HƯỚNG dẫn học SINH TRUNG học xây DỰNG mô HÌNH TOÁN học của một số TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN HỮU HẢI

HƢỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC
XÂY DỰNG MƠ HÌNH TỐN HỌC
CỦA MỘT SỐ TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI, NĂM 2014


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được thực hiện từ tháng 8 năm 2013 và đã hoàn
thành vào tháng 8 năm 2014, đánh một dấu mốc quan trọng trong sự nghiệp
của tơi, hiện thực hóa phần nào ước mơ của tơi từ khi cịn là học sinh trung
học phổ thơng, và mở ra cho tôi những cánh cửa tri thức mới rộng lớn hơn
trong tương lai. Tôi rất vui và tự hào vì điều đó. Nhân dịp này, tơi xin gửi lời
cảm ơn chân thành nhất đến những người thân u của tơi, gia đình, bạn bè
và đồng nghiệp đã luôn ở bên cạnh động viên, ủng hộ và chia sẻ cùng tơi
cơng việc cũng như những khó khăn trong cuộc sống để tôi vượt qua dấu mốc
quan trọng này. Bản luận văn cũng là lời tri ân sâu sắc nhất của tôi dành cho
các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ tơi trong q trình học tập tại trường
Đại học sư phạm Hà Nội, đặc biệt tới TS Chu Cẩm Thơ, người đã dìu dắt tơi
những bước đi chập chững đầu tiên trong sự nghiệp nghiên cứu và hướng dẫn
tơi hồn thành luận văn này.
Đây là cơng trình nghiên cứu đầu tiên nên chắc chắn luận văn thạc sĩ
của tơi cịn rất nhiều thiếu sót. Tơi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng
góp của các thầy giáo, cô giáo, của các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 9 năm 2014


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU…… .................................................................................................. 1
CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN..................................................................... 6
1.1. Mơ hình tốn học và tình huống thực tiễn ................................................. 6
1.1.1. Mơ hình, mơ hình tốn học, mơ hình hóa ............................................... 6
1.1.2. Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học ........................... 10
1.1.2.1. Khái niệm về thực tiễn ....................................................................... 10
1.1.2.2 Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn .................................................... 11
1.1.2.3. Toán học phản ánh thực tiễn .............................................................. 12
1.1.2.4. Tốn học có ứng dụng thực tiễn........................................................ 12
1.2. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức
Toán học vào thực tiễn .................................................................................... 18
1.2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào
thực tiễn góp phần hồn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ mơn Tốn ở
trường trung học trong giai đoạn hiện nay ...................................................... 18
1.2.2. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào
thực tiễn có tác dụng tích cực trong việc dạy học mơn Tốn ......................... 20
1.2.2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào
thực tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội tri thức ........................... 20
1.2.2.2. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào
thực tiễn giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Toán học.... ........ 21
1.2.2.3. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào
thực tiễn giúp làm rõ ý nghĩa của việc học Toán ............................................ 22
1.3. Quy trình mơ hình hóa ............................................................................. 24
1.4. Khảo sát thực tiễn dạy học mơn Tốn hiện nay ở bậc Trung học ........... 28
1.4.1. Vấn đề liên quan đến thực tiễn trong Chương trình và Sách giáo khoa

trung học nước ta ............................................................................................. 28


1.4.2. Tình hình dạy học mơn Tốn theo hướng liên hệ thực tiễn ở bậc Trung
học

............................................................................................................... 30

1.4.2.1. Học sinh.............................................................................................. 30
1.4.2.2. Giáo viên ............................................................................................ 36
1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................... 42
CHƢƠNG II. XÂY DỰNG MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA MỘT SỐ
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN LIÊN QUAN ĐẾN CHƢƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC…………. ............................................................................... 44
2.1. Mơ hình “Ba điểm thẳng hàng” dành cho học sinh lớp 6 ........................ 44
2.2. Mơ hình “Đồ thị hàm số bậc hai” dành cho học sinh lớp 10 ................... 51
2.3. Mơ hình “Thống kê tốn học và việc chọn nghề” dành cho học sinh lớp
10…… ............................................................................................................. 59
2.4. Mơ hình “Xổ số hay là xác suất trong Toán học” dành cho học sinh lớp
11....... .............................................................................................................. 67
2.5. Mơ hình “Ứng dụng tích phân trong tính diện tích hình phẳng” dành cho
học sinh lớp 12 ................................................................................................ 77
2.6. Mơ hình “Ứng dụng tích phân trong tính thể tích vật thể” dành cho học
sinh lớp 12 ....................................................................................................... 86
2.7. Kết luận chương 2 .................................................................................... 98
CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................. 99
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .............................................................. 99
3.1.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 99
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ......................................................................... 99
3.2. Nội dung thực nghiệm.............................................................................. 99

3.2.1. Kế hoạch ............................................................................................... 99
3.2.2. Đối tượng thực nghiệm ...................................................................... 100
3.2.3. Đánh giá kế quả thực nghiệm ............................................................. 100


3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm .............................................................. 101
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm .............................................................. 102
3.4.1. Bài “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng” ..................... 102
3.4.2. Bài “Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể” ............................. 105
3.4.3. Bài “Thực hành kiểm tra ba điểm thẳng hàng” .................................. 108
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................. 110
KẾT LUẬN CHUNG .................................................................................... 112
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 113
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Tốn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong
rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống. Với vai trị đặc biệt, Tốn học trở nên cần thiết đối với nhiều ngành khoa
học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để
theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào
tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những
thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết
thực. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học
vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục
tiêu của giáo dục Toán học.
1.2. Luật giáo dục năm 2009 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được
thực hiện theo ngun lí học đi đơi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động

sản xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn...”
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ
đất nước. Vì thế, việc dạy học nói chung và việc dạy học Tốn nói riêng ở trường
trung học phải ln gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ
năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả
trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.
1.3. Toán học có tính trừu tượng hóa cao, diễn ra trên nhiều cấp độ. Trong các
sách giáo khoa mơn Tốn hiện hành (các sách về Đại số, Hình học và Giải tích) ở
trường trung học và các tài tham khảo về Tốn đã có rất nhiều chủ điểm có thể
lồng ghép các ứng dụng của Toán học trong thực tiễn vào để giảng dạy. Nhưng
trong thực tế dạy Toán ở trường trung học, các giáo viên chưa thường xuyên rèn


luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Tốn học vào thực tiễn. Vì vậy
học sinh chưa thấy được mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn khiến cho việc học
Toán trở thành một áp lực nặng nề đối với học sinh. Họ nghĩ rằng Toán học là mơ
hồ xa xôi, học chỉ là học mà thôi. Học sinh học Tốn chỉ có một mục đích duy
nhất đó là thi cử.
1.4. Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học để giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trị
quan trọng trong hồn cảnh giáo dục của nước ta.
Đã có một số cơng trình nghiên cứu liên quan đến vấn đề này, ví dụ như:
1. Nguyễn Văn Bảo (2005) “Góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận
dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài tốn có nội dung thực
tiễn” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Vinh.
2. Lê Thị Thanh Phương (2008), “Tăng cường vận dụng các bài tốn có nội
dung thực tiễn vào dạy mơn Tốn Đại số nâng cao 10-THPT” Luận văn
Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên.
3. Trần Thanh Nga (2011) “Khai thác những tư tưởng, bài toán của Pisa vào
dạy học mơn Tốn (bậc trung học) theo hướng tăng cường liên hệ Toán học

với thực tiễn” Luận văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học sư phạm Hà Nội.
4. Cai Việt Long (2012), “Dạy học Toán ở trường trung học phổ thông theo
định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn” Luận
văn Thạc sĩ Giáo dục, trường Đại học Giáo dục.
Luận văn của tơi muốn góp phần làm sáng tỏ thêm cũng như kế thừa, phát
triển, cụ thể hóa những kết quả nghiên cứu của tác giả đi trước vào việc giảng dạy
Toán ở bậc THPT.


Vì những lí do trên đây tơi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: “Hƣớng
dẫn học sinh trung học xây dựng mơ hình tốn học của một số tình huống
thực tiễn”.
2. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Do hạn chế về mặt thời gian cũng như trình độ nghiên cứu nên đề tài chỉ tập
trung vào việc nghiên cứu và xây dựng một số mơ hình tốn học của một số tình
huống thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề rèn luyện cho học sinh năng
lực vận dụng kiến thức Toán học để giải quyết một số bài tốn có nội dung thực
tiễn; đề xuất các quan điểm xây dựng một số mơ hình tốn học của một số tình
huống thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Đề tài cần trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau:
4.1. Vai trò và ý nghĩa của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến
thức Toán học để giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn?
4.2. Tình hình việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học vào thực tiễn trong giảng dạy Toán hiện nay ở trờng trung học như thế nào?
4.3. Việc góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học để giải quyết một số bài tốn có nội dung thực tiễn trong giảng dạy Tốn ở trường Trung học, nên và cần tuân theo những quan điểm nào?
4.4. Nghiên cứu việc xây dựng một số mơ hình tốn học của một số tình huống

thực tiễn liên quan đến chương trình Trung học.


4.5. Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của các mơ
hình tốn học.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu thiết kế được một số mơ hình tốn học của một số tình huống thực tiễn liên
quan đến chương trình Trung học, đề xuất được những biện pháp hoặc một số tình
huống, những gợi ý hợp lý về cách lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học, thì sẽ
nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường Trung học.
6. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
6.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học mơn Tốn ở bậc Trung học.
-Nghiên cứu chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa mơn Tốn, các tài
liệu liên quan đến chương trình PISA, các luận văn, luận án có nội dung phù hợp
với hướng nghiên cứu của đề tài.
6.2. Quan sát – điều tra
-Đánh giá mức độ yêu thích quan tâm của giáo viên và học sinh về những ứng
dụng thực tế của Toán học và việc khai thác những tình huống thực tế vào dạy học
mơn Tốn của giáo viên trung học.
6.3. Thực nghiệm sư phạm
-Thực nghiệm sư phạm để xem tính khả thi và hiệu quả của phương án được
đề xuất trong luận văn.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương:


Chƣơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng II. Xây dựng một số mơ hình tốn học của một số tình huống thực
tiễn liên quan đến chƣơng trình Trung học.

Chƣơng III. Thực nghiệm sƣ phạm.


Chƣơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Trong chương này chúng tơi sẽ trình bày ngắn gọn một số lí luận liên quan đến
vấn đề " mơ hình tốn học của một số tình huống thực tiễn " , cụ thể sẽ làm rõ:
 Khái niệm về mơ hình toán học.
 Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học.
 Tăng cường liên hệ với thực tiễn trong dạy học Tốn.
 Quy trình mơ hình hóa.
 Thực trạng dạy học hướng rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến
thức Toán học vào thực tiễn.
1.1. Mơ hình tốn học và tình huống thực tiễn.
1.1.1. Mơ hình, mơ hình tốn học, mơ hình hóa.
Theo từ điển Tiếng Việt thì mơ hình là vật cùng hình dạng, nhưng làm thu nhỏ
lại nhiều lần, mô phỏng cấu tạo và hoạt động của một vật khác để trình bày, nghiên
cứu. Mơ hình máy bay, triển lãm mơ hình nhà ở kiểu mới. Ngồi ra mơ hình cịn là
hình thức diễn đạt hết sức ngắn gọn, theo một ngôn ngữ nào đó, các đặc trưng chủ
yếu của một đối đối tượng, để nghiên cứu đối tượng ấy. Mơ hình của câu đơn
[13,tr.665].
Mơ hình được mơ tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được
các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mơ hình, ta có thể thao tác
và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà khơng cần đến vật thật. Tuy nhiên
điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mơ hình và bối cảnh áp dụng
của mơ hình đó. Mơ hình ở đây cịn có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số,


đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu tượng hay thậm trí cả các mơ hình ảo trên máy vi
tính. [20]
Theo từ điển Tiếng Việt thì mơ hình tốn học là hệ thống các cơng thức,

phương trình, ký hiệu tốn học diễn đạt các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng
để nghiên cứu đối tượng ấy [13,tr.665]
Mơ hình tốn học là một mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ
tả về một hệ thống nào đó. Mơ hình tốn được sử dụng nhiều trong các ngành khoa
học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ: vật lí, sinh học, và kĩ thuật điện tử)
đồng thời trong cả khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học và khoa học chính trị).
Ví dụ 1:
 Trong sinh học: Mơ hình gia tăng dân số của Maithus (1798) Giả sử tỷ lệ
người sinh ra là b và tỷ lệ người chết là d, b và d đều là những hằng số, thì tỷ
lệ gia tăng dân số là r  b  d cũng là một hằng số. Giả sử thời kỳ đầu ( t  0 )
dân số là N 0 , thì dân số tại thời điểm t là Nt  N0 .ert cũng chính là nói dân số
tăng theo cấp số nhân. So sánh với những số liệu về dân số đã thống kê được
trước thế kỷ 19 thì sự gia tăng dân số ở một số vùng châu Á tương đối phù
hợp với mơ hình của Maithus, nhưng đa số trường hợp lại đi rất xa mơ hình
này. Vì thế, mơ hình này khơng hồn tồn phù hợp với tình hình thực tế. Bởi
vì nó đã khơng tính đến việc cùng với sự gia tăng của dân số thì mơi trường,
nguồn tài ngun thiên nhiên … chỉ hạn chế trong một giới hạn. Dân số quá
đông dẫn tới sự thiếu hụt lương thực, chỗ ở chật hẹp, ô nhiễn môi trường
nghiêm trọng và các vấn đề khác nữa, từ đó dẫn tới sự giảm của tỷ lệ sinh và
sự tăng lên của tỷ lệ chết
 Trong kinh tế: Mơ hình mơ tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng.
Khách hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có.


Trong mơ hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để
mua trong số n mặt hàng được đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá
là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích
là gán một giá trị (tương ứng cho số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng
định mua x1, x2,..., xn. Mơ hình cịn giả thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá
trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài

toán cần giải quyết về mơ hình hành vi của khách hàng trở thành bài tốn tối
ưu

hóa,

nghĩa

là:

max U  x1; x2 ;...; xn 

n

thỏa

mãn:  pi .xi  M

và

i 1

xi  0  i {1,2,...,n} .

Mơ hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để
chứng minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên,
việc sử dụng mơ hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách
hàng vẫn là vấn đề tranh cãi.
 Trong khoa học máy tính: các mơ hình kiến trúc mạng, mơ hình dữ liệu,
mơ hình tốn trong đồ họa máy tính....
 Trong điện tử: mơ hình quang phổ, mơ hình năng lượng,...

 Trong cơ học cổ điển: mơ hình dao động của dây, của màng; mơ hình
chuyển động của tên lửa; mơ hình chuyển động của tàu ngầm…
 Trong tốn học: Phương trình chuyển động của chất lỏng không nén được
biểu diễn bằng hệ phương trình Navier-Stokes như sau:

V
p
 V .V  
 v 2V

t
Trong đó v là hệ số nhớt động, V - tốc độ của các phần tử chất lỏng, p – áp
suất của mơi trường, và  là mật độ của dịng chất lỏng.


Kết hợp với phương trình liên tục dành cho chất lỏng không nén như sau:

.V   0
Và điều kiện biên: Vs  U Trong đó Vs – tốc độ của hạt chất lỏng trên bề mặt
vật thể, U – điều kiện biên.
Theo từ điển Tiếng Việt thì mơ hình hóa là tạo ra mơ hình để trên mơ hình ấy
nghiên cứu một đối tượng nào đó [13,tr.665]
Mơ hình hóa là phương pháp nghiên cứu bằng thực nghiệm trên mô hình của
một hiện tượng ( quá trình, sự vật…) thay vì nghiên cứu trực tiếp hiện tượng ấy ở
dạng tự nhiên ( “thực địa”). Vì vậy phải xây dựng mơ hình sao cho những kết quả
thí nghiệm trên mơ hình có thể áp dụng tính tốn trên thực thể “thực địa”.
Mơ hình hóa trong dạy học Tốn là q trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá
các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng cơng cụ tốn học với sự hỗ trợ của công
nghệ thông tin và các công cụ trực quan khác. Q trình này địi hỏi các kỹ năng và
thao tác tư duy Toán học như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, trừu

tượng hóa. Mơ hình sử dụng trong dạy học Tốn có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm
số, đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mơ hình ảo trên máy tính điện tử.[20]
1.1.2. Thực tiễn và mối liên hệ với thực tiễn của Toán học.
1.1.2.1. Khái niệm về thực tiễn.
Theo từ điển Tiếng Việt, với nghĩa danh từ, “thực tiễn” (cũng đồng nghĩa với
“thực tế”) là “tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn ra trong tự nhiên
và trong xã hội, về mặt có quan hệ đến đời sống của con người”, với nghĩa động từ
“thực tiễn” được hiểu là “những hoạt động của con người, trước hết là lao động sản
xuất, nhằm tạo ra những điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của xã hội (nói tổng
quát)” [13,tr.1006]


Như vậy thực tế là tồn tại khách quan, có thể chưa có sự tác động của con người
nhưng thực tiễn là có hoạt động của con người cải tạo, biến đổi thực tế nhằm một
mục đích nào đó.
Từ điển Tiếng Việt giải thích “tình huống” là “sự diễn biến của một tình hình,
về mặt cần phải đối phó” [13, tr.1029]
Theo [4,tr.185]: Một tình huống là một hệ thống phức tạp bao gồm chủ thể và
khách thể, trong đó chủ thể có thể là người cịn khách thể là một hệ thống nào đó.
Mộ tình huống mà khách thể tồn tại ít nhất một phần tử chưa biết, được gọi là tính
huống bài tốn đối với chủ thể. Đứng trước một tình huống, chủ thể đặt ra mục
đích tìm phần tử chưa biết, dựa vào các phần tử khác của khách thể thì có một bài
tốn đối với chủ thể.
Dựa trên quan điểm này ta có thể hiểu: Tình huống thực tiễn là tình huống mà
khách thể của nó chứa đựng các yếu tố mang nội dung thực tiễn (tức là mang nội
dung các hoạt động của con người).
1.1.2.2 Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn.
Tốn học là mơn học có tính trừu tượng cao. Theo [4, tr.35] tính trừu tượng của
tốn học và của mơn Tốn trong nhà trường phổ thơng do chính đối tượng của tốn
học quy định. Theo Ăng – ghen, “Đối tượng của toán học thuần túy là những hình

dạng khơng gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” . Hình dạng
khơng gian có thể hiểu khơng phải chỉ trong khơng gian thực tế ba chiều mà cịn cả
trong những khơng gian trừu tượng khác nữa như khơng gian có số chiều là n hoặc
vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục, … Quan hệ số lượng khơng
chỉ bó hẹp trong phạm vi tập hợp các số mà được hiểu như những phép tốn và
tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy
ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình, …


Tuy nhiên, Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn nên tính trừu tượng chỉ che lấp
chứ khơng hề làm mất đi tính thực tiễn của nó. Theo [4, tr.62] thì liên hệ với thực
tiễn trong quá trình dạy học Tốn là một trong ba phương hướng thực hiện ngun
lí giáo dục. Cụ thể là:
1) Nguồn gốc thực tiễn của Toán học: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm,
hình học xuất hiện do nhu cầu đo đạc lại ruộng đất sau những trận lụt bên bờ
sông Nile (Ai Cập),…
2) Sự phản ánh thực tiễn của Toán học: khái niệm vecto phản ánh những đại
lượng đặc trưng không phải chỉ bởi bằng số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn
vận tốc, lực,… khái niệm đồng dạng phản ánh những hình cùng hình dạng
nhưng khác nhau về độ lớn,… trong Tốn học có những chứng minh thuận,
chứng minh đảo thì trong cuộc sống ta thường khuyên nhau: “nghĩ đi rồi
phải nghĩ lại”, “có qua có lại”, “sống phải có trước có sau”,…
3) Các ứng dụng thực tiễn của Tốn học: ứng dụng lượng giác để đo khoảng
cách không tới được, đạo hàm ứng dụng để tính vận tốc tức thời, tích phân
để tính thể tích, diện tích, …
1.1.2.3. Tốn học phản ánh thực tiễn.
Bên cạnh việc Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn, với vai trị là mơn học công
cụ nên các tri thức, kĩ năng và phương pháp làm việc của mơn Tốn được sử dụng
cho việc học tập các môn khác trong nhà trường, trong nhiều ngành khoa học khác
nhau và trong đời sống thực tế. Chẳng hạn trong Vật lí, chúng ta gặp mối liên hệ

giữa quãng đường đi được S và thời gian chuyển động t trong một chuyển động
đều biểu thị bởi: S=v.t, mối liên hệ giữa hiệu điện thế U và cường độ dịng điện I
khi điện trở R khơng đổi được biểu thị bằng cơng thức: U=I.R, trong Hóa học
chúng ta gặp mối liên hệ giữa phân tử gam M của một chất khí với tỉ khối d của
chất khí đó với khơng khí là: M=29.d, mối quan hệ giữa giá tiền P với chiều dài n


của tấm vải được biểu thị bằng công thức: P=a.n,… Bằng cách trừu tượng hóa, gạt
bỏ ra một bên các đại lượng cụ thể và chỉ chú ý tới mối quan hệ của các đại lượng
đó chúng ta có hàm số bậc nhất: y=a.x.
Hay trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lượng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho
tương ứng với độ đen của ảnh, và theo ngơn ngữ Tốn học thì tốc độ đen của ảnh
là một hàm số của lượng sáng.
1.1.2.4. Tốn học có ứng dụng thực tiễn.
Tốn học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trong khơng
gian của thế giới khách quan. Tốn học có vai trị rất quan trọng và được ứng dụng
trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh
tế, y học, vật lý, thiên văn học, quân sự,…
Ví dụ 2:
 Trong qn sự: Pháo là một loại vũ khí khơng thể thiếu trong chiến tranh,
nó cơ động, có sức sát thương lớn và tầm hoạt động lên tới hàng chục
kilomet. Lần sử dụng pháo với đạn đẩy bằng thuốc nổ trên chiến trường đã
được ghi lại lần đầu là vào ngày 28 tháng 1 năm 1132 khi tướng Hàn Thế
Trung của Nam Tống dùng thang mây và hoả pháo để đánh thành Kiến Châu
(nay là Kiến Âu). Loại vũ khí nhỏ thô sơ này đã du nhập vào vùng Trung
Đông rồi đến châu Âu vào thế kỷ 13. Trải qua nhiều thế kỷ, các nhà khoa
học kỹ thuật đã không ngừng cải tiến các khẩu pháo cả về tầm bắn, tính
chính xác lẫn sức công phá. Với sự phát triển của tốn học, người ta đã viết
được phương trình bay của viên đạn sau khi ra khỏi nòng pháo:
y

 gx 2
  tan   x trong đó v0 là vận tốc khi viên đạn ra khỏ nòng
2v02 .cos 2

pháo và  là góc mà nịng pháo tạo với phương nằm ngang.


 Trong thiên văn học: Đã từ rất lâu, các nhà khoa học đã phát hiện ra các
hành tinh trong hệ mặt trời chuyển động theo một quỹ đạo nhất định, và các
nhà thiên văn tin rằng quỹ đạo các hành tinh là một hình trịn hồn hảo.
Những tính tốn chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu
tiên cho Kepler thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ
liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay
quanh Mặt Trời cũng phải có quỹ đạo elip. Ba định luật Kepler (1609 1619) và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ơng là một thách thức lớn
cho mơ hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy đã được chấp thuận từ rất lâu,
và ủng hộ cho mơ hình nhật tâm của Nicolaus Copernicus (mặc dù quỹ đạo
elip theo Kepler khác với các quỹ đạo tròn theo Copernicus), bằng chứng
tỏ Trái Đất quay quanh Mặt Trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là
biến đổi, và quỹ đạo có hình elip hơn là hình trịn.
 Trong anh ninh quốc phịng: Tốn học đã làm nên một cuộc cách mạng
trong cơng nghệ mật mã, trước hết là bằng sự hiện thực hóa các ý tưởng về
mật mã mà các nhà mật mã chuyên nghiệp đã ấp ủ từ lâu và sau đó đưa ra
một số kết quả của Tốn học. Ví dụ: Trong phép mã hóa Caesar, mỗi ký tự
của bảng chữ cái được dịch đi một khoảng nhất định, ví dụ với bước dịch là
3, A trở thành D, B trở thành E... Mật mã Vigenère là sự kết hợp xen kẽ vài
phép mã hóa Caesar với các bước dịch khác nhau.
Để mã hóa, ta dùng một hình vng Vigenère (hình dưới). Nó gồm 26 hàng,
mỗi hàng dịch về bên trái một bước so với hàng phía trên, tạo thành 26 bảng
mã Caesar. Trong q trình mã hóa, tùy theo từ khóa mà mỗi thời điểm ta

dùng một dịng khác nhau để mã hóa văn bản.


Ví dụ, ta có văn bản cần mã hóa như sau:
ATTACKATDAWN
Người gửi lựa chọn một từ khóa và viết nó lặp lại nhiều lần trên một dòng
đến khi số chữ cái trên dịng bằng số chữ cái trong thơng điệp, với từ khóa
"LEMON" thì:
LEMONLEMONLE
Chữ cái đầu tiên của văn bản, A, được mã hóa bằng bảng bắt đầu với chữ
L (chữ cái đầu tiên của từ khóa). Nó sẽ được mã hóa thành chữ cái trên
dịng L và cột A của hình vng Vigenère, đó là chữ L. Tương tự như vậy,
chữ cái thư hai của văn bản sẽ được mã hóa bằng chữ cái thứ hai của từ
khóa: chữ trên dòng E và cột T là X. Sau đây là bản mã:
Văn bản: ATTACKATDAWN
Từ khóa: LEMONLEMONLE
Bản mã: LXFOPVEFRNHR
 Trong hội họa – kiến trúc:Tờ báo mà bạn đọc, màn hình vi tính, thẻ tín
dụng, cánh hoa, lá cây, tồ nhà cao ốc – tất cả mọi thứ đều được tạo lập dựa


trên một nguyên tắc, một tỷ lệ, một giá trị cân đối. Dường như vũ trụ đang
tiết lộ với chúng ta về một mật mã ẩn chứa trong mọi khía cạnh của tự nhiên
- một mật mã độc đáo và mang đầy tính nghệ thuật: đó là con số của tỷ lệ
vàng – một tỉ lệ hoàn hảo.
Trong một cuộc thực nghiệm gần đây nghiên cứu một số cá thể từ các dân
tộc khác nhau đã cho thấy rằng: trong số những số đo khác nhau của hình
chữ nhật, thì hầu hết mọi người đều đồng ý với một con số cân đối nhất. Con
số hồn hảo nhất được hình thành khi tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn với cạnh nhỏ
hơn xấp xỉ 1,618 – trong toán học con số này được gọi là “vàng”. Tỷ lệ các

cạnh hình chữ nhật này có mặt trong hàng ngàn cơng trình kiến trúc trên
khắp thế giới, cũng như là trong các hộp diêm, danh thiếp, những cuốn sách,
và hàng trăm vật dụng hàng ngày khác, đơn giản bởi vì con người cảm thấy
nó phù hợp. Kim tự tháp Giza, kim tự tháp Cheops, trụ sở Liên Hiệp Quốc
tại New York, và nhà thờ Đức Bà là những dẫn chứng điển hình cho việc
ứng dụng tỷ lệ vàng. Trên thực tế, đền thờ Panthenon có rất nhiều chi tiết
ứng dụng tỷ lệ này.

Đến Parthenon,

Acropolis, Athens


Nàng Mona Lisa - Leonardo da Vinci
Các thí dụ từ hình chữ nhật cho tới hình xoắn ốc tuân theo tỷ lệ vàng (hình
tạo thành bằng cách nối các đỉnh của các hình chữ nhật vẽ theo tỷ lệ vàng
đặt chồng lên nhau) có thể tìm thấy ở khắp mọi nơi: sừng của con cừu,
khoáng vật, xoáy nước, cơn lốc, vân tay, cánh hoa hồng, những đài hoa đồng
tâm của cây súp-lơ hay hoa hướng dương, chim muông, côn trùng, cá, dải
ngân hà, hay một số dải thiên hà khác như dải M51 ngay cạnh dải ngân hà
của chúng ta… thậm chí cả con ốc sên. Một con ốc thật đẹp và thật hoàn hảo
như ốc Anh Vũ chắc chắn phải có sự kết hợp thật tài tình với tỷ lệ vàng. Rất
nhiều loài cây cũng thể hiện mối liên hệ với tỷ lệ vàng trong độ dày giữa
giữa cành thấp với cành cao.

Những bức ảnh tuân theo “Đường xoắn ốc vàng”
Tóm lại, Tốn học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát
triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực

lượng sản xuất. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng Toán
học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những cơng cụ Tốn học
thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa
biết nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp
xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra.
1.2. Vai trò của việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
học vào thực tiễn.
1.2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào thực
tiễn góp phần hồn thành mục tiêu, nhiệm vụ dạy học bộ mơn Tốn ở trƣờng
trung học trong giai đoạn hiện nay.
Luật giáo dục năm 2009 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải được thực
hiện theo ngun lí học đi đơi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản
xuất, lý luận phải gắn liền với thực tiễn...” , “Mục tiêu của giáo dục phổ thơng là
giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm
công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động,
tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”. Nói một cách tổng quát, mục tiêu của nhà
trường phổ thơng nước ta là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con
người mới, phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của
đất nước Việt Nam.
Theo ý kiến của PGS.TS. Nguyễn Công Khanh, Giám đốc trung tâm
ĐBCLGD&KT [3], Trường Đại học Sư phạm Hà Nội về xây dựng khung chuẩn
năng lực học sinh phổ thông. Năng lực của học sinh gồm: năng lực chung và năng
lực chuyên biệt. Năng lực chung của học sinh lại có thể phân thành 2 nhóm:


(1) nhóm các năng lực nhận thức: đó là các năng lực thuần tâm thần gắn
liền với các quá trình tư duy (q trình nhận thức) như năng lực ngơn ngữ;
năng lực tính tốn và suy luận logíc/tư duy trìu tượng; năng lực giải quyết

vấn đề; năng lực tri giác không gian; năng lực sáng tạo; năng lực cảm xúc;
năng lực tương tác; năng lực ghi nhớ, năng lực tự học; năng lực ngoại ngữ;
năng lực công nghệ... và năng lực nghĩ về cách suy nghĩ – siêu nhận thức).
Mỗi năng lực nhận thức này lại gồm một nhóm các năng lực cụ thể/ năng lực
thành phần.
(2) nhóm các năng lực phi nhận thức: đó là các năng lực khơng thuần tâm
thần, mà có sự pha trộn các nét/phẩm chất nhân cách như năng lực vựợt khó;
năng lực thích ứng; năng lực thay đổi suy nghĩ /tạo niềm tin tích cực; năng
lực ứng phó stress,... năng lực quan sát; năng lực tập trung chú ý; năng lực
quản lý/lãnh đạo/phát triển bản thân).
Theo ý kiến của TS Chu Cẩm Thơ, Khoa Toán Tin, Trường ĐHSP Hà Nội [15]
trong bài viết về xây dựng chuẩn năng lực mơn Tốn phổ thơng thì một trong
những năng lực mà giáo dục Toán học phổ thơng cần hướng tới:
(4) Năng lực vận dụng Tốn học vào giải quyết vấn đề:
- Năng lực vận dụng các tri thức Toán (chủ yếu là tri thức chuẩn) như công
cụ trong học tập.
- Năng lực giải một số bài tốn có tính thực tiễn điển hình.
- Năng lực vận dụng tri thức Toán, phương pháp tư duy Toán vào thực tiễn.
- Khuynh hướng, khả năng Tốn học hóa các tình huống.
Hiện nay, thế giới đã bước vào kỷ nguyên kinh tế tri thức và tồn cầu hóa. Với
sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, người lao động buộc phải chủ


động dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hịa nhập với cộng đồng xã hội;
đặc biệt phải ln học tập, học để có hành và qua hành phát hiện những điều cần
phải học tập tiếp. Chính vì thế, trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học
sinh năng lực thích ứng, năng lực hành động, năng lực cùng sống và làm việc với
tập thể, cộng đồng cũng như năng lực tự học.
Việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực
tiễn có ý nghĩa to lớn trong việc thực hiện yêu cầu của mục tiêu giáo dục nói

chung và mục tiêu mơn Tốn nói riêng.
1.2.2. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực
tiễn có tác dụng tích cực trong việc dạy học mơn Toán.
1.2.2.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học vào thực
tiễn góp phần tích cực hóa trong việc lĩnh hội tri thức.
Tốn là mơn học trừu tượng nhiều cấp độ, chính vì vậy để học sinh tiếp thu tốt,
rất cần sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế. Những
hoạt động thực tế đó vừa có tác dụng rèn luyện năng lực vận dụng Toán học vào
thực tiễn, vừa giúp học sinh tích cực hóa trong học tập để lĩnh hội kiến thức.
Ở các lớp dưới, giáo viên thường dùng những cách như cho điểm, khen chê,
thơng báo thành tích về cho gia đình, … để kích thích học sinh học tập. Nhưng
càng lên cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh thì các cách kích thích này tỏ
ra kém hiệu quả, bên cạnh đó các em thường xuyên có một câu hỏi là “Học cái này
để làm gì, nó có ứng dụng gì trong thực tiễn?” Việc tăng cường liên hệ với thực
tiễn trong giảng dạy Toán học giúp học sinh có được câu trả lời cho bản thân từ đó
tích cực hóa trong việc lĩnh hội kiến thức.
Ví dụ 3: Có thể thay bài tốn “Cho đường thẳng d và hai điểm A và B nằm trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ là d. Hãy tìm điểm M trên d sao cho MA+MB là nhỏ


nhất.” bằng tình huống sau “Giả sử nhà em nằm cạnh một dịng sơng và nhà em có
hai mảnh vườn nằm về cùng một phía so với bờ sơng. Để tưới nước cho hai mảnh
vườn, bố em quyết định đặt một máy bơm nước ở bờ sông để lấy và dẫn nước tới
hai mảnh vườn. Bố em đưa cho em tiền và yêu cầu em thiết kế đường dây dẫn
nước. Biết hai mảnh vườn cách bờ sông là a và b mét, hai mảnh vườn cách nhau là
c mét và chi phí cho 1 mét dây bơm là h nghìn. Hãy tìm vị trí đặt máy bơm để em
có thể thu được nhiều tiền còn dư nhất (số tiền còn lại sau khi hồn thành cơng
việc) từ số tiền bố em đưa.”
1.2.2.2. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực
tiễn giúp học sinh có kỹ năng thực hành các kỹ năng Tốn học.

Trong thực tế nhà trường hiện nay, một vấn đề nổi lên là giáo viên thường chỉ
chú trọng, quan tâm việc hồn thành những kiến thức, lí thuyết quy định trong
Chương trình và Sách giáo khoa, mà quên hoặc sao nhãng việc giúp các em thực
hành kiến thức Toán vào thực tế. Dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn, lúng túng
trong việc vận dụng kiến thức Tốn vào tình huống thực tiễn. Điều này tạo nên
trong suy nghĩ học sinh mơn Tốn là mơn khơ khan, khó học, lý thuyết và khơng
có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Trong hoạt động thực tế ở bất kỳ lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kỹ năng tính tốn:
Tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí, cùng với các đức tính cẩn thận, chu đáo, kiên
nhẫn. Trong thực tiễn lao động sản xuất, hoạt động xã hội, việc tính tốn đo đạc
với độ chính xác cần thiết thường xuyên diễn ra. Ngoài ra, cần giải quyết nhiều vấn
đề trong thực tiễn với phương pháp hợp lí, ngắn gọn, tiết kiệm tư duy, thời gian,
tiền của và sức lao động. Việc vận dụng Toán học vào thực tiễn cũng như tập dượt
nghiên cứu khoa học trong đó có các hoạt động như: thu thập tài liệu trong thực tế,
mị mẫm, dùng quy nạp khơng hồn tồn để dự kiến quy luật, rồi dùng quy nạp
toán học để chứng minh tính đúng đắn của các quy luật dự kiến; thu thập tài liệu