Bài giảng xử lý số tín hiệu chương 4 bộ lọc FIR và tích chập

1-Oct-12

XỬ LÝ SỐ TÍN HIỆU
1

Chương 4:
Bộ lọc FIR v{ tích chập


PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH CHẬP CHO BỘ
LỌC FIR
Phương ph|p xử lý khối: dữ liệu vào được thu thập và
xử lý theo từng khối.












1-Oct-12



Dạng trực tiếp.
Dạng bảng tích chập.

Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian.
Dạng ma trận.
Dạng lật v{ trượt.
Dạng khối cộng chồng lấp.
Trạng th|i tức thời & trạng th|i tĩnh.
Tích chập đối với chuỗi không x|c định chiều d{i.

Phương ph|p xử lý mẫu: dữ liệu được xử lý từng mẫu ở
từng thời điểm qua giải thuật DSP để cho các mẫu ở ngõ
ra.

2


1. TÍCH CHẬP
Cho tín hiệu x(n) có chiều d{i L qua hệ thống nh}n
quả có đ|p ứng xung h(n) d{i M+1



Ngõ ra y(n):

1-Oct-12



y(n)  x(n) * h(n)  k x(k )h(n  k )  m h(m) x(n  m)

3

M

y(n)   h(m) x(n  m)

1. TÍCH CHẬP (TT)

m 0

1-Oct-12

L mẫu lưu lại trong x(n), với n=0,1,…,L-1:
x = [x0 x1 x2 x3 … xL-1]
 Đáp ứng xung có chiều dài M+1: (bộ lọc FIR bậc M)
h = [h0 h1 h2 h3 … hM]




Nhận xét:


Chiều d{i ngõ ra y(n):

Ngõ v{o có chiều d{i L: 0≤n-m≤L-1
→ m≤n≤m+L-1.
Đ|p ứng xung có chiều d{i M+1: 0≤m≤M.
Suy ra:
0≤ m≤n≤m+L-1 ≤M+L-1.
Vậy ngõ ra có chiều d{i: Ly=L+M

4


M

y(n)   h(m) x(n  m)
m 0

1. TÍCH CHẬP (TT)

1-Oct-12



Nhận xét: (tt)


Tổng c|c chỉ số của h v{ x: m+(n-m)=n
VD: y(0)=h0x0
y(1)=h0x1+h1x0

Từ đó ta có thể viết lại công thức tích chập dưới dạng:

y(n)  i , j

i  j n



h(i) x( j )

Số phần tử tạo th{nh một mẫu ngõ ra:

 0mM
 0mM



0

n

m

L

1

n  L  1  m  n

max( 0, n  L  1)  m  min( n, M )

=>Từ những nhận xét n{y nhiều phương ph|p tính tích
chập đ~ được đưa ra.

5


M

y(n)   h(m) x(n  m)

2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI

1-Oct-12

a.

m 0

Dạng trực tiếp: do m phải đồng thời thoả cả 2 bất
đẳng thức:

 0mM

n  L  1  m  n

max( 0, n  L  1)  m  min( n, M )
Suy ra:
Công thức tính tích chập trực tiếp:

y(n)  mmax(0,n L1) h(m) x(n  m)
min( n , M )

n  0,1,..., L  M  1
6


y(n)  mmax(0,n L1) h(m) x(n  m)

min( n , M )

2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

Ví dụ: cho bộ lọc FIR có đ|p ứng xung
h(n)=[h0,h1,h2,h3]=[1,-1,-2,2]
Tìm tín hiệu ngõ ra nếu chiều d{i ngõ v{o l{ 5:
x(n)=[x0,x1,x2,x3,x4]=[1,0,-2,3,-1]


Ngõ ra:

yn 

min( n ,3 )



m max( 0 , n  4 )

hm xnm
7


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)



m max( 0 , n  4 )

1-Oct-12

yn 

min( n ,3 )

hm xnm

max(0, 0  4)  m  min(0, 3)  m  0
max(0,1  4)  m  min(1, 3)  m  0,1
max(0, 2  4)  m  min( 2, 3)  m  0,1, 2
max(0, 3  4)  m  min(3, 3)  m  0,1, 2, 3
max(0, 4  4)  m  min( 4, 3)  m  0,1, 2, 3
max(0, 5  4)  m  min(5, 3)  m  1, 2, 3
max(0, 6  4)  m  min(6, 3)  m  2, 3
max(0, 7  4)  m  min(7, 3)  m  3

y0  h0 x0
y1  h0 x1  h1 x0
y2  h0 x2  h1 x1  h2 x0
y3  h0 x3  h1 x2  h2 x1  h3 x0
y4  h0 x4  h1 x3  h2 x2  h3 x1
y5  h1 x4  h2 x3  h3 x2
y6  h2 x4  h3 x3
y7  h3 x4

y=[y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7]

8

M

y(n)   h(m) x(n  m)

2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)

1-Oct-12

b.

m 0

Dạng bảng tích chập: từ nhận xét ngõ ra y(n) l{ tổng c|c
tích h(i)x(j) với i+j=n

y(n)  i , j

i  j n

h(i) x( j )

Từ đó, tích chập có thể được tính theo dạng bảng:

y0

x0

x1

h0

h0x0

h1

x2

x3

x4

h0x1

h0x2

h0x3

h0x4

h1x0

h1x1

h1x2

h1x3

h1x4

h2x0

h2x1

h2x2

h2x3

h2x4

h3

h3x0

h3x1

h3x2

h3x3

h3x4

y3

y4

y5

y6

y7

y1 i h2
y2

j

C|ch tính: Tổng mỗi đường chéo phụ sẽ cho 1 gi| trị ngõ ra.

9


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

Ví dụ: Tính tích chập của
h = [1, 2, -1, 1] và x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1]
h

x

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2

4

2

4

4

2

2

-1

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-1

-1

1

1

1

1

1

2

2

1

1

y = [1

3

3

5

3

7

4

3

3

0 1]
10


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

Ví dụ: Tính tích chập theo dạng bảng tích chập của
h(n)=[1,-1,-2,2] và x (n)= [1,0,-2,3,-1]

11


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Dạng tuyến tính bất biến theo thời gian:
x(n)=[x0,x1,…,xL-1] có thể được biểu diễn dưới dạng:
x(n)=x0δ(n)+ x1δ(n-1)+…+ xL-1δ(n-L+1)
H
 (n) 
h(n)
Ta đ~ biết:
Nếu một hệ thống l{ tuyến tính v{ bất biến:

1-Oct-12

c.

H
xm (n  m) 
xm h(n  m)

Như vậy:
H
x(n) 
y ( n)



H

x0 (n) 
x0 h(n)

H
x1 (n  1) 
x1h(n  1)




H
 xL 1 (n  L  1) 

xL 1h(n  L  1)

12


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12



Mô tả khối dữ liệu ngõ v{o, ngõ ra:

x0 [1, 0, 0, 0, 0]

x0 [h0 , h1 , h2 , h3 , 0, 0, 0, 0]

x1[0,1, 0, 0, 0]

x1[0, h0 , h1 , h2 , h3 , 0, 0, 0]

H
x2 [0, 0,1, 0, 0] 
 x2 [0, 0, h0 , h1 , h2 , h3 , 0, 0]

x3[0, 0, 0,1, 0]

x3[0, 0, 0, h0 , h1 , h2 , h3 , 0]

x4 [0, 0, 0, 0,1]

x4 [0, 0, 0, 0, h0 , h1 , h2 , h3 ]

y  [h0 x0 , h0 x1  h1x0 , h0 x2  h1x1  h2 x0 ,..., h2 x4  h3 x3 , h3 x4 ]
13


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

h0`

h1

h2

h3

h4

x0.h0

x0.h1

x0.h2

x0.h3

x0.h4

x1.h0

x1.h1

x1.h2

x1.h3

x1.h4

x2.h0

x2.h1

x2.h2

x2.h3

x2.h4

x3.h0

x3.h1

x3.h2

x3.h3

x3.h4

x4.h0

x4.h1

x4.h2

x4.h3

x4.h4
14
14


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)



1-Oct-12



Bảng tích chập dưới dạng LTI: (L=5, M=3)
h0

h1

h2

h3

0

0

0

0

x0

x0h0

x0h1

x0h2

x0h3

0

0

0

0

x0h(n)

x1

0

x1 h 0

x1 h 1

x1 h 2

x1 h 3

0

0

0

x1h(n-1)

x2

0

0

x2 h 0

x2 h 1

x2 h 2

x2 h 3

0

0

x2h(n-2)

x3

0

0

0

x3 h 0

x3 h 1

x3 h 2

x3 h 3

0

x3h(n-3)

x4

0

0

0

0

x4 h 0

x4 h 1

x4 h 2

X4 h 3

x4h(n-4)

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

C|ch tính: tổng mỗi cột sẽ cho ra 1 gi| trị ngõ ra.

15


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Ví dụ: Tính tích chập theo dạng LTI của
h(n)=[1,-1,-2,2] và x (n)= [1,0,-2,3,-1]

1-Oct-12



16


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Dạng ma trận: y=Hx
Ma trận H được x}y dựng từ đ|p ứng xung h(n).
Kích thước ma trận: (L+M)×L
y0

h0

Ma trận Toeplitz
0
…

0

y1

h1

h0

…

⋮

⋮

y2

h2

h1

⋱

0

0

x0

⋮

⋮

h2

⋱

h0

0

x1

yM-1

hM-1

⋮

⋱

h1

h0

x2

hM

hM-1

⋱

⋮

h1

yM+1

0

hM

⋱

hM-2

⋮

xL-2

yM+2

0

0

⋱

hM-1

hM-2

xL-1

⋮

⋮

⋮

…

hM

hM-1

yM+L-1

0

0

…

0

hM

yM

=

0

1-Oct-12

d.

⋮

17


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Ngo{i ra ta cũng có thể viết: y=Xh
Trong đó ma trận X có kích thước (L+M) ×(M+1).
Ma trận X cũng có dạng tương tự như ma trận H, chỉ
cần thay h bằng x ở c|c gi| trị tương ứng.

1-Oct-12



18


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

Ví dụ: Tính y(n) bằng phương ph|p ma trận y=Hx v{

y=Xh
Biết: x(n)=[1,0,-2,3,-1] và h(n)=[1,-1,-2,2].

19


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Dạng lật v{ trượt (flip and slide):
Từ công thức tích chập:
y(n)=h(0)x(n)+h(1)x(n-1)+…+h(M)x(n-M)
Ta có thể vẽ lại sơ đồ tính tích chập dưới dạng lật v{ trượt
như sau:



Giả sử L>M+1: số phần tử tối đa tạo th{nh ngõ ra: M+1
0≤ n M ≤n ≤L-1: trạng th|i x|c lập (trạng th|i tĩnh).
 L-1
1-Oct-12

e.



20


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)

Tính chập khối cộng chồng lấp:
Nếu ngõ v{o rất d{i hoặc có chiều d{i không x|c định
những phương ph|p trên đòi hỏi bộ nhớ rất lớn → không
thực tế.
 Để tính tích chập, ta chia tín hiệu v{o th{nh nhiều khối
ngắn có chiều d{i L.


1-Oct-12

f.

x(n)  r 0 xr (n  rL)


Trong đó :
 x(n  rL) 0  n  L  1
xr ( n )  
0
n khác

Khi đó :
y(n)  x(n) * h(n)  r 0 xr (n  rL) * h(n)  r 0 yr (n  rL)




21

2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Sơ đồ tính tích chập khối cộng chồng lấp

1-Oct-12



22


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
1-Oct-12

Ví dụ: Tính tích chập x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] với h = [1, 2, -1, 1]
bằng pp cộng chồng lấn, chọn L = 3.
Chia ngõ v{o th{nh c|c khối nhỏ:
x=[1,1,2,1,2,2,1,1,0] (thêm 0 v{o cho đủ chiều d{i L)
Chập từng khối nhỏ với h, ở đ}y ta sử dụng bảng tích chập.
Block 0
h

x

Block 1

Block 2

1

1

2

1

2

2

1

1

0

1

1

1

2

1

2

2

1

1

0

2

2

2

4

2

4

4

2

2

0

-1

-1

-1

-2

-1

-2

-2

-1

-1

0

1

1

1

2

1

2

2

1

1

0

Ngõ ra:

y0=[1,3,3,4,-1,2] y1=[1,4,5,3,0,2] y2=[1,3,1,0,1]

23


2. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ KHỐI (TT)
Cộng chồng lấp:
n

0

1

2

3

4

5

y0

1

3

3

4

-1

2

1

4

5

y1
y2
y

1

3

3

5

3

7

6

7

8

9

10

3

0

2

1

3

1

0

1

4

3

3

0

1

1-Oct-12



Ngõ ra: y0=[1,3,3,4,-1,2]
y1=[1, 4,5,3,0,2]
y2=[1,3,1,0,1]
24


3. PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ MẪU
C|c khối cơ bản của hệ thống xử lý mẫu:


Khối cộng:



Khối nh}n:



Khối l{m trễ:

1-Oct-12



25