Phương trình bậc hai và một số cách giải

Phương trình bậc hai và một số cách giải
Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng
, với

và là các số thực thoả mãn

.

Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.
. Số nghiệm của phương trình bậc hai

Đặt
. Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ
khi
, có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi
và có nghiệm khi và chỉ
khi
. Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số
của sau đó mới tính trong trường hợp hệ số này khác .
Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau

phương trình

có hai nghiệm phân biệt.
Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình
vô nghiệm với

và là độ dài ba cạnh của một tam

giác.
Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi

nghiệm

một trong ba phương trình sau phải có
và


Bài 1.4. Cho
trình

là các số thực không đồng thời bằng . Chứng minh rằng phương
có nghiệm.

Bài 1.5. Cho
phương trình

là các số thực thoả mãn
có nghiệm.

Bài 1.6. Cho
phương trình

là các số thực thoả mãn
có nghiệm.

Bài 1.7. Cho
là các số thực thoả mãn
một trong ba phương trình sau có nghiệm
và
.

. Chứng minh rằng

. Chứng minh rằng

. Chứng minh rằng ít nhất

Bài 1.8. Cho
là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng . Chứng minh
rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình
vô nghiệm
và
.
Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu
trình sau có nghiệm

là các số thực thoả mãn
.

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi
nghiệm

thì phương

phương trình sau luôn có

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai
và
có các hệ số thoả mãn
thì ít nhất một trong hai
phương trình đó có nghiệm.

. Giải phương trình bậc hai có tham số


Đừng có tính
bằng .

của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của

có thể

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình
Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình
Phải xét
kiện.

trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều

. Một số phương trình quy về bậc hai
Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương
trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.
Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây
a)Phương trình trùng phương

.

b)Phương trình đối xứng gương
c)Phương trình dạng
d)Phương trình dạng

e)Phương trình dạng

.
.
với

.


Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng
cũng gần như một trong năm dạng trên.
Bài 3.1. Giải các phương trình
a)
b)

.

c)
d)

.
.

e)

.

Bài 3.2. Giải các phương trình
a)

b)

c)

.

.

.

Bài 3.3. Giải các phương trình

a)

b)

.

.


Bài 3.4. Giải các phương trình
a)

.

b)

.

Bài 3.5. Cho phương trình
trình có

Tìm

a) nghiệm phân biệt.
b) nghiệm phân biệt.
c) nghiệm phân biệt.
d) nghiệm.
e) nghiệm.
Bài 3.6. Giải các phương trình

a)

.

b)

c)
Bài 3.7. Giải các phương trình

.

để phương


a);

b)

.
. Định lý Viét và các áp dụng
Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là

có

và

. Nhẩm nghiệm
Nếu
Nếu

thì phương trình có các nghiệm
thì phương trình có các nghiệm

Bài 4.1.1. Giải các phương trình
a)
b)

;
.

Bài 4.1.2. Giải các phương trình
a)

;

.
.

và

thì ta


b)

;

c)

;

d)

.
. Xét dấu các nghiệm

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
, phương trình có hai
nghiệm âm khi và chỉ khi
và
, phương trình có hai nghiệm
dương khi và chỉ khi
và
.
Bài 4.2.1. Tìm giá trị của
nghiệm mang dấu gì?
a)
b)

Bài 4.2.2. Tìm

để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai

;
.
để phương trình

có

a)Một nghiệm;
b)Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;
c)Hai nghiệm âm phân biệt.
Bài 4.2.3. Tìm

để phương trình

a)Hai nghiệm cùng dấu;

có


b)Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;
c)Đúng một nghiệm dương.
Bài 4.2.4. Tìm để phương trình
nghiệm không dương.

có đúng một

Bài 4.2.5. Tìm để phương trình

nghiệm không âm.

có ít nhất một

Bài 4.2.6. Cho biểu thức
Tìm

để có thoả mãn

Bài 4.2.7. Tìm

để có

sao

cho
Bài 4.2.8. Tìm

để có sao cho

. Tính giá trị của một biểu thức đối xứng của các nghiệm
Để tính giá trị của biểu thức
chỉ có hai biến
và

với
.

đối xứng, ta chuyển

về biểu thức


Bài 4.3.1. Gọi

là các nghiệm của phương trình

.

Tính

Lập

phương trình bậc hai có hai nghiệm là

.

Bài 4.3.2. Không giải phương trình hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm
lớn và nhỏ của phương trình bậc hai

Bài 4.3.3. Giả sử
là nghiệm của phương trình
nghiệm của phương trình
. Tính giá trị của biểu
thức
theo .
Bài 4.3.4. Gỉa sử
là các nghiệm của phương trình
Tính
theo và tìm một đa thức bậc có hệ số nguyên

nhận
làm nghiệm.

Bài 4.3.5. Gọi
các biểu thức sau

là các nghiệm của phương trình

;
;

.

và

là

.

. Tính giá trị


Bài 4.3.6. Cho các phương trình
và
.
Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của
phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. Chứng minh rằng

Bài 4.3.7. Gỉa sử phương trình
Chứng minh rằng

là một hợp số.

có hai nghiệm nguyên dương.

Bài 4.3.8. Cho phương trình
nghiệm của phương trình, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

. Gọi

Bài 4.3.9. Cho phương trình

. Gọi

là các
.
là các

nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng
. Dãy

Nhớ là ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp của dãy trên.
Bài 4.4.1. Cho
là các nghiệm của phương trình
một số nguyên. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , số
nguyên không chia hết cho
.

với
là
là một số

Bài 4.4.2. Chứng minh rằng nếu các số thực
và
thì chúng cũng thoả mãn
dương .
Bài 4.4.3. Cho
trình

thoả mãn
với mỗi số nguyên

là một số nguyên dương và

a)Chứng minh rằng

là một số nguyên;

b)Tìm

là bội của

bé nhất để

là các nghiệm của phương

.

Bài 4.4.4. Cho là một số nguyên lẻ và phương trình
có hai

nghiệm phân biệt
. Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì
và
là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 4.4.5. Tìm số dư khi chia
Bài 4.4.6. Gọi
hiệu
a)Tính

cho .

là các nghiệm của phương trình
với là số nguyên dương.

. Kí

;

b)Tìm một hệ thức liên hệ
hãy tính
;
c)Chứng minh rằng
d)Tìm số dư khi chia

với

là số nguyên dương bất kì. Từ đây

là số nguyên dương với mỗi
cho .

nguyên dương;


Bài 4.4.7. Cho

và

.

a)Chứng minh rằng
b)Đặt
đơn vị là ;

;

. Chứng minh rằng

c)Tìm chữ số hàng đơn vị của

là các số tự nhiên có chữ số hàng

.

Bài 4.4.8. Tìm chữ số cuối cùng của
. Tìm hai số biết tổng và tích
là các nghiệm của phương trình

với

.

Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng
a)Tổng bằng , tích bằng

;

b)Tổng bằng , tích bằng .
. Hệ phương trình đối xứng kiểu 1
Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng
với
thức đối xứng của và . Để giải hệ này ta dùng phép đặt
Bài 4.6.1. Giải các hệ phương trình
a)

;

và

là các biểu
và
.


b)

;

c)

;

d)
e)

;
.

Bài 4.6.2. Giải các hệ phương trình

a)

;

b)

;

c)

.

Bài 4.6.3. Giải các hệ phương trình
a)

b)

;

;

c)

.

Bài 4.6.4. Giải các hệ phương trình
a)

;


b)

.

Bài 4.6.5. Giải các hệ phương trình
a)

;

b)

;

c)

;

d)

;

e)

.
. Tìm tham số để

Nếu đối xứng thì ta chuyển về
, nếu trái lại ta có hai cách để làm. Chuyển
về giải hệ
sau đó thay vào
. Hoặc có thể dùng
phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp đối xứng. Cả hai cách làm
đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình.
Bài 4.7.1 Tìm

để phương trình

có hai nghiệm

mãn
Bài 4.7.2. Xác định

để các nghiệm
thoả mãn

của phương trình
.

thoả

Bài 4.7.3. Tìm để phương trình
nghiệm
thoả mãn
.
Bài 4.7.4. Tìm
nghiệm

có hai

để phương trình

có hai

thoả mãn

.

Bài 4.7.5. Cho phương trình
có
. Chứng minh rằng trong
hai nghiệm của phương trình, có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
là các nghiệm của phương trình

với

.

Bài 4.8.1. Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm là
Bài 4.8.2. Gọi
là các nghiệm của phương trình
phương trình bậc hai có các nghiệm là
và
Tính
.

Bài 4.8.3. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm
mãn

Bài 4.8.4. Gọi

và

. Hãy lập
.

thoả
.

là các nghiệm của phương trình

trình bậc hai có các nghiệm là

.

và

.

. Lập phương


Bài 4.8.5. Tìm các số
nguyên và
.

sao cho phương trình

có nghiệm

. Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm
Phương pháp chung để giải bài toán dạng này là khử
hệ
.
Bài 4.9.1. Cho phương trình
không phụ thuộc .

Bài 4.9.2. Cho phương trình
phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là
nghiệm không phụ thuộc .

từ

. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm

. Xác định để
. Tìm hệ thức liên hệ giữa các

Bài 4.9.3. Cho phương trình bậc hai
. Khi
phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ
thuộc .
Bài 4.9.4. Cho phương trình bậc hai
. Khi
phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ
thuộc .
. Nghiệm của hai phương trình bậc hai


Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để
hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương
trình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),…
Bài 5.1. Tìm các số thực
hai
và
Đáp số.

và

Bài 5.2. Tìm
và
Đáp số.
Bài 5.3. Tìm
và

Đáp số.

sao cho

và hai phương trình bậc
có nghiệm chung duy nhất.

.

để hai phương trình sau có nghiệm chung
.
.
để hai phương trình sau có nghiệm chung
.

và

.

Bài 5.4. Tìm để hai phương trình
nghiệm chung.
Đáp số.

.

Bài 5.5. Xác định
và
Đáp số.

.

để hai phương trình
có nghiệm chung.

và

có


Bài 5.6. Xác định để phương trình
lần một nghiệm của phương trình
Đáp số.

và

có một nghiệm bằng hai
.

.

Bài 5.7. Cho hai phương trình

và

.

a)Tìm để hai phương trình có nghiệm chung.
b)Tìm để hai phương trình tương đương.

Đáp số.

và

.

Bài 5.8. Tìm để hai phương trình
chung.
Đáp số.

và

có nghiệm

.

Bài 5.9. Cho hai phương trình
phương trình có nghiệm chung và

và
bé nhất.

. Tìm

để hai

Hướng dẫn. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung
là
Từ đây suy ra
cùng dấu, hay
.
Đặt
rồi tìm để hệ
có nghiệm. Đáp số

là

.


Bài 5.10. Cho hai phương trình
phương trình có nghiệm chung và
Đáp số.

và
bé nhất.

. Tìm

để hai

.

. Phương trình bậc hai trên

Điều kiện cần để phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên
hay nghiệm hữu tỷ là của nó phải là một bình phương đúng.
Bài 6.1. Tìm tất cả các số nguyên để phương trình
có nghiệm nguyên.
Bài 6.2. Với giá trị nguyên nào của thì phương trình
có các nghiệm là các số hữu tỷ.
Bài 6.3. Gỉa sử
trình

là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương

không thể có nghiệm hữu tỷ.

Lời giải. Dùng phương pháp hiệu bình phương của Fermat.
Bài 6.4. Chứng minh rằng nếu
và phương trình
hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên.
Bài 6.5. Chứng minh rằng nếu
là các số nguyên lẻ thì phương
trình
không thể có nghiệm hữu tỷ.

có nghiệm


Lời giải.

.

. Giao điểm của đường thẳng và Parabol

Cho đường thẳng có phương trình
và parabol
có phương
trình
. Khi đó số giao điểm của và
đúng bằng số nghiệm khác
nhau của phương trình
, và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm
của phương trình này.
Bài 7.1. Cho

và

.

a)Xác định toạ độ các giao điểm
b)Tìm

thuộc cung

của

của

và

;

để diện tích tam giác

Bài 7.2. Cho
và
xúc với . Tìm toạ độ tiếp điểm.

. Tìm

để

và tiếp

. Tìm
.

Bài 7.4. Cho
ứng. Tìm trên cung

và hai điểm
có hoành độ bằng
và tương
của
sao cho tam giác
có diện tích lớn nhất.
. Chứng minh rằng với mỗi
vuông góc với nhau.

của

đi qua

Bài 7.3. Cho
đường thẳng

Bài 7.5. Cho
tuyến kẻ từ đến

để tiếp tuyến tại

lớn nhất.

song song với

, các tiếp


Bài 7.6. Cho
độ dài bé nhất.

. Tìm

Bài 7.7. Cho

để

cắt

.

a)Viết phương trình
b)Xác định

nếu

và

;

nếu đường thẳng tiếp xúc với

Bài 7.8. Cho đường thẳng có phương trình
để cắt

tại hai điểm phân biệt
của
.

tại

để

song song với

.

. Tìm
, khi đó tìm toạ độ trung điểm

Bài 7.9. Chứng minh rằng với mỗi , đường thẳng
tại hai điểm phân biệt. Gọi hai điểm nói trên là
, tìm
giác
bằng .
Bài 7.10. Tìm
bằng .

theo một dây cung có

tiếp xúc với

cắt
để diện tích của tam

tại điểm có hoành độ