Giới Hạn Của Hàm Số

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Thị Trang


1. Định nghĩa
☺Hđ 1 : Xét hàm số

2x − 2x
f ( x) =
x −1
2

1. Cho biến x những giá trị khác 1 trong bảng sau:
x
f(x)

3 x =4
x1 = 2 x2 =
3
3
2

f ( x1 )

f ( x2 ) f ( x4 )

5
x4 =
4

f ( x5 )

n +1
xn =
n

→1

f ( xn )

→?

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số :
f(x1), f(x2),…..,f(xn),…cũng lập thành 1 dãy số
Kí hiệu là (f(xn)).


a,chứng minh rằng

2n + 2
f ( xn ) = 2 xn =
n

b,Tìm giới hạn của dãy số (f(xn))
2, CMR : với dãy số bất kì(xn), xn#1 và
luôn có f ( xn ) → 2

xn → 1

, ta

∀n ∈ N *

a,

2 xn − 2 xn 2 xn ( x − 1)
f ( xn ) =
=
= 2 xn
xn − 1
xn − 1
2

n +1
Thay xn = n

b,

(1)

2n + 2
vào (1) ta được : f ( xn ) = 2 xn =
2

lim( f ( xn )) = lim 2 xn = 2 ×1 = 2


2, Dãy số xn bất kì , xn#1 và

xn → 1

2 x − 2 x 2 x( x − 1)
f ( x) =
=
= 2x = 2
x −1
x −1
2

Do đó :

lim f ( xn ) → 2

■

ta có :


Ta nói rằng khi x dần tới 1 thì hàm số :

2x − 2x
f ( x) =
x −1
2

dần tới 2 (Hay giới hạn là 2).


b/. Định nghĩa :
Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x)

xác định trên K hoặc trên K\ { x0 }. Ta nói rằng hàm
số y = f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với
dãy số (xn) bất kỳ, xn k\ {x0 } và x → x0 , ta có
f(xn)  L.
ký hiệu:

lim f ( x) = L hay f ( x) → L khi x → x0

x → x0


Ví dụ 1 : cho hàm số

x2 − 4
f ( x) =
x+2

CMR : lim f (x) = −4
x →−2

Giải
Hs đã cho xác định trên R\ {2}.

Giả sử (xn)là 1 dãy số bấy kì t/m xn ≠-2, xn → −2 khi n → +∞
Ta có:

xn 2 − 4
( xn + 2)( xn − 2)
lim f ( xn ) = lim
= lim

= lim( xn − 2) = −4
xn + 2
xn + 2
Do đó

lim f ( x) = −4

x →−2

=> đpcm


Ví dụ 2: Tính giới hạn

lim x = ?
x→ 2

lim x = 2
x →2

lim 2 = ?
x→ 4

Giải

lim 3 = 3
x→ 4

Qua ví dụ 2 ta có nhận xét sau :

NHẬN XÉT :

lim x = xo

x → xo

và

Với c là hằng số.

lim c = c

x →x o


Ví dụ : cho các hàm số sau

f ( x) = 2 x + 1

x +1
g ( x) =
x−2


Nhóm 1 : Tính

lim f ( x) = ?
x →1
lim g ( x) = ?

x →1

lim( f ( x) + g ( x)) = ? (1)
x →1

lim( f ( x) − g ( x)) = ? (2)
x →1
lim( f ( x).g ( x)) = ? (3)
x →1

f ( x)
lim
=? (4)
x→
1 g ( x)

Nhóm 2: Tính

limf(x) + limg(x) = ?
x →1

(a)

x →1

lim f ( x) − lim g ( x) = ? (b)
x →1

x →1

lim f ( x).lim g ( x) = ?
x →1

x →1

lim f (x)
x→
1

lim g ( x )
x→
1

(c)

=
?

(d)


Hãy so sánh các kết quả sau và cho nhận xét :
(1) với (a)
(2) với (b)
(3) với (c )
(4) với (d)


2. Định lý về giới hạn hữu hạn :
Định lý 1 :

Giả sử

lim f ( x) = L

x → x0

và

lim g ( x) = M

x → x0

lim [f ( x) + g ( x)]=L+M

x → x0

lim [f ( x) − g ( x)]=L-M

x → x0

lim [f(x) ×g(x)]=L ×M

x → x0

f ( x) L
lim
=
x → x0 g ( x )
M

Nếu M ≠ 0

Khi đó:


b) Nếu f(x) > 0 và

lim

x → x0

lim = L thì L ≥ 0 và

x → x0

f ( x) = L

(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn
với x ≠ x0 ).


Ví dụ 1:
x 2 +1
• Cho hàm số f(x) =
2 x
giải

Tìm

lim f ( x)

x →3

x +1
x + 1 lim
lim f ( x) = lim
= x →3
x →3
x →3 2 x
lim 2 x
2

2

x →3

=

lim x ×lim x + lim1
x →3

x →3

x →3

lim 2 × lim x
x →3

x →3

3 ×3 + 1

5
=
=
2 3
3


Ví dụ 2 Tính

x + x −2
lim
x →1
x −1
2

Giải
Vì (x-1) 0 khi x 1, nên ta chưa thể áp dụng định lý
1 nêu trên. Nhưng với x ≠ 1, ta có:

x + x − 2 ( x − 1)( x + 2)
=
= x+2
x −1
x −1
2

Do đó:

x + x− 2
( x − 1)( x + 2)

lim
= lim
= lim( x + 2) = 3
x→ 1
x→ 1
x→ 1
x−1
x−1
2


3/ Giới hạn một bên :
a) Định nghĩa 2 :

Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng
(xo; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của
nếu với dãy số (xn)
hàm số y = f(x) khi x → x0
bất
kỳ, x0 ta có : f ( x n ) → L Kí hiệu: lim f ( x) = L
x → x0+

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0)
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số
y=f(x) khi x → x0 . Nếu với dãy số (xn) bất kỳ,
a

Ký hiệu:

lim+ = L

x → x0

b. Định lý 2:

lim f ( x) = L ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L

x → x0

x → x0

x → x0


c. Ví dụ 4: Cho hàm số:

5 x + 2
f ( x) =  2
x − 3
Tìm

Nếu

x ≥1

Nếu

x<1

lim− f ( x), lim+ f ( x), lim f ( x)

x →1

x →1

x →1

Giải

Nếu có


lim− f ( x) = lim(
x
−
3)
=
1
−
3
=
−
2
−
2

x→ 1

2

x→ 1

lim+ f ( x) = lim(5
x
+
2)
=
5
×
1
=
2
=
7
+

x→1

x→1

Vậy, khi x dần tới 1 hàm số y=f(x) có giới
hạn bên trái là -2 và giới hạn bên phải là 7
Tuy nhiên lim f ( x) không tồn tại vì lim f ( x) ≠ lim+ f ( x)
−
x →1
x →1

x →1