TS247 BG can bac hai can thuc bac hai va hang dang thuc 3064 1445227508
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (557.74 KB, 8 trang )
CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA (Phần 1)
I. CĂN BẬC HAI
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Căn bậc hai
Định nghĩa: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
a > 0 : có hai căn bậc hai là √
√
a = 0 : có một căn bậc hai là √ = 0
a < 0 : không có căn bậc hai
2. Căn bậc hai số học
Định nghĩa: Với số dương a, số √ được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được
gọi là căn bậc hai số học của 0.
Chú ý: Với a ≥ 0, ta có x = √
{
3. So sánh các căn bậc hai số học
Định lí: Với các số a và b không âm, ta có:
a
√
√
B. Bài tập
Bài 1: Tìm x sao cho:
a, x2 = 16
b, x2 =
c, x2 = -4
Hướng dẫn giải
a, x2 = 16 thì x = 4 hay x = -4
b, x2 =
thì x =
hay x =
c, x2 = -4 thì không tồn tại số thực x
Bài 2: Tính
a. √
b. √
c. √
d. √
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
1
e. √
f. √
√
g. (√
√ ):2
Hướng dẫn giải
a. √
b. √
d. √
e. √
f. √
√
g. (√
√ ):2=(
c. √
= 1,2 + 2.0,3 = 1,8
):2=
:2=
Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:
a.
√
b. (3 +√ )(3
√ )
d. (5√
√
√
c. (3√
Hướng dẫn giải
a.
√
22 - 4√
b. (3 + √ ( 3
(√ ) 2 = 4 - 4√ + 5 = 9 - 4√
√ ) = 32 – (√ )2 = 9 – 2 = 7
c. (3√
√
= (3√ )2 – 1 = 9(√ )2 – 1 = 9.5 – 1 = 44
d. (5√
√
= (5√ )2 – 32 = 25.( √ )2 – 9 = 25.2 – 9 = 41
Bài 4: Giải phương trình:
a. √ = 3
b. √
c. √
d. √
√
Hướng dẫn giải
a. √ = 3 nên x2 = 32 vậy x = 9
b. √
c. √
√
nên x = (√ )2 vậy x = 5
nên x = 0
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
2
d. Vô nghiệm vì √
≥0
Bài 5: So sánh các số
a. 2√
b. 2 + √
và 10
và 3 + √
Hướng dẫn giải
Ta có 31 > 25 nên √
√
√
a. Áp dụng định lí a > b ≥ 0
>5
Hay 2√
a2 > b 2
b. Áp dụng định lí a > b ≥ 0
Ta có: (2 + √
)2 = 7 + 4 √
(3 + √ )2 = 11 + 6√
Nhưng 4√
Nên 7 + 4√
Vậy 2 + √
(vì (6√ )2 = 48 ; (6√ )2 = 72)
6√
11 + 6√
< 3+√
Bài 6: Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng:
a. Nếu a = b thì √
√
b. Nếu a > b thì √
√
và ngược lại
và ngược lại
Hướng dẫn giải
a. Do a và b dương nên √
√
đều xác định và đều là số dương.
Từ a = b (giả thiết) nên a – b = 0. Ta có:
a – b = (√
)2 – (√ )2 = (√
vì a – b = 0 và √
+√
+ √ )( √
-√ )
> 0 nên suy ra √
- √ = 0 . Vậy √
√
Điều ngược lại chứng minh tương tự như trên hoặc dùng phản chứng.
b. Dùng cách chứng minh tương tự câu a.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
3
Bài 7:
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=1+√
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B=5-√
Hướng dẫn giải
a. Ta có: √
≥ 0 nên A = 1 + √
≥1
Suy ra A có giá trị nhỏ nhất bằng 1 √
b. Ta có : √
≥ 0 nên
√
= 0 . Hay x = 2
≤ 0 hay B = 5 - √
=> B có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi √
≤5
= 0 hay x =
II. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC √
= |A|
A. Tóm tắt lí thuyết
1. Căn thức bậc hai
* Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi √ là căn thức bậc hai của A, còn A được
gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
*√
xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm. Với mỗi giá trị không âm của
a thì √
lấy giá trị là căn bậc hai số học của a.
2. Hằng đẳng thức √
= |A|
Định lí: Với mọi số a, ta có √
= |a|
Chú ý: Một cách tổng quát, với A là biểu thức ta có √
= |A| = {
B. Bài tập
Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
4
√
a. √
c.
b. 5,4 + 7√
d. (√
√
√
√ )
Hướng dẫn giải
√
a. √
= 0,2 + 0,5 = 0,7
b. 5,4 + 7√
c.
= 5,4 + 7.0,6 = 9,6
√
√
d. (√
= 5 – 0,4 = 4,6
= 0,5.10
√ )
(√
√ )
(√
√
)
(
)
= 0,1
Bài 9: Tìm giá trị của x để các căn thức sau có nghĩa:
a. √
b. √
c. √
d. √
Hướng dẫn giải
a. √
có nghĩa a – 1 ≥ 0
b. √
có nghĩa
2 – 3x ≥ 0
a≥1
3x ≤ 2
x≤
Tương tự
c. x < 1
d. x ≤
(vì x2 + 1 > 0 với mọi x)
Bài 10: Tính
a. √
b. √
√
√
√
√
;
√
√
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
5
Hướng dẫn giải
a. √
√
√
b. √
√
√
= |1 - √ + |2 - √
√
√
√
√
=√
√
= 2.(3 - √
√
=1
= 12
Bài 11:
a. Rút gọn: √
√
√
b. Giải phương trình √
√
√
√
Hướng dẫn giải
a. Xét 6 + 4√ = 4 + 4√ + 2 = (2 + √ )2
Tương tự
6 - 4√ = (2 - √ )2
=> √
√
√
√ =√
√
√
√
b. Từ câu a, phương trình đã cho được viết : √
|x – 1| = 4
x–1=±4
=2+√
√
=4
x = 5 hoặc x = -3
Bài 12: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng của hiệu hai bình phương rồi phân tích ra
thừa số:
a. x2 – 2
b. x – 9 với x > 0
c. 4 + 3x với x < 0
d. 5 – 16x2
Hướng dẫn giải
a. x2 – 2 = x2 – (√ )2 = (x - √ )(x + √ )
b. Với x > 0 ta có x – 9 = (√ )2 – 32 = (√
c. Với x < 0 ta có 4 + 3x = 22 – 3.(-x) = 22 – (√
d. 5 – 16x2 = (√ )2 – (4x)2 = (√
√
)2 = (2 - √
)(2 + √
√
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
6
Bài 13: So sánh:
√
a. √
√
c.
và 7
và √
b. √
√
và √
d. √ √
và √ √
Hướng dẫn giải
a. Vì √
b. Ta có √
√
√
Vậy:
= 4 nên √
√
<3 +4=7
√ = 2 nên:
>√
>4+2+1=7=√
√
c.
√
= 4; √
√
√
√
= 3 và √
√
=5=√
<√
√
d. Chú ý rằng: với các số dương a, b thì: a2 > b2
Giả sử √ √
√ √
> √ √
√
Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên: √ √
a>b
√ √
√
√
18 > 12
√
> √ √
Bài 14:
a. Trong các số sau đây, số nào là số nguyên?
x=√
√
√
√
;y=√
√
√
√
b. Chứng minh rằng với x ≥ 1 thì
√
√
√
√
{
√
Hướng dẫn giải
a. √
√
√
√
√
√
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
7
Do đó x = 4
Vậy x là số nguyên
Ta có: y = 2√
Vậy y không phải là số nguyên
b. Gọi biểu thức cần thu gọn là A, ta có:
A = |√
√
Ta luôn có |√
(x ≥ 1)
√
Với |√
ta thấy:
+ x ≥ 2 thì √
≥ 1, do đó |√
- 1| = √
-1
+ 1 ≤ x ≤ 2 thì √
, do đó |√
- 1| = 1 - √
Từ đó ta có √
√
√
√
{
√
>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!
8
