Trạng thái ngưng tụ khí bose einstein hai thành phần phân tách mạnh (LV01749)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————o0o——————–

VŨ THỊ TƯƠI

TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ KHÍ BOSE - EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN PHÂN TÁCH MẠNH

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số:

60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI, 06 - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo Nguyễn
Văn Thụ, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chỉ bảo trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới những thầy cô đã giảng dạy tôi trong
suốt thời gian qua, đặc biệt là các các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong
gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong

suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Tươi

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là đề tài của riêng tôi, do chính tôi thực hiện dưới
sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Văn Thụ cũng như trên cơ sở nghiên cứu các tài
liệu tham khảo. Nó không trùng kết quả với bất kì tác giả nào từng công bố.
Nếu sai tôi xin chịu trách nhiệm trước hội đồng.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Học viên

Vũ Thị Tươi

ii


MỤC LỤC
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Tổng quan các nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein . . . . 3
1.1. Thống kê Bose - Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần phân tách mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.1. Lý thuyết Gross - Pitaevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách
mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Trường hợp minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3. Sóng mao dẫn trên bề mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Hệ phương trình Bogolibov de Gennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Hệ thức tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nói đến vật lý hiện đại chúng ta nghĩ ngay tới Albert Einstein (1897 - 1995)
là một nhà vật lý lý thuyết. Ông được coi là một trong những nhà khoa học có
ảnh hưởng nhất của thế kỉ 20 và ông được coi là cha đẻ của vật lý hiện đại. Nói
tới ông là nhớ tới hàng loạt những công trình nghiên cứu của ông và một trong
số đó là ngưng tụ Bose - Einstein (Bose - Einstein condensate - BEC) được tạo
ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên tử lạnh năm 1995.
Ngưng tụ Bose - Einstein được chế tạo từ các kim loại kiềm và từ các
nguyên tử Hidro bằng cách làm lạnh và sau đó giam khối khí loãng nguyên
tử trong một cái bẫy từ mạnh. Đây là một tập thể các nguyên tử đồng nhất,
chúng ở cùng một trạng thái lượng tử, mô tả bằng cùng một hàm sóng, chúng
có tính chất đồng bộ như các photon của một chùm laser. Chính vì thế Gross
- Pitaevskii chủ yếu nghiên cứu trạng thái dừng, dựa trên giả thuyết tất cả các

nguyên tử nằm ở trạng thái cơ bản. Thực tế vẫn có một số lượng các nguyên
tử không nằm ở mức cơ bản mà nằm ở mức kích thích. Nên để tính được ảnh
hưởng của các nguyên tử ở mức kích thích người ta phải tính tới các dao động
bề mặt. Và Bogoliubov đã nghiên cứu các dao động bề mặt của ngưng tụ Bose
- Einstein trên cơ sở phương pháp hóa lượng tử lần hai.
Với việc tạo ra trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein, có ý nghĩa lớn trong vật
lý như giải thích được nhiều hiện tượng vật lý siêu dẫn, siêu chảy..., ứng dụng vào
nghiên cứu ngưng tụ Bose - Einstein thấp chiều, ngưng tụ Bose - Einstein một
thành phần, ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần... Với mong muốn được
nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein tôi chọn
đề tài "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh".
2. Mục đích nghiên cứu.
Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu trạng thái cơ bản
của khí ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách mạnh.
Tìm hệ thức tán sắc cho sóng mao dẫn trên bề mặt của BEC.
1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân
tách mạnh" xuất phát từ thống kê Bose - Einstein đối với các boson là những
hạt có spin nguyên, phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian
và lý thuyết Bogoliubov de Gennes.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Các phương trình Gross - Pitaevskii.
Nghiên cứu "Trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân
tách mạnh".
5. Dự kiến đóng góp mới.
Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ khí Bose - Einstein hai thành phần phân
tách mạnh có thể có những đóng góp quan trọng trong Vật lý thống kê và cơ

học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết nói chung.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Đọc sách và tra cứu tài liệu.
Sử dụng thống kê, lượng tử và các phép tính giải tích toán học.
Phương pháp nghiên cứu lí luận.

2


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ
NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN

1.1
1.1.1

Thống kê Bose - Einstein
Hệ hạt đồng nhất

Nếu các hạt có các đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,...không phân biệt
được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất.
Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ học
lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất:
"Trong hệ các hạt đồng nhất chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi
chỗ các hạt đồng nhất cho nhau"[1].

1.1.2

Thống kê Bose - Einstein

Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng
thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất
phát từ công thức chính tắc lượng tử
Wk =

ψ − Ek
θ

1
exp
N!

gk ,

(1.1)

trong đó gk là độ suy biến, Ek là năng lượng ở trạng thái k , N là số hạt đồng
nhất, θ và ψ là các thông số của phân bố.
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có
∞

Ek =

n l εl ,

(1.2)

l=0

ở đây εl là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, nl là số chứa đầy tức là số

hạt có cùng năng lượng εl .
Để tổng quát ta giả thiết chỉ số l có thể có trị số từ 0 đến ∞ , độ suy biến
gk trong công thức (1.1) sẽ tìm được bằng cách tìm số các trạng thái khác nhau
3


về phương diện vật lý ứng với cùng một giá trị năng lượng Ek , đó chính là số
các hoán vị của các hạt tương ứng với trạng thái mới. Vì số hạt trong hệ không
phải là bất biến cho nên tương tự như trong trường hợp thống kê cổ điển thay
thế cho phân bố chính tắc lớn lượng tử. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng


∞



 Ω + µN − nl εl 

1
l=0
Wk =
exp
gk ,
(1.3)
N!
θ







∞

trong đó N =

nl , Ω là thế nhiệt động, µ là thế hóa học.
l=0

Sở dĩ thừa số

1
xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính đồng
N!

nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do
hoán vị các hạt.
Ta kí hiệu
gk
= G (n0 , n1 , ...) ,
(1.4)
N!

khi đó (1.3) được viết lại như sau


∞





 Ω + nl (µ − εl ) 
l=0

Wk = exp

θ





G (n0 , n1 , ...) .

(1.5)





Từ đây ta có hai nhận xét về công thức(1.5) như sau:
Một là vế phải của (1.5) có thể coi là hàm của các nl nên ta có thể đoán
nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức ε0 , nl hạt
nằm trên mức εl , nghĩa là, đó là xác suất các hạt lấp đầy. Do đó, nhờ công thức
này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng
n
¯k =

...nk W (n0 , n1 ...)
n0

n1

=

...nk exp
n0

n1




Ω +

∞
l=0



nl (µ − εl ) 

θ





(1.6)
G (n0 , n1 , ...) .





Hai là đại lượng G (n0 , n1 ...) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các
trạng thái vật lý mới khi hoán vị các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức
là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng thì các phép hoán
4


vị đều không đưa đến một trạng thái vật lý mới nào cả, bởi vì khi đó hàm sóng
của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng
thái lượng tử. Do đó, đối với các hạt boson và hạt fermion ta có
G (n0 , n1 , ...) = 1

Nhưng trong thống kê Maxwell - Boltzmann, khi mà các hạt là khác biệt
nhau về phương diện hoán vị tọa độ (tức là khi các hạt hoán vị có thể xuất hiện
trạng thái mới), ta có
G (n0 , n1 ...) =

1
.
n0 !n1 !...

(1.7)

Thực vậy khi đó ta tìm được gk với lập luận như sau. Trong thống kê
Maxwell - Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của các tọa độ của các hạt
đều sẽ cho các trạng thái mới, trừ các phép hoán vị của các tọa độ của các hạt

có cùng một năng lượng ε1 . Do đó, số tổng cộng các trạng thái khác nhau về
phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng N ! chia cho số hoán vị trong
các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho n0 !n1 !... Khi đó
gk =

N!
n0 !n1 !...

(1.8)

thay giá trị đó của gk vào (1.4) ta thu được (1.7). Để tính giá trị trung bình của
các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng khác nhau)
ta gắn cho đại lượng µ trong công thức (1.5) chỉ số l, nghĩa là ta coi rằng hệ ta
đang xét không phải chỉ có thế hóa học µ mà ta có cả một tập hợp thế hóa học
µ. Và cuối phép tính cho ta µl = µ.
Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như
sau
...W (n0 , n1 , ...) = exp
n0

n1

với
Z=

... exp
n0

n1






∞
l=0

Ω
θ

Z = 1.

(1.9)

G (n0 , n1 ...) .

(1.10)



nl (µl − εl ) 

θ










nghĩa là
Ω = −θ ln Z.

5

(1.11)


Khi đó đạo hàm Ω theo µk dựa vào (1.7) và (1.10)
∂Ω
1 ∂Z
= −θ
∂µk
Z ∂µk
=−

...nk . exp
n0




Ω +

∞
l=0

θ





n1



µ l − εl 


(1.12)
G (n0 n1 ....)





Nếu trong biểu thức (1.5) ta đặt µk = µ thì theo (1.5) vế phải của công thức
(1.10) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy nk tức là ta thu được
∂Ω
= µ.
∂µk

n
¯k = −

(1.13)

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ 0 đến
∞ và G (n0 n1 ...) = 1 do đó theo (1.9) ta có
∞




 nl (µl − εl ) 

l=0

... exp

Z=

n0

n1

∞

∞

=
l=0 n=0
∞

khi đó

µ l − εl
θ

1 − exp

∞

ln 1 − exp

Ω=θ

(1.14)

1

−
l=0





µ l − εl
n
θ

exp

=

θ





l=0

µ l − εl
θ

.

(1.15)

Theo (1.7) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình
n
¯k =

1
εl − µ
exp
θ

,

(1.16)

−1

ta có (1.16) là công thức của thống kê Bose - Einstein. Thế hóa học µ trong công
thức (1.16) được xác định từ điều kiện
∞

n
¯l = N .
l=0

6

(1.17)


Việc áp dụng thống kê Bose - Einstein vào hệ hạt có spin nguyên hay spin
bằng không (ví dụ như các photon, các mezon, các nguyên tử trong đó số các
electron và nuclon là chẵn...) được gọi là các hạt boson hay khí Bose. Đối với
khí Bose lý tưởng, theo công thức của thống kê Bose - Einstein. Số hạt trung
bình có năng lượng trong khoảng từ ε → ε + dε bằng
dn (ε) =

dN (ε)
.
ε−µ
exp
−1
θ

(1.18)

trong đó dN (ε) là số các mức năng lượng trong khoảng ε → ε + dε.

Ta tìm dN (ε). Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích
V có thể xem như các sóng dừng de Broglie. Áp dụng công thức
k 2 dk
V,
dN (k) =
2π

(1.19)

theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng p và vecto sóng k
(1.20)

p = k,

khi đó (1.19)có thể được viết dưới dạng
dN (p) =

p2 dp
V.
2π 2

Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc v
ε=

(1.21)
c thì

p2
,
2m

√
2m
= 2mε ⇒ dp = √ dε,
2 ε

⇒

p2

⇒

p2 dp

√
√
2m
= 2mε √ dε = 2m3 εdε.
2 ε

khi đó (1.21) có dạng

√
dN (ε) =

2m3 V √
εdε
2π 2 3

.
Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau, cho nên số trạng

thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt là g = 2s + 1. Do đó, số
các mức năng lượng trong khoảng ε → ε + dε là
√
dN (ε) =

2m3 V g √
εdε.
2π 2 3
7

(1.22)


Theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng ε → ε + dε là
√

√
2m3 V g
εdε
2
3
ε
−
µ
2π
exp
θ

dn (ε) =

.

(1.23)

−1

Vì số hạt toàn phần là N nên ta có phương trình sau
∞

N=

√
2m3 V g
dn (ε) =
2π 2 3

0

∞

0

ε1/2
dε.
ε−µ
e kT − 1

(1.24)

Nhận thấy nếu số hạt N là số cho trước thì phương trình (1.24) sẽ cho ta

xác định thế hóa học µ. Thật vậy, số hạt trung bình dn (ε) chỉ có thể là một
số dương, do đó theo (1.23) điều kiện đó sẽ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luôn
ε−µ
luôn luôn lớn hơn 1 với mọi
dương. Tức là µ ≤ 0 để cho giá trị của exp
θ

giá trị của ε. Tiếp theo, ta có thể chứng minh rằng, µ là hàm nghịch biến của
nhiệt độ tức là

∂µ
≤ 0.Theo quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta có:
∂T
√
∂ ∞
ε
dε
∂N
∂T 0 ε − µ
∂µ
e kT
= − ∂T = −
√ −1 ,
∞
∂N
∂T
∂
ε
dε
ε

−
µ
∂µ
∂µ 0
e kT − 1

mà
∞

∂
∂T
0

∞

√

ε
dε =
ε−µ
e kT − 1

0



√
∂ 
ε


 ε−µ
 dε = −
∂T
e kT − 1
∞

=



1
kT 2
0

ε−µ
(ε − µ) e kT √
εdε,
2
ε−µ
e kT − 1

8

∞

0

ε−µ
√ ∂ ε−µ
e kT . ε.

∂T
kT dε,
2
ε−µ
e kT − 1


∞

∂
∂µ
0

√
ε
dε =
ε−µ
e kT − 1

∞

0

√
∂ 
ε

 dε = −
 ε−µ
∂µ

e kT − 1
∞

=





1
kT
0

ε−µ
e kT
ε−µ
e kT − 1

Vậy
∞
0

∂N
∂µ
1
= − ∂T = −
∂N
∂T
T
∂µ

∞
0

√
2

∞

0

ε−µ
√ ∂ ε−µ
e kT . ε.
∂µ
kT
dε
2
ε−µ
e kT − 1

εdε,

ε−µ
(ε − µ) e kT √
εdε
2
ε−µ
e kT − 1
ε−µ

e kT
ε−µ
e kT − 1

.
2

(1.25)

√
εdε

Vì ε ≥ 0 và µ ≤ 0 nên ε − µ ≥ 0, do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế
∂µ
≤ 0. Từ các tính
∂T
∂µ
chất µ ≤ 0 và
≤ 0 của hàm µ ta thấy khi nhiệt độ giảm thì µ tăng và tới
∂T
nhiệt độ T0 nào đó µ sẽ đạt giá trị cực đại bằng không µmax = 0. Ta xác định

phải (1.25) luôn luôn dương với mọi giá trị của ε, vì vậy

nhiệt độ T0 đó bằng cách đặt µ = 0 và θ = θ0 khi đó phương trình
∞

N=

√

2m3 V g
dn (ε) =
2π 2 3

0

∞

0

9

ε1/2
dε.
ε−µ
e kT − 1


trở thành
√

∞

N=

∞

ε1/2
dε
ε

e θ0 − 1

2m3 V g
2π 2 3

dn (ε) =
0

0
∞

(2m)3/2 V g
=
θ0
2π 2 3

θ0

√
ex

x
dx
−1

0

=

∞

m3/2 V gθ0 3/2
21/2 π 2 3

(mθ0 )3/2 V g
=
21/2 π 2 3

ex
0
∞

(1.26)

√

x
dx
−1

√
x
dx.
ex − 1

0
∞

Mà ta biết
0

√

x
dx = 2.31, nên từ (1.26) và θ0 = kT0 , ta được
ex − 1
1/3

2
2π 4
θ0
T0 =
=
k
(2, 31g)2/3 mk

N
V

2/3

(1.27)

.

Đối với tất cả các khí Bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng
hạn như đối với Hêli 4, ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ
120kg/m3 ta được T0 = 2, 19K . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ khác không có ý
nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ 0 < T < T0 .
Khi giảm nhiệt độ xuống tới T0 thì thế hóa học µ tăng tới giá trị µmax = 0, mà

∂µ
≤ 0 nên µ không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt độ 0 < T < T0 thì
∂T
µ = 0.

Với nhiệt độ T < T0 số hạt có năng lượng là
(2m)3/2 V g
N (ε > 0) =
2π 2 3

∞

0

√

ε

ε
e kT − 1

(mkT )3/2 V g
dε =
21/2 π 2 3

∞

√
x
dx = N .

x
e −1

(1.28)

0

So sánh (1.26) và (1.28) ta thấy
N (ε > 0) = N

T
T0

3/2

N
hay
=
N

T
T0

3/2

.

Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được
đoán nhận vật lý một cách đặc biệt. Khi T < T0 thì N < N chỉ ra rằng số hạt
10

toàn phần N chỉ có một phần số hạt N có thể phân bố theo các mức năng lượng
một cách tương ứng với công thức (1.18), tức là
√
√
N
m3/2 V g
εdε
εdε
=
.
dn (ε) = 1/2 2 3
ε
3/2
2 π
(2, 31)θ exp ε − 1
−1
exp
θ
θ

(1.29)

Các hạt còn lại N − N , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng
hạn tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là, chúng hình như
nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn T0 , một phần các hạt của khí Bose sẽ
nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được
phân bố trên các mức khác nhau theo định luật

1
. Hiện tượng mà ta vừa
e −1
ε
θ

mô tả, trong đó một số hạt chuyển xuống mức năng lượng không và hai phần
của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose.
Ở nhiệt độ không tuyệt đối tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không.

1.2

Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose - Einstein

Ngưng tụ Bose - Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy
ở khí loãng lần đầu tiên vào năm 1995. Einstein đã tổng quát hóa lý thuyết của
Bose thành khí lý tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử, mà số
lượng được bảo toàn. Cùng thời gian đó, dự đoán với nhiệt độ đủ thấp, các hạt
sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Hiện tượng đó gọi là
ngưng tụ Bose - Einstein (BEC), xảy ra với các hạt bốn có tổng số spin nguyên.
Ngưng tụ Bose - Einstein và quá trình ngưng tụ đó được dự đoán có nhiều
thuộc tính kì lạ và trong nhiều thí nghiệm đã cố gắng tạo ra ngưng tụ Bose Einstein trong phòng thí nghiệm. Cuối cùng vào năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên
đã được tạo ra bởi nhóm của Eric Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm
JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorada
ở Boulder, khi họ làm lạnh khí nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170nK . Cũng
trong thời gian này, Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo
ra được ngưng tụ Bose - Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ
2000 nguyên tử này trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu tính chất của hệ.
Vì vậy mà Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001.

11


Đầu những năm 1970 tại phòng thí nghiệm nhiệt độ thấp ở Đại học Cornell,
Lee, Osheroff và Richardson đã phát hiện thấy rằng một đồng vị của Hêli(He)
là Hêli-3 có thể trở thành siêu lỏng tại một nhiệt độ chỉ khoảng hai phần nghìn
độ trên không độ tuyệt đối. Chất lỏng lượng tử siêu lỏng này khác hẳn với chất
lỏng lượng tử siêu lỏng mà người ta đã phát hiện thấy vào những năm 1930 ở
nhiệt độ khoảng hai độ (cao hơn một nghìn lần) trong một đồng vị khác của Hêli
là Hêli-4. Chất lỏng lượng tử mới (Hêli-3) có những tính chất rất đặc biệt chẳng
hạn như các định luật lượng tử của vật lý vi mô thỉnh thoảng cũng trực tiếp chi
phối dáng điệu của các vật vĩ mô. Nguyên tử Hêli-4 là một Bose và chúng tuân
theo thống kê Bose - Einstein. Trong điều kiện nào đó, chúng ngưng tụ ở trạng
thái có năng lượng nhỏ nhất. Quá trình chuyển pha trong đó xảy ra và được
gọi là sự ngưng tụ Bose - Einstein. Các nguyên tử Hêli-3 tuân theo thống kê
Fermi - Dirac và thực tế không bị ngưng tụ ở trạng thái năng lượng thấp nhất.
Do đó, sự siêu lỏng không xảy ra trong Hêli-3 giống như Hêli-4, nghĩa là Hêli-3
không thể hóa lỏng ở một nhiệt độ khoảng một vài độ trên không độ tuyệt đối.
Nhưng các Fermion thực tế có thể bị ngưng tụ nhưng theo cách phức tạp hơn.
Bằng cách thay đổi áp suất, nhiệt độ và thể tích của Hêli-3 lỏng và theo dõi cẩn
thận sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến số đó. David Lee, Douglas Osheroff và
Robert Richardson đã sử dụng một vài cm3 Hêli-3 lỏng để tiến hành các thực
nghiệm mà chúng dẫn đến phát minh được trao giải thưởng Nobel Vật lý năm
1996 "về tính siêu lỏng của Heli-3".
Tháng 11/2010 trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein của photon đã được
quan sát thấy. Bốn nhà vật lý Đức Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger
và Martin Weitz đã tiến hành quan sát ngưng tụ Bose - Einstein của photon
trong một quang microcavity chất nhuộm. Các khoang gương thực hiện việc
giam cầm thế năng và một khối lượng hiệu dụng của photon bị triệt tiêu làm
cho hệ tương đương với một khí hai chiều. Vì nhiều sự tán xạ ra khỏi các phân

tử chất nhuộm các photon bị làm lạnh đến nhiệt độ phòng. Sau khi tăng mật độ
của photon quan sát thấy dấu hiệu của một ngưng tụ Bose - Einstein là: Năng
lượng của photon phân bố chủ yếu ở trạng thái cơ bản trên một miền nhiệt rộng,
chuyển pha diễn ở cả các giá trị khả dĩ và đưa ra dự đoán phụ thuộc hình dạng
hốc.
Năm 2012 các nhà vật lý đã phát triển lý thuyết BEC cho hệ photon. Denis
Nikolaevich Sobyanin đã phát triển lý thuyết BEC của ánh sáng trong một
microcavity chất nhuộm.

12


1.3

Thực nghiệm về ngưng tụ Bose - Einstein

Những tiến bộ trong kĩ thuật làm lạnh và giam nguyên tử (làm lạnh bằng laser,
làm lạnh bằng bay hơi, bẫy nguyên tử bằng laser, từ trường, điện trường) đã
cho phép thực nghiệm quan sát được nhiều hiện tượng ngưng tụ Bose - Einstein
trong các hệ khí Liti, Kali và Natri. Ngưng tụ Bose - Einstein đã được quan sát
thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử Rubidi và Natri
được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh
xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser. Đó là ngưng tụ Bose - Einstein từ khí
Bose. Sau đó không lâu ngưng tụ từ khí Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng
định. Phát kiến về ngưng tụ Bose - Einstein đã mở ra một giai đoạn phát triển
như vũ bão trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên
cứu các hiệu ứng lượng tử[3].

Hình 1.1: Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein của các boson, trong trường hợp này là
các nguyên tử Rubidi. Hình vẽ là phân bố tốc độ chuyển động của các nguyên tử theo

từng vị trí. Màu đỏ chỉ nguyên tử chuyển động nhanh, màu xanh và trắng chỉ nguyên
tử chuyển động chậm. Bên trái là trước khi xuất hiện ngưng tụ Bose - Einstein. Ở giữa
là ngay sau khi ngưng tụ. Bên phải là trạng thái ngưng tụ xuất hiện rõ hơn. Ở trạng
thái ngưng tụ, rất nhiều nguyên tử có cùng vận tốc và vị trí (cùng trạng thái lượng
tử) nằm ở đỉnh màu trắng. Ảnh: Wikipedia

13


1.3.1

Ngưng tụ Bose - Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium

Các chất khí lượng tử siêu lạnh có những tính chất đặc biệt mang lại một hệ
lí tưởng nghiên cứu những hiện tượng vật lý cơ bản. Với việc chọn erbium, đội
nghiên cứu đứng đầu là Francesca Ferlaino thuộc viện Vật lý Thực nghiệm, Đại
học Innsbruck, đã chọn một nguyên tố rất lạ, đó là vì những tính chất đặc biệt
của nó mang lại những khả năng mới và hấp dẫn để nghiên cứu những câu hỏi cơ
bản trong vật lý lượng tử. "Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những
tính chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử",
Ferlaino cho biết[3].
Cùng với nhóm nghiên cứu của mình, bà đã tìm ra một phương pháp đơn
giản đến bất ngờ để làm lạnh nguyên tố phức tạp này bằng phương tiện laser và
kĩ thuật làm lạnh bay hơi. Ở những nhiệt độ gần không tuyệt đối, một đám mây
gồm khoảng 70000 nguyên tử erbium tạo ra một ngưng tụ Bose - Einstein từ
tính. Trong một ngưng tụ, các hạt mất đi tính chất cá lẻ của chúng và đồng bộ
hóa thành trạng thái của chúng. "Những thí nghiệm với erbium cho phép chúng
tôi thu được kiến thức sâu sắc mới về những quá trình tương tác phức tạp của
những hệ tương quan mạnh và đặc biệt chúng mang lại những điểm xuất phát
mới để nghiên cứu từ tính với những nguyên tử lạnh", Ferancesca Ferlaino nói.

Cesium, strontium và erbium là ba nguyên tố hóa học mà các nhà vật lý
ở Innsbruk đã cho ngưng tụ thành công trong vài năm trở lại đây. Một đột phá
quan trọng đã được thực hiện bởi Rudolf Grimm và nhóm nghiên cứu của ông
hồi năm 2002 khi họ thu được sự ngưng tụ của cesium, dẫn tới vô số kết quả
khoa học trong những năm sau đó.

1.3.2

Đột phá mới trong vật lý với việc tạo ra siêu ánh sáng
photon

Các nhà khoa học Đức đã tạo ra bước đột phá trong lĩnh vực vật lý khi cho ra
đời một loại ánh sáng mới bằng cách làm lạnh các phân tử photon sang trạng
thái đốm màu.
Ta vẫn biết mọi vật chất thường tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng và khí.
Khám phá mới thể hiện một trạng thái mới của vật chất:"trạng thái ngưng tụ
Bose - Einstein". Các nhà khoa học từng tạo được trạng thái này vào năm 1995
ở các nguyên tử siêu lạnh của một chất khí, nhưng quả thật, chưa ai từng nghĩ
tới có thể đạt được trạng thái này ở các hạt photon. Tuy nhiên bốn nhà vật
14


lý Jan Klars, Julian Schmitt, Frank Vewinger và Martin Weitz Đại học Bonn ở
Đức mới đây đã chứng minh đã làm được điều đó. Họ đặt tên cho các hạt mới
là các siêu photon.

Hình 1.2: Một "siêu phonon" được tạo ra khi các hạt photon bị làm lạnh tới một trạng
thái vật chất được gọi tên là " trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein". Ảnh: LiveScience

Các hạt photon ở trạng thái Bose - Einstein được làm lạnh tới độ không

tuyệt đối cho tới khi chúng hòa vào nhau, tạo thành một hạt khổng lồ. Các
chuyên gia từng cho rằng sẽ không thể đạt được trạng thái này vì việc vừa làm
lạnh vừa ngưng tụ cùng một lúc đều bất khả thi. Do photon là các hạt không
có khối lượng chỉ mang năng lương nên chúng đơn giản dễ bị hấp thụ vào môi
trường xung quanh và biến mất, đặc biệt khi chúng bị làm lạnh.
Bốn nhà vật lý Đức cuối cùng cũng tìm được cách làm lạnh các hạt photon
mà không làm giảm số lượng của chúng. Để duy trì số lượng hạt photon, những
nhà sáng chế này đã chế tạo ra một thùng chứa làm bằng những tấm gương đặt
vô cùng sát nhau và chỉ cách nhau khoảng 1µm. Giữa các gương, nhóm nghiên
cứu đặt các phân tử "thuốc nhuộm" (về cơ bản chỉ có một lượng nhỏ chất nhuộm
màu). Khi các photon va chạm với các phân tử này, chúng bị hấp thụ và sau đó
được tái tạo.
Các tấm gương đã "tóm" các photon bằng cách giữ cho chúng nhảy tiến lui trong một trạng thái bị giới hạn. Trong quá trình đó, các hạt photon trao
15


đổi nhiệt lượng mỗi khi chúng va chạm với một phân tử thuốc nhuộm. Và cuối
cùng, chúng bị làm lạnh tới mức nhiệt độ phòng. Mặc dù không thể đạt độ
không tuyệt đối nhưng nhiệt độ phòng thôi, cũng đã đủ lạnh để các photon kết
lại thành một hạt khổng lồ hay trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein.
Trong bài viết mới đây trên tạp chí Nature, nhà vật lý James Anglin thuộc
trường Đại học Kĩ thuật Kaiserlautern (Đức) đánh giá thử nghiệm trên là "một
thành tựu mang tính bước ngoặt".

1.3.3

Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng
tụ Bose - Einstein

Các nhà nghiên cứu ở Viện Tiêu Chuẩn và Công nghệ Quốc gia Mĩ vừa lần đầu

tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một chất khí gồm những nguyên tử cực lạnh.
Hiệu ứng Hall là một tương tác quan trọng của từ trường và dòng điện thường
xảy ra với kim loại và chất bán dẫn. Các biến tấu của hiệu ứng Hall đã được
sử dụng trong kĩ thuật và trong vật lí với các ứng dụng đa dạng từ những hệ
thống tự đánh lửa tự động cho đến những phép đo cơ bản của điện học. Khám
phá mới có thể giúp các nhà khoa học hiểu rõ hơn về cơ sở vật lí của các hiện
tượng lượng tử ví dụ như sự siêu chảy và hiệu ứng Hall lượng tử.
Edwin Hall phát hiện ra vào năm 1879, hiệu ứng Hall dễ hình dung nhất
ở một chất dẫn điện hình chữ nhật như một tấm đồng khi có một dòng điện
chạy dọc theo chiều dài của nó. Một từ trường đặt vuông góc với dòng điện
với (vuông góc với tấm đồng) làm lệch đường đi của các hạt mang điện trong
dòng điện (electron chẳng hạn) bằng cách gây cảm ứng một lực theo chiều thứ
ba vuông góc với cả từ trường và dòng điện. Lực này đẩy các hạt mang điện
về một phía của tấm kim loại và gây ra một điện thế, hay “hiệu điện thế Hall”.
Hiệu điện thế Hall có thể dùng để đo những tính chất tiềm ẩn bên trong các hệ
thống điện, ví dụ như nồng độ hạt mang điện và dấu điện tích của chúng. “Các
hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền vật lí phức
tạp vì chúng gần như không có tạp chất gây cản trở, các nguyên tử chuyển động
chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ cũng đơn giản hơn
nhiều”, phát biểu của nhà nghiên cứu NIST Lindsay LeBlanc. “Thủ thuật là tạo
dựng những điều kiện sẽ khiến các nguyên tử hành xử theo kiểu thích hợp”.
Việc đo hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose – Einstein xây dựng dựa trên
công trình NIST trước đây tạo ra điện trường và từ trường nhân tạo. Trước

16


tiên, nhóm nghiên cứu sử dụng laser buộc năng lượng của các nguyên tử với
xung lượng của chúng, đưa hai trạng thái nội vào một liên hệ gọi là sự chồng
chất. Việc này làm cho các nguyên tử trung hòa điện tác dụng như thể chúng

là những hạt tích điện. Với đám mây gồm khoảng 20.000 nguyên tử tập trung
thành một quả cầu loãng, sau đó các nhà nghiên cứu cho lực bắt giữ biến thiên
tuần hoàn – đẩy các nguyên tử trong đám mây lại với nhau và rồi hút chúng
ra xa – để mô phỏng chuyển động của các hạt mang điện trong một dòng xoay
chiều. Đáp lại, các nguyên tử bắt đầu chuyển động theo kiểu giống hệt về mặt
toán học với cách các hạt tích điện chịu hiệu ứng Hall sẽ chuyển động, tức là
vuông góc với cả chiều của dòng “điện” và từ trường nhân tạo.
Theo LeBlanc, việc đo hiệu ứng Hall đó mang lại một công cụ nữa dành
cho nghiên cứu cơ sở vật lí của sự siêu chảy, một điều kiện lượng tử nhiệt độ
thấp trong đó các chất lỏng chảy mà không có ma sát, cũng như cái gọi là hiệu
ứng Hall lượng tử, trong đó tỉ số của hiệu điện thế Hall và dòng điện chạy qua
chất liệu bị lượng tử hóa, cho phép xác định các hằng số cơ bản.

17


CHƯƠNG 2
TRẠNG THÁI CƠ BẢN CỦA NGƯNG TỤ
BOSE - EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN
PHÂN TÁCH MẠNH

2.1

Lý thuyết Gross - Pitaevskii

Ngưng tụ Bose - Einstein thu được từ một hệ các Bose ở trạng thái cơ bản tại
nhiệt độ thấp. Do đó, ta có thể tìm hiểu về năng lượng của trạng thái cơ bản để
nghiên cứu một hệ khí bất kì. Toán tử Hamilton tổng quát mô tả hệ được cho
bởi phương trình[7],
N

ˆ =
H
i=1

p2i
+ Vext (ri )
2m

1
+
2

N

N

V (|ri − rj |),

(2.1)

i=1 j=i

trong đó, số hạng đầu tiên bên vế phải là động năng của hạt thứ i, số hạng tiếp
theo mô tả tương tác ngoài, và số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa N hạt
trong hệ. Trạng thái cơ bản tương ứng với năng lượng cực tiểu, và do đó ta có
thể tìm năng lượng này bằng phương pháp cực trị. Chú ý rằng, để thuận tiện ta
sử dụng khái niệm thế nhiệt động, nó rất có ích trong việc xác định trạng thái
cân bằng của hệ không cô lập. Sử dụng năng lượng tự do ta có năng lượng cần
làm cực tiểu F = E − µN , ở đây E là năng lượng và µ là thế hóa học.

ˆ và hàm sóng ψ chúng ta viết lại năng lượng như
Cho toán tử Hamilton H
sau
E (ψ) =

ˆ |ψ
ψ| H
.
ψ|ψ

(2.2)

ta có thể dùng công thức này để tìm cực tiểu của năng lượng tự do F . Trong
ngưng tụ đang xét có N hạt, do đó ta có thể liên hợp hàm sóng ψi với mọi hàm
sóng của các hạt trong hệ. Tuy nhiên, để thu được nghiệm của bài toán chúng
ta dùng phương pháp gần đúng trường trung bình. Điều này có nghĩa là đối với
một hạt không phân biệt trạng thái nghỉ và trạng thái độc lập |ψ và chúng ta
có thể bỏ chỉ số của hàm sóng.
Theo cách này, chúng ta cần cực tiểu hóa năng lượng tự do trong không
gian hàm sóng có dạng |Ψ = |ψ ⊗ |ψ ⊗ ... ⊗ |ψ , ở đây ⊗ là tích tenxơ và do đó
18


|Ψ tích tenxơ của N hàm sóng của các hạt trong hệ; chúng ta đang xét bài toán

trong điều kiện chuẩn hóa Ψ | Ψ = 1. Gần đúng được thỏa mãn nếu ngưng tụ
không thực sự đặc; nói cách khác tương tác giữa các hạt lân cận gần nhất mạnh
hơn tương tác của các hạt ở xa hơn về một biên.
ˆ |Ψ −
Bài toán của chúng ta được quy về tìm cực tiểu của F (Ψ) = Ψ| H

µ Ψ | Ψ . Ta đi tính từng số hạng trong biểu thức này. Đối với thành phần động
năng chúng ta có
N

p2
|Ψ =
2m

Ψ|
i=1

N

i=1

2

2

=N

∇ψ ∗ (ri ) ∇ψ (ri ) dri

2m

2

= −N

(2.3)

|∇ψ (r)|2 dr

2m

ψ ∗ (r) ∇2 ψ (r) dr.

2m

Ở đây như đã xác định ở trên |Ψ là tích tenxơ của N hàm sóng của các hạt và
ψ (r) là hàm sóng của một hạt, chúng ta sử dụng tính chất của hàm Green để
thu được kết quả cuối cùng trong công thức (2.3). Thành phần thế năng có thể
dễ dàng viết lại như sau
N

ψ ∗ (r) Vext ψ (r) dr.

Vext (ri ) |Ψ = N

Ψ|

(2.4)

i=1

Đối với số hạng mô tả tương tác giữa các hạt trong hệ chúng ta có
1
Ψ|
2

N

V (|ri − rj |) |Ψ
i=1 j=i

1
=
2
=

N

N

N

dri

ψ ∗ (ri ) ψ ∗ (rj ) V (|ri − rj |) ψ (ri ) ψ (rj ) drj

i=1 j=i

N (N − 1)
2

dr

ψ ∗ (r) ψ r V

r−r

ψ (r) ψ r dr .

(2.5)

Đối với số hạng cuối cùng trong công thức của năng lượng tự do
N

µ Ψ|Ψ =µ

∗

ψ (r) ψ (r) dr

.

(2.6)

chúng ta viết biểu thức như trên để thuận tiện cho việc tính toán.
Cho các biểu thức như trên, chúng ta phải tìm cực tiểu của chúng. Nói
19


cách khác, chúng ta đi xét biến thiên nhỏ của hàm sóng ψ (r), nhưng đáng lẽ
phải xét sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng thì chúng
ta coi như ψ và ψ ∗ độc lập với các biến số. Theo cách này, ta dễ dàng thu được
δ...
cho các biều thức (2.3) và (2.4). Trong trường hợp của công thức
δψ ∗
(2.5), chúng ta có đạo hàm hai lần của hàm sóng ψ ∗ , nhưng r có thể thay đổi vị

đạo hàm

trí nên ta có công thức sau
δ
δψ ∗

1
Ψ
2

N

N

V (|ri − rj |) Ψ
i=1 j=i

|ψ (r)|2 V

δψ ∗ (r)

= N (N − 1)

r−r

ψ (r) dr.

(2.7)

Tương tự, đối với thế hóa chúng ta có
N −1

δ Ψ|Ψ
=N
δψ ∗

ψ (r) ψ (r) dr

=N

δψ ∗ (r) ψ (r)dr.

∗

δψ ∗ (r) ψ (r) dr

(2.8)

Thay đồng thời các biểu thức trên vào biểu thức lấy biến phân của năng lượng
tự do F chúng ta được
2

δF
=0= N
δψ ∗

−

2m

∇2 ψ(r) + Vext (r)ψ(r)

+(N − 1)[|ψ(r)|2 V (|r − r )|)dr ]ψ(r) − µψ(r) δψ ∗ .

(2.9)

và do đó các đại lượng trong dấu ngoặc nhọn của (2.9) bị triệt tiêu. Hầu hết
người ta chọn thế năng tương tác có dạng
V

r−r

=

4π 2
aδ r − r ,
m

ở đây a là chiều dài tán xạ sóng s, sử dụng gần đúng N − 1
ta có
2

−

2m

∇2 ψ (r) + Vext (r) ψ (r) + N

N cuối cùng chúng

4π 2
a|ψ (r)|2 ψ (r) = µψ (r) .
m

(2.10)

Công thức (2.10) chính là phương trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời
gian. Chiều dài tán xạ a đo cường độ cường độ tương tác giữa các boson. Dấu
trừ trong công thức (2.10) thể hiện tương tác hút (a < 0) hoặc tương tác đẩy
(a > 0). Như vậy cực tiểu hóa năng lượng E tương ứng với cực tiểu hóa năng
lương tự do F = E − µN , đây là biểu thức quan trọng của vật lý thống kê.
20


2.2

Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose - Einstein
hai thành phần phân tách mạnh

Trong ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần phân tách yếu toán tử Hamilton
mô tả hệ có thể viết dưới dạng sau [8]
drΨ+
j −

H=
j=1,2

2 ∇2

2mj

+ Vj (r) +

gjj +
Ψ Ψj Ψj + g12
2 j

+
drΨ+
1 Ψ2 Ψ1 Ψ2 , (2.11)

trong đó gj = 4π 2 aj mj > 0 mô tả tương tác giữa các hạt trong mỗi thành
phần ngưng tụ, g12 = 2π 2 a12 (m1 + m2 ) (m1 m2 ) > 0 mô tả tương tác giữa các
hạt trong hai thành phần ngưng tụ, mj là khối lượng của một hạt; aj ,a12 là chiều
dài tán xạ, Vj (r) là thế năng tương tác ngoài.
Từ Hamilton (2.11) chúng ta có hệ phương trình Gross - Pitaevskii cho hàm
sóng ngưng tụ [4],
i

∂Ψ1
=
∂t

−

2 ∇2

2m1

+ V1 (r) + g11 |Ψ1 |2 + g12 |Ψ2 |2

Ψ1 ,

(2.12)
i

∂Ψ2
=
∂t

−

2 ∇2

2m2

+ V2 (r) + g22 |Ψ2 |2 + g12 |Ψ1 |2

Ψ2 .

Chúng ta quan tâm đến nghiệm dừng của hệ phương trình (2.12). Giả sử rằng
Ψj ∝ exp (−iµj t), ở đây µj là thế hóa học, chúng ta thu được hệ phương trình
phi tuyến cho mật độ khí ni (r) = |Ψ1 (r)|2 [10]
√
∇2 n1
µ1 = −
+ V1 (r) + g11 n1 + g12 n2 ,
√
2m1

n1
2

2

µ2 = −

2m2

√
∇2 n
√

n2

(2.13)
2

+ V2 (r) + g22 n2 + g12 n1 .

Để tìm nghiệm của (2.13) chúng ta cần phải làm một vài biến đổi. Giả sử rằng
V1 (r) = V2 (r) và xét trường hợp khi độ lớn của biên giữa các ngưng tụ nhỏ hơn
nhiều độ dài đặc trưng của bẫy thế năng.
Trong trường hợp này bẫy thế có dạng parabol, điều này có nghĩa là d
RT F , ở đây d là độ lớn của biên và RT F là bán kính Thomas - Fermi của đám
mây điện tử. Về phương diện vật lý, nó giúp ta loại bỏ ảnh hưởng của thế năng
tới hình dạng của biên. Để việc tính toán đơn giản hơn nữa, chúng ta giả sử
21