Những dạng toán phương trình, bất phương trình vô tỉ thường gặp trong trường trung học phổ thông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.2 MB, 104 trang )
L ic m n
Tôi xin đ
c bày t lòng bi t n chân thành và sâu s c đ i v i ng
c a mình, TS V
h
ình Ph
ng, ng
i đã đ nh h
i th y
ng ch n đ tài và nhi t tình
ng d n, ch b o đ tôi có th hoàn thành lu n v n này đ ng th i c ng
mong mu n đ
c h c h i th y nhi u h n n a.
Tôi c ng xin chân thành c m n quý th y cô trong Ban giám hi u, Phòng
đào t o sau
i h c tr
ng
i h c Th ng Long cùng quý th y cô tham gia
gi ng d y khóa h c đã t o m i đi u ki n giúp đ tác gi trong su t quá trình
h c t p và nghiên c u đ tác gi hoàn thành khóa h c và hoàn thành b n lu n
v n này.
Hà N i, tháng 6 n m 2016
Tác gi
Thơn Th Nguy t Ánh
1
L i cam đoan
Tôi xin cam đoan, d
Ph
i s ch b o và h
ng, lu n v n chuyên ngành ph
d ng toán ph
ng trình, b t ph
trung h c ph thông” đ
ng d n c a TS V
ình
ng pháp toán s c p v i đ tài: “ Nh ng
ng trình vô t th
ng g p trong tr
ng
c hoàn thành b i s nh n th c và tìm hi u c a b n
thân tác gi .
Trong quá trình nghiên c u và th c hi n lu n v n, tác gi đã k th a
nh ng k t qu c a các nhà khoa h c v i s trân tr ng và bi t n.
Hà N i, tháng 6 n m 2016
Tác gi
Thơn Th Nguy t Ánh
2
Thang Long University Libraty
M cl c
Trang
M đ uầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ
Ch
PH
1.1.
ng 1. PH
NG PHÁP GI I PH
NG TRÌNH, B T
NG TRÌNH VỌ T ầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.
Ph
ng pháp gi i ph
5
7
ng trình vô t ………………………………. 7
1.1.1. Ph
ng pháp bi n đ i t
ng đ
ng………………………………..
7
1.1.2. Ph
ng trình vô t th
ng g p……………………………………..
8
1.1.3. Ph
ng pháp bi n đ i thành ph
1.1.4. Ph
ng pháp nhân l
1.1.5. Ph
ng pháp đ t n ph …………………………...........................
ng trình tích.……………………
10
ng liên h p…………………………………. 12
20
1.1.6. S d ng tính đ n đi u c a hàm s …………………………………. 38
1.1.7. Ph
1.2.
Ph
1.2.1. Ph
ng pháp đánh giá…………………............................................ 42
ng pháp gi i b t ph
ng pháp bi n đ i t
ng trình vô t …………………………... 45
ng đ
ng.……………………………….. 45
1.2.2. S d ng ph
ng pháp chia kho ng và tách c n……………………. 48
1.2.3. Gi i b t ph
ng trình b ng cách đ a v d ng tích ho c th
ng…
50
1.2.4. Ph
ng pháp nhân l
1.2.5. Ph
ng pháp đ t n ph …………………………………………… 54
1.2.6. Ph
ng pháp hàm s ……………………………………………….
1.3.
M t s ph
ng liên h p…………………………………. 52
ng pháp gi i ph
ng trình, b t ph
ng trình vô t có
ch a tham s ……………………………………………………….
58
1.3.1. Ph
ng pháp bi n đ i t
ng……………………………….
58
1.3.2. Ph
ng pháp đ t n ph ……………………………………………
60
1.3.3. S d ng đ nh lí Lagrange…………………………………………..
61
1.3.4. Ph
ng pháp đi u ki n c n và đ ………………………………….
62
1.3.5. Ph
ng pháp hàm s ……………………………………………….
63
1.4.
M t s ph
ng đ
56
ng trình, b t ph
ng trình vô t gi i b ng nhi u cách
khác nhau…………………………………………………………..
3
69
Ch
ng 2. M T S
KHI GI I PH
SAI L M TH
NG G P C A H C SINH
NG TRÌNH, B T PH
NG TRÌNH VỌ T ầầầ 75
2.1. Sai l m trong bi n đ i làm th a nghi m c a ph
ph
ng trình………………………………………………………………
2.2. Sai l m trong bi n đ i làm thi u nghi m c a ph
ph
ng trình, b t
75
ng trình, b t
ng trình………………………………………………………………. 80
2.3. Sai l m trong bi n đ i v a làm th a nghi m v a làm thi u nghi m
c a ph
Ch
ng trình………………………………………………………….
ng 3. M T S
TRÌNH, B T PH
PH
NG PHÁP XÂY D NG PH
NG
NG TRÌNH VỌ T ầầầầầầầầầầầầ
87
87
3.1.
Xây d ng ph
ng trình vô t t h ph
3.2.
Xây d ng ph
ng trình, b t ph
ng trình đ i x ng lo i hai..
ng trình vô t d a vào ph
ng
trình đã bi t cách gi i………………………………………………
3.3.
Xây d ng ph
ng trình, b t ph
ng trình vô t d a vào ph
Xây d ng ph
ng trình, b t ph
Xây d ng ph
ng trình, b t ph
Xây d ng ph
trình l
3.7.
Xây d ng ph
Xây d ng ph
hàm ng
ng trình vô t d a vào ph
ng trình, b t ph
97
ng trình vô t d a vào nghi m
ng pháp nhân l
ng trình, b t ph
95
ng
ng giác…………………………………………………….
ch n s n và ph
3.8.
ng trình, b t ph
92
ng trình vô t d a vào tính đ n
đi u c a hàm s …………………………………………………….
3.6.
91
ng trình vô t t các h ng đ ng
th c…………………………………………………………………
3.5.
88
ng
trình tích……………………………………………………………
3.4.
85
ng liên h p……………………. 99
ng trình vô t b ng cách s d ng
c………………………………………………………….
101
K t lu nầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ... 103
TƠi li u tham kh oầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.
104
4
Thang Long University Libraty
M đ u
1. Lí do ch n đ tƠi
Ph
ng trình, b t ph
cu n nhi u ng
ýt
ng trình vô t
là đ tài lí thú c a
i say mê nghiên c u và t duy sáng t o đ tìm ra l i gi i hay,
ng phong phú và t i u. Chính vì v y mà các bài toán v ph
b t ph
ng trình vô t th
và k thi tuy n sinh
ng trình,
ng xuyên xu t hi n trong các k thi h c sinh gi i
i h c – Cao đ ng.
Bên c nh đó, h c sinh ph i đ i m t v i nhi u d ng toán ph
ph
i s , đã lôi
ng trình vô t mà các cách gi i ch a đ
trong sách giáo khoa (ph
c h th ng m t cách đ y đ
ng pháp hàm s , ph
ng pháp nh n xét – đánh giá,
ph
ng pháp đ t n ph , ph
th
ng xuyên g p ph i m t s sai l m khi gi i các bài toán d ng này. Vi c ch
ra các sai l m th
ng pháp l
ng trình, b t
ng giác…), đ ng th i các em
ng g p c a h c sinh, phân lo i và t ng h p các d ng bài
t p nh m phát tri n n ng l c cho m i đ i t
pháp gi i hay c ng nh ý t
ng h c sinh, tìm ra các ph
ng xây d ng các ph
vô t là m i quan tâm c a không ít ng
i.
ng trình, b t ph
ng trình vô t th
ng g p trong tr
ng trình
đáp ng nhu c u gi ng d y và
h c t p tác gi đã l a ch n đ tài: “ Nh ng d ng toán ph
ph
ng
ng trình, b t
ng trung h c ph thông” làm đ tài
nghiên c u cho lu n v n.
2. M c đích nghiên c u
tài nh m nghiên c u các ph
ng pháp gi i ph
trình vô t . D a vào cách gi i, đ a ra m t s h
b t ph
ng trình vô t .
ng trình, b t ph
ng đ xây d ng ph
ng th i h n ch các sai l m th
ng
ng trình
ng g p c a h c sinh
khi gi i các d ng toán trên.
3. Nhi m v nghiên c u
Nghiên c u các ph
ng trình, b t ph
trung h c ph thông.
5
ng trình vô t trong ch
ng trình
it
4.
Ph
ng vƠ ph m vi nghiên c u
ng trình, b t ph
ng trình vô t và các ph
th đ a ra nhi u cách khác nhau đ gi i m t ph
ng pháp gi i. T đó có
ng trình hay b t ph
ng
trình vô t .
5. Ph
Ph
ng pháp nghiên c u
ng pháp ch y u đ th c hi n lu n v n này là thu th p tài li u, các
ngu n tài li u này tôi thu th p đ
c t : các giáo trình, sách tham kh o, t p chí
chuyên ngành, các website chuyên ngành. Sau khi thu th p tài li u, tôi ti n
hành t ng h p, phân tích tài li u đ phù h p v i m c đích nghiên c u.
6. C u trúc lu n v n
Ngoài ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o, lu n v n g m ba
ch
ng:
Ch
ng 1: Ph
Ch
ng 2: Sai l m th
ng pháp gi i ph
ng trình, b t ph
ng trình vô t
ng g p c a h c sinh khi gi i ph
ng trình, b t ph
ng
trình vô t .
Ch
ng 3: M t s ph
ng pháp xây d ng ph
ng trình, b t ph
ng trình vô
t
M c dù đã c g ng r t nhi u và nghiêm túc trong su t quá trình nghiên
c u, nh ng do th i gian và trình đ h n ch nên k t qu đ t đ
c trong lu n
v n còn r t khiêm t n và không tránh kh i thi u sót. Vì v y tác gi mong
nh n đ
c ý ki n đóng góp, ch b o c a quý th y cô, các anh ch đ ng nghi p
đ lu n v n đ
c hoàn thi n h n.
HƠ n i 2016
6
Thang Long University Libraty
CH
PH
NG 1
NG PHÁP GI I PH
NG TRÌNH, B T PH
NG
TRÌNH VỌ T
1.1. Ph
ng pháp gi i ph
1.1.1. Ph
ng trình vô t
ng pháp bi n đ i t
N i dung chính c a ph
ng đ
ng
ng pháp này là th c hi n l y th a hai v v i
s m phù h p
Ta th
ng s d ng các phép bi n đ i t
B 0
A B
2n
A B
D ng 1:
2n
D ng 3:
2 n1
c m t ph
2n
A 0 v B 0
A 2n B
A B
B 0
A 0
D ng 4: A2 n B 0 B 0 v
ng trình 6 x 12 26 8x.
Phân tích: Bi n đ i ph
ta thu đ
ng sau:
D ng 2:
A B A B2n1
Ví d 1.1. Gi i ph
ng đ
ng trình v d ng
A B , sau đó bình ph
(1)
ng 2 v
ng trình b c hai.
L i gi i:
8 x 26 0
2
6 x 12 8 x 26
(1) 6 x 12 8 x 26
13
x
4
2
64 x 422 x 664 0
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.2. Gi i ph
Phân tích: Ph
L i gi i:
13
x 4
x 4.
83
x 4 ; x
32
ng trình đã cho là S 4.
ng trình x2 3x 2 x2 3 x 2 0.
ng trình có d ng c b n A B 0.
2
2 x 3x 2 0
(2) 2 x 3x 2 0 ho c 2
x 3x 0
2
7
(2)
1
1
1
x ; 2;
x 2 ; x ; x 3.
x 2; x ho c
2
2
2
x 3 ; x 0
K t lu n: T p nghi m c a ph
ng trình là S ; 2; 3.
1.1.2. Ph
ng g p
1
2
ng trình vô t th
D ng 1:
A B C 0.
B
c 1:
t đi u ki n xác đ nh
B
c 2: Chuy n v đ hai v đ u không âm t c là:
B
c 3: Bình ph
(1)
ng hai v ph
A C B.
(1.1)
ng trình (1.1) ta có:
A C 2 AC B 2 AC B A C .
D ng 2:
B
3
A 3 B 3 C .
c 1: L p ph
B
c 2: Th
3
3
(2)
ng hai v ph
A 3 B
ng trình (2) thu đ
3
3
3
C
A B 3 3 AB
A 3 B 3 C vào (2.1) ta thu đ
c:
3
A 3 B C.
c ph
ng trình h qu
A B 3 3 ABC C.
B
(2.1)
(2.2)
c 3: Ki m tra l i nghi m.
D ng 3:
A B C D , v i A C B D ho c AC BD.
B
c 1:
t đi u ki n xác đ nh
B
c 2: Bi n đ i ph
ng trình
A C D B
Chú ý: Bi n đ i t các ph
A C
2
D B
2
(3.1)
ng trình (2.1) sang (2.2) và t (3) sang (3.1) là
các bi n đ i h qu , do đó khi gi i xong ta c n thay th nghi m tr l i ph
trình đ bài đ ki m tra nh m tránh thu đ
Ví d 1.3. Gi i ph
ng
c nghi m ngo i lai.
ng trình 3x 4 2x 1 x 3.
(3)
8
Thang Long University Libraty
Phân tích: Bi n đ i ph
ph
ng trình v d ng
ng 2 v đ a v gi i ph
A B C , sau đó bình
ng trình b c hai.
1
2
L i gi i: i u ki n xác đ nh x .
(3) 3x 4 2 x 1 x 3
3x 4
2
2x 1 x 3
2
x 3 2 x 1 2 x 3 2 x 1 0
3x 4 2 x 1 x 3 2
1
x ; x 3.
2
1
ng trình là S .
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.4. Gi i ph
Phân tích: Ph
2
ng trình
x 3 3x 1 2 x 2 x 2.
ng trình có d ng
A B C D , v i A C B D, c
th : x 3 4 x 3x 1 2 x 2 5 x 3 nên ta bi n đ i ph
A C D B , sau đó bình ph
qu . Do đó sau khi tìm đ
(4)
ng hai v ta thu đ
ng trình thành
c ph
ng trình h
c các nghi m ta c n thay th nghi m vào ph
ng
trình đ bài đ nh n nghi m thích h p.
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 0.
(4) x 3 2 x 2 x 2 3x 1
2 x x 3
x3 2 x
2
2 x 2 3x 1
2
2 x 2 3x 1 4 x x 3 2 x 2 3x 1
x2 2 x 1 0 x 1.
ng trình là S 1.
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.5. Gi i ph
ng trình
Phân tích: Bi n đ i ph
l p
ph
a b
3
ng
hai
3
x 1 3 3x 1 3 x 1 0.
ng trình đ a v d ng c b n
v
và
th
ng
s
a 3 b3 3ab a b , r i thay th
3
9
d ng
3
(5)
A 3 B 3 C , sau đó
h ng
đ ng
A 3 B 3 C vào ph
th c
ng trình
thu đ
3
c sau khi l p ph
ng và gi i ph
ng trình h
qu
d ng
f x g x f x g x .
3
L i gi i: T p xác đ nh D .
(5) 3 x 1 3 3x 1 3 x 1
4 x 2 3 3 x 1 3 3x 1
Th
3
3
3
3
x 1 3 3x 1
3
x 1
x 1 3 3 x 1 x 1.
x 1 3 3x 1 3 x 1 vào (5.1), suy ra:
3
3
(5.1)
x 1 3 3x 1 3 x 1 x 1
3
2
x 1 3x 1 x 1 x 1 x 1 3x 1 x 1 x 1 0
x 1 4 x2 0 x 1; x 0.
Th l i: Thay x 1 và x 0 vào ph
K t lu n: T p nghi m c a ph
1.1.3. Ph
ng trình (5) đ u không th a mãn.
ng trình là S .
ng pháp bi n đ i thƠnh ph
N i dung chính c a ph
ng pháp này là s các phép bi n đ i, k t h p
v i vi c tách, ghép, nhóm đ đ a ph
ph
ng trình tích
ng trình đã cho v d ng tích các
ng trình đ n gi n h n và đã bi t cách gi i.
Ví d 1.6. Gi i ph
ng trình 3 3 2 x 1 5 3 x 1 3 2 x2 3x 1 15.
Phân tích: S d ng phân tích
3
2 x2 3x 1
3
(6)
2 x 1 x 1 và ghép t ng c p
l i v i nhau s xu t hi n nhân t chung và đ a đ
c v ph
ng trình tích s .
L i gi i: T p xác đ nh D .
(6) 3 3 2 x 1 5 3 x 1 3 2 x 1 x 1 15 0
3
3
3
2x 1 5 3 x 1
3
2x 1 5 0
3 2x 1 5
x 62
2x 1 5 3 3 x 1 0
x 26.
3 x 1 3
K t lu n: T p nghi m c a ph
ng trình là S 26; 62.
10
Thang Long University Libraty
Ví d 1.7. Gi i ph
ng trình
x2 2 x 2 x 1 2 x x
Phân tích: Sau khi đ t đi u ki n xác đ nh, ta bình ph
kh đ
2
3.
x
(7)
ng hai v và d dàng
c các c n th c.
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 0.
(7)
x 2x 2 x 1
2
2
2
2x x 3
x
2
2
x2 3x 2
x 6 x 4 4 x 2 x x 1 4 x x 3 4 x
x
x
2
2
2
x2 6 x 4 4 x x 2 x 1 4 x2 x
2
3 4 x x 1 x 2
x
2
1 5
3 x3 5 x2 x 2 0 3 x 2 x2 x 1 0 x ; x
.
3
2
K t lu n: K t h p v i đi u ki n, ph
ng trình đã cho có t p nghi m là
2 1 5
S ;
.
2
3
Ví d 1.8. Gi i ph
ng trình
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1.
Phân tích: Ta nh n th y x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
x 3 4 x 1 x 1 4 x 1 4
(8)
x 1 1
2
và
2
x 1 2 , t đó ta có cách gi i sau.
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 1.
(8)
+) N u
2
x 1 1
x 1 2
x 1 2 x 5 thì ph
2
1
x 1 1
x 1 2 1
ng trình (*) có d ng:
x 1 1 x 1 2 1 x 1 2 x 5 (th a mãn).
+) N u
x 1 1 x 2 thì ph
ng trình (*) có d ng:
1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 x 2 (th a mãn).
11
(*)
+) N u 1 x 1 2 2 x 5 thì ph
ng trình (*) có d ng:
x 1 1 2 x 1 1 1 1 (luôn đúng).
K t lu n: Ph
1.1.4. Ph
Nhân l
ng trình đã cho có t p nghi m là S 2; 5.
ng pháp nhơn l
ng liên h p
ng liên h p là m t hình th c tr c c n th c b ng h ng đ ng th c đ
sau khi nhân l
ng liên h p, ta bi n đ i ph
ng trình đã cho v d ng tích s ,
sau đây là các d ng c b n:
Bi u th c
3
3
3
3
Bi u th c liên h p
Bi n đ i
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B2
A B
A B
A B
A B
A 3 B
A 3 B
A B
A B
3
3
3
3
A B
A2 3 AB 3 B2
A2 3 AB 3 B2
A2 3 AB B2
A2 3 AB B2
3
3
3
3
A B2
A B
A 3 B
A 3 B
A B
A B
A B
3
A2 3 AB 3 B2
3
A 3 AB 3 B2
A B
2
A B3
3
A2 3 AB B2
A B3
3
A2 3 AB B2
Chú ý: Các bi n đ i sau khi nhân liên h p v i đi u ki n m u s khác 0.
Tr
ng h p 1: Ghép hai c n th c đ liên h p vƠ phơn tích bi u th c còn
l i
Ví d 1.9. Gi i ph
ng trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 9 x 3.
(9)
12
Thang Long University Libraty
Phân tích: Ta nh n th y
2
4 x2 5 x 1 2 x2 x 1
t chung v i v ph i c a ph
2
9 x 3 s có nhân
ng trình, nên ta ghép hai c n th c l i v i nhau
đ nhân liên h p, t đó ta có cách gi i sau.
L i gi i:
1
4 x2 5 x 1 0
x
i u ki n xác đ nh 2
4
1
0
x
x
x 1.
4x
(9)
2
5 x 1 4 x2 x 1
4 x2 5 x 1 2 x2 x 1
9x 3
4 x 5x 1 2 x x 1
2
2
9x 3
9 x 3 0
1
9 x 3
1 0
2
2
4 x 5x 1 2 x x 1
x
1
ho c
3
Ta s ch ng t ph
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1
ng trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1 vô nghi m.
Th t v y, v i đi u ki n xác đ nh c a ph
ng trình ta có
2
1 3
3
3
4 x 5x 1 0 và 2 x x 1 2 x 2
2 4
4
2
2
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 3 1.
Do đó ph
ng trình
4 x2 5x 1 2 x2 x 1 1 vô nghi m.
1
3
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.10. Gi i ph
ng trình
ng trình đã cho là S .
Phân tích: m c đích c a vi c nhân l
t chung đ đ a ph
h p, sau khi ta nhân l
x 5 x 2 1 x2 7 x 10 3.
ng liên h p là ta xác đ nh l
(10)
ng nhân
ng trình v d ng tích s . Nh ng trong m t s tr
ng liên h p ta thu đ
ng
c m t bi u th c không ch a
bi n x nh m chuy n bài toán v d ng đ n gi n h n. C th đ i v i bài này, ta
13
th y:
x5
2
x 2
2
3 đã kh đ
c bi n x nên ta s ti n hành nhân
liên h p.
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 2.
(10) 3 1 x2 7 x 10 3
x 5 x 2 1
x5
x 5 x 2 0
x 2 1
x 2 1
x5 x 2
x 2 1 0
x 5 1 0
x 2 1 x 1
x 5 1 x 4.
ng trình đã cho là S 1.
K t lu n: T p nghi m c a ph
Tr
ng h p 2: Thêm, b t h ng s đ liên h p
B ng cách nh m nghi m c a ph
Casio, n u ph
ng trình, có s h tr c a máy tính c m tay
ng trình có nghi m h u t và duy nh t thì ta ti n hành thêm
b t h ng s đ ghép v i các c n th c, sau đó nhân liên h p.
Ví d 1.11. Gi i ph
ng trình
x 3 5 x 2 x2 7 x 2 0.
(11)
Phân tích: Khi ghép hi u c a hai bi u th c trong c n v i nhau ta thu đ
c
bi u th c: 2 x 8 , không có nhân t chung v i bi u th c ngoài c n. Lúc này ta
s d ng máy tính c m tay Casio, lo i fx – 570 VN plus ho c các máy tính
khác có tính n ng t
ng đ
ng, đ d đoán nghi m c a ph
cách nh p vào máy tính bi u th c:
ng trình b ng
X 3 5 X 2 X 2 7 X 2 và b m
phím: Shift solve 4 (4 là s nguyên b t k trong kho ng xác đ nh ), thì cho ta
nghi m X = 4.
l i c u trúc:
ki m tra xem ph
ng trình còn nghi m hay không, ta s a
X 3 5 X 2 X 2 7 X 2 : X 4 và ti p t c b m Shift
solve 4, khi này máy tính hi n th k t qu là Can’t solve, ch ng t ph
ng
14
Thang Long University Libraty
trình có nghi m duy nh t x = 4. Lúc này ta ghép các c n th c c a ph
trình
v i
các
x3 m
h ng
s
đ
liên
h p,
t c
là
ta
ng
ghép
5 x n 2 x2 7 x 2 (m n) 0 , trong đó m, n là giá tr
c a các c n th c t
ng ng t i x = 4, ngh a là:
m x 3 4 3 1; n 5 x 5 4 1.
L i gi i: i u ki n xác đ nh 3 x 5.
(11)
x 3 1
5 x 1 2 x2 7 x 4 0
4 x
x 4
x 4 2 x 1 0
5 x 1
x 3 1
1
1
x 4
2 x 1 0
5 x 1
x 3 1
x 4 ho c
Xét f x
Suy ra ph
1
1
2 x 1 0.
x 3 1
5 x 1
(11.a)
1
1
1
1
2x 1
1
2x
x 3 1
5 x 1
5 x 1
x 3 1
x3
1
2 x 0, x 3;5.
x 3 1
5 x 1
ng trình (11.a) vô nghi m v i m i x 3;5.
ng trình đã cho là S 4.
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.12. Gi i ph
ng trình
3
x 4 2 x 7 x2 8x 13 0.
Phân tích: S d ng máy tính Casio, nh n th y ph
ng trình có nghi m duy
nh t x = -3, nên s ghép thêm h ng s v i c n th c đ nhân liên h p.
7
2
L i gi i: i u ki n xác đ nh x .
(12)
3
x 4 1
2 x 7 1 x2 8 x 15 0
15
(12)
x 4 1
3
x 4
x 3
2
3
3 x 4 1
2x 7 1
2x 7 1
x 3 x 5 0
2
x 5 0
2
2x 7 1
x 4 3 x 4 1
1
x 3 (th a mãn đi u ki n).
do
3
x 4
1
2
3 x 4 1
ng trình đã cho là S 3.
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.13. Gi i ph
Phân tích:
thông th
ax
2
2
7
x 5 0, x .
2
2x 7 1
ng trình 2 x3 3x2 17 x 26 2 x 1.
gi i ph
ng trình vô t b ng ph
ng ta bi n đ i ph
ng trình v
(13)
ng pháp nhân liên h p,
d ng
ax b A x 0 ho c
bx c A x 0 trong đó A x 0 vô nghi m v i m i x thu c t p xác
đ nh. Tuy nhiên trong nhi u bài toán đ ch ng minh ph
vô nghi m chúng ta c n k t h p v i ph
ng trình A x 0
ng pháp đánh giá đ gi i quy t tr n
v n nó. Nguyên nhân là sau khi th c hi n phép bi n đ i liên h p, đ i l
A x ch a các bi u th c có d u ng
ng
c nhau. T đó ta n y sinh ý t
ng truy
c d u bi u th c trong A x đ đ a v cùng m t d u làm cho đ i l
A x này hi n nhiên d
gi i ph
ng
ng
ng (ho c âm) v i m i x thu c t p xác đ nh. Ta s
ng trình (13) đ minh h a cho cách làm này.
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 1.
(13) x 1
x 1
x 1 2 2 x3 3 x2 18 x 27 0
x3
x 3 2 x2 9 x 9 0
x 1 2
x 1
x 3
2 x2 9 x 9 0
x 1 2
16
Thang Long University Libraty
x 3 (do
x 1
2 x2 9 x 9 0, x 1.
x 1 2
K t lu n: T p nghi m c a ph
Tr
ng trình đã cho là S 3.
ng h p 3: Thêm, b t m t nh th c b c nh t đ liên h p
i v i các ph
ng trình có nhi u h n m t nghi m, nghi m là s vô t hay
h u t , ta s ghép thêm m t nh th c b c nh t: ax b đ nhân l
Vi c tìm ra bi u b c nh t đ
Ví d 1.14. Gi i ph
ng liên h p.
c trình bày thông qua các ví d sau đây.
ng trình 3x 1 5x 4 3x2 x 3 0.
(14)
Phân tích:
S d ng máy tính Casio, ta nh p vào
Shift solve 0, thì máy tính cho ta đ
còn
nghi m
hay
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 và b m
c nghi m X=0.
không,
ta
s a
ki m tra ph
l i
c u
ng trình
trúc
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 : X và ti p t c b m Shift solve 0, máy tính
cho ta thêm m t nghi m n a X = 1. Ti p t c nh p vào máy tính
3 X 1 5 X 4 3 X 2 X 3 : X X 1 và b m Shift solve 1, lúc này
máy tính hi n th k t qu Can’t solve. Do đó ph
ng trình s có hai nghi m
v i nhân t chung là x x 1 x2 x , nên ta ghép vào các nh th c b c nh t
cho t ng c n th c đ
nhân liên h p. C
th : 3 x 1 ax b ,
5 x 4 cx d , v i a , b, c, d th a mãn h :
x 0 1 3x 1 ax b a .0 b
a 1
x 1 2 3x 1 ax b a .1 b b 1.
+ ) Khi
x 0 2 5 x 4 cx d c.0 d
c 1
d 2.
x 1 3 5 x 4 cx d c.1 d
+ ) Khi
1
3
L i gi i: i u ki n xác đ nh x .
17
1
3
V i x 3x 1 x 1 0; 5 x 4 x 2 0. Do đó:
(14) 3x 1 x 1 5 x 4 x 2 3x2 3x 0
3x 1 x 1 5 x 4 x 2
3x 1 x 1
5x 4 x 2
2
2
3x2 3x 0
x x2
x x2
3 x x2 0
3x 1 x 1
5x 4 x 2
1
1
x x2
3 0
5x 4 x 2
3x 1 x 1
x x2 0 , ( do
1
1
1
3 0, x ).
3
3x 1 x 1
5x 4 x 2
x 0 ho c x 1 (th a mãn đi u ki n).
K t lu n: T p nghi m c a ph
ng trình đã cho là S 0; 1.
Ví d 1.15. Gi i ph
x 3 x x2 x 2.
ng trình
(15)
Phân tích:
S d ng máy tính Casio, ta nh p vào
solve 2 , thì máy tính cho ta đ
X 3 X X 2 X 2 và b m Shift
c nghi m vô t X = 2,6180…. Khi đó ta s
d ng tính n ng table c a máy tính đ tìm ra nhân t chung là tam th c b c
hai nh
sau: Gán bi n X A (thao tác trên Casio: SHIFT/RCL/(-
)/MODE/7), nh p vào hàm f X A2 AX , nh n d u “=”, b qua hàm
g(X), máy tính hi n th Start ?, ta nh p vào s -9, nh n d u “=”, máy tính
hi n th End ?, ta nh p vào s 9, Step 1, nh n d u “=”, máy tính hi n th m t
b ng, ta nhìn vào c t X và F(X) và quan tâm đ n dòng có giá tr nguyên. V i
bài này ta có X = 3, F(X) = -1, suy ra ph
ng trình có nhân t chung là
x2 3 x 1 ( 3 c a c t X là h s b, -1 c a c t F(X) là h s c trong nhân t
X 2 bX c ). Khi đó ta tìm các h s
m,n,p,q th a mãn: x mx n ,
18
Thang Long University Libraty
3 x px q , đ sau khi nhân l
ng liên h p ta đ
c th a s chung nh
đã d đoán
trên. S d ng ch c n ng TABLE c a máy tính Casio ta tìm m,
n, p, q nh
sau: Sau khi gán bi n X A, ta b m MODE SETUP/ 7/
A AX (nh p vào giá tr c a hàm f(X)), nh n d u “=”, b qua hàm g(X),
máy tính hi n th Start ?, ta nh p vào s -9, nh n d u “=”, máy tính hi n th
End ?, ta nh p vào s 9, Step 1, nh n d u “=”, máy tính hi n th m t b ng,
ta nhìn vào c t X và F(X) và quan tâm đ n dòng có giá tr nguyên. V i bài
này ta có X = 1, F(X) = -1, suy ra m = 1, n = -1. Làm t
ng t ta tìm đ
cp
= 1, q = -2.
L i gi i: i u ki n xác đ nh 0 x 3.
Nh n xét: do v trái c a ph
nghi m khi
ng trình (15) luôn d
ng, nên ph
ng trình có
x 3 x x2 x 2 0 x 2 ho c x 1 , k t h p v i đi u
ki n, suy ra 2 x 3. V i đi u ki n kéo theo đó ta có
3 x x 2 0 do đó ph
x x 1 0 ,
ng trình
(15) x x 1 3 x x 2 x2 3x 1
x x 1
3 x x 2
x x 1
3 x x 2
2
2
x2 3x 1
x2 3x 1
x2 3x 1
x2 3x 1
x x 1
3 x x 2
1
1
x2 3x 1
1 0
3 x x 2
x x 1
x2 3x 1 0 (do
x
1
1
1 0, x 2;3 ).
x x 1
3 x x 2
3 5
3 5
(th a mãn), ho c x
(lo i).
2
2
19
3 5
.
2
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.16. Gi i ph
ng trình đã cho là S
ng trình 3 12 x2 46 x 15 3 x3 5x 1 2 x 2.
Phân tích: s d ng máy tính Casio ta tìm đ
xem ph
3
c nghi m X = 2.
(16)
ki m tra
ng trình còn nghi m hay không ta nh p vào máy tính bi u th c:
12 X 2 46 X 15 3 X 3 5 X 2 1 2 X 2 : X 2 và b m Shift solve 2 , thì
máy tính cho ta đ
c nghi m vô t X = 0,4142…. Khi đó ta s d ng tính n ng
table c a máy tính đ tìm ra nhân t là x2 2 x 1 .Hi n nhiên ph
ng trình
đã cho có nhân t d ng:
x 2 x2 2 x 1 . Ti p t c s d ng tính n ng
table c a máy tính ta tìm đ
cl
ng liên h p cho các c n th c.
L i gi i: T p xác đ nh x .
t 3 12 x2 46 x 15 a ;
3
x3 5x 1 b; 2 x 1 c
(16) 3 12 x2 46 x 15 2 x 1
12 x
2
46 x 15 2 x 1
a 2 ac c 2
3
x
3
3
x3 5 x 1 1 0
5 x 1 1
b2 b 1
0
8 x3 40 x 16 x3 5 x 2
2
0
a 2 ac c 2
b b 1
8
1
x3 5 x 2 2
2
0
2
a ac c b b 1
x3 5 x 2 0 (do
1
8
2
0, a , b, c ).
2
a ac c b b 1
2
x 2; x 1 2.
K t lu n: T p nghi m c a ph
1.1.5. Ph
ng trình đã cho là S 2; 1 2 .
ng pháp đ t n ph
N i dung c a ph
ng pháp này là đ t m t bi u th c có ch a c n th c
b ng m t bi u th c theo n m i mà ta g i là n ph , r i chuy n ph
ng trình
20
Thang Long University Libraty
đã cho v ph
ng trình v i n ph v a đ t, gi i ph
tìm nghi m, r i thay vào ph
ng trình theo n ph đ
ng trình v a đ t đ tìm nghi m theo n ban đ u.
Nh n xét: có nhi u cách đ t n ph , tùy thu c vào kinh nghi m phát hi n ra
m i quan h đ c thù gi a các đ i t
ng tham gia trong ph
là m t s tr
ng g p.
ng h p đ t n ph th
ng trình. Sau đây
t m t n ph
1.1.5.1.
Tr
ng h p 1: ph
Ph
ng pháp gi i
ng trình có d ng af x b n f x c 0.
-
t đi u ki n xác đ nh.
-
t
n
- Tìm đ
f x t f x t n , sau đó đ a v gi i ph
ng trình n t .
c t , thay tr l i tìm x .
Ví d 1.17. Gi i ph
ng trình x x 4 x2 4 x x 2 2.
2
Phân tích: Nh n th y r ng các bi u th c ch a
(17)
n ngoài c n th c là
x x 4 x2 4 x , và x 2 x2 4 x 4 có m i liên h v i bi u th c trong
2
c n, do đó ti n hành đ t n ph .
L i gi i: i u ki n xác đ nh x2 4 x 0 0 x 4.
t
Ph
x2 4 x t , t 0 x2 4 x t 2 x2 4 x t 2 .
ng trình (17) tr thành:
t 2 .t t 2 2 0 t 3 t 2 2 0 t 1 t 2 2t 2 0
t 1 (do t 2 2t 2 0, t ).
V i t 1 , suy ra
x2 4 x 1 x2 4 x 1 0 x 2 3.
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.18. Gi i ph
ng trình đã cho là S 2 3 .
ng trình 6 x2 2 x 3 3x2 x 4 10 0.
21
(18)
Phân tích: Nh n th y n u đ t t 3 3x2 x 4 thì bi u th c có ch a bi n s
ngoài c n th c 6 x2 2 x 2 3x2 x và t có m i liên h v i nhau, vì v y ta có
cách gi i sau.
L i gi i: T p xác đ nh D .
t t 3 3x2 x 4 , suy ra t 3 3x2 x 4 3x2 x t 3 4
Ph
ng trình đã cho tr thành
2 t 3 4 t 10 0 2t 3 t 18 0 t 2 2t 2 4t 9 0
t 2 (do ph
ng trình 2t 2 4t 9 0 vô nghi m).
4
3
V i t 2 ta có 3 3x2 x 4 2 3x2 x 4 0 x 1 ho c x .
K t lu n: T p nghi m c a ph
Ví d 1.19. Gi i ph
4
3
ng trình đã cho là S ;1.
ng trình 5 x
5
2 x
2x
1
4.
2x
(19)
Phân tích:
1
1
i v i bài toán có d ng thu n ngh ch lo i f x ; x2 2 0 ,
x
x
1
x
ta có th gi i b ng cách đ t n ph t x t 2 x2
1
2
x2
L i gi i: i u ki n xác đ nh x 0.
1
1
(19) 5 x
2 x 4x 4
2 x
t
x
1
2 x
t t2 x
1
1
1 x
t 2 1.
4x
4x
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:
Khi đó, ph
x
1
2 x
2
x
1
2 x
2 t 2.
ng trình (19) tr thành:
5t 2 t 2 1 4 2t 2 5t 2 0 t 2 (th a mãn), ho c t
1
(lo i).
2
22
Thang Long University Libraty
V i t 2 , ta có
1
x
2 x
x
x
2 2x 4 x 1 0
2 2
ho c
2
x
2 2
2
3 2 2
3 2 2
.
ho c x
2
2
K t lu n: T p nghi m c a ph
3 2 2
.
2
ng trình đã cho là S
Nh n xét: Nhìn chung, đ i v i bài toán gi i ph
s ) b ng ph
ng trình (không ch a tham
ng pháp đ t n ph , ta không nh t thi t ph i đ t đi u ki n cho
n ph . Khi đó, sau khi tìm đ
c giá tr c a n ph ta có th gi i ph
ng trình
vô nghi m.
Ví d 1.20. Gi i ph
ng trình
x 1 x2 4 x 3
x 2
Phân tích: Trong nhi u bài toán, phép đ t n ph ch đ
3
.
(20)
c xác đ nh thông
qua các phép bi n đ i, ch ng h n: Phép chia, phép l y th a, phép đ ng
nh t….
i v i ph
L i gi i:
ng trình này, sau khi l y th a hai v , ta s đ t n ph .
x 1 0
i u ki n xác đ nh x2 4 x 3 0 x 1.
x 2 0
(20)
x 1 x2 4 x 3
2
x 2
3
x 1 x2 4 x 3 2 x 1. x2 4 x 3 x3 6 x2 12 x 8
x3 5 x2 7 x 3 2 x3 5 x2 7 x 3 1 0
t
Ph
x3 5x2 7 x 3 t 0 x3 5x2 7 x 3 t 2
ng trình đã cho tr thành: t 2 2t 1 0 t 1
V i t 1 , ta có
x3 5x2 7 x 3 1 x3 5x2 7 x 2 0
23
x 2 x2 3x 1 0 x 2; x
3 5
.
2
3 5
.
2
K t lu n: T p nghi m c a ph
ng trình đã cho là S
Tr
ng h p 2:
Ph
ng trình có d ng a f x b g x 2ab f x g x h x .
Ph
ng pháp gi i
-
t đi u ki n xác đ nh.
-
t a f x b g x t , và bi n đ i ph
ng trình đã cho v ph
ng
trình n t .
- Tìm đ
c t , thay tr l i tìm x .
Ví d 1.21. Gi i ph
ng trình 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3x.
Phân tích: S d ng phân tích
3 2 x 6 2 x 3
4 x2
(21)
2 x 2 x , đ ng th i bi n đ i
2 x 2 2 x , khi đó ta ti n hành đ t n ph .
2 x 0
2 x 2.
x
2
0
L i gi i: i u ki n xác đ nh
(21) 10 3x 4 4 x2 3
t
2 x 2 2 x 0
2 x 2 2 x t t 2 10 3x 4 4 x2
Khi đó ph
ng trình (21) tr thành t 2 3t 0 t 0 ho c t 3.
V i t 0 ta có
2 x 2 2 x 0 2 x 2 2 x
2 x 4 2 x x
V i t 3 ta có
6
(th a mãn).
5
2 x 2 2 x 3 2 x 3 2 2 x
2 x 3 2 2 x
2
5x 15 12 2 x
24
Thang Long University Libraty
5 x 15 0
x3
(vô nghi m).
2
2
x
x
25
6
63
0
x
x
5
15
144
2
K t lu n: T p nghi m c a ph
1.1.5.2.
Tr
Ph
5
t nhi u n ph
ng h p 1:
Xét ph
6
ng trình đã cho là S .
t hai n ph đ a v gi i h ph
ng trình
ng trình có d ng a n f x b m f x c.
ng pháp gi i
-
t đi u ki n xác đ nh.
-
t
n f x u
u n f x u n vm
m
v
f
x
m f x v
au bv c
- Gi i h ph
ng trình trên, tìm đ
Ví d 1.22. Gi i ph
c u , v và thay tr l i tìm x .
ng trình 5 4 x 3 x 7 3
5
4
L i gi i: i u ki n xác đ nh x .
a 5 4 x 0
a 2 5 4 x
3
a 2 4b3 33
t
3
b x 7
b x 7
Thay a , b vào ph
Khi đó, ta có h ph
ng trình đã cho ta có: a b 3
a 2 4b3 33
ng trình
a b 3
2
3
2
3 b 4b3 33 4b b 6b 24 0
a 3b
a 3b
b 2 4b 2 9b 12 0
a 3b
b 2
a 1.
3
b 2
x 7 2
V i
x 1 (th a mãn).
5
4
1
x
a 1
25
(22)
