skkn một PHƯƠNG án dạy học TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ TRÊN cơ sở PHÂN TÍCH KHOA học LUẬN TRI THỨC

1

MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH
KHOA HỌC LUẬN TRI THỨC


2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Lê Thanh Hải
2. Ngày sinh: 05 / 04 / 1983
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 14A – KP3 – P. Tam Hoà – Biên Hoà – Đồng Nai
5. Điện thoại: 0908544873
6. Email:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: THPT Ngô Quyền – Biên Hoà – Đồng Nai

II.

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Thạc sĩ
- Năm nhận bằng: 2010
- Chuyên ngành đào tạo : Lý luận và phương pháp dạy học toán

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy toán
Số năm có kinh nghiệm: 6 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 2


3

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một câu hỏi thường gặp trong dạy-học là “Học để làm gì?”. Cụ thể hơn, trong
một tiết học, đối với một nội dung kiến thức, học sinh (HS) có khi vẫn đặt ra câu hỏi
“Học khái niệm này, tri thức kia để làm gì?”, “Tại sao phải nghiên cứu chúng?”… Có
câu hỏi mà trong một số trường hợp, giáo viên (GV) cũng khó trả lời thoả đáng.
Nguyên nhân của những câu hỏi như vậy là vì HS không hiểu được “nghĩa” của
những tri thức họ đang học. HS học một tri thức không biết để làm gì, ứng dụng ra
sao, không hiểu được vì sao phải có những tri thức như vậy. Lâu dần có thể dẫn đến
những áp đặt, chấp nhận, bào mòn tư duy sáng tạo, sự tò mò chính đáng về tri thức…
Vì vậy, việc dạy – học trên cơ sở giúp HS hiểu được nghĩa của tri thức là thực
sự quan trọng và cần thiết. Muốn vậy, GV – người có vai trò quyết định trong dạy
học, phải là người hiểu rõ được nghĩa của những tri thức mà mình đang truyền tải.
Đây luôn là một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu đầy thú vị và không ít gian nan, đòi
hỏi người GV phải thực sự đam mê, quyết tâm và có kiến thức, am hiểu nhất định.
“Tích vô hướng của hai vectơ” là một khái niệm có lịch sử ra đời và phát triển
phức tạp. Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khái niệm này cũng rất khác nhau
trong các thể chế: tri thức bác học, tri thức ở bậc Đại học và tri thức dạy – học ở bậc
phổ thông. Vì vậy, dạy – học thành công tri thức này không phải là dễ dàng, mà đòi
hỏi người GV phải nắm vững, hiểu sâu thì việc tổ chức dạy – học mới có hiệu quả.
Từ những lý do đó, tác giả quyết định thực hiện một nghiên cứu: “Dạy và học

tích vô hướng của hai vectơ, trên cơ sở phân tích khoa học luận tri thức” với những
yêu cầu cụ thể sau:
- Phân tích lịch sử hình thành tri thức tích vô hướng của hai vectơ;
- Phân tích quan điểm sư phạm khi dạy học tri thức tích vô hướng của hai vectơ;
- Phân tích đặc trưng của tri thức tích vô hướng trong sách giáo khoa;
- Đưa ra một phương án dạy học tích vô hướng hiệu quả.


4

MỤC LỤC
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
MỤC LỤC

B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Vì sao phải phân tích lịch sử hình thành tri thức ?
Sự ra đời của “tích vô hướng”, cũng như các tri thức bác học khác, đều là kết
quả của một quá trình hoạt động khoa học. Từ khi được phát minh ra bởi các nhà
khoa học, đến khi có thể trở thành tri thức dạy học, khái niệm “tích vô hướng” đã
phải trải qua một quá trình biến đổi mạnh mẽ, bị biến mất đi toàn bộ bối cảnh của
phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm
cho “tích vô hướng” trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa. Từ đó, cần phải phân tích
lịch sử hình thành và phát triển của “tích vô hướng”. Phân tích này sẽ giúp chúng ta
vạch rõ sự tiến triển theo lịch sử của quá trình xây dựng “tích vô hướng” trong cộng
đồng các nhà khoa học, từ đó xác định được nghĩa của “tích vô hướng”, tình huống
mang lại nghĩa đó, những vấn đề gắn liền với nó, vị trí tương đối của “tích vô
hướng” trong một tri thức tổng quát hơn…
Đồng thời, nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của “tích
vô hướng” sẽ giúp ta xác định một số chướng ngại hay quan niệm cho phép giải thích

sai lầm của học sinh, cũng như tìm những tình huống giúp học sinh vượt qua chướng
ngại, loại bỏ quan niệm sai lầm và hiểu được nghĩa của “tích vô hướng”.
1. Các hệ thống tính toán đầu tiên trong nội tại hình học
a. Leibniz và “Hình học vị trí”: Ý tưởng đầu tiên về sự sáng tạo ra một hệ
thống tính toán trong nội tại hình học thuộc về Leibniz. Với ý định đó, ông đã xây
dựng “hình học vị trí”. Với hình học vị trí, ông chỉ quan tâm đến khoảng cách giữa
hai điểm, được hình thành trên khái niệm tương đẳng. Từ đó, ông đã giải được một


5
vài bài toán khá cơ bản, nhưng chỉ dừng lại ở đó, về sau không đưa thêm kết quả mới
nào.
b. “Tính toán tâm tỉ cự” của Mobius: Đây là một mô hình toán học giống
với hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện, có tư tưởng cốt lõi và mới
mẻ là liên quan đến sự định hướng của các hình trong không gian. Ông đã đưa ra
phép cộng các đoạn thẳng cùng phương, mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng. 16
năm sau, Mobius khái quát hoá phép cộng và trừ các đoạn thẳng không cùng phương,
nhưng đồng phẳng. 19 năm sau nữa ông xây dựng phép nhân hình học hai đoạn
thẳng. “Tích hình học” của Mobius bằng tích có hướng của hai vectơ ngày nay về
phương diện số, nhưng không đồng nhất. Rồi ông xây dựng “tích chiếu” của hai đoạn
thẳng định hướng (tương ứng với tích vô hướng ngày nay). Phát minh của Mobius là
một giai đoạn quan trọng đối với sự phát sinh phép toán vectơ. Lần đầu tiên, phép
nhân của hai đoạn thẳng (định hướng) được đề cập đến. Đây là một điểm quan trọng
trong quá trình xây dựng hệ thống tính toán vectơ sau này. Tuy nhiên, trong “tính
toán tâm tỉ cự”, việc thiếu thói quen kết hợp cả độ dài và phương trong một đại lượng
duy nhất đã gây ra một số lúng túng, mập mờ thiếu căn cứ hoặc thiếu chính xác.
c. “Tính toán tương đẳng” của Bellavitius: Năm 1833, nhà khoa học người
Ý Bellavitius công bố “tính toán các tương đẳng”. Trong mô hình của Bellavitius
chứa rất nhiều yếu tố của lý thuyết vectơ hiện đại. Phép cộng, phép nhân với một số
trùng với các phép toán tương ứng trên các vectơ ngày nay. Thế nhưng, ông đụng

phải một khó khăn không giải quyết được là tích của hai đoạn. Lịch sử đã chỉ ra rằng
vấn đề khái quát hoá các tính toán vectơ trong mặt phẳng luôn luôn đụng phải vấn
đề gai góc là phép nhân.
2. Biểu diễn hình học các số phức
Việc biểu diễn hình học các số phức đóng vai trò quan trọng trong sự phát sinh
tính toán vectơ, đặc biệt là phép nhân vectơ.
a. Mô hình của Wessel: Xuất phát điểm của Wessel là hình học, và ông muốn
tìm cách biển diễn các phương trong không gian theo kiểu giải tích. Wessel đã đưa ra
được phép cộng các đường và phép nhân một đường với một số. Vấn đề còn lại là
phép nhân hai đường thì ông không thể giải quyết được triệt để, và thế là ông cũng
không vượt qua được khó khăn trong việc xây dựng khái niệm tích các đường trong
không gian. Thế nhưng, những phát hiện của ông được thừa nhận là khám phá đầu
tiên về biểu diễn hình học các số phức.
b. Mô hình của Argand: Khác với Wessel, điểm xuất phát của Argand là đại
số. Trong quá trình tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đại lượng đối nhau,
Argand đã hoàn thiện phương pháp của mình bằng các phát hiện ngầm ẩn khái niệm


6
vectơ, sự phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Thế nhưng, ông cũng
không giải quyết được vấn đề khái quát phép nhân. Sau đó lần lượt Servoir, và đặc
biệt là Hamilton và Grassmann đã xây dựng lý thuyết các quaternion, trong đó chứa
đựng tích của hai cặp số (vectơ) bằng biểu thức đại số1.
3. Kết luận sư phạm rút ra từ phân tích lịch sử
Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ đã chỉ ra cho ta thấy là những khó khăn, trở
ngại mà các nhà toán học phải vượt qua luôn luôn liên quan đến việc định hướng các
đối tượng hình học và việc xây dựng phép toán nhân trên các đường định hướng.
a. Vấn đề định hướng các đại lượng hình học: Hình học Euclid phát sinh từ
thời cổ chỉ cho phép các số can thiệp trên phương diện độ đo, từ đó mà mối quan hệ
giữa hình học và số học được thiết lập. Phương pháp giải tích của Descartes và

Fermat đã làm đảo lộn sự cân bằng này. Trong giai đoạn này, đối tượng của các phép
toán vẫn luôn luôn là các số. Tư tưởng gán cho các đối tượng hình học những đặc
trưng khác với đại lượng vô hướng đã không dễ dàng xuất hiện trong lịch sử. Đó là
nguyên nhân dẫn đến những thất bại của nhiều nhà toán học khi xem xét phép nhân
giữa hai đại lượng có hướng. Từ đó dự đoán được khó khăn có thể sẽ gặp phải đối
với HS khi xem xét kết quả của phép nhân giữa hai vectơ (đại lượng có hướng) lại là
một số (đại lượng vô hướng).
b. Tính phức tạp của bản chất kép đại số và hình học: Khi mở rộng hệ
thống tính toán vectơ vào không gian, các nhà toán học luôn phải đương đầu với khó
khăn của việc khái quát hoá phép nhân các đoạn thẳng định hướng. Khó khăn này
mãi về sau mới được vượt qua nhờ sự phân tích sâu sắc những tác động qua lại giữa
quan điểm đại số và quan điểm hình học khi xây dựng các phép toán. Liên hệ với
việc học của HS, có thể đưa ra giả thuyết về những khó khăn mà HS phải đương đầu,
đó là khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ,
trong đó có phép nhân vô hướng. Từ đó có thể dẫn đến những sai lầm như cho rằng
“vì
nên
hoặc
”…
II. VỀ DẠY – HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Khi dạy học các phép toán vectơ cần chú ý đến ba mảng kiến thức: định nghĩa
phép toán, quy tắc xác định các phép toán và tính chất của các phép toán.
1. Về định nghĩa phép toán
Tích vô hướng có thể được định nghĩa bằng một trong bốn biểu thức tương
đương với nhau:
1 Chính nhờ xem xét phép toán nhân cả từ góc độ đại số lẫn góc độ hình học mà Hamilton mới giải quyết được triệt để
vấn đề mở rộng tính toán vectơ.


7

•
•
•

với

là hình chiếu của

•

trên giá của

;

với
.

Mỗi định nghĩa đều có những thuận lợi và khó khăn riêng. Điều quan trọng là phải
làm cho HS phân biệt được các loại tích: tích hai số, tích một vectơ với một số, tích
vô hướng (và sau này là tích có hướng) của hai vectơ.
2. Về quy tắc xác định phép toán
Nhìn chung, phép nhân vô hướng hai vectơ không được định nghĩa bằng
phương pháp kiến thiết như phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số,
nên quy tắc xác định phép toán không được đặt nặng (trừ khi phép nhân vô hướng
được định nghĩa bằng phương pháp “tích chiếu” – thế nhưng, định nghĩa này không
được SGK ưu tiên sử dụng).
3. Về tính chất các phép toán
Ở phổ thông không yêu cầu xây dựng tường minh một không gian vectơ với
các phép toán trên đó, nên không đòi hỏi HS phải chứng minh được mọi tính chất của
phép toán, do đó ta có thể khai thác nhận thức “trực giác” của HS rồi khẳng định tính

có lý của những trực giác ấy. Liên hệ với những tính chất của phép toán trên số sẽ
giúp HS hiểu và vận dụng kiến thức được dễ dàng hơn. Thế nhưng, cần phải nhấn
mạnh cho HS thấy bên cạnh những tính chất giống nhau giữa các phép toán số và
phép toán vectơ, thì bản chất của hai loại phép toán đó hoàn toàn khác nhau, và
chúng có những tính chất không giống nhau. Điều này có thể được khai thác rất đa
dạng giữa phép nhân hai số và tích vô hướng. Ví dụ như với
,
vẫn có thể có đẳng thức
không thể khử

; hay từ

với

thì

được.

Từ đó, nên đưa ra một số bài tập làm cho HS phạm phải sai lầm do suy luận
tương tự, do áp dụng tuỳ tiện những tính chất của phép nhân hai số lên phép nhân vô
hướng hai vectơ.


8
4. Về ý nghĩa khởi sinh tích vô hướng của hai vectơ
Các phép toán cộng, trừ giữa hai vectơ, phép nhân vectơ với một số là các phép
toán tuyến tính, chúng chỉ có tác dụng định tính. Do đó, có một nhu cầu tự nhiên là
cần một phép toán vectơ có tác dụng kiểm soát các định lượng, đo đạc hình học …
Các phép đo đạc cơ bản như độ dài, góc, khoảng cách, diện tích, thể tích …
đều liên quan đến sự vuông góc. Do đó, một phép toán của vectơ muốn kiểm soát

được các đo đạc như vậy nhất thiết phải xuất phát (hoặc ít nhất là phải kiểm soát
được một cách chặt chẽ) các hình chiếu của vectơ. Từ đó, “tích chiếu” của vectơ ra
đời.
Ta có thể định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ như sau: Tích vô hướng của
hai vectơ bằng tích độ dài đại số của một vectơ với độ dài đại số hình chiếu của
vectơ còn lại trên trục của vectơ đầu.2
Như vậy, định nghĩa “tích chiếu” của tích vô hướng của hai vectơ chính là
định nghĩa mang lại nghĩa của phép nhân vô hướng của hai vectơ. Tuy nhiên, SGK
chương trình mới đã giảm tải và không đề cập đến vấn đề này.
III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH SÁCH
GIÁO KHOA
Sách giáo khoa xây dựng “tích vô hướng của hai vectơ” trên quan điểm nào?
Nghĩa của tri thức được hiểu ra sao ? Sách giáo khoa chú trọng đến những tính chất
nào của “tích vô hướng” ? Để trả lời các câu hỏi nêu trên, tác giả tiến hành phân tích
chương trình Sách giáo khoa Hình học 10, do Trần Văn Hạo tổng chủ biên.
1. Về ý nghĩa khởi sinh
SGK Hình học 10 đưa ra vấn đề mở đầu dẫn đến tích vô hướng là một nhu cầu
vật lý: tính công
do lực
làm một vật di chuyển một quãng đường
được tính bằng công thức
Trong đó
của vectơ

.

là cường độ của lực
tính bằng mét (m),

giới thiệu: “Trong toán học, giá trị

gọi là tích vô hướng của hai vectơ

tính bằng Niutơn,

là góc giữa hai vectơ

là độ dài
và

. Từ đó

của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được
và

”.

2 Tài liệu chuyên toán Hình học 10 (Đoàn Quỳnh CB) – Ý nghĩa hình học của tích vô hướng (trang 115)


9
2. Về định nghĩa
SGK Hình học 10 định nghĩa tích vô hướng:
“ Cho hai vectơ

và

số, ký hiệu là

khác vectơ

. Tích vô hướng của

và

là một

, được xác định bởi công thức sau:
.”

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ

và

bằng vectơ

ta quy ước

.

3. Về các tính chất của tích vô hýớng
SGK giới thiệu các tính chất của tích vô hướng bằng khởi đầu: “Người ta
chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng …” rồi đưa ra bốn tính
chất (tính giao hoán, tính phân phối với phép cộng, tính kết hợp với tích của vectơ
với một số và tính bình phương không âm), sau đó là ba nhận xét (là ba hằng đẳng
thức vô hướng).
4. Về ứng dụng của tích vô hướng
SGK nêu ra ba ứng dụng của tích vô hướng là tính độ dài của vectơ, tính góc
giữa hai vectơ và tính khoảng cách giữa hai điểm. Cả ba ứng dụng này đều thực hiện
trên toạ độ của vectơ.
5. Về bài tập tích vô hướng

SGK có 7 bài tập về tích vô hướng, trong đó:
- 2 bài tập tính tích vô hướng bằng định nghĩa;
- 1 bài tập chứng minh đẳng thức về tích vô hướng;
- 4 bài tập ứng dụng tích vô hướng để tính chu vi, diện tích của tam giác, chứng
minh hai đoạn thẳng vuông góc, tính góc giữa hai vectơ… hoàn toàn bằng
phương pháp toạ độ.
6. Về mối liên kết của tích vô hướng với các tri thức khác
Trong bài Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác, tích vô hướng
được sử dụng một lần duy nhất dưới dạng công thức bình phương vô hướng khi
chứng minh định lý côsin, ngoài ra không còn được nhắc lại thêm lần nào nữa.


10
Những kết luận rút ra từ việc phân tích SGK:
- Về ý nghĩa khởi sinh: SGK đưa ra ý nghĩa khởi sinh của tích vô hướng là giải
quyết vấn đề vật lý, hoàn toàn “phi toán”, không phải là nhu cầu tự nhiên về
mặt toán học. Từ đó cho thấy HS có thể bị nhầm lẫn rằng sự ra đời của tích vô
hướng xuất phát từ vật lý. Sự khớp nối giữa tri thức “tích vô hướng” với các
tri thức khác của vectơ (các đặc trưng của vectơ, các phép toán cộng, trừ …)
vì thế có chặt chẽ không ?
- Về định nghĩa: SGK đưa vào định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ bằng
một công thức, chưa tính đến những gợi mở cần thiết về nội dung và ý nghĩa
của công thức tích vô hướng (mặc dù trước đó SGK đã giới thiệu công thức
tính công của lực – nhưng như vậy là chưa thoả đáng). Từ đó có thể dự đoán:
HS có thể có cảm giác “áp đặt”, đặc biệt là không thấy rõ được ý nghĩa, cũng
như sự cần thiết của phép toán nhân vô hướng trong nội tại tri thức vectơ.
- Về các tính chất của tích vô hướng: các tính chất của tích vô hướng được
công nhận, không chứng minh, cũng như chưa có các hoạt động minh hoạ hay
làm rõ. Từ đó có thể đặt câu hỏi: HS có khả năng có những sai lầm khi áp đặt
các tri thức về tích các số thực vào tích vô hướng của hai vectơ không?

- Về ứng dụng của tích vô hướng: Ứng dụng của tích vô hướng được giới thiệu
gắn liền với biểu thức toạ độ của tích vô hướng… Các ứng dụng của tích vô
hướng trong hình học tổng hợp khá mờ nhạt. Liệu HS có sẵn sàng sử dụng tích
vô hướng để giải quyết các bài toán hình học tổng hợp (không có toạ độ), như
sử dụng bình phương vô hướng để tính độ dài đoạn thẳng, sử dụng tích vô
hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc … không?
- Về bài tập tích vô hướng: Số lượng bài tập vận dụng tích vô hướng dưới dạng
toạ độ chiếm tỉ lệ cao, và không thấy xuất hiện bài tập vận dụng tích vô hướng
ở cơ chế “công cụ”. Có thể gây ra cho HS đồng nhất tích vô hướng với các
tính toán đại số trên các thành phần toạ độ, và HS có nắm rõ mục đích, vai trò
của việc tính tích vô hướng không?
- Về mối liên kết tích vô hướng với các tri thức khác: Mối liên kết giữa tích
vô hướng với các tri thức khác còn rời rạc và khá mờ nhạt. HS có thấy rõ được
tầm quan trọng của tích vô hướng trong hệ thống tri thức vectơ tổng thể hay
không?
Từ đó dẫn đến giả thuyết: Chương trình và SGK không đặt nặng hoạt động
nghiên cứu tích vô hướng ở cơ chế công cụ trong hình học tổng hợp; vai trò của tích
vô hướng chỉ là chuẩn bị một số công cụ, phục vụ cho “hình học toạ độ” và xa hơn
là “hình học giải tích” ở chương sau.3
3 Việc kiểm chứng sự thoả đáng của giả thuyết đưa ra cần một thực nghiệm cụ thể và phân tích tiên nghiệm, hậu
nghiệm chặt chẽ. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một nghiên cứu nhỏ, đề tài này chưa có điều kiện thực nghiệm kiểm
chứng giả thuyết đã nêu.


11
Từ một số phân tích trên, với mục đích “dung hoà” giữa việc truyền tải cho HS
tri thức tích vô hướng với ý nghĩa khởi sinh của nó, với việc tuân thủ sự giảm tải của
chương trình SGK, có thể đề nghị một phương án dạy - học bài “tích vô hướng của
hai vectơ” – SGK Hình học 10 như sau:
IV. MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I. Mục tiêu
Qua bài học, HS cần đạt được yêu cầu tối thiểu sau đây:
• Hiểu được khái niệm tích vô hướng của hai vectơ.
• Tính được tích vô hướng giữa hai vectơ.
II. Chuẩn bị của GV và HS
a. Chuẩn bị của GV

• Giáo án, phấn, bảng.
• Hình ảnh hai vectơ bằng nhau (nhưng khác màu) bằng giấy bìa A4.
b. Chuẩn bị của HS

• Đồ dùng học tập như SGK, bút, thước …
• Kiến thức cũ về khái niệm vectơ, các đặc trưng của vectơ, các phép toán trên
vectơ.
• Máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.
III. Phương pháp dạy học
Thuyết trình, gợi mở, kết hợp nêu và giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài học
1. Ổn định tổ chức

KT sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…)
2. Bài mới
HĐ1. Kiểm tra bài cũ (5 phút)

Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Gọi một HS đứng tại chỗ trả lời các câu hỏi:
Khái niệm vectơ ?

Vectơ là một

thẳng có hướng.

đoạn

Ghi bảng
Chia bảng thành 3 cột, viết vào
cột 2.


12
Các đặc
vectơ ?

trưng

của Gồm phương, hướng và
độ dài của vectơ

Như vậy, trong vectơ có các yếu tố định tính và
yếu tố định lượng.
Các phép toán đã biết Phép cộng vectơ, phép
về vectơ?
trừ vectơ, phép nhân
một số với một vectơ.
Đây là các phép toán tuyến tính, chỉ có tác dụng
định tính, do vậy có một nhu cầu tự nhiên là cần
một phép toán vectơ có tác dụng kiểm soát các
định lượng, đo đạc hình học. Cụ thể, cần một
phép toán kiểm soát được chiều dài của vectơ.
A

B

A

HĐ2. Gợi mở vấn đề (15 phút)

Hoạt
động của
Hoạt động của HS
GV
Ta đã biết
G tổng, hiệu của
hai vectơ là một vectơ,
tích của vectơ với một
C số
là một vectơ. Điều gì sẽ
xảy ra nếu chúng ta lấy
tích của hai vectơ?
Ta cần một phép toán giúp
kiểm soát được chiều dài
vectơ. Như vậy, phép toán
khá tự nhiên ta có thể
nghĩ đến là: Với vectơ

bằng tích

của độ dài vectơ
độ dài vectơ

với

.

GV dán trên bảng hai

A

B

bất kỳ, tích của vectơ
C
H với vectơ

Ghi bảng

Với

bất kỳ:

D

C


13

C

vectơ chồng lên nhau, có

chia vạch để thấy rõ
.
Tính

D

A

?
.

có

. Sau

đó, Ađặt
với
Khi
A

B

A

C

B

GV lấy 1 vectơ, cắt bớt
một vạch để được vectơ

cùng hướng

.
G

cùng hướng, Khi

cùng hướng:

tích của hai vectơ sẽ bằng
tích độ dài của chúng.
Tính

.

?

G

.

H

D

ngược hướng

vớiC .
Khi

Tính

ngược hướng:

?

Khi hai vectơ không cùng
phương, chẳng hạn, khi
hợp với

C

B

ngược hướng,

tích của hai vectơ sẽ bằng Khi
trừ tích độ dài của chúng.
C

C

B

A

C

GV đặt

D

A

C

b

một góc

a
b'

.


14
. Để tính tích của hai
vectơ, người ta đưa về
trường hợp hai vectơ cùng
phương bằng cách chiếu
lên giá của
một

, ta được

vectơ

cùng

phương với

. Khi đó

tích
Tính

.
?

Hãy xác định công thức
tính
?
Hãy kiểm tra công thức Khi
này có mâu thuẫn gì với
các trường hợp đã nêu
không ?

Khi

cùng hướng:
nên
.
ngược hướng:

nên
.
Như vậy, công thức tổng
quát này không mâu thuẫn

với các trường hợp đặc
biệt. Ta có phép toán mới
giữa hai vectơ. Qua đây,
chúng ta thấy kết quả của


15
phép toán này là một số
thực, là một đại lượng
không có hướng, nên
người ta gọi đây là “tích
vô hướng” giữa hai vectơ.
HĐ3. Thể chế hoá khái niệm mới (5phút)

Hoạt động của GV
- Định nghĩa. Cho hai vectơ
và

Hoạt động của HS
Viết vào cột 1.

Ghi bảng

r
khác vectơ 0 . Tích vô §2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

hướng của hai vectơ
là một số, ký hiệu là

1. Định nghĩa (SGK/41)

và
,

được xác định bởi công thức
sau:
.

Với

, ta có:

- Quy ước: .
- Chú ý. Từ định nghĩa, với

,

ta có:
Bình phương vô hướng:
Khi

cùng hướng:
.

Khi

ngược hướng:
.

Khi

:

HĐ4. Ví dụ áp dụng (15 phút)

Hoạt động của GV
1) Cho hình vuông

Hoạt động của HS
cạnh
. Tính tích

Ghi bảng
và

.


16
2) Cho tam giác đều
,
3) Cho tam giác

cạnh
theo

, có trọng tâm

. Tính các tích vô hướng

.

cân tại

có cạnh đáy

. Tính

.
Lời giải mong đợi:
1)

hoặc
vì

.

.
2)
D

A

.
A

A

B

C

.

G

GB

3) Kẻ

C

B

.

C

A

.
B

3. Củng cố và liên hệ thực tiễn (5 phút)

Qua bài học, chúng ta cần nắm được những gì ?
- Biết định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ.
- Biết cách tính tích vô hướng của hai vectơ.

H

C


17
Hãy cùng xem xét một số ví dụ về mối quan hệ giữa vô hướng và có hướng. Từ
một đoạn thẳng (đại lượng vô hướng), ta đã tạo ra vectơ (đại lượng có hướng) bằng
cách quy định điểm đầu, điểm cuối. Từ vectơ (đại lượng có hướng), ta có thể thực
hiện phép toán để được đại lượng vô hướng (số).
Hãy tìm trong tự nhiên, trong vật lý các đại lượng vô hướng và các đại lượng
có hướng như vậy, và mối liên hệ giữa chúng.
- Đại lượng vô hướng: chiều dài, diện tích, thể tích, tốc độ, khối lượng, mật độ,
áp suất, nhiệt độ, năng lượng, xác suất, công …
- Đại lượng có hướng: vectơ, vận tốc, gia tốc, lực, moment, trọng lượng, độ dịch
chuyển, lực đẩy, lực nâng …
Vận tốc là có hướng nhưng tốc độ là vô hướng. Hãy tìm các ví dụ tương tự.
- Trọng lượng là có hướng nhưng khối lượng là vô hướng…
- Tích vô hướng giữa lực và độ dịch chuyển tạo thành công.
4. Hướng dẫn bài tập về nhà

- Bài 1 và 2 trang 45 SGK.
Một số nhận xét về phương án dạy học đã đề ra:
Tiến trình dạy học nêu trên khác tiến trình trong SGK và một số tiến trình
thường gặp: tiến trình SGK đi từ định nghĩa tổng quát đến các trường hợp đặc biệt cụ
thể; tiến trình nêu trên lại được xây dựng từ các trường hợp cụ thể đến định nghĩa
tổng quát. Điều này là phù hợp với quá trình nhận thức của tư duy: từ trực quan sinh
động đến tư duy trừu tượng.
Trong quá trình xây dựng định nghĩa tổng quát của tích vô hướng, GV đã “ngầm
ẩn” xây dựng định nghĩa tích chiếu của hai vectơ (là định nghĩa mang lại ý nghĩa hình
học của tích vô hướng), tuy nhiên có một số lập luận trong tiến trình còn hình thức,

mập mờ và thiếu tự nhiên. GV đã bỏ qua một số yếu tố chính xác, hàn lâm để tập
trung hơn trên quan điểm sư phạm, cho HS thấy được cách đặt vấn đề, cách giải
quyết vấn đề trong quá trình phát minh. Từ đó, HS thấy được quá trình phát minh ra
công thức “tích vô hướng” như một tất yếu tự nhiên.
Tôn trọng tinh thần giảm tải của SGK, “tích vô hướng” trong bài dạy chỉ dừng
lại ở cơ chế “đối tượng”, chưa được nghiên cứu ở cơ chế “công cụ”.
Pha củng cố và liên hệ thực tiễn được thực hiện khá kỹ, điều này là cần thiết, từ
đó đảm bảo được HS nắm được bài học ở mức chuẩn kiến thức, kỹ năng và bắt đầu
đạt chuẩn ở mức độ phân hoá.
Hạn chế trong phương án dạy học đã nêu:


18
+ Chưa trình bày được yếu tố bất biến khi thực hiện phép chiếu vectơ; do đó,
“quy tắc xác định phép toán” – đáng lẽ phải được làm rõ thì bài dạy chưa làm rõ
được, đồng thời “tính giao hoán” trong định nghĩa tích vô hướng là một yếu tố quan
trọng để liên hệ đến phần tính chất sau đó đã bị bỏ qua.
+ Ngôn ngữ trong diễn đạt chưa thật sự tự nhiên và cặn kẽ, từ đó gây cảm giác
“áp đặt” ở một số thời điểm.
V. TỔNG KẾT
1. Những kết quả đạt được
- Phân tích lịch sử hình thành để thấy được những đặc trưng của tri thức “tích vô
hướng” và dự đoán được một số chướng ngại mà HS có thể gặp phải khi tiếp cận khái
niệm.
- Phân tích việc dạy – học tri thức “tích vô hướng” trên quan điểm sư phạm, từ
đó đưa ra một số phương án, lưu ý khi dạy – học khái niệm.
- Phân tích khái niệm tích vô hướng đã được trình bày trong SGK, rút ra một số
khó khăn, hệ quả mà HS có thể gặp, đồng thời đặt ra một số câu hỏi và đưa ra giả
thuyết.
- Đề nghị một phương án dạy – học tích vô hướng, đưa về bối cảnh của lịch sử

hình thành từ đó giúp mang lại một phần “nghĩa” của tri thức.
2. Những tồn tại và hướng mở ra
- Chưa có các thực nghiệm, hoạt động kiểm chứng được các giả thuyết đã nêu.
Chưa trả lời các câu hỏi đặt ra trong quá trình phân tích.
- Chưa xây dựng được mô hình dạy học mà HS đóng vai trò chủ thể của quá
trình nhận thức, vai trò của HS trong phương án dạy học nêu trên là chưa đủ tích cực.
- Từ đó, cần một nghiên cứu sâu hơn để giải thích nguyên nhân và trả lời được
các câu hỏi đã nêu, cần một thực nghiệm và liên hệ thực tiễn để kiểm chứng giả
thuyết đặt ra. Đồng thời cần phát triển phương án dạy học lên mức độ mới, khắc phục
được các tồn tại đã nêu.


19

C. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), SGK Hình học 10, NXBGD, 2006.
2. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), SGV Hình học 10, NXBGD, 2006.
3. Đoàn Quỳnh (chủ biên), Tài liệu chuyên toán Hình học 10, NXBGD, 2010.
4. Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp dạy – học hình học ở trường THPT, NXBĐHQG
HCM, 2004.
5. Ngô Thúc Lanh (chủ biên), Từ điển toán học thông dụng, NXBGD, 2002.
6. Văn Như Cương, Lịch sử hình học, NXB KHKT, 1977
7. Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis, University of Louisville, 2002.
8. Dot - product, />