Chương III - Bài 1: Phương trình đường thẳng

Chương III: phương pháp tọa

độ

trong mặt phẳng


Đ1: Phương trình tổng quát của đường
thẳng



1. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Định nghĩa:
n3
Vectơ n khác 0 , có giá vuông góc với
đường thẳng được gọi là vectơ pháp tuyến
n2
n1
của đường thẳng
b) Nhận xét:
- Mỗi đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Các vectơ pháp tuyến này dều khác 0 và cùng phương.
- Có duy nhất 1 dường thẳng qua I và nhận n là vectơ ph¸p tuyÕn


c) Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm I ( x0 ; y0 )và vectơ

là đường thẳng qua I và nhận là véctơ pháp
n
tuyến. Tìm điều kiện của x và y để M(x;y) nằm trên


n ( a;.bGọi0
)

y

Giải:





M nằm trên khi và chỉ khi IM n hay IM .n = 0 (*)
M

Ta cã IM = ( x x0 ; y y0 )
nên (*) tương đương víi a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0
⇔ ax + by − ax0 − by0 = 0

Đặt ax0 by0 = c ta được phương trình


n

I
O

ax + by + c = 0(a 2 + b 2 0)

và được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

x


Tóm lại
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng
đều có phương trình tổng quát dạng:
ax + by + c = 0(a 2 + b 2 0)

Ngược lại: Mỗi phương trình dạng

ax + by + c = 0(a 2 + b 2 0)
đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng

n = ( a; b )
xác định có vectơ pháp tuyến là


VÝ dơ 1:
a) 3 y − 5 = 0 lµ phương trình tổng quát của đường

thẳng, có véctơ pháp tuyến lµ n = (0;3)
b) (m + 1) x + my 4 = 0 là phương trình tổng quát của đư

n = (m + 1; m)
ờng thẳng, có véctơ pháp tuyÕn lµ

c) kx − 2ky + 1 = 0 lµ phương trình của đường thẳng khi

và chỉ khi k 0 , có một vectơ pháp tuyến là n = (1;− 2 )


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(-1;-1), B(-1;3),
C(2;-4). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
A

Giải:
Đường cao AH là đường thẳng qua
A(-1;1) và có vectơ pháp tuyến là
BC = (3;7)

B

H

Vậy phương trình tổng quát của ®­êng cao AH lµ:
3(x+1)-7(y+1) hay 3x-7y-4=0

C


Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
Đường thẳng
by + c= 0
song song

Đường thẳng

ax + c = 0
song song

Đường thẳng

với trục Ox

với trục Oy

đi qua gốc tọa độ

y

y


O

x

O

ax + by = 0

y

∆

x

∆

O

x


Bài tập: Cho hai điểm A(a;0) và B(0;b) với ab 0
a) Viết PT tổng quát của đường thẳng d qua A và B
b) CMR PT tổng quát của d tương đương với phương trình
Giải:

x y
+ =1
a b

y

a)Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến vuông góc với AB


AB = (a; b) LÊy n = (b; a )th× n ⊥ AB
Ta có:

Hay n là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d .

B(0;b)

Vậy d có phương trình tổng quát là
b(x a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0

A(a;0)

b) bx + ay – ab = 0 ⇔ bx + ay = ab ⇔ bx + ay = 1 do ab ≠ 0
ab ab
x y
⇔ + =1
a b

O

x


Ghi nhớ:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình

x y
+ = 1 (a 0; b 0)
a b
Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Ví dụ: Viết PT tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1;0) và B(0;2)
Bài làm
Phương trình của đường thẳng AB theo đoạn chắn là
x y
+ =1
1 2
Do đó dạng tổng quát sẽ là: 2x y + 2 = 0

Chú ý: Xét đường thẳng có phương trình tổng quát là
ax+by+c=0
Nếu b 0 thì PT trên đưa được vỊ d¹ng y = kx + m (*)
a
c
k = − ;m =
với
và k được gọi là hệ số góc của đường thẳng
b

b

(*) được gọi là PT của theo hƯ sè gãc
ý nghÜa h×nh häc cđa hƯ sè
gãc

y
t

k = tan α

α
O

M

x

∆

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng 1 & 2
có phương trình 1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
∆ 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0
Sè giao ®iĨm cđa 2 ®­êng thẳng là số nghiệm của hệ gồm 2 PT trên
Trong trường hợp a2 ; b2 ; c2 đều khác 0 ta cã:
a1 b1
∆1 × ∆ 2 ⇔
≠
a2 b2
a1 b1 c1
∆1 // ∆ 2 ⇔
= ≠
a2 b2 c2
∆1 ≡ ∆ 2 ⇔

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2