m C là nghi m c a h :
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

8

x

x  2 y  4  0


11  C   8 ; 18 




 11 11 
4 x  3 y  2  0
 y  18

11
 8 18 
V y A(4; 4) , B(2; 2) , C   ;  .
 11 11 

Bài 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có ph ng trình đ ng trung tuy n BN và
đ ng cao AH l n l t có ph ng trình 3x  5 y  1  0 và 8x  y  5  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh c a
3

tam giác ABC , bi t M  1;   là trung đi m c a c nh BC .
2


Gi i:

3

BC đi qua M  1;   và vuông góc v i AH nên nh n u AH  (1;8) làm vecto ch ph
2


ng.

3

ng trình: x  1  8  y    0  x  8 y  13  0
2


Do đó BC có ph

 x  8 y  13  0
x  3

 B(3; 2)
+ Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h 
3x  5 y  1  0
 y  2
+ Do M là trung đi m c a BC nên suy ra C (5; 1)
 a 5

+ G i A(a ;8a  5)  AH  N 
; 4a  3  : là trung đi m c a AC .
 2


Ta có N  BN  3.

a 5
 5.(4a  3)  1  0  a  1  A(1;3)
2

V y A(1;3), B(3; 2), C(5; 1) .
Bài 8. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình vuông ABCD . G i M là trung đi m c a c nh BC ,
1
 3 1
 4
N   ;  là đi m trên c nh AC sao cho AN  AC và giao đi m c a AC và DM là I 1;  . Xác đ nh
4
 2 2
 3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

t a đ các đ nh c a hình vuông ABCD bi t B có hoành đ d

Hình h c Oxy

ng.

Gi i :

+) Do AD // MC nên ta có:
2
2
8
8
AI AD

 2  AI  2 IC  AI  AC  .4 AN  AN hay AI  NI
5
3
3
3
IC MC


8 3
1  xA  5 1  2 
 xA  3
8




 A(3;0)
Suy ra AI  NI  
5
 yA  0
4  y  8  4  1 
A



 3
5 3 2

1
 3
  (3)   xC  3

 xC  3
1
 2
4

 C (3; 2)
+) M t khác ta l i có: AN  AC  
1
1
2

y
4
C

  0   y  0
C
 2
4
+) G i AC

BD  H  , khi đó H là trung đi m c a AC nên suy ra H (0;1)

BD đi qua H (0;1) và nh n AC  (6; 2)  2(3;1) làm vecto pháp tuy n nên có ph

ng trình:

3x  y  1  0

+) G i B(t;1  3t )  BD v i t  0 , khi đó:
BH  HA  BH 2  HA2  t 2  9t 2  32  12  t 2  1  t  1 ho c t  1 (lo i)
Suy ra B(1; 2)  D(1; 4) (do H là trung đi m c a BD ).

V y A(3;0), B(1; 2), C (3;2), D(1;4)

Bài 9. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ
M (1;1) . Vi t ph

ng trình đ

ng th ng d1 : 3x  y  5  0 , d2 : x  y  4  0 và đi m

ng th ng d đi qua M và c t d1 , d 2 l n l

t t i A, B sao cho

2MA  3MB .
Gi i :


 A d1  A(t1;3t1  5)
 MA  (t1  1;3t1  6)


+) Ta có 
 B  d 2  B(t2 ; 4  t2 )

 MB  (t2  1;3  t2 )
Vì M , A, B th ng hàng và 2MA  3MB , suy ra 2MA  3MB ho c 2MA  3MB .

5  5 5

2(t1  1)  3(t2  1)
2t1  3t2  1 t1 
 A ; 


+) V i 2MA  3MB  
2  2 2
2(3t1  6)  3(3  t2 )
2t1  t2  7

 B(2; 2)
t2  2 
Khi đó ph

ng trình đ

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng th ng d đi qua M (1;1), B(2;2) có ph

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình : x  y  0

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

2(t  1)  3(t2  1)
2t  3t2  5
t  1 
 A1; 2 
+) V i 2MA  3MB   1
 1
1

2(3t1  6)  3(3  t2 )
2t1  t2  1
t2  1 
 B(1;3)
Khi đó ph ng trình đ ng th ng d đi qua M (1;1), B(1;3) có ph ng trình : x 1  0

Bài 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có B  C  900 . Ph ng trình các
đ ng th ng AC và DC l n l t là x  2 y  0 và x  y  3  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh c a hình thang
 3 3

ABCD bi t trung đi m c nh AD là M   ;   .
 2 2
Gi i :

x  2 y  0
x  2

 C (2; 1)
+) T a đ đi m C là nghi m c a h 
x  y  3  0
 y  1
 A(2a ; a )  AC
 3 3
G i 
. Do M   ;   là trung đi m c a AD nên ta có:
 2 2
 D(d ; d  3)  DC
 xA  xD  2 xM
2a  d  3
a  1
 A(2;1)




a  d  3  3 d  1  D(1; 4)
 yA  yD  2 yM
+) Khi đó AB đi qua A và song song v i CD nên có ph ng trình: x  y  3  0
BC đi qua C và vuông góc v i CD nên có ph ng trình: x  y  1  0
x  y  3  0

 x  1

 B(1; 2)
Suy ra t a đ đi m B là nghi m c a h 
x  y 1  0
y  2
V y A(2;1), B(1;2), C(2; 1), D(1; 4) .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N







Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung

vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-