SKKN hệ thức vi ét và ứng dụng toán 9

www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN ỨNG HÒA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Người thực hiện: Lê Thanh Tân
Đơn vị công tác: Trường THCS Viên An
Tổ:
Khoa học tự nhiên

Viên An, ngày 22 tháng 4 năm 2011
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-1-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9

BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI
NỘI DUNG

Trang

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
3

I - Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở thực tiễn
2. Cơ sở lí luận
3. Cơ sở giáo dục
II - Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

4

1. Mục đích nghiên cứu
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
III - Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4

IV - Các phương pháp nghiên cứu

5

1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
2. Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm
3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
A - Hệ thống kỉến thức cần nhớ
B - Các ứng dụng của hệ thức Vi - ét
C - Các dạng bài tập ứng dụng

D - Kết quả
E - Bài học rút ra
G - Hạn chế của đề tài
PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-2-

6
7
8
15
15
16
17
Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
PHẦN THỨ NHẤT - ĐẶT VẤN ĐỀ
I - LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở thực tiễn
Trong quá trình dạy học thì bản thân mỗi giáo viên phải luôn phấn đấu,
tìm tòi đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy,
gây được uy tín với đồng nghiệp, học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh
học sinh và cộng đồng.
Là giáo viên trực tiếp đứng lớp tôi luôn tự đặt ra cho mình những câu hỏi,
những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra những phương pháp

giảng dạy phù hợp
Cùng với những môn học khác, môn Toán là môn học vô cùng quan
trọng, là môn học khó nhưng thật hấp dẫn đối với những em học sinh yêu
thích môn toán, nó giúp các em phát triển tư duy lô gíc, hình thành những kỹ
năng ứng dụng toán học vào thực tế đời sống cũng như vào việc học tập các
môn học khác.
Đối với học sinh THCS hiện nay thì môn đại số là môn học khó. Qua
tìm hiểu từ tình hình thực tế nơi công tác và kinh nghiệm của bản thân tôi
thấy đa số học sinh rất ngại học các bài toán liên quan đến phương trình bậc
hai một ẩn: ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) nhất là các phương trình có chứa tham số
nói chung và các ứng dụng của hệ thức Vi - ét nói riêng. Trong chương trình
đại số 9 phần này được đề cập không nhiều trong sách giáo khoa, tuy nhiên
bài tập liên quan đến hệ thức Vi - ét thì lại rất đa dạng và nhiều đặc biệt là
trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
Đứng trước thực trạng như vậy mỗi người thầy không khỏi băn khoăn,
trăn trở phải làm thế nào để giúp các em học sinh giảm bớt những khó khăn,
căng thẳng, lúng túng khi gặp các bài toán liên quan đến hệ thức Vi - ét. Từ
cơ sở thực tiễn, trong phạm vi nhỏ hẹp của đề tài tôi xin trình bày một kinh
nghiệm nhỏ mà qua thử nghiệm tôi thấy giúp cho học sinh phần nào giảm
bớt khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2. Cơ sở lí luận
Theo tâm lí học con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt
động nhận thức chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác và
có tính tích cực. Đối với học sinh cũng vậy nếu các em chỉ học một cách thụ
động tiếp thu kiến thức theo cách nhồi nhét, không khoa học, không có thói
quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị lãng quên.
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-3-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
Vì vậy để phát huy tính tích cực và tính sáng tạo của học sinh thì
không còn cách nào khác là phải tạo cho các em niềm hứng thú trong học tập
nghĩa là mỗi giáo viên phải tìm cho mình phương pháp giảng dạy sao cho
phù hợp với từng đối tượng học sinh giúp các em tiếp thu kiến thức một cách
chủ động và có hệ thống, giúp các em nhận dạng được các dạng toán từ đó
có các giải sao cho phù hợp, ngắn gọn, dễ hiểu.

3. Cơ sở giáo dục
Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao
hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình
giáo dục được biến thành quá trình tự giáo dục.
II - MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm có thể giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể
về các vấn đề liên quan đến hệ thức vi - ét và các ứng dụng của nó, rút ra
được những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và hoàn thiện
hiểu biết từ đó có phương pháp giảng dạy tốt hơn, hiệu quả hơn, giúp học
sinh không lúng tung khi gặp những dạng toán có liên quan đến hệ thức vi ét
Thực hiện đề tài để thấy những thuận lợi và khó khăn khi giảng dạy phần
ứng dụng của hệ thức vi - ét qua đó định hướng và nâng cao chất lượng dạy
và học.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
*Thấy được vai trò của hệ thức vi - ét khi giải phương trình bậc hai

trong chương trình đại số 9
*Giúp học sinh giảm bớt khó khăn, lúng túng khi học nội dung có liên
quan đến hệ thức vi - ét, giúp các em phân loại được các dạng toán từ đó tìm
ra cách giải phù hợp
III - ĐỐI TƯƠNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
* Nghiên cứu phần ứng dụng của hệ thức vi - ét trong phương trình bậc
hai : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có chứa tham số
*Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến hệ thức vi - ét và ứng dụng của
nó
* Giáo viên giảng dạy cấp THCS và đặc biệt là học sinh lớp 9
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-4-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
IV - CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Đọc các tài liệu liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải
+) Tạp chí toán học
+) Sách giáo khoa, sách giáo vên
+) Sách tham khảo
+) Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10
+) Phương pháp giảng dạy môn toán THCS
2. Phương pháp thực nghiệm
Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả của đề tài

3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-5-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9

PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG

A - HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong đó a, b, c là các số
cho trước ; x là ẩn
2. Công thức nghiệm:
Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Ta có : ∆ = b 2 − 4ac .
+) Nếu ∆ = b 2 − 4ac < 0 thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt :

∆ = b 2 − 4ac > 0

x1,2 =

+) Nếu

∆ = b 2 − 4ac = 0

−b ± b 2 − 4ac
2a

thì phương trình có nghiệm kép:

x1,2 =

−b
2a

3. Hệ thức Vi - ét: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nếu phương trình
có hai nghiệm x1 , x2 thì S = x1 + x2 = -

b
c
; P = x1.x2 =
a
a

Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có thể sử
dụng định lí Vi - ét để tính các biểu thức của x1 , x2 theo a, b, c.
+) S1 = x1 + x2 = -

b
a

+) S2 = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 =
2

b 2 − 2ac
a2

3abc − b3
a3
b 2 − 4ac
2
= ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 =
a2

+) S3 = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) =
3

+) x1 − x2 = ( x1 − x2 )

2

B - CÁC ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI - ÉT.
a. Nhẩm nghiệm: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Nếu a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 =
Nếu a - b + c = 0 => x1 = - 1; x2 = -

c
a

c
a

b. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Cho hai số x, y biết rằng x + y = S; x.y = P thì x , y là nghiệm của phương trình
x2 + Sx + P = 0
c. Phân tích thành nhân tử:
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 , x2 thì
ax2 + bx + c = a( x - x1) (x - x2)
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-6-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
d. Xác định dấu của các nghiệm số :
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì x1 + x2 = -

b
c
; x1.x2 = .
a
a

c

< 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
a
c
*Nếu P = x1.x2 = > 0 và ∆ = b 2 − 4ac > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng
a
b
dấu. Khi đó: * Nếu S = x1 + x2 = - > 0 thì phương trình có hai nghiệm dương.
a
b
* Nếu S = x1 + x2 = - < 0 thì phương trình có hai nghiệm âm
a

*Nếu P = x1.x2 =

e. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a
≠ 0) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 , x2 theo S và P:
b
c
; P = x1.x2 = )
a
a
2
2
2
x1 + x2 = S − 2 P

( S = x 1 + x2 = +)
+)

x13 + x23 = S ( S 2 − 3P )

+)

1 1 S
+ =
x1 x2 P

+)

1
1
S 2 − 2P
+
=
x12 x22
P2

f. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số ta thực hiện
theo các bước sau:
a ≠ 0
∆ ≥ 0
b
c
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét ta tính: S = x1 + x2 = - ; P = x1.x2 = theo tham số
a
a

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm: 

Bước 3: Khử tham số để lập hệ thức giữa S và P từ đó ta suy ra hệ thức giữa hai
nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
g. Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước ta thực hiện
theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét tìm tổng và tích hai nghiệm theo tham số
Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua tổng và tích 2 nghiệm
Bước 4: Kết luận

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-7-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
C - CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG
DẠNG I - NHẨM NGHIỆM
Ví dụ: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a) x2 - 7x + 10 = 0
b) x2 + 14x + 48 = 0
c) x2 - 6x - 27 = 0
d) x2 + 4x - 12 = 0
Giải
2

a)Ta có ∆ = b − 4ac = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
x1 + x2 = 7
x1.x2 = 10 = 2.5
mà 2 + 5 = 7
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 và x2 = 5
b) Ta có ∆ = b 2 − 4ac = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
x1 + x2 = - 14
x1.x2 = 48 =( -6)(-8)
mà (-6)+ (-8) = -14
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -6 và x2 = -8
c) Ta có ∆ = b 2 − 4ac =144 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
x1 + x2 = 6
x1.x2 = -27 = -3.9
mà (-3) +9 = 6
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -3 và x2 = 9
d)Ta có ∆ = b 2 − 4ac =64 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
x1 + x2 = -4
x1.x2 = -12 = - 6.2
mà (-6) +2 = -4
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -6 và x2 = 2
DẠNG II - TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Ví dụ: Cho a và b là hai số thực thỏa mãn: 5a + b = 22. Biết phương trình
2
ax + bx + c = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó?
Giải
Gọi x1; x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình ̣ ( 0 < x1 < x2 )

Để phương trình có nghiệm ∆ = b 2 − 4ac > 0. Áp dụng hệ thức Vi -ét ta có:
a = - x1 - x2 và b = x1. x2
Theo giả thiết : 5(- x1 - x2) + x1. x2 = 22
 -5x1 - 5x2 + x1. x2 = 22
 x1(x2 - 5) - 5(x2 - 5) = 47
 (x1 - 5) (x2 - 5) = 47
(*)
Do phương trình có nghiệm là hai số nguyên dương nên −4 ≤ x1 − 5 ≤ x2 − 5 nên
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-8-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
 x1 − 5 = 1
x = 6
⇔ 1
 x2 − 5 = 47
 x2 = 52

( *) ⇔ 

Khi đó a = -58; b = 312 thỏa mãn 5a + b = 22
Vậy hai nghiệm của phương trình là x1 = 6 và x2 = 52
DẠNG III - BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM
Ví dụ1: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm

của phương trình. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) x12 + x22 ; x13 + x23 ; x14 + x24
b) x12.x23 + x13.x22 ; x1 − x2
Giải
Ta có ∆ = 17 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có S = x1 + x2 = - 5; P = x1.x2 = 2
x12 + x2 2 = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = S2 - 2P = 21
a)
x13 + x23 = S ( S 2 − 3P ) = - 95

x14 + x24 = (S2 - 2P)2 - 2P2 = 433
b)
x12.x23 + x13.x22 = P2S = - 20
x1 − x2 = S 2 − 4 P = 17
Lưu ý : Ở bài này ta có thể tính trực tiếp x1 ; x2 rồi thay vào biểu thức
cần tính ta cũng có đáp số tương tự nhưng việc tính toán sẽ phức tạp hơn
nhiều.
Ví dụ 2: Cho f(x) = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3. Gọi x1 ; x2 là hai
nghiệm của f(x). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A = x1 x2 − 2 x1 − 2 x2
Giải
2
Ta có : f(x) = 2x + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0  ∆ ≥ 0
 (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) ≥ 0
 (m + 1)(- m - 5) ≥ 0 ⇔ −5 ≤ m ≤ −1
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta
Do đó A =

x1 x2 − 2 x1 − 2 x2

=

m 2 + 4m + 3
có: S = - m - 1; P =
2
2
2
m + 4m + 3
m + 8m + 7
+ 2m + 2 =
2
2

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m+1)(m+7), nên với điều kiện −5 ≤ m ≤ −1 thì
2
−m 2 − 8m − 7 9 − ( m + 4 )
9
2
≤
0
m + 8m + 7
⇒ A=
=
≤ .
2

2

2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = - 4. Vậy giá trị lớn nhất của biểu

thức A là

9
2

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

-9-

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện ∆ ≥ 0 thì việc khử dấu giá trị tuyệt
đối trong bài này tương đối phức tạp.
DẠNG IV - HỆ THỨC GIỮA HAI NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC
THAM SỐ
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 - mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số.
Giải
Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : ∆ ≥ 0  m2 - 8m + 12 ≥ 0
 (m - 4)2 - 4

≥0



m ≥ 6
m−4 ≥ 2 ⇔ 
m ≤ 2

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình, áp dụng hệ thức vi - ét ta có:
S = x1 + x2 = m (1);
P = x1. x2 = 2m - 3 (2)
Cách 1: Thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) ta có: x1. x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0
2 ( x1 + x2 ) = 2m
 x1 + x2 = m
Cách 2: Ta có hệ phương trình:  x .x = 2m − 3 ⇔  x .x = 2m − 3


1



2

1

2

Trừ vế theo vế ta có: x1. x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: mx2 - (2m+ 3)x + m - 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc tham số m.
Giải
2
a) Phương trình: mx - (2m+ 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt



m ≠ 0
m ≠ 0
m ≠ 0

⇔
⇔
−9

2
∆ > 0
 m > 28
( 2m + 3) − 4m ( m − 4 ) > 0

b) Với điều kiện phương trình có nghiệm ở trên, áp dụng hệ thức vi - ét ta có:
S = x 1 + x2 =

2m + 3
3
m−4
4
= 2 + (1); P = x1.x2 =
= 1 − (2)
m
m
m
m

Nhân hai vế của (1) với 4 và nhân hai vế của (2) với 3 ta được:

12

 4( x1 + x 2 ) = 8 + m

3x .x = 3 − 12
 1 2
m

Cộng vế theo vế ta có: 4(x1 + x2 ) + 3x1.x2 = 11
DẠNG V - ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI NGHIỆM LIÊN HỆ VỚI NHAU BỞI MỘT HỆ
THỨC CHO TRƯỚC
Ví dụ: Cho phương trình: mx2 - 2mx + 1 = 0.(m là tham số)
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 10 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm
của phương trình theo m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một
nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Giải
a) *Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 => phương trình vô
nghiệm
* Nếu m ≠ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm khi:

m < 0
∆ ' = m2 − m = m ( m − 1) ≥ 0 ⇒ 
(*)
m ≥ 1

Khi đó các nghiệm của phương trình là:

m − m2 − m
m + m2 − m
x1 =
; x2 =
m
m

b) Với điều kiện (*) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2
Theo hệ thức vi - ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1 .x2 =

1
m
4
3

2
3

2
3

4
3

Theo giả thiết ta có: x1 = 2x2 (hoặc x2 = 2x1 ), suy ra x1 = ; x2 = ( x1 = ; x2 = )
Suy ra

x1 .x2 =

Vậy với m =

1
8 1
9
 = ⇔ m = > 1 thỏa mãn điều kiện (*).
m
9 m
8

9
thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghhiệm kia.
8

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2mx- 1 = 0.(m là tham số)
a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm m để x12 + x22 - x1x2 = 7
Giải
a) Ta thấy phương trình đã cho có a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có
hai nghiệm phân biệt
b) Theo câu a ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân

biệt
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

Khi đó ta có: S = : x1 + x2 = 2m; P = x1 .x2 = -1
Do đó x12 + x22 - x1x2 = 7  S2 - 3P = 7  (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =

± 1

Vậy với m = ± 1 thì x + x - x1x2 = 7
DẠNG VI - XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM SỐ
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm. Khi đó tùy theo m hãy chỉ ra dấu hai nghiệm của
phương trình?
Giải
2
1

2
2

Phương trình có hai nghiệm  ∆ ' ≥ 0  1 - m ≥ 0  m ≥ 1
Khi đó hai nghiệm của phương trình thỏa mãn: x1 + x2 = 2 > 0 và x1.x2 = m
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 11 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
* Nếu m < 0, phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương có

giá trị lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
* Nếu m = 0, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2
* Nếu m 0 < m ≤ 1, phương trình có 2 nghiệm dương.
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x - m + 1 = 0
Xác định m để phương trình
a) Có 2 nghiệm trái dấu
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt.
Giải
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2  P < 0
-m+1<0m>1
Vậy với m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < x1 < x2
 m2 + 3m > 0
∆ ' > 0


⇔  P > 0 ⇔ 1 − m > 0
⇔ 0 < m <1
S > 0
2 m + 1 > 0
)

 (

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
Ví dụ 3: Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - 1 = 0
Xác định m để phương trình:
a) Có một nghiệm
b) Có 2 nghiệm cùng dấu
Giải

a) Xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Với m - 1 = 0  m = 1
Khi đó phương trình có dạng: 6x = 0 => x = 0 là nghiệm duy nhất của
phương trình
Trường hợp 2: Với m - 1 ≠ 0 => m ≠ 1
Khi đó để phương trình có một nghiệm thì:
1
2
∆ ' = 0 ⇔ ( m + 2 ) − ( m − 1) ( m − 1) = 0 ⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = −
2

Vậy với m = 1 và m = -1/2 thì phương trình có một nghiệm
b) Để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu thì :

Vậy với

6m + 3 ≥ 0
∆ ' ≥ 0
1

⇔  m −1
⇔ − ≤ m ≠1

2
P > 0
 m − 1 > 0
1
− ≤ m ≠ 1 thì phương trình có 2
2

nghiệm cùng dấu.

Ví dụ 4: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m )x + m - 4 = 0
Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 12 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm đối nhau
b) Có đúng một nghiệm âm
Giải
a) Phương trình có 2 nghiệm đối nhau
m − 4
 m < 0
P < 0
⇔
⇔
⇔m=3
S = 0
3 − m = 0
 m

Vậy với m = 3 phương trình có hai nghiệm đối nhau
b) Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m = 0
Khi đó phương trình có dạng: -6x - 4 = 0 => x = -2/3(thỏa mãn)
Trường hợp 2: Với m ≠ 0 khi đó để phương trình có đúng một nghiệm âm
thì:
 m − 4 = 0


  f ( 0 ) = 0
  2(3 − m) < 0

 m


m = 4
S
<
0
 x1 < 0 = x2

m − 4
 x1 < 0 ≤ x2



⇔
<0
⇔ 0 < m < 4
 x = x < 0 ⇔  x1 < 0 < x2 ⇔  P < 0
 m
 1

2

 x1 = x2 < 0
9
 ∆ = 0
  −2 m + 9 = 0
m =





2
 − b < 0
 3 − m

  2a
  m < 0

9 

Vậy với m ∈ ( 0, 4] ∪  2  thì phương trình có đúng một nghiệm âm
DẠNG VII - LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHO TRƯỚC HAI
NGHIỆM
Cách giải: Tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2
Nếu S2 - 4P ≥ 0 thì x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - Sx +P = 0
Ví dụ: lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm lần lượt là: 2 + 3; 2 − 3
Giải
Ta có S = 2+ 3 + 2 - 3 = 4
P = (2+ 3 )(2 - 3 ) = 4 - 3 = 1

Do S2 - 4P = 12 > 0
Vậy 2 + 3 và 2 - 3 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 4x + 1 = 0

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 13 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng Ví
kiếndụkinh
: Hệ thức
ứng dụng
2: nghiệm
Chứng minh
rằng Vi
tồn- ét
tạivàphương
trìnhToán
bậc 9hai có hệ số
nguyênvà có một nghiệm là
Cho x1 =

3− 2
3+ 2

=

(

3− 2
3+ 2

3− 2

)

Giải
2

3− 2

= 5−2 6

Chọn x2 = 5 + 2 6
Ta có: S = 10; P = 1.
Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 10x +1 = 0 có các hệ số là
số nguyên.
C - BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng I : Nhẩm nghiệm phương trình sau:
a) 4x2 - 5x + 1 = 0
b) 6x2 + ( 2 6 − 3 2 ) x − 2 3 = 0
c) x2 - ( 2 + 1) x + 2 = 0
Dạng II - Tìm 2 số khi biết tổng và tích 2 nghiệm
Giải hệ phương trình sau:
3 ( x + y ) = 2
x + y = 4

 x + y = 20


a)  xy = 9
b)  xy = − 9
c)  xy = − 1







4

3

Dạng III- Biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm
Cho phương trình: x2 - 2(m +1)x + 2m + 2 = 0. Tìm m để phương trình
có 2 nghiệm x1 ; x2 . Khi đó hãy lập phương treình có nghiệm như sau:
a) - x1 và - x2
b) 3 x1 và 3 x2 c) x1 + x2 và - x1 x2 d) x13 và x23
Dạng IV - Hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc tham số
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa
các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m
Bài 2: Cho phương trình: (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc
tham số m
Dạng V - Điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước

Bài 1: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm m để phương
trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x12 + x22 = 52
Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2x + m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có
x1

2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x

2

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

+

x2
10
=− ;
x1
3

x12 + x22 +4x1x2 = 0

- 14 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
Dạng VI - Xét dấu 2 nghiệm

Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm của các
phương trình bậc hai sau:
a) 3x2 - 5x + 7 = 0
b) x2 + 5x + 6 = 0
c) x2 - 5x + 6 = 0
d) 7 x2 - 4x - 1 = 0
Bài 2: Cho phương trình: ( m -1)x2 - 2( m -1)x + m = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương
+
d)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm.
D - KẾT QUẢ
Sau khi dạy xong phần kiến thức này kết hợp với việc rèn kuyện giải
một số bài tập tôi thấy :
+) Học sinh nắm chắc được nội dung các vấn đề liên quan đến phương
trình bậc hai, nghiệm của phương trình bậc hai, hệ thức vi - ét và các ứng
dụng của nó.
+) Học sinh biết phân biệt và nhận dạng bài tập, vận dụng linh hoạt
được các kiến thức để giải toán
+) Học sinh trình bày bài khoa học có lập luận chính xác.
Kết quả dạy thực nghiệm kiểm tra xác xuất ở 2 nhóm học sinh mỗi nhóm
gồm 15 em kết quả thu được như sau:
Trước
Sau

Nhóm không áp dụng đề tài
Trên TB
Dưới TB
8/15

7/15
10/15
5/15

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 15 -

Nhóm áp dụng đề tài
Trên TB
Dưới TB
8/15
7/15
14/15
1/15

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9
E - BÀI HỌC KINH NGHIỆM
*Đối với giáo viên : Cần phải xác định rõ từng dạng toán đồng thời
thấy được mối quan hệ của những bài tập theo một trình tự hợp lý, lô gíc để
dạy cho học sinh.
Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài
nâng cao đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa về dạng toán đã biết
Phải hướng cho học sinh chọn phương pháp giải sao cho phù hợp.
*Đối với học sinh: Phải rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ, phải say sưa

tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo trong giải toán nếu có vướng mắc gì có thể cùng
bạn trao đổi hoặc nhờ thầy cô hướng dẫn.
*Đối với nhà trường: Cần phân loại học sinh để phụ đạo phù hợp với
đối tượng và phương pháp hợp lý để giảng dạy.
Tổ chức thường xuyên các buổi chuyên đề ở các tổ chuyên môn để thảo
luận rút ra kinh nghiệm
Tổ chức thường xuyên các buổi dạy thực nghiệm ở các lớp đội tuyển
cũng như các lớp đại trà để tìm ra biện pháp giảng dạy hợp lý.
F - HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI
*Được học xong kiến thức này vẫn còn một số học sinh áp dụng giải
bài tập máy móc chưa sáng tạo và khả năng nhận dạng bài tập chưa nhanh,
phương pháp giải chưa gọn.
*Về phía giáo viên chưa thực sự đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu, sưu
tầm tài liệu nâng cao tay nghề nên việc biến đổi đề toán, lắp ghép chương
trình còn gượng ép.

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 16 -

Trường THCS Viên An


www.huongdanvn.com

Sáng kiến kinh nghiệm : Hệ thức Vi - ét và ứng dụng Toán 9

PHẦN THỨ BA - KẾT LUẬN
Trên đây là một số vấn đề về hệ thức Vi - ét và các ứng dụng của nó
để giải phương trình bậc hai thường hay gặp ở chương trình toán 9. Tuy

rằng trong phạm vi nhỏ hẹp này chưa thật đầy đủ nhưng tôi mong muốn
rằng đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc suy nghĩ và giải quyết
mọi bài toán có liên quan đến hệ thức Vi -ét
Trong thực tế thì loại toán này đa dạng và phong phú nhưng vì điều
kiện thời gian và sự tiếp thu kiến thức của học sinh còn chưa cao và năng
lực của bản thân cong hạn chế nên kinh nghiệm của tôi con chưa đầy đủ
lắm. Vì vậy rất mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý
kiến cùng với sự nỗ lực của bản thân để tôi tiếp tục hoàn thiện đề tài tốt hơn
nữa.
Viên An, ngày 22 tháng 4 năm 2011
Người thực hiện

Lê Thanh Tân

Người thực hiện: Lê Thanh Tân

- 17 -

Trường THCS Viên An