CONG PHA PHUONG TRINH VA HE PT p2

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH và HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

PHẦN 1: ĐỀ BÀI
(Cố gắng vận hết công lực trước khi xem giải nhé các em)
Câu 1: Giải hệ phương trình

Câu 2: Giải hệ phương trình

Câu 3: Giải hệ phương trình

Câu 4: Giải hệ phương trình

 y − 2 x3 = ( 2 x + 1 − x 2 ) x 2 + y


2
2
 x − 4 x + ( x − 3) 4 x + 3 x − y = 1
( x + y + 4 ) x − y + x + 3 y + 12 = 0

2
2
( x − y ) ( x + 6 ) + x − y − 1 = y + 1
1
4

 1
+
=
 2
y −1
2 x2 + 2 y
 x +1

2
3
 y − 2 x + ( y − 2 ) ( x − 2 ) = 4
 xy + x − y
(
) xy − 2 + x = y + y


( x + 1) y + xy + x (1 − x ) = 4


(

(

)

)

( x, y ∈ ℝ )

( x, y ∈ R ) .

8 x 3 + 2 y = y + 5 x + 2

Câu 5: Giải hệ phương trình 
2
y + 1+ y2 = 1
 3 x + 1 + 9 x

(

)(

)

 x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4
Câu 6: Giải hệ phương trình  2
2
 x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y

 x3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0
Câu 7: Giải hệ phương trình 
2
2
2 4 x − x − 3 3 + 2 y − y − 3x + 2 = 0
 y + x + y + 1 = x + ( x + 1) 2 − y 2

Câu 8: Giải hệ phương trình 
( x − 1) y + 2 − ( y − 2 ) x + 3 = 2
2x − 4 y + 2


1
−
x
+
x
−
2
y
+
1
=

1− x
Câu 9: Giải hệ phương trình 
 2
2
3
 x − 4x + 7 + 5x − 7 y + 3 = y + 2

PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT
(Nếu có nhầm lẫn, sai sót mong các hạ lượng thứ)
 y − 2 x3 = ( 2 x + 1 − x 2 ) x 2 + y

Câu 1: Giải hệ phương trình 
 x 2 − 4 x + ( x − 3) 4 x 2 + 3 x − y = 1
Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐK: x 2 + y ≥ 0; 4 x 2 + 3 x − y ≥ 0 .
Cách 1: Đặt t = x 2 + y ( t ≥ 0 ) ta có: t 2 − x 2 = y

Khi đó PT (1) ⇒ t 2 − x 2 − 2 x3 = ( 2 x + 1 − x 2 ) t ⇔ t 2 + x 2t − x 2 − t = 2 x3 + 2 xt

t = x = 0 ⇔ x = y = 0 ( ko t / m ( 2 ) )
.
⇔ ( x 2 + t ) ( t − 1) = 2 x ( x 2 + t ) ⇔ ( x 2 + t ) ( t − 2 x − 1) = 0 ⇔ 
t = 2 x + 1 ⇔ x 2 + y = 2 x + 1
x 2 + y = 2 x + 1 ta biến đổi như sau:

Cách 2: Sử dụng CASIO nhận thấy

PT (1) ⇔ y − 2 x 3 − ( 2 x + 1 − x 2 ) ( 2 x + 1) = ( 2 x + 1 − x 2 )
⇔ y − 3x 2 − 4 x − 1 = ( 2 x + 1 − x 2 )
⇔

(

)(

(

)

)

(

)

x2 + y − 2 x − 1 .

2
x 2 + y − 2 x − 1 ⇔ ( x 2 + y ) − ( 2 x + 1)  = ( 2 x + 1 − x 2 )



(

)

x2 + y − 2 x − 1

x2 + y − 2 x −1 x2 + x2 + y = 0 .

Thế y = 3 x 2 + 4 x + 1 vào PT(2) ta có: PT ( 2 ) ⇔ x 2 − 4 x + ( x − 3) x 2 − x − 1 = 1

⇔ x 2 − x − 10 + ( x − 3)

(

)




x−3
x 2 − x − 1 − 3 = 0 ⇔ ( x 2 − x − 10 ) 1 +
=0
x2 − x − 1 + 3 



1 ± 41
69 ± 7 41
 x 2 − x − 10 = 0
x=
⇒y=

⇔
⇔
(t / m)
2
2

 x 2 − x − 1 = − x
 x = −1 ⇒ y = 0
Hướng 2: Đặt ẩn phụ không hoàng toàn: Đặt u = x 2 − x − 1 ta được ( u + x )( u − 3) = 0 .

 1 ± 41 69 ± 7 41  
Vậy nghiệm của HPT là ( x; y ) = ( −1; 0 ) ; 
;
  .
2
2


 

( x + y + 4 ) x − y + x + 3 y + 12 = 0
Câu 2: Giải hệ phương trình 
2
2
( x − y ) ( x + 6 ) + x − y − 1 = y + 1
Lời giải:
Điều kiện: x − y ≥ 1 .

( x, y ∈ ℝ )

Phương trình một của hệ tương đương với: ( x + y + 4 ) x − y + 2 ( x + y + 4 ) − ( x − y ) + 4 = 0

( x − y + 2) − ( x − y ) − 4 = 0 ⇔ ( x + y + 4) ( x − y + 2) − ( x − y − 2 )( x − y + 2) = 0
⇔ ( x − y + 2 )( x + y + 6 − x − y ) = 0 ⇔ x + y + 6 − x − y = 0 ⇔ 6 = x − y − x − y .
Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được: ( x − y ) ( x + x − y − x − y ) + x − y − 1 = y + 1 .
⇔ ( x + y + 4)

2

2

2

⇔ x2 ( x − y ) + ( x − y ) x − y − x2 + y 2 + x − y − 1 = y 2 + 1
⇔ x 2 ( x − y − 1) + ( x − y ) x − y − 1 + x − y − 1 = 0

)(
( x − y − 1) ( x − y +

( x − y − 1) +

⇔ x 2 ( x − y − 1) +
⇔ x2

(

)

x − y −1 x − y + x − y +1 + x − y −1 = 0

x − y +1

)+

x − y +1

x − y −1 = 0 ⇔ x − y −1 = 0 ⇔ x − y = 1

6 = x − y − x − y
 x + y = −5
 x = −2
.
Khi đó hệ phương trình đã cho ⇔ 
⇔
⇔
x − y = 1
 y = −3
 x − y = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( −2; −3) .

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

1
4
 1
+
=
 2
y −1
2 x2 + 2 y
Câu 3: Giải hệ phương trình  x + 1

2
3
 y − 2 x + ( y − 2 ) ( x − 2 ) = 4
Lời giải:
y
>
1

1 1
2 2
ĐK:  2
. Đặt a = x 2 + 1; b = y − 1 ta có + =
a b

a 2 + b2
x + y > 0
4
1 1
1 1
2 2
a + b ≥ a + b
Mặt khác với a; b > 0 ⇒ 
⇒ + ≥
. Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b > 0
a 2 + b2
 2a 2 + 2b 2 ≥ ( a + b ) a b


(

)

Khi đó: x 2 = y − 2 thế vào PT(2) ta có x 2 − 2 x + 3 x 2 x 2 − 2 = 2, (1)
Do x = 0 không phải là nghiệm nên ta có: (1) ⇔ x − 2 + 3 x −

(1) ⇒ t 3 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ x −

2 2
2
= . Đặt t = 3 x − ta có:
x x
x

 x = −1 ⇒ y = 3

2
=1⇔ 
x
x = 2 ⇒ y = 6

Vậy nghiệm của hệ phương tình ( x; y ) = {( −1;3) ; ( 2; 6 )}

(

)

 xy + x − y
(
) xy − 2 + x = y + y

Câu 4: Giải hệ phương trình 
( x + 1) y + xy + x (1 − x ) = 4


(

)

( x, y ∈ R ) .

Lời giải:
ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, xy + ( x − y )
Khi đó (1) ⇔ xy + ( x − y )

•

(

(

)

xy − 2 ≥ 0

(*)

)

xy − 2 − y + x − y = 0

Với y = 0 khi đó (3) trở thành

(3)

−2 x + x = 0 ⇔ −2 x = x = 0 ⇔ x = 0.

Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại.
•

Với y > 0 ⇒ T = xy + ( x − y )

Khi đó (3) ⇔

⇔

xy + ( x − y )

(

(

)

xy − 2 − y 2

T

y ( x − y) + ( x − y)
T

(

)

xy − 2 + y > 0 và B = x + y > 0.

xy − 2

+

x− y
=0
B

) + x − y = 0 ⇔ ( x − y )  y +




B

xy − 2 1 
+ =0
T
B 

(4)

4 + ( x + 1) ( x 2 − x − 2 )
4
4
2
Từ (2) ⇒ y + xy + x − x =
⇒ y + xy − 2 =
+ x −x−2=
x +1
x +1
x +1
2

x 3 − 3 x + 2 ( x − 1) ( x + 2 )
⇒ y + xy − 2 =
=
≥ 0, ∀x ≥ 0
x +1
x +1

2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Kết hợp với T , B > 0 ⇒

Facebook: LyHung95

y + xy − 2 1
+ > 0 nên (4) ⇔ x = y.
T
B

Thế vào (2) ta được ( x + 1) ( x + x + x − x 2 ) = 4 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 3 x ) + 4 = 0

x = 1
⇔ x − 2 x − 3 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − x − 4 ) = 0 ⇔ 
 x = 1 ± 17

2
3

2

2

x = 1⇒ y = 1
Kết hợp với (*) ta được 

 x = 1 + 17 ⇒ y = 1 + 17

2
2

Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,


 1 + 17 1 + 17  
;

 .
2  
 2

8 x 3 + 2 y = y + 5 x + 2

Câu 5: Giải hệ phương trình 
2
y + 1+ y2 = 1
 3 x + 1 + 9 x

)(

(

Lời giải

Điều kiện: y + 5 x + 2 ≥ 0

(

Phương trình (2) ⇔ 3 x + 1 + 9 x 2

)( y +

⇔ 3x + 1 + 9 x 2 = ( − y ) + 1 + ( − y )

)

1 + y 2 = 1 ⇔ 3x + 1 + 9 x 2 =

1
y + 1+ y2

2

Xét hàm số f ( t ) = t 2 + 1 + t ⇒ f ' ( t ) =

⇒ f ( 3x ) = f ( − y ) ⇔ 3x = − y

)

t
t2 +1

+ 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định

Thay vào phương trình (2) ta có 8 x 3 − 6 x = 2 x + 2 (Điều kiện : x ≥ −1 )

⇔ 8 x3 − 8 x = 2 x + 2 − 2 x
⇔ 8 x ( x − 1)

(1 − x )( 4 x + 2 ) ⇔
=
2x + 2 + 2x





4x + 2
( x − 1)  8 x +
 = 0 ⇔ x =1
2x + 2 + 2x 

>0



Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là (1; −3)
 x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4
Câu 6: Giải hệ phương trình  2
2
 x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y

Lời giải
4 x + y ≥ 0
Điều kiện: 
 y ≥ −5

3
Phương trình (1) ⇔ x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 ⇔ y 3 + 3 y = (1 − x ) + 3 (1 − x )
Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 3t ( t ≥ −5 ) ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 − 1 > 0 ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến trên Tập xác định

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇒ f (1 − x ) = f ( y ) ⇔ 1 − x = y
Thay vào phương trình (2) ta có 2 x 2 − 7 x − 10 = 6 − x − 3 x + 1 ( Điều kiện x ≥
⇔ 2 x 2 − 9 x − 5 = 6 − x − 1 + 4 − 3 x + 1 ⇔ ( x − 5 )( 2 x + 1) +

1
)
5

3 ( x − 5)
x−5
+
=0
6 − x + 1 4 + 3x + 1





1

3
⇔ ( x − 5)  2 x + 1 +
+
=0⇔ x=5
6 − x + 1 4 + 3x + 1 

>0


Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là ( 5; −4 )

 x3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0
Câu 7: Giải hệ phương trình 
2
2
2 4 x − x − 3 3 + 2 y − y − 3x + 2 = 0
Giải:
2
4 x − x ≥ 0
Điều kiện: 
( *)
2
3 + 2 y − y ≥ 0
+) Xét phương trình (1): (1) ⇔ x 3 + 3x 2 + 6 x + 4 = y 3 + 3 y
⇔ ( x + 1) + 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y ⇔ f ( x + 1) = f ( y )
3

Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t∀t ∈ R Có f '(t ) = 3t 2 + 3 > 0∀t ∈ R nên f (t ) là hàm đồng biến trên R
⇒ x + 1 = y thế vào (2) ta có: ( 2 ) ⇔ 2 4 x − x 2 − 3 4 − x 2 − 3x + 2 = 0
Do 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ x − 2 + 4 − x 2 = 0 ⇔ x = 2; x = 0 (T/M)

) (

(

)

+) Với x − 2 + 4 − x 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2; x ≠ 0 có: ( 2 ) ⇔ 2 2 − 4 x − x 2 + 3 x − 2 − 4 − x 2 = 0

⇔

2 ( x − 2)

2

2 + 4x − x
2 ( x − 2)

2

+

6x ( x − 2)
x−2+ 4− x
6x

2

=0⇔

2 ( x − 2)
2 + 4x − x

2

+

6x
x − 2 + 4 − x2

= 0 ⇒ VN

+
> 0, ∀0 < x < 2 .
2 + 4 x − x2 x − 2 + 4 − x2
+) Với x = 2 ⇒ y = 3 ( t / m )

Do

+) Với x = 0 ⇒ y = 1( L)

Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)
 y + x + y + 1 = x + ( x + 1) 2 − y 2

Câu 8: Giải hệ phương trình 
( x − 1) y + 2 − ( y − 2 ) x + 3 = 2

Lời giải
ĐK: x ≥ −3, y ≥ −2, x + y + 1 ≥ 0,

( x + 1)

2

≥ y2

(*)

Khi đó (1) ⇔ x − y + x + y + 1. x − y + 1 − x + y + 1 = 0.

a = x + y + 1 ≥ 0
Đặt 
⇒ x − y = b 2 − 1 ⇒ b 2 − 1 + ab − a = 0 ⇔ ( b − 1)( b + 1) + a ( b − 1) = 0
b = x − y + 1 ≥ 0

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

⇔ ( b − 1)( a + b + 1) = 0 ⇔ b = 1 ⇒ x − y + 1 = 1 ⇔ x − y + 1 = 1 ⇔ x = y.
Thế vào (2) có ( x − 1) x + 2 − ( x − 2 ) x + 3 = 2

⇔ ( x − 1)

(

)

x + 2 − 2 − ( x − 2)

(

)

x+3−2 ⇔

( x − 1)( x + 2 − 4 ) − ( x − 2 )( x + 3 − 4 ) = 0
x+2 +2

x+3+2

x = 1

1
1


⇔ ( x − 1)( x − 2 ) 
−
 = 0 ⇔ x = 2
 2+ x+2 2+ x+3 

2 + x + 2 = 2 + x + 3

x =1
x = 1⇒ y =1
⇔  x = 2

⇔
⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )} thỏa mãn (*).
x = 2⇒ y =2

 x + 2 = x + 3
Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; 2 )}.
2x − 4 y + 2

 1− x + x − 2 y +1 =
1− x
Câu 9: Giải hệ phương trình 
 2
2
3
 x − 4x + 7 + 5x − 7 y + 3 = y + 2

Lời giải
ĐK: x < 1, x + 1 ≥ 2 y (*). Đặt a = 1 − x > 0, b = x − 2 y + 1 ≥ 0

⇒ (1) thành a + b =

2b 2
⇔ a 2 + ab − 2b 2 = 0 ⇔ ( a − b )( a + 2b ) = 0
a

(3)

Với a > 0, b ≥ 0 ⇒ a + 2b > 0 nên ( 3) ⇔ a = b ⇒ 1 − x = x − 2 y + 1
⇒ 1− x = x − 2 y +1 ⇔ x = y

x2 − 4 x + 7 + 3 5x2 − 7 x + 3 = x + 2 ⇔ x2 − 4 x + 7 − 2 = x − 3 5x2 − 7 x + 3

Thế vào (2) có

(4)

2

2
7  11

2
3
2
2
3
Ta có x − 7 x + 3 =  x 5 −
 + 20 > 0, xét T = x + x 5 x − 7 x + 3 + ( 5 x − 7 x + 3)
2 5


2

2

3

2
5x2 − 7 x + 3  3 3
⇒T =x+

5 x 2 − 7 x + 3 ) > 0.
 +
(


2

 4

Do đó ( 4 ) ⇔

⇔

x2 − 4 x + 7 − 4
x2 − 4x + 7 + 2

x2 − 4x +
2 + x2 − 4 x + 7

+

Với x ≤ 1 và T > 0 ⇒

=

x 3 − ( 5 x 2 − 7 x + 3)
T

(1 − x ) ( x 2 − 4 x + 3)
T

1
2 + x2 − 4 x + 7

+

=

( x − 1) ( x 2 − 4 x + 3)
T


1
1− x 
= 0 ⇔ ( x 2 − 4 x + 3) 
+

2
T 
 2 + x − 4x + 7

(5)

1− x
> 0.
T

x =1⇒ y =1
Khi đó ( 5 ) ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
⇒ ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)} thỏa mãn (*).
x = 3 ⇒ y = 3

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3)}.
Hội đồng biên soạn :
Thầy Đặng Việt Hùng (tổng chủ biên)
Lê Văn Tuấn
Nguyễn Thế Duy
Lương Tuấn Đức
Vũ Văn Bắc
Trịnh Anh Dũng

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!