Biện luận PT mũ và logarit

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng
xlogy
a
=
( a > 0,
1a
≠
)
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số nghịch biến.
.
1alog
a
=
,
01log
a
=

,
x)a(log
x
a
=
,
xa
xlog
a
=
.
2a1a21a
xlogxlog)x.x(log
+=
.
2a1a
2
1
a
xlogxlog
x
x
log −=
.
)0x,Rm(xlogmxlog
a
m
a
>∈=
.

)0,0x(xlog
1
xlog
a
a
≠α>
α
=
α
.
)0x,1b,a,b,a0(xlog.blogxlog
baa
>≠<=
.
alog
1
blog
b
a
=
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
.
blogxlog
aa
=
(a > 0, a
≠
1, b > 0)

⇔
x = b
.
c
a
axcxlog
=⇔=
(x > 0, a > 0, a
≠
1)
. Dạng tổng quát:
)x(hlog)x(flog
)x(g)x(g
=
⇔



>=
≠>
0)x(h)x(f
1)x(g,0)x(g
3. Phương pháp giải:
a. Phương pháp mũ hoá ( chuyển về cùng 1 cơ số):
Ví dụ 1. Giải phương trình:
)1(xlogxlogxlogxlog
10432
=++
Giải.
đk: x > 0

Ta biến đổi về cùng cơ số 2:
xlog.logxlog
233
2
=
;
xlog.logxlog
244
2
=
;
xlog.logxlog
21010
2
=
(1)
⇔

02221
10432
=−++
)logloglog(xlog

⇔

0
2
=
xlog

⇔
x = 1.
Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình
3
4
1
3
4
1
2
4
1
)6x(log)x4(log3)2x(log
2
3
++−=−+
(1)
Giải.
Ta có:
222
4
1
2
4
1
+=+
xlog)x(log
xlog)x(log
−=−
434

4
1
3
4
1
636
4
1
3
4
1
+=+
xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02
x
x
x
⇔




<<−
−<<−
42
26
x
x
(1)
⇔
)x(log)x(logxlog 6343323
4
1
4
1
4
1
++−=−+

⇔
)]x)(x[(logxlog 6412
4
1
4
1
+−=−+

⇔

)]x)(x[(logxlog 6424

4
1
4
1
+−=+

⇔
06424
>+−=+
)x)(x(x
⇔



−+=+
+−−=+
24224
24224
2
2
xx)x(
xx)x(

⇔




=−−
=−+

0222
0166
2
2
xx
xx

⇔






±=
−=
=
331
8
2
x
x
x

⇒
nghiệm:



−=

=
331
2
x
x
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình:
2x3xlog
2
32
+−
+
+
1xlog
32
−
−
=
[ ]
)2x(alog
347
+
−
, a > 0 (1)
Giải.
Đk:
2
x
– 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0
⇒
x > 2

Ta có:
))(( 3232
−+
= 1
⇒

1
32
−
−
xlog
=
1
1
32
−
−
+
xlog
)(
=
1
32
−−
+
xlog
23
2
32
+−

+
xxlog
+
1
32
−
−
xlog
=
1
23
2
32
−
+−
+
x
xx
log
=
)x(log 2
2
1
32
−
+
[ ]
)x(alog 2
347
+

−
=
[ ]
)x(alog
)(
2
2
32
+
−
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+
−
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+
(1)
⇔

)x(log 2

2
1
32
−
+
=
[ ]
)x(alog 2
2
1
32
+−
+

⇔
x – 2 =
[ ]
1
2
−
+
)x(a

⇔

2
x
– 4 =
a
1

⇔

2
x
= 4 +
a
1
a > 0
⇒
nghiệm: x =
a
1
4
+±
.
x > 2
⇒
x =
a
1
4
+
.
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình:
a)
)(log
x
44

1
2
+
+
.
)(log
x
14
2
+
=
8
1
2
1
log
b)
3
x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3

+
2
1
c)
)x(log
x
125
.
xlog
2
25
= 1
d)
)xsin
x
(sinlog
−
2
3
+
)xcos
x
(sinlog 2
2
3
1
+
= 0. (Đề 3)
2) Xác định m để phương trình:
)mmxx(log

22
4
4222
−+−
+
)mmxx(log
22
2
1
2
−+
= 0
có nghiệm
1
x
,
2
x
thoả mãn:
2
1
x
+
2
2
x
> 1.
Hướng dẫn:
pt
⇔

)mmxx(log
22
2
4222
−+−
=
)mmxx(log
22
2
2
−+
⇔



>−+
−+=−+−
02
2422
22
2222
mmxx
mmxxmmxx
⇔



>−+
=−++−

02
0221
22
22
mmxx
mmx)m(x

⇔





>−+



−=
=
)(mmxx
mx
mx
202
1
2
22
2
1
phương trình có 2 nghiệm
1

x
,
2
x
nên
1
x
,
2
x
điều kiện (2)
⇒
– 1 < 0
≠
m <
2
1
2
1
x
+
2
2
x
> 1
⇒







<<
<<−
2
1
5
2
01
m
m
3) Tìm a để phương trình
)x(log
)ax(log
1
5
5
+
= 2 có nghiệm duy nhất. (đề 120)
Hướng dẫn:
pt
⇔





+=
≠+>+
>

2
55
1
1101
0
)x(log)ax(log
x;x
ax
⇔
2
x
+ (2 – a)x + 1 = 0 (2)
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:



≠<−
>
01
0
x
ax
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)
b. Phương pháp biến đổi hoặc đặt ẩn số phụ:
Ví dụ 1. Giải phương trình
[ ]
)x(log
)x(
14
2

1
−
−
= 8
3
1)x(
−
Giải.
Đk:



>−
>−
01
014
x
)x(
Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được:
[ ]
)x(log
)x(log
14
2
2
1
−
−
=
[ ]

3
2
18 )x(log
−

⇔

[ ]
)x(log 14
2
−
.
)x(log 1
2
−
= 3 + 3
)x(log 1
2
−

⇔

[ ]
)x(log 12
2
−+
.
)x(log 1
2
−

= 3 + 3
)x(log 1
2
−
(1)
Đặt t =
)x(log 1
2
−

⇒
(1)
⇔

2
t
– t – 3 = 0.
⇒
phương trình có nghiệm:
2
131
1
−
=
t
;
2
131
2
+

=
t
.
2
131
1
−
=
t

⇒

2
131
1
21
−
+=
x
.
2
131
2
+
=
t

⇒

2

131
2
21
+
+=
x
Ví dụ 2. Giải phương trình
2.
2
2
2
)x(
−
=
)x(log 2
2
Giải.
Đk:



≥−
>
02
02
x
x

⇒

2
≥
x
Đặt
1
2
−
x
= y;
2
≥
y

⇒
x =
ylog
2
+ 1
⇒
Ta được hệ phương trình:



=
=
ylogx
xlogy
2
2
2

2

⇔



=
=
y
x
x
y
22
22

⇔
y.
y
2
= x.
x
2
(1)
Xét hàm số: f(z) = z.
z
e
; f'(z) =
z
e
+ 2

z
e
> 0
2
≥∀
z
f(z) đồng biến trên [2;
∞+
). Từ (1)
⇔
x = y
⇒

x
x
22
=
.
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y =
x
2
tại 2 điểm:
1
x
= 1;
2
x
= 2.
từ
2

≥
x

⇒
x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
9
2
log
x
=
2
x
.
xlog
2
3
–
3
2
log
x
(1)
Giải.
Đk: x>0
áp dụng công thức:
clog
b
a
=

alog
b
c
(1)
⇔

xlog
2
9
=
2
x
.
xlog
2
3
–
xlog
2
3

⇔

xlog
2
3
=
2
x
– 1.

Đặt t =
xlog
2

⇒

t
3
+ 1 =
t
4

⇔

t






4
3
+
t







4
1
= 1 (2)
Xét f(t) =
t






4
3
+
t






4
1
là hàm nghịch biến
⇒
(2) có nghiệm duy nhất t = 1
⇒
x = 2 là
nghiệm của (1)

Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a)
)xx(log 1
2
2
−−
)xx(log 1
2
3
−+
=
1
2
6
−−
xxlog
b)
)(log
x
13
3
−
)(log
x
33
1
3
−
+

= 6
c)
xloglog
24
+
xloglog
42
= 2
d)
3
x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
2) Giải và biện luận theo a
a)
axlog
x
.

xlog
a
= –
2
b) (
xlog
a
2
+ 2).
alog
xa
2
=
alog
x
a
x
log
a
2
3) Cho phương trình: (m – 3)
)x(log 4
2
2
1
−
– (2m + 1)
)x(log 4
2
1

−
+ m + 2 = 0
tìm m để phương trình có 2 nghiệm
21
x,x
thoả mãn 4 <
1
x
<
2
x
< 6
c. Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất: