Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––––––––––

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 2
Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP ............................................. 5

NGUYỄN HUY HÙNG

1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ ........................................................... 5
1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU............................................................ 7

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2
CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2

1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC ............................. 17
Chương 2.

ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN

TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC ..... 23
2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2.................................................... 23
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE .. 40
2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM
LAGRANGE.................................................................................... 45

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

KẾT LUẬN.......................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 52

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN – 2011


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

3

ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz

MỞ ĐẦU

địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ

Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và
nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận
được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2

gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy
gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán
trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn.

cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của
hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà
dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient
suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và
Hessian.

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và
danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát
cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập,

R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2

trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập

tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng

đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong

buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz

chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng

n

địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong R . Phương pháp chứng

Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và

minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3]

chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này.

đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các
điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy
dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các
điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức
và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2

Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài
toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều
kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W.
Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của
các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9].

được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được
xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu

phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu

sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng

“quy gọn”).

dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa

Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn

Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các
thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

5

đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn

Chương 1.

quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận

ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP

văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát cho
cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập,
trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương và ràng buộc là một tập
đóng trong Rn. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được thiết lập dưới ngôn
NGUYỄN HUY HÙNG

ngữ gradient suy rộng Clarke. Trường hợp bài toán với các hàm bán trơn
và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này. Các
kết quả được trình bày trong chương này là của R.W.Chaney [7].
1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Gradient suy rộng
Cho W là một tập mở trong Rn. Giả sử f là một hàm giá trị thực xác
định trên W. Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên W nếu với mỗi
điểm x thuộc W tồn tại một lân cận V  x  và một số K  x  sao cho:

f ( z )  f ( y )  K ( x) z  y
với mọi z và y thuộc V x  . Trong đó z  y là chuẩn Euclide của z  y

Định nghĩa 1.1
Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W. Theo Định lý
Rademacher [12], f là khả vi hầu khắp nơi trên W. Ký hiệu f là
gradient của f tại x (khi nó tồn tại). Gọi E là tập hợp tất cả các điểm z
trong W mà f là khả vi tại z. Giả sử x thuộc W. Gradient suy rộng của f

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

7

tại x, ký hiệu là f (x) , là bao lồi của tập của tất cả các điểm giới hạn

(f) Hàm đa trị x  f ( x) là nửa liên tục trên W;. Do đó, nếu  xk  và

của dãy hội tụ f ( xk ) , trong đó xk 
k 1 là một dãy trong E hội tụ đến

vk 

x.

k, thì v f (x ) .

Đạo hàm theo phương suy rộng của f tại x theo phương d được định

(g) Định lý giá trị trung bình của Lebourg.

hội tụ tương ứng với xW và v R n và nếu v k  f (x) với mỗi

Giả sử x và yW. Giả sử đoạn thẳng L nối x và y nằm trong W.

nghĩa bởi

Khi đó tồn tại z  L và v  f (z ) sao cho z  x , z  y và

f 0 ( x, d )  lim sup
v 0 t  0

f ( x  v  td )  f ( x  v )
.
t

f ( x)  f ( y )  v.( x  y)
với v nào đó thuộc Rn và với mọi d  R n ta có

Ta có (xem [1]):



f ( x )    R n :   , u  f o ( x; u ), u  R n



v.d  limsup
t 0

Nhận xét 1.1
Ta liệt kê một số sự kiện về các gradient suy rộng mà ta sẽ sử

thì v  f (x ) .

dụng sau này (xem [1]).

1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU

Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x với hằng số k. Khi đó,
(a) Hàm f o (x;.) hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính trên R n và

f o ( x; v)  k v .

f ( x  td )  f ( x )
t

Giả sử S là một tập hợp con đóng của không gian n–chiều R n và W là
một tập mở trong R n . Giả sử điểm x *  S  W và f là một hàm
Lipschitz địa phương giá trị thực trên W . Ta xét bài toán

(b) f o ( y, v) nửa liên tục trên theo ( y, v); f o ( x;.) Lipschitz (theo v) với

(P) :

min f ( x )
xS W

n

hằng số k trên R .
Nhắc lại [5], tập S là chính quy tiếp tuyến tại x* nếu nón tiếp

(c) f ( x)  0 , lồi, compact và

 k

liên K ( S , x*) và nón tiếp tuyến Clarke T ( S , x*) trùng nhau. Nón tiếp

   f ( x) 

(d) f 0 ( x; d )  maxv.d : v  f ( x ) ,với mọi x thuộc W và d thuộc R n .

tuyến Clarke T ( S , x*) của S tại x* bao gồm tất cả các y  R n sao cho
với mọi dãy tk   0 và  xk  hội tụ tới x* với mỗi xk  S, thì tồn tại dãy

Nói cách khác, f 0 ( x;.) là hàm tựa của tập lồi f (x ) .

 yk  hội tụ đến y sao cho

(e) Cho x thuộc W, hàm f 0 ( x;.) lồi trên R n .

xk  tk yk S với mọi k. Nón tiếp liên K(S, x*)

của S tại x* bao gồm tất cả các y  R n nên tồn tại các dãy tk  các số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

dương và  xk  hội tụ tới x* với mỗi xk  S và

9

 xk  x * / tk  hội tụ đến

(c) vk  f(xk) với mỗi k.

y.

Ta định nghĩa L(f, x*) là tập của tất cả các điểm td, trong đó
Hai nón K(S, x*) và T(S, x*) là đều đóng nhưng chỉ T(S, x*) lồi.

n

d  R , | d | 1, t  0 , và v0 .d  0 với v0 nào đó trong  d f ( x*) .

Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*).

Tập L(f, x*) là một nón đóng.
n

Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y  R và nếu   0 thì x là
chuẩn Euclide của x , x .y là tích vô hướng thông thường của x và y,





Định lý 1.1
Giả sử S, W, x*, f như trên, g là một hàm Lipschitz địa phương giá trị

B(x,) là tập hợp z  R n , z  x   . Nếu C là một tập đóng lồi trong R n

thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x)  f(x) với mỗi x S  W . Giả sử

và nếu x  C, ta ký hiệu N(C, x) các nón pháp tuyến của C tại x . Nếu C

rằng, với mỗi vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*)  L(f, x*), có

chỉ là một tập đóng, thì nón pháp tuyến của C tại x được cho bởi N(C, x)

tương ứng với một nón lồi đóng C(d*) mà d*  C(x*). Ta cũng giả sử

= N(T (C, x), 0).

rằng:
(a) ta có w.d  0 khi d là vectơ đơn vị bất kỳ trong C(d*) với d* nào đó

Định nghĩa 1.2
n

Cho  xk  là một dãy trong R hội tụ đến x và cho d là một vectơ
đơn vị trong R n . Khi đó

xk 

hội tụ tới x theo phương d nếu dãy

thuộc K(S, x*)  L(f, x*) và w là gradient suy rộng thuộc  d g ( x*) .
(b) tồn tại m*  0 sao cho

{(xk – x) / | xk – x |} hội tụ đến d.

limsup wk .( xk  x*)/ | xk  x*|2  m *

Định nghĩa 1.3
Cho x  W và d là một vectơ đơn vị trong R n . Ta định nghĩa

 d f ( x) là tập hợp tất cả các v  R n sao cho tồn tại các dãy  xk  trong

với mọi dãy

xk 

và

wk 

và các vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn:

(i)  xk  hội tụ tới x* theo phương d,

W và vk  trong R n mà:

(ii) d*  K(S, x*)  L(f, x*) và d*C(x*),

(a)  xk  hội tụ tới x theo phương d;

(iii) wk  g (x*) với mỗi k,
(iv) wk  hội tụ đến w trong – N(C(d*) + x*, x*).

(b) vk  hội tụ đến v;

Khi đó, tồn tại   0 sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

11

f ( x )  f ( x*)   m * /2  x  x *

Với mỗi k, ta xác định ánh xạ tuyến tính Tk từ R n vào R n bằng cách đặt

2

Tk(x) = x + (x  d*) (ek – d*). Với I là ánh xạ đồng nhất, ta có
với mọi x  B ( x*,  )  S .
|| Tk – I || ≤ |ek – d*|.
Chứng minh
Giả sử kết luận là sai và chọn một dãy  k  các số dương giảm
đến 0 với 1  1 . Với k cho trước, tồn tại zk trong B(x*,  k ) ∩ S sao cho

Ta có thể giả sử |ek – d*| < 0.5 với mọi k. Vì vậy do Bổ đề nhiễu mà Tk là

 

khả nghịch với mọi k và dãy Tk1 là bị chặn. Đặt Ak = Tk(C(d*)) với
mọi k. Khi đó, Ak là một nón lồi đóng chứa ek.

2

f ( zk )  f ( x*)   m * /2  zk  x * . Đặt

Ta có zk thuộc B(x*, δk)  (Ak+  x * ). Vì vậy, h đạt được giá trị cực tiểu
2

h( x )  g ( x)   m * /2  x  x * .

trên B(x*, δk) (Ak + {x*}) tại điểm xk nào đó khác x*. Do đó, theo [3],

tồn tại vk  h(xk) sao cho –vk là vectơ pháp tuyến của tập lồi

Chú ý rằng zk ≠ z với mỗi k. Ta có

B(x*, δk)(Ak+{x*}) tại xk.

h( zk )  g ( z k )   m * /2  zk  x *

2

Với mỗi k, đặt tk = | xk – x* |> 0 và d k = (xk – x*) / tk. Theo [14], tồn tại

2

≤ f ( zk )  ( m * /2) zk  x *  f ( x*)  h( x*) .
Đặt ek = (zk – x*) /|zk – x*|, ta có thể giả sử ek  hội tụ đến một vectơ đơn
vị d* trong K(S, x*). Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có

ck ≥ 0 và vectơ pháp tuyến uk của tập Ak + {x*} tại xk sao cho
vk + ckdk + u k = 0 với mọi k. Do đó, tồn tại wk trong g(xk) sao cho vk =
wk – m* (xk – x*) với mọi k và như vậy
wk – m* (xk – x*) + ck dk + u k = 0, k ≥ 1

(1.1)

f(zk) – f(x*) = vk*  (zk – x*),
Bởi vì xk thuộc Ak + {x*}, ta có d k thuộc Ak. Từ đó suy ra
trong đó v*k thuộc f(θkzk + (1 – θk) x*) với 0 < θk <1.

xk ± tkdk xk thuộc Ak + {x*}, và do đó uk. dk = 0. Từ (1.1), ta nhận được

 

Ta có thể giả sử vk* hội tụ đến v trong d*f(x*) và ta có

wk.dk + ck = m* tk, k ≥ 1.

(1.2)

Ta có thể giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong R n . Ta có thể

v  d* = lim v*k  ek ≤ 0.

giả sử {wk} hội tụ đến wdg(x*), và vì vậy (1.2) kéo theo {ck} hội tụ
Do đó, d*  L(ƒ, x*).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

đến một số không âm c. Do đó, theo (1.1), {u k} hội tụ đến vectơ u.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

13

Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng d  C(d*). Với mỗi k, tồn tại d*k trong

Ta có thể chọn C (d *)  td *: t  0 với mỗi d* K(S, x*) L(f, x*)

–1

C(d*) sao cho dk = Tk(dk*). Bởi vì | dk | = 1 với mọi k và Tk bị chặn đều,
ta suy ra {d* k} bị chặn và vì vậy ta có thể giả sử nó hội tụ đến d~ trong

Bây giờ, ta trở về hai cách lựa chọn cho C(d*) mà dẫn đến kết quả mới.

C(d*).

Hệ quả 1.1.1

Bởi vì |dk* – Tk(dk*)| ≤ |ek – d* | | d k* |, ta có

Cho S, W, x*, f như trong trên. Giả sử g là hàm Lipschitz địa phương giá
trị thực trên W mà g(x*) = f(x*) và g(x) ≤ f(x) với mọi x trong S ∩ W, S

d ~ – d = lim (dk* – Tk(dk*)) = 0

là chính quy tiếp tuyến tại x*. Giả sử rằng:

Do đó, d  C(d*).

(a) w.d ≥ 0 khi d là vectơ đơn vị trong K(S, x*) và w ∂dg(x*);

Từ giả thiết (a) ta khẳng định rằng w.d ≥ 0. Từ (1.2), ta nhận được

wd + c = 0, và vì vậy, do c ≥ 0, ta có c = wd = 0. Từ (1.1), ta nhận được
w + u = 0.

(b) tồn tại m* ≥ 0 sao cho limsupwk. (xk – x*) / | xk – x*|2 > m* với mọi
dãy {xk} và {wk} mà trong đó {xk} hội tụ tới x* theo phương
d  K(S, x*), wk  ∂ g(xk) với mỗi k, và {wk} hội tụ đến một điểm trong

Để thấy rằng u thuộc N(C(d*) + x*, x*), ta giả sử e thuộc C(d*). Khi đó,
với k cho trước, Tk(e) thuộc Ak , và như vậy (Tk(e) + x* – xk). uk ≤ 0. Bởi

–N(S, x*).
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

vì {Tk(e)} hội tụ đến e, ta suy ra e.u ≤ 0, và do đó u không thuộc
f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│2 .

N(C(d*) + x*, x*). Bởi vì các điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có
limsup wk.d k /tk > m*. Nhưng, từ (1.2), ta có wk.dk ≤ m*.tk với mọi k. Vì
vậy ta đã đi đến một mâu thuẫn và chứng minh là hoàn tất.

với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S.

□
Chứng minh

Nhận xét 1.2
Nón K(S, x*) = T (S, x*) là lồi và vì vậy ta có thể chọn C(d*) = K(S, x*)
Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*). Các lựa chọn

với mỗi d* trong Định lý 1.1.

□

khác nhau có thể làm và ta sẽ mô tả một vài cách chọn.
Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực trên W là
Trước hết ta chú ý rằng ta có thể chọn C(d*) = R n với mỗi
d* K(S, x*) L(f, x*). Cách lựa chọn này là tự nhiên cho trường hợp
không có ràng buộc (tức là, khi S là một lân cận của x*).

chính quy dưới vi phân tại x trong W nếu đạo hàm theo phương f '(x; d)
tồn tại với mọi d trong R n và f 0(x;d) = f '(x; d) với mọi d. Hàm f được
gọi là bán trơn tại x trong W nếu {vk.d} luôn hội tụ khi {xk} và {vk} là các
dãy sao cho {xk} hội tụ tới x theo phương đơn vị d và vk  ∂f(xk) với mỗi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

15

k. Mifflin đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x, thì với mỗi vectơ đơn vị

giả sử v*  ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0). Ta phải chứng minh

d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn tại và bằng limvk .d, trong đó {vk} là

rằng (a) đúng.

dãy được như trong định nghĩa vừa nêu.
Như vậy, nếu d  K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w  ∂dg(x*), ta có
Bây giờ giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Khi

w. d = g'(x*; d) = g 0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0.

đó

□

Ví dụ 1.1

L(f, x*) = {d  R n : f 0 (x, d) ≤ 0}

Trong Định lý 1.1, ta chọn C(d*) = {td*: t ≥ 0} với mỗi d*. Ta
theo [8]; vì thế, nón L(f, x*) lồi. Do đó, nếu S là chính quy tiếp tuyến tại

muốn chỉ ra cách lựa chọn khác có thể được, ngay cả khi S không phải là

x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi. Điều này dẫn đến hệ quả sau đây.

chính quy tiếp tuyến tại x*.

Hệ quả 1.1.2

Cho S là tập của tất cả các điểm trong R2 mà tồn tại tọa độ cực

Giả sử f là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*. Giả sử tất
cả các giả thiết của Hệ quả 1.1.1 đúng, trong (a) và (b) ta thay thế

(r,  ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π và 0 ≤ r ≤ 2  2cos . Như vậy, S là tập
hợp bị chặn. Với x* = (0, 0), ta có

K(s, x*) bởi K(s, x*) ∩ L(f, x*) và trong (b ) ta thay thế
T(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ | v |}

– N(S, x*) bởi –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0).

K(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ – |v |}

Khi đó tồn tại δ > 0 sao cho

Do đó, S không là chính quy tiếp tuyến tại x*.

f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* |2 ,

Với d* = (v*, u*)  K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v)  R2: u ≥ v} khi

với mọi x thuộc B(x*, δ) ∩ S.

u* ≥ v*, và C(d*) = {(u, v)  R2: u + v ≥ 0} khi u* < v*. Với cách lựa
(Hơn nữa, nếu g cũng bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, thì ta

chọn đó, mỗi nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) chỉ gồm một tia.

có thể thay thế giả thiết (a) bằng giả thiết:
Ví dụ 1.2
tập g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.)
Ta chỉ ra rằng Định lý 1.1 là sai nếu (b) (i) được thay thế bằng
Chứng minh

"{xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với mỗi k".

Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với mỗi d*. Với cách lựa chọn

Cho S = {(x, y)  R2: –1 ≤ x ≤ 1 và x4 – x2 ≤ y ≤ 1}.

đó, ta dùng Định lý 1.1. Chỉ cần xem xét phát biểu cuối cùng. Như vậy,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

17

Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 và lấy g = f. Lấy x* = (0, 0). Ta thấy
rằng

1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC
Nhận xét 1.3
Ta sẽ xét bài toán P ở đây với S = S1 ∩ S2, mà S2 là một tập đóng

K(S, x*) = {(c, d)  R2: d ≥ 0}.
và
Ta chọn C(d*) là K(S, x*). Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)}.
Nếu d ≥ 0 thì (c, d). (0, 4) = 4d ≥ 0, và vì vậy (a) của Định lý 1.1 đúng.

m

(3) S1 =  {x  Rn: gi (x) ≤ 0} ∩
i1

q

 {x  Rn: gi (x) = 0},

(1.3)

i  m 1

Bây giờ ta giả sử {(xk, yk)} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của (b) và
giả sử mỗi (xk, yk) thuộc S. Khi đó, với zk = (xk, yk) và chú ý

ở đây mỗi hàm gi là Lipschitz địa phương trên W.
Điều kiện cần để x* là cực tiểu địa phương của bài toán này đã xét

wk = (6xk, 8yk + 4),

trong [14]. Theo [14], nếu bài toán P là yên tĩnh (calm) tại x* thì tồn tại
ta có

các nhân tử a1, ..., aq sao cho
wk. (zk – x*) / | zk – x* |2 = 6 + (2yk2 + 4 yk) / (xk2 + yk2).

Do yk ≥ xk4 – xk2, ta có
limsup wk. (zk – x*) / (xk2 + yk2) ≥ 4.
Tuy nhiên, x* = (0, 0) là cực tiểu địa phương của f trên S. Thật vậy, lấy
(x, y) với x nhỏ và dương và y = x4 – x2. Khi đó,

ai ≥ 0 với i = 1, ..., m,

(1.4)

aigi (x*) = 0, với i = 1, ..., m,

(1.5)

0 {f + a1g1 + a2g2 + ... + aqgq + 2} (x*).

(1.6)

Trong (1.6), 2 là hàm chỉ của tập S2, ta có

2(x) = 0 nếu x  S2 và 2 (x) = + nếu x  S2 .

f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1)2
= 1 – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} <1 = f(0, 0),
nếu x đủ gần 0.

Nếu các nhân tử a1, ..., aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) tồn tại, ta xác
định hàm Lagrange L bởi L = f + a1g1 + ... aqgq và chú ý rằng ta có thể
lấy hàm bổ trợ g trong Định lý 1.1 là L. Ta phát biểu một Định lý mà các
hàm là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

19

Định lý 1.2

Chứng minh

Giả sử các hàm f, g1, ..., gm là bán trơn và chính quy dưới vi phân

Ta chứng minh Định lý này từ Định lý 1.1. Trước hết chú ý rằng

tại x* và các hàm gm +1, ..., gq thuộc lớp C1 ở gần x*. Gọi I là tập tất cả

f(x*) = L(x*) và L ≤ f trên S ∩ W. Từ [8] suy ra L là bán trơn và chính

các chỉ số i mà 1 ≤ i ≤ m và gi (x*) = 0. Giả sử 0 không thuộc bao lồi của

quy dưới vi phân tại x*. Ta có tập L(f, x*) là một nón lồi đóng. Từ [13,

hợp các tập ∂g i (x*) với i  I và các tập ∂ g i (x*)  – ∂ gi (x*) với

Hệ quả 2 đến Định lý 5] ta suy ra S1 là chính quy tiếp tuyến tại x* và do

i = m+1, ..., q. Giả sử

đó từ [13, Hệ quả 4 của Định lý 2] ta suy ra S là chính quy tiếp tuyến tại

T (S1, x*) ∩ intT(S2, x*)  0 hoặc int T(S1, x*) ∩ T (S 2, x*)  0 .
Giả sử S2 là chính quy tiếp tuyến tại x*.

x*. Do đó, nón đóng K(S, x*) ∩ L(f, x*) lồi; với mỗi d*  K(S, x*) ∩
L(f, x*), ta đặt C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*).
Để chứng minh rằng (a) đúng trong Định lý 1.1, ta lấy

Giả sử tồn tại hệ số a1, ..., aq thỏa mãn (1.4) – (1.6) và đặt
L = f + a1g1 + ... + a qgq. Cuối cùng, giả sử tồn tại m* ≥ 0 sao cho:

d  K(S, x*)  L(f, x*) và w  ∂d L(x*). Từ [13, Hệ quả 2 của Định lý 2],
ta suy ra rằng (1.6) kéo theo sự tồn tại của v*  L(x*) sao cho
–v*  N(S 2, x*). Vì L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có

2

limsup wk. (xk – x*) / | xk – x* | > m*,

w. d = L '(x *; d) = L0 (x*; d) ≥ v *. d ≥ 0

với mọi dãy {xk} và {wk} thỏa mãn:
(v) {xk} hội tụ tới x* theo phương d trong T(S, x*) mà g'i (x*; d) = 0 với

(1.7)

Ta chỉ còn phải kiểm tra (b) của Định lý 1.1 đúng. Vì vậy, ta giả
sử {xk} và {wk} thỏa mãn (i) – (iv) của Định lý 1.1 với g lấy là L. Khi đó

mọi i  I sao cho ai > 0;

(vi) và (vii) của Định lý này rõ ràng đúng. Như trong (1.7), ta có
(vi) wk  ∂ L(xk) với mỗi k;
w.d = L '(x *; d) ≥ 0
(vii) {wk} hội tụ đến một điểm trong – N(L(f, x*) ∩ T (S, x*), 0).
và vì vậy
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
f '(x*; d) + a1g1 (x*; d) + .... + aqg’q (x*; d) ≥ 0.

(1.8)

f(x) ≥ f(x*) = (m* / 2) | x – x* |2
Vì d  L(f, x*), ta có f '(x*, d) ≤ 0. Vì d  K(S, x*), ta có g1' (x*, d) = 0
với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.

với i > m và gi' (x*; d) ≤ 0 với i  I. Do đó, từ (1.8) suy ra gi'(x*; d) = 0
với i  I mà ai > 0. Ta suy ra {xk} và d thỏa mãn (v). Vì vậy, từ (v) –
(vii), ta nhận được

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

21

lim sup wk. (xk – x*) / | xk – x* |2 > m* .

d*  K(S, x*) ∩ L(f, x*), có tương ứng một nón lồi đóng C(d*) mà

Như vậy (b) đúng.

□

d* C(d*). Ta cũng giả thiết rằng:
(a) Ta có w. d ≥ 0 với mọi vectơ đơn vị d  C(d*) với d* nào đó trong

Nhận xét 1.4
Trong Định lý 1.2 đòi hỏi 0 không thuộc bao lồi của các dưới vi

K(S, x*) ∩ L(f, x*) và w là gradient suy rộng bất kỳ trong ∂dg(x*);

phân là một điều kiện chính quy. Đó là một tổng quát hóa của điều kiện

(b) Ta có limsup wk.(xk – x*) / |xk – x*|2 > 0 với bất kỳ các dãy {xk} và

chính quy Mangasarian_Fromovitz.

{wk} và d*, d là các vectơ đơn vị thỏa mãn

Nhận xét 1.5

(i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d,

Có thể xây dựng các dạng khác của Định lý 1.1 bằng cách sử dụng

(ii) d* K(S, x*) ∩ L(f, x*) và d  C(d*),

một số hàm bổ trợ khác. Ta sẽ thảo luận ở đây một ví dụ. Ta tiếp tục làm
(iii) wk  ∂ g(xk) với mỗi k,

bài toán với S = S1 ∩ S 2 , với S1 cho bởi (1.3).
Ta giả sử r và m* là các số dương. Lấy x* S ∩ W như trước. Ta
xác định hàm M trên W bằng cách lấy M(x) là số lớn nhất trong các số
g1(x), ..., gm(x), và

(iv) {wk} hội tụ đến một điểm w  –N(C(d*) + x*, x*).
Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│

f(x) – f(x*) – (m* / 2) | x – x* |2 + r | gm + 1 (x) | + ... + r | gq (x) |.
Chú ý rằng M(x*) = 0, vì x* S. Ta sử dụng hàm M là do nhận xét rằng:

Nếu x* làm cực tiểu M trên B(x*, δ) ∩ S2 thì ta có

với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.
Chứng minh
Giả sử kết luận là sai và ta chọn dãy { δ k} gồm các số dương giảm

f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) | x – x* |2

về 0 với δ1 < 1. Với k cho trước, tồn tại zk  B(x*, δk) ∩ S sao cho
với mọi x  B(x*, δ) ∩ S.
f(zk) –. f( x*) <(m* / 2) │zk – x* │2 .
Định lý 1.3
Cho W, f và x* như trên, và S = S1 ∩ S2 . Cho g là một hàm
Lipschitz địa phương giá trị thực trên W mà g(x*) = M (x*) = 0 và

Đặt h = g và chú ý rằng zk ≠ x* với mỗi k. Ta có
h(zk) = g(zk) ≤ M (zk) ≤ 0 = M (x*) = h(x*) với mỗi k.

g(x) ≤ M (x) với mọi x  S ∩ W. Giả sử rằng, với mỗi vectơ đơn vị

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

23

Phần còn lại của chứng minh có thể được làm như chứng minh
Định lý 1.1 với một vài thay đổi nhỏ.

□

Chương 2.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN
TỐI

ƯU

KHÔNG

TRƠN

CÓ

RÀNG

BUỘC

BẤT ĐẲNG THỨC
Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu với
hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức là các hàm Lipschitz địa
phương. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ
gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng kiểu hàm
quy gọn của Ioffe [9]. Các kết quả được trình bày trong chương này là

của Chaney [6].
2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2
Giả sử W là một tập mở trong không gian Euclide thực n–chiều
n

R . g 0 , g1 , g 2 ,...g q là các hàm giá trị thực trên R n , Lipschitz địa

phương trên W. Giả sử
m

q

i 1

i  m 1

S    x  g1( x )  0  

x  R n : g1( x)  0

(2.1)

Ta xét các bài toán:
P1: min g 0 ( x) với x  S  W .
Ta cũng xét bài toán không bị ràng buộc:
P1*: min F  x  với x  W;
ở đây, F là hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên W.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




24

25

Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới ngôn ngữ các

(a)  xk  hội tụ tới x theo hướng d;

hàm bổ trợ H và M. Giả sử x*  S  W và r  0 và m  0 . Với x  W,
(b) vk  hội tụ đến v;

ta đặt
q


H  x   m ax  g o ( x )  g   x    r  g i  x  ;1  i  m 

i  m 1




M(x)=  go ( x)  go ( x*)  (m * /2) | x  x* |2 r



(2.2)

(c) vk thuộc f (x ) với mỗi k.
(Chú ý rằng, ta có  d f ( x)  f ( x) . Có thể xem như  d f (x) là tập các

q


| gi ( x) |; gi (x): i  1,..., m  .
i m 1


gradient suy rộng tại x mà "phát sinh" từ phương d.



(2.3)

Giả sử các hàm g 0 , g1 , g 2 ,....g q Lipschitz địa phương trên W và tập S có
dạng (2.1). Ta định nghĩa
m

Chú ý rằng các hàm H và M phụ thuộc vào x* và r, và M cũng phụ
thuộc

vào

m*. Hàm

H

là

hàm

quy

gọn

kiểu

Ioffe

i 1

[9].

n

Ta đưa vào một số ký hiệu. Nếu x và y thuộc R ta ký hiệu xy là tích vô



S1   {x  W : g i ( x )  0},
và xác định hàm fo trên W bởi



hướng thông thường của x và y, và B( x,  )  z  R n : x  z   .
q

fo ( x)  g o ( x) 

Định nghĩa 2.1

r | gi ( x) |; x  W.

i  m 1

Cho  xk  là một dãy trong W hội tụ đến x  W và giả sử xk  x
n

với mọi k. Cho d là một vectơ khác không trong R . Khi đó  xk  được
gọi là hội tụ tới x theo hướng d nếu {( xk  x) / | xk  x |} hội tụ đến

d/d .

Định lý 2.1
Giả sử x* thuộc tập S  W , hàm M như trong (2.3). Giả sử:
(a) Ta có v.d  0 khi mà d là một vectơ khác không trong R n và
v   d f ( x) ;

Định nghĩa 2.2
Lấy x  W và d là một vectơ khác không trong R n . Ta định nghĩa

 d f ( x) là tập tất cả các v trong R n sao cho tồn tại các dãy  xk  trong

(b) Ta có limsup vk .( xk  x*)/ | xk  x* |2  0 , với mọi dãy  xk  , vk  và

vectơ d trong R n thỏa mãn các điều kiện sau :
(i)  xk  hội tụ đến x* theo phương d với xk  S 1 với mọi k;

W và vk  trong R n sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




26

27

Ta có thể giả sử vk  hội tụ đến v trong  d M (x*) . Ta có thể giả sử ck 

(ii) vk  hội tụ về 0 với vk  M  x k  với mỗi k;

hội tụ đến c  0 . Ta nhận được v  cd  0 . Do đó, | v |2 c(d .v)  0 . Theo

(iii) Tồn tại vo trong df0 (x*) sao cho v0 .d  0 .

giả thiết (a), ta có d .v  0 , và như vậy v  0 .

Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho

Theo Định lý giá trị trung bình của Lebourg tồn tại z0k và v0k sao cho

go ( x)  g0 ( x*)  (m * /2) | x  x*|2

z0k là điểm trong của đoạn thẳng nối xk và x*, v0k  f 0  z0k 
và f 0 ( xk )  f 0 ( x*)  v0k .( xk  x*) . Như trước, ta có thể giả sử { v0k } hội

với mọi x  B( x*,  )  S .

tụ đến v0 trong  d f 0  x * . Bởi vì
Chứng minh

 m*
2
f 0 ( xk )  f 0 ( x*)  M ( xk )  
 | xk  x*|
 2 

Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy  k  các số dương giảm đến
không. Khi đó, với k cho trước, tồn tại zk trong B( x*,  )  S sao cho

 m*
2  m*
2
 M ( x*)  
 | xk  x* |  
 | xk  x* |
 2 

 2 

g o ( zk )  g 0 ( x*)  (m * /2) | zk  x* |2 .
Chú ý rằng M ( zk )  0  M ( x*) , và như vậy M có một cực tiểu xk
trên B( x*,  ) khác x*.

ta có v0 .d  0 .
Do đó, từ giả thiết (b) ta có thể giả sử

Đặt tk | xk  x* | và xác định d k  ( xk  x*) / tk . Ta có thể giả sử

d k  hội tụ đến vectơ đơn vị d.

lim

v k .d k
0
tk

(2.5)

Từ Định lý của Clarke về điều kiện cần cấp 1 [3] ta suy ra tồn tại

Ở đây, vế trái của (2.5) có thể nhận giá trị  Từ (2.4), ta nhận được

v k  M(xk) sao cho  v k thuộc nón pháp tuyến của tập lồi B( x*,  ) tại

vk .d k  ck | d k |2  0 , do đó vk .d k  0 với mọi k. Điều này cho ta một mâu

xk . Nhưng khi đó ta có vk  ck .d k với ck  0 nào đó, và như vậy

thuẫn với (2.5). Định lý được chứng minh.

vk  ck d k  0 , với mọi k

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

(2.4)



□

Bây giờ ta trình bày một điều kiện đủ cho bài toán P1* .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




28

29

với mỗi vectơ d khác không trong R n . Hơn nữa, nếu x  W và nếu

Hệ quả 2.1.1
Giả sử x*  W và F là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực

v*  v  m * ( x  x*) với v nào đó trong F ( x ) , thì ta có

trên W. Giả sử

v *.( x  x*)  v.( x  x*)  m* | x  x* |2 .
n

(a) vk .d k  0 khi mà d là một vectơ khác không trong R và v  dF(x*);
□

Từ Định lý 2.1 ta suy ra điều phải chứng minh.

(b) tồn tại m*  0 sao cho

Ví dụ 2.1

limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x*|2  m *

Xác định một hàm F trên R bằng cách đặt

với mọi dãy {xk} trong W hội tụ đến x* mà xk  x * với mọi k và {vk} là





F ( x)  max x 2 ,2 x  x 2 với mọi x  R.

dãy trong Rn hội tụ đến 0 với vk   F(xk) với mọi k.

Rõ ràng là x* = 0 làm cực tiểu F(x) trong R. Lưu ý rằng F không

Khi đó, tồn tại một số dương δ sao cho

lồi trên lân cận bất kỳ của 0 và F mà không khả vi tại x = 0 và x = 1. Ta
 m*
2
F ( x)  F ( x*)  
 | xk  x* |
 2 

muốn chỉ ra x* = 0 thỏa mãn các giả thiết (a) và (b) của Hệ quả 2.1. 1.
Đối với điều kiện (a), lưu ý rằng nếu d > 0 thì v.d = 2d> 0 với mọi

với mọi x  B( x*,  ) .

v trong  d F (0) , còn nếu d < 0 thì vd = 0 với mọi v trong  d F (0) . Giả sử

xk 

Chứng minh
Xác định một hàm F* trên W bởi

hội tụ về 0 với xk  0

với mỗi k và vk  hội tụ về 0 với

vk  F ( xk ) với mỗi k. Do đó, xk  0 với mọi k đủ lớn và vì vậy

F * ( x)  F ( x )  ( m * /2) | x  x* |2 , với x  W.
Ta sẽ áp dụng Định lý 2.1 với M = F*. Chú ý rằng, ta có

vk .xk / | xk |2  2 xk .xk / | xk |2  2
với mọi k đủ lớn.

F * ( x)  {v  m * ( x  x*) : v  F ( x )} , với x  W.

Do đó, giả thiết (b) của Hệ quả 2.1.1 thỏa mãn.

Do đó
F * ( x*)  F ( x*) và  d F * ( x*)   d F ( x*)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




30

31

Nhận xét 2.1

Định nghĩa 2.4

Ta muốn kiểm tra giả thiết (a) của Định lý 2.1 với các giả thiết

Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W và giả sử x  W. Khi đó, f

thêm về hàm g i . Ta giả sử rằng mỗi g i là bán trơn và chính quy dưới vi

là chính quy dưới vi phân tại x nếu đạo hàm theo phương f ' ( x; d ) tồn

phân tại x*.

tại với mọi d  R n và f 0 ( x; d )  f ' ( x; d ) với mọi d.

Định nghĩa 2.3

Nhận xét 2.3

Giả sử f là Lipschitz địa phương trên W và x  W. Khi đó, f là bán
trơn tại x nếu dãy vk .d  có đúng một điểm tụ khi mà d là một vectơ
khác không trong R n ,  k  và v k  là các dãy trong R n , t k  là một

Các hàm lồi và các hàm khả vi liên tục trên W là chính quy dưới vi
phân tại tất cả các điểm của W. Lưu ý rằng ta luôn có f 0 ( x; d )  f '( x; d )
khi f '( x; d ) tồn tại.

dãy trong R thỏa mãn
Mệnh đề 2.1
(i) t k  giảm đến 0 ,

Cho f và g là các hàm giá trị thực trên W, x  W và a là một số.
n

(ii) k / tk  hội tụ đến 0 trong R ,

(a) Nếu f và g là bán trơn tại x, thì f  g và af cũng bán trơn tại x.

(iii) v k  f ( x  tk d   k ) với mỗi k .

(b) Nếu f và g là chính quy dưới vi phân tại x, thì f + g và af ( a  0 ) cũng
chính quy dưới vi phân tại x.

Nhận xét 2.2
Mifflin [11] đã chỉ ra rằng, nếu f là bán trơn tại x thì với mỗi vectơ d

Chứng minh

khác không trong R n , đạo hàm theo phương f ' ( x; d ) tồn tại và bằng

(a) Khẳng định cho af là có ngay do  ( af )( x)  a(f ( x)) . Giả sử

lim vk .d , trong đó vk  là dãy bất kỳ chọn như trong Định nghĩa 2.3 ở

f và g là bán trơn tại x và đặt h  f  g . Lấy d là một vectơ khác không

trên, Mifflin [11] cũng chỉ ra rằng các hàm lồi là bán trơn và các hàm

trong R n , và giả sử các các dãy v k ;  k  và t k  là như trong Định

khả vi liên tục là bán trơn.

nghĩa 2.3 (i) – (iii), với f thay thế bằng h. Ta có, h( y )  f ( y )  g ( y )
với mỗi y, và do đó tồn tại v1k trong f ( x  tk d   k ) và v2k trong

g ( x  tk d   k ) sao cho vk  v1k  v2k . Theo giả thiết, các dãy {v1k .d }
và {v2 k .d } hội tụ. Vì vậy, {vk .d } hội tụ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




32

33

(b) Giả sử f và g là chính quy dưới vi phân tại x và h  f  g . Ta có

M '( x*; d )  M 0 ( x*; d )  H 0 ( x*; d )  0 . Từ Nhận xét 2.2 ta suy ra giả

h '  h 0 nếu h ' tồn tại. Vì vậy

h '  x; d   h 0 ( x; d )  f

Ngược lại, giả sử 0  H(x*). Do H(x*) = M(x*), ta có

0

 x; d 

thiết (a) Định lý 2.1 đúng.

 g 0 ( x; d )

□

Nhận xét 2.4

 f '  x; d   g '( x; d )  h '  x; d  .

Để |g i| là chính quy dưới vi phân tại x*, ta giả sử gi thuộc lớp C1
0

Tiếp theo, nếu a  0 , ta có  ( af )( x)  a (f ( x )) và  af  '   af  .

□

gần x* là được.
Ví dụ 2.2

Định lý 2.2
Giả sử trong Hệ quả 2.1.1 hàm F là hai lần khả vi liên tục tại
Giả sử x*  S  W , H và M được định nghĩa như trong (2.2) và
(2.3). Giả sử các hàm g 0 , g1 , g 2 ,...., g q là bán trơn tại x* và các hàm

g0 , g1, g2 ,...., g m , g m 1 ,..., g q là chính quy dưới vi phân tại x*. Khi đó

x*. Ta muốn chỉ ra các giả thiết (a) và (b) của Hệ quả 2.1.1 được quy về
các điều kiện đủ thông thường trong trường hợp này.
Đầu tiên, ta chú ý rằng, do Định lý 2.2, giả thiết (a) cho ta

giả thiết (a) của Định lý 2.1 đúng nếu và chỉ nếu H  x * chứa vectơ

F ( x*)  0 . Nhắc lại rằng gradient suy rộng chỉ bao gồm gradient trong

không.

trường hợp này. Bây giờ, gọi  2 F ( x*) là Hessian của F tại x. Giả thiết

Chứng minh

(b) trở thành:

Theo [3] cực đại của một số hữu hạn các hàm chính quy dưới vi
phân là chính quy dưới vi phân. Theo [11] cực đại của một số hữu hạn
các hàm bán trơn là bán trơn. Bởi vì gi  max{ gi ,  g i } , cho nên g i là
chính quy dưới vi phân và bán trơn tại x*. Từ Mệnh đề 2.1 suy ra f0 là
chính quy dưới vi phân và bán trơn tại x*. Những nhận xét trên cho thấy
H và M cũng có các tính chất đó. Hơn nữa, H x *  M  x * .
Bây giờ giả sử rằng giả thiết (a) của Định lý 2.1 đúng. Ta có
0

0

limsup F ( xk ).( xk  x*)/ | xk  x*|2  m *
với mọi dãy {xk} hội tụ đến x*. Ta có

F ( x*).( xk  x*)  F ( xk )  F ( x*).( xk  x*)

 ( xk  x*). 2 F ( x*).( xk  x*)  o | xk  x*|2 .

Do đó, giả thiết (b) trở thành:

n

H ( x*; d )  M ( x*; d )  0 với mọi d  R . Do đó, theo [14, thm.13.1],
limsup( xk  x*). 2 F ( x*).( xk  x*)/ | xk  x*|2  m *

vectơ không thuộc H x * .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




34

35

với mọi dãy {xk} hội tụ tới x* (với xk  x*). Nhưng điều kiện này tương
đương với

Chứng minh
Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy {δk} của số dương giảm đến
0. Khi đó, với k cho trước, tồn tại zk  B( x*,  )  S sao cho :

d.  2 F ( x*) d > m*

g0  zk  – g0  x *   m * /2  zk - x *

với mọi vectơ đơn vị d trong Rn.

2

.

Đặt sk = | zk – x* |> 0 và dk = (zk – x*) / sk với mỗi k. Bây giờ xác định Ck

Định nghĩa 2.5
Với x  S ∩ W, nón tiếp tuyến T(S, x) của S tại x được định nghĩa
n

là tập tất cả các d trong R sao cho tồn tại các các dãy {xk} trong S ∩ W
và {tk} các số dương mà {xk} hội tụ đến x và {( xk  x ) / tk } hội tụ đến d.
Định lý 2.3

là nón lồi nhỏ nhất chứa dk. Ta có thể giả sử dãy {dk} hội tụ đến một
vectơ đơn vị d trong T (s, x*). Cũng lưu ý rằng

f 0  zk  – f 0  x *   m * /2  zk - x *

2

.

Sử dụng Định lý Lebourg như trong chứng minh Định lý 2.1 ta có

Giả sử x*  S ∩ W, M và fo được định nghĩa như trong Định lý

v0 .d  0 với v0 nào đó trong  d f o ( x*) .

2.1. Giả sử h là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định trên
Theo các giả thiết (a) và (b), ta có

W sao cho:

h( zk )  M ( zk )  0  M ( x*)  h( x*) .

(a) h (x*) = M (x*);

Vì vậy, h nhận giá trị cực tiểu trên tập B ( x*, )  (Ck  x*) tại điểm

(b) h (x) < M(x) với mọi x  S ∩ W ;
(c) ta có limsup vk .( xk  x*)/ | xk  x* |2  0 với mọi dãy {xk} trong W hội
tụ đến x* theo phương d trong T (s, x*) mà v0.d  0 với v0 nào đó trong

 d f o ( x*) và {vk} trong Rn mà vk  h( xk ) với mọi k.

xk ≠ x*. Đặt tk = | xk – x* |> 0. Chú ý rằng ( xk  x*) / tk  d k với mỗi k và
{xk} hội tụ tới x* theo hướng d.
Theo Định lý Clarke về điều kiện cần [3], tồn tại vk trong h( xk ) sao cho
– vk là pháp tuyến của tập lồi B ( x*, )  (Ck  x*) tại xk. Ta áp dụng [14,

Khi đó, tồn tại một số dương δ sao cho:

Cor. 23.8.1] và suy ra tồn tại một số ck không âm và uk là pháp tuyến của
Ck + x* tại xk sao cho

 m*
2
go ( x )  go ( x*)  
 | x  x*| ,
 2 

vk  ck d k  uk  0

(2.6)

với mọi x  B ( x*,  )  S .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




36

37

Bởi vì xk + tk dk và xk – tk dk thuộc Ck  x * , ta có uk dk = 0. Vì vậy,
từ (2.6) ta nhận được

Ví dụ 2.3

Giả sử x*  S ∩ W và các hàm gi là hai lần khả vi liên tục ở gần
x*. Ta giả sử rằng điều kiện đủ cấp 2 đúng tại x* và ta sẽ chỉ ra rằng các

2

vk d k  ck d k  0

giả thiết của Định lý 2.3 thỏa mãn. Như vậy, ta giả sử số y1, y2 ..., yq tồn
tại sao cho yi ≥ 0 và yigi (x*) = 0 với i = 1 ... m và

Từ đó suy ra

lim sup vk .d k / tk  0 .

q

(2.7)

g0 ( x*)   yigi ( x*)  0

(2.8)

i 1

Bởi vì (2.7) mâu thuẫn với giả thiết (c) nên bài toán được chứng minh. □
Nếu ta đặt
Nhận xét 2.5
L(x) = g0 (x) + y1g1 (x) + ... + yqgq (x).với x  W.

Giả sử x*  W. F là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực trên W.

Đặt

thì ta có
K (F) = {d  R n : F 0 ( x*; d )  0} .

d . 2 L( x*) d  m *

Khi đó K(F) là một nón lồi đóng.

với vectơ đơn vị d bất kỳ thuộc T(S,x*) mà

Định lý 2.4

gi ( x*).d  0 với i  I = {i: 1 ≤ i ≤ m và yi> 0}.

Giả sử x*  S ∩ W, M và f0 như trong Định lý 2.3. Giả sử các hàm
g0, g1 ,g2 ,...,gq là bán trơn tại x* và các hàm g0, |gm+1|,...,|gq| là chính
quy dưới vi phân tại x*. Khi đó, vo .d  0 với v0 nào đó trong  d f o ( x*)

Để thấy rằng Định lý 2.3 áp dụng được trong tình huống này, ta phải
chọn r > 0. Lấy r = 1 nếu không có số khác không trong {ym 1,..., yq } và

khi và chỉ khi d  K ( f 0 ) .

r  max  yi : i  m  1, ..., q trong trường hợp ngược lại.

Chứng minh

Xác định h trên W bởi

Ta chỉ ra rằng f0 là bán trơn và chính quy dưới vi phân cũng như ta
đã làm trong việc chứng minh Định lý 2.2. Như vậy, bằng Nhận xét 2.2,

2

h  x   L  x   g 0  x *   m * /2  x  x * , x  W .

ta có f 00 ( x*; d )  f '0 ( x*; d )  v0 .d nếu v0   d f o ( x*) . Từ đó suy ra kết
luận của Định lý.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

□



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




38

39

Khi đó, các điều kiện (a) và (b) của Định lý 2.3 đúng, vì h(x*) = 0 với

Bây giờ vk  L ( xk )  m * ( xk  x*) với mỗi k.

xS∩W

Đặt tk | xk  x* | và d k | xk  x* | / tk với mỗi k. Ta nhận được

h  x   L  x  - g 0  x * -  m * / 2  x - x *
 g o  x  - g 0  x * -  m * / 2  x - x *

2

vk .d k  L( xk ).dk  m * tk | dk |2  {L( xk )  L( x*).dk  m * tk .

2

Nên

 M ( x) .

limsup vk .d k / tk  d . 2 L( x*)d  m*  0 .

Bây giờ giả sử {xk} là dãy trong W hội tụ đến x* theo phương d trong

Do đó các giả thiết của Định lý 2.3 thỏa mãn.

T(S, x*), giả sử v0. d ≤ 0 với vo nào đó trong  d f o ( x*) , và vk  h( xk )
với mỗi k. Như trong chứng minh Định lý 2.2, ta thấy rằng fo là bán trơn

Hệ quả 2.4.1
Giả sử F là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định trên W

và chính quy dưới vi phân tại x*. Theo Định lý 2.4, d  K (fo). Do đó ta

và x*  W. Giả sử h là hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định

có

trên W mà
q
{f ( x )  f 0 ( x*)}
0  lim 0 k
 g0 ( x*).d   r | gi ( x*).d | 0
tk
i  m 1

(b) h (x) ≤ F (x) với mọi x  W

Bởi vì L( x*)  0 và gi ( x*).d  0 với mỗi i  I, ta có

(c) tồn tại m* ≥ 0 sao cho

q

m

0   yigi ( x*).d  g 0 ( x*).d 
i 1



(a) h (x*) = F (x*);

yi gi ( x*).d

limsup vk .( xk  x*)/ | xk  x* |2  m *

i  m 1
q

 g 0 ( x*).d 



với bất kỳ dãy {xk} trong W hội tụ đến x* theo phương d mà v0. d ≤ 0 với

r g i ( x*).d  0 .

v0 nào đó trong  d F ( x*) và {vk} là dãy trong Rn mà vk  h( xk ) với mỗi

i  m 1

Bởi vì gi ( x*).d  0 và yi > 0 với mỗi i  I, ta suy ra gi ( x*).d  0 với
mỗi i  I. Vì vậy, ta có

k.
Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho

d . 2 L( x*) d  m * .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

F  x   F  x *   m * /2  |x  x*|2 ,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




40

41

Nhận xét 2.7

với mọi x  B( x*,  ) .

Gradient suy rộng của f có thể biểu diễn qua Jacobian J của G và
Chứng minh

dưới vi phân g của hàm lồi g. Từ Định lý của Rockafellar [13] ta suy ra

Ta xác định hàm h* và F* trên W bởi

f là chính quy dưới vi phân tại mỗi điểm của W và
2

F *  x  = F  x    m * /2  |x  x*| ,

f ( x)  {J ( x)T y : y  g (G ( x))},

2

h *  x   h  x    m * /2  |x  x*| ,

x W .

(2.9)

Ở đây, chỉ số trên T ký hiệu phép chuyển vị.

với x  W. Bây giờ ta làm như trong chứng minh Hệ quả 2.1.1, áp dụng
Định lý 2.3 cho F* và h*.

□

Miffin đã chỉ ra rằng hàm hợp của 2 hàm bán trơn là hàm bán
trơn. Từ Nhận xét 2.2 suy ra f là bán trơn tại mỗi điểm của W.
Một vài sự kiện về g được liệt kê dưới đây:

2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE
Nhận xét 2.6

g (0) = 0;

(2.10)

lồi, thuần nhất dương, và dưới cộng tính trên Rm. Giả sử các hàm giá trị

Nếu y  g (u) thì g (u) = y.u ;

(2.11)

thực G1, G2., ..., Gm là hai lần khả vi liên tục trên tập mở W  R n chứa

với mỗi u  Rm, ta có g (u )  g (0) ;

(2.12)

Giả sử g là hàm dưới tuyến tính xác định trên Rm. Như vậy, g là

điểm x*. Ta xác định hàm G bởi
Từ (2.10) và (2.12) suy ra

G  x    G1  x  , G2  x  , ..., Gm  x   với x  W.
Đặt f = g  G và xét bài toán

Nếu u  Rm và y  g (0), thì y.u< g(u).
Định nghĩa 2.6

(P**): min f ( x) .

Với k và x* như trên, đặt

xW

( x*)  {y  g (G ( x*)) : J ( x*)T y  0},

Đây là dạng hữu hạn chiều của bài toán trên không gian Banach đã xét
bởi Ioffe [10]. Ta có thể nhận được Định lý Ioffe [10] từ Hệ quả 2.4.1.

và

KC  {d  R n : g (G ( x*)  tJ ( x*) d )  g (G ( x*), với t  0 nào đó}

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




42

43

Cuối cùng, ta định nghĩa hàm L* trên W  R m bởi

và (2.13) suy ra h(x*) = f(x*) và h(x)  f(x) với mọi x  W. Theo [3,
thm.2.1], ta có

L * ( x, y )  y1G1( x)  y2G2 ( x )  ...  ymGm ( x ) ,



Ta phát biểu và chứng minh điều kiện đủ của Ioffe.



T

h  x   J  x  y : y   x * và h  x   y. G  x 

với x  W và y  Rm. (Ioffe [9] chỉ ra rằng KC là một nón lồi đóng)

(trong đó, rõ ràng là h( x*)  {0} ).

Định lý 2.5 [9, dạng hữu hạn chiều]

Để áp dụng Hệ quả 2.4.1 ta chỉ còn phải kiểm chứng giả thiết (c) của Hệ

Với f và x* ở trên, giả sử tập ( x*) khác rỗng. Giả sử tồn tại các

quả 2.4.1. Ta giả sử {xk} hội tụ tới x* theo phương d trong K(f) (ở đây, ta

số dương m1 và m2 sao cho

sử dụng Định lý 2.4) và giả sử vk  h( xk ) với mỗi k. Với mỗi k, tồn tại

(i) với d  Rn, tồn tại z  KC sao cho

yk*  ( x*) sao cho vk  J ( xk )T yk* và h( xk )  yk* .G ( xk ) . Vì f là bán
trơn và chính quy dưới vi phân tại x*, ta có (với tk = |xk – x*| và

| d –z | ≤ m2 {g (G (x*) + J (x*) d) – g (G (x*))};

dk = (xk – x*) / tk)

(ii) với d  KC, tồn tại y  ( x*) sao cho

0  f 0 ( x*; d )  limsup{ g (G ( xk ))  g (G ( x*))} / tk .

d .2xx L * ( x*, y )d  m1 | d |2 .

Bởi vì G là Lipschitz, từ Định lý của Taylor, ta nhận được :

Khi đó, tồn tại số dương δ sao cho

limsup

f (x) –f (x*) ≥ (m1/ 2) | x – x* |2 với mọi x  B (x*, δ).

{g (G ( xk ))  g (G ( x*)  tk J ( x*)d k )}
 0.
tk

Vì như vậy
Chứng minh
Bởi vì tập ( x*) là không rỗng, ta có thể xác định hàm h trên W

0  limsup

bởi
h(x) = max {y. G (x): y ( x*) }, xW.

{g (G ( x)  tk J ( x*)d k )  g (G ( x*))}
.
tk

Theo giả thiết (i), với mỗi k, tồn tại điểm zk  KC sao cho

| zk  tk d k | m2{g (G ( x*)  tk J ( x*) d k )  g (G ( x*))}

Ta muốn áp dụng Hệ quả 2.4.1. Trước hết ta chú ý rằng, do tập ( x*) là

Đặt ek = zk / tk với mỗi k. Nó Khi đó các dãy {d k – ek} hội tụ đến 0. Ta

không rỗng, từ (2.9) ta suy ra f ( x*) có chứa các vectơ không. Từ (2.11)
có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




44

45

 t2 
y*k .G ( xk )  yk* .G ( x*)  y*k .J ( x*)tk d k   k  d k . 2 L * ( x*, yk* )d k  o (tk2 )
2

 t2 
  k  ek . 2 L * ( x*, yk* )ek  o(tk2 )
2
 

(2.14)

Vì vậy

limsup

vk .d k
 m1 | d |2  m1 .
tk

□

2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE
Nếu các hàm g0, g1,. . . , gq trong bài toán P1 là hai lần khả vi liên

Với mỗi k, giả sử yk là một phần tử của  (x*) thỏa mãn

tục tại x*, thì điều kiện đủ cấp 2 cổ điển cho bài toán P1 cho dưới ngôn
ngữ hàm Lagrange.

ek .2xx L * ( x*, yk )ek  m1 | ek |2 .

Ta sẽ trình bày một Định lý về điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ các
Bởi vì yk .G ( xk )  h( xk )  yk* và yk .G ( x*)  yk* .G ( x*)  h ( x*) , ta có

y*k .G ( xk )  y*k .G ( xk* )  yk* .G ( x*)  yk .G ( xk )  yk .G ( x*)

 t2 
 t2 

  k  ek . 2xx L * ( x*, yk )ek  o(tk2 )   k  m1 | ek |2  o(tk2 )
2
2
 
 

nhân tử.
Định lý 2.6 [Clarke].

(2.15)

Tiếp theo, ta thấy rằng

Giả sử x*  W là một cực tiểu địa phương của bài toán P1. Khi đó, tồn
tại các số ai* và các vectơ vi* với i = a, 1, ..., q sao cho
(a) ai* khác không với ít nhất một trong {0,1, ..., q};

vk. dk = J ( xk )T yk* .d k  {J ( xk )T  J ( x*)T }yk* .d k

  2 L * ( x*, y*k )tk d k .d k  o(t k )

(b) ai* ≥ 0 với i = 0,1, ..., m;
(c) ai* gi (x*) = 0 với i = 1, ..., m;

  2 L * ( x*, yk* )tk ek .ek  o(tk ) .

(d) vi*  gi(x*) với mọi i = 0,1, ... q;

Từ (2.14) và (2.15), ta nhận được

(e) 0 = a0*v0*  a1*v1*  ...  aq*vq*

vk .d k
 m1 | ek |2  o(1) .
tk

Dưới đây ta cũng sẽ giả sử
(f) a0* = 1 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




46

47

nếu chẳng hạn bài toán P1 là “yên tĩnh” [3]

Giả sử

limsup vk .( xk  x*)/ | xk  x* |2  0 ,

Nhận xét 2.8
Giả sử x*  W, các hàm gi là bán trơn tại x*, có hàm g0, ...,

gma*m+1 gm +1, ..., a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, và Định lý 2.6
(a) – (f) đúng. (phải nhấn mạnh rằng ta không giả thiết x* là một cực tiểu

với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn các điều kiện:
(i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với mỗi k;

địa phương).
(ii) {vk} hội tụ về 0 với vk  ∂L(xk) với mỗi k;
Bây giờ ta định nghĩa một hàm giá trị thực L trên W
(iii) g'i (x*; d) = 0 với mọi i  I
q

L( x)  

ai* gi ( x ),

x W .

Khi đó, nếu C là một nón đóng mà C  int( K )  {0} tồn tại số dương δ

i 0

sao cho g0(x)> g0(x*) với mọi x  B( x*,  )  (C  x*)  S và x  x * , ở
Từ Mệnh đề 2.1 ta suy ra L là bán trơn và chính quy dưới vi phân tại x*

đây int(K) ký hiệu phần trong của K.

và
Chứng minh
q

L( x*)   ai*g i ( x*)

(2.16)

Giả sử kết luận là sai. Chọn một dãy {δk} các số dương giảm đến

i 0

0. Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại xk  B( x*,  )  (C  x*)  S sao
Từ Định lý 2.6 (e) và (2.16) suy ra 0  L (x*). Căn cứ như trong Nhận

cho xk  x * và

xét 2.5, ta có thể đưa vào nón lồi đóng

g 0 ( xk )  g 0 ( x*)  0 .

(2.17)

K  K ( L)  {d  R n : L0 ( x*; d )  0} .
Đặt tk = | xk – x* |> 0, và dk = (xk – x*) / tk. Mỗi dk  C và do đó ta có thể
Định lý 2.7

giả sử {dk} hội tụ đến một vectơ đơn vị d trong C. Ta áp dụng Định lý

Giả sử x*  S ∩ W, các hàm gi là bán trơn tại x*, và các hàm g0,

giá trị trung bình của Lebourg và nhận được zk và zki trong phần trong

g1, ... gm, gma*m+1 gm +1, ..., a*qgq là chính quy dưới vi phân tại x*, trong

của các đoạn thẳng nối xk với x*, vectơ vk  ∂L(zk) và vki  ∂gi(xki) sao

đó ta giả sử x*, a*, và v*0, v*1, ..., v*q thỏa mãn Định lý 2.6 (a) – (f). Ký

cho

hiệu I  {i :1  i  m, &

ai*

 0} .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

L (xk) – L (x*) = vk. tkvk ,



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

k  1,

(2.18)




48

49

gi ( xk )  g i ( x*)  vki .tk d k ,

k  1, i  0,1,..., q.

(2.19)

limsup

vk .dk
 0.
tk

(2.21)

Như trước, ta có thể giả sử {vk} hội tụ đến v ~ trong  d L( x*) và {vki} hội
Như vậy, nếu ta có thể chỉ ra rằng g’i(x*; d) = 0 với mọi i  I, thì (2.21)

tụ đến vi~ trong  d gi ( x*) (với i = 0, 1, …, p).

sẽ cho ta mâu thuẫn.

Bởi vì mỗi xk  S, theo Định lý 2.5 (b), (c), ta có

Do v ~ =0, ta có

L(xk) – L (x*) ≤ g 0(xk) – g0(x*).

q

0  v ~ .d   ai* (vi~ .d )   ai* (vi~ .d ) a0* (v0~ .d ) .

Từ (2.17), (2.18) và (2.19) ta suy ra với mọi k

i 0

Bởi vì vi~ .d  0 với mọi i  I  {0}, ta suy ra vi~ .d  0 với mọi i  I.

vk .d k  vk 0 .d k  0,
với i  I, với m  i  q

vki .dk  0,

(2.20)

vki .dk  0,

Bởi vì mỗi gi là bán trơn và mỗi vi~  ∂dgi (x*), ta nhận được

0  vi ~ .d  gi' ( x*; d ) với mọi i  I.
~

Từ (2.20), ta có v .d

iI

 0, vi~ .d

□

~

 0 với i  I  {0}, và v .d  0 với

m
Giả sử rằng, trong Định lý 2.6, các hàm gi là khả vi liên tục tại

v ~  ∂d L (x*), 0  ∂L (x*), ta có
~

Nhận xét 2.9

x*. Khi đó Định lý 2.6 (e) trở thành L ( x*)  0 và ta có K = Rn. Trong
0

trường hợp này, ta chọn C = K = Rn và như vậy ta nhận được một điều

v .d  L '( x*; d )  L ( x*; d )  0 .

kiện đủ tối ưu.
Từ đó, ta suy ra v ~ .d  0 .
Nếu các hàm gi là hai lần khả vi liên tục ở gần x*, ta có thể tiến hành
Bây giờ ta muốn chỉ ra rằng v ~  0 . Do d  C, d phải thuộc
int(K). Nếu v ~ khác không, theo Nhận xét 2.2, với số dương t,

L0 ( x*; d  tv ~ )  v ~ .(d  tv ~ )  t | v ~ |2  0 .

như trong ví dụ 2.2 và từ Định lý 2.6 ta nhận được một điều kiện đủ tối
ưu cấp hai cổ điển.
Sử dụng Định lý 2.6 và phương pháp chứng minh của Định lý 2.1

Ta suy ra d  tv ~ không thể thuộc K (đối với t > 0). Do đó, d không thể

ta nhận được Định lý sau đây:

thuộc int (K), mâu thuẫn. Vì vậy, ta đã chỉ ra được v ~ = 0. Do (2.20), ta
có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên