luận văn thạc sĩ tuán học ĐỊNH lý SARD nửa đại số CHO tập GIÁ TRỊ tới hạn SUY RỘNG

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP
GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC

NGUYỄN HUYỀN TRANG

ĐỊNH LÝ SARD NỬA ĐẠI SỐ CHO TẬP
GIÁ TRỊ TỚI HẠN SUY RỘNG

Chuyên ngành: Hình học và tô pô
Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS ĐINH SĨ TIỆP

Hà Nội - 2015


2

Lời nói đầu
Định lý Sard là một trong những định lý quan trọng, và được sử dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Định lý Sard được
phát biểu như sau:
Định lý: Cho f : Rn → Rk là ánh xạ khả vi vô hạn, U là tập mở trong
Rn . Đặt Σ = {x ∈ U : rank (dfx ) < k}, tập các điểm tới hạn của f . Khi
đó K0 (f ) = f (Σ) ⊂ Rk , tập các giá trị tới hạn của f , có độ đo Lebesgue
bằng không.
Nếu Σ = ∅ (f (Σ) = ∅) và f là riêng thì theo định lý phân thớ Ehresmann, f là phân thớ tầm thường địa phương. Hơn nữa nếu Σ = ∅ và f
là riêng thì f là phân thớ tầm thường địa phương trên Rk \f (Σ).
Gọi B (f ) là tập các y ∈ Rk sao cho f không phải là phân thớ tầm
thường địa phương tại y, hay tập các giá trị rẽ nhánh của f . Dễ thấy
B (f ) ⊇ K0 (f ). Nếu f không riêng, nói chung B (f ) = K0 (f ) (Xem Ví
dụ 3.24). Việc đặc trưng B (f ) vẫn là một câu hỏi mở ngay cả cho trường
hợp f là đa thức.
Xét f : Rn → Rk là ánh xạ nửa đại số, khả vi vô hạn. Theo [8],
B (f ) ⊂ K (f ) = K0 (f ) ∪ K∞ (f ) với K∞ (f ) là tập các giá trị tới hạn
tại vô hạn của f được định nghĩa như sau





k
n

 y ∈ R : ∃xl ∈ R , xl → ∞,
K∞ (f ) =


 f (xl ) → y, (1 + xl )ν(df (xl )) → 0
với ν là hàm Rabier (xem Định nghĩa 3.2).
Mục đích chính của luận văn này là tìm hiểu Định lý Sard nửa đại
số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng K (f )(Định lý 4.1). Định lý này
khẳng định tập K∞ (f ) là một tập "bé"(có độ đo Lebesgue bằng 0) và
do đó f là phân thớ tầm thường địa phương trên một tập đủ lớn mà cụ
thể hơn là tập nửa đại số mở trù mật của Rk .
Luận văn cấu trúc gồm bốn chương. Chương 1 trình bày kiến thức
về Giải tích hàm và Hình học vi phân. Chương 2 trình bày khái niệm
cơ bản của hình học nửa đại số như tập nửa đại số, hàm nửa đại số và
trình bày Định lý Tarski-seidenberg và một số hệ quả. Chương 3 trình
bày về hàm Rabier, tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị rẽ


3

nhánh. Trong Chương 3 tác giả cũng trình bày kỹ một vài ví dụ minh
họa cho các tập trên. Chương 4 trình bày nội dung và chứng minh cụ
thể của Định lý Sard nửa đại số cho tập các giá trị tới hạn suy rộng.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Đinh Sĩ Tiệp.

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy, người hướng
dẫn khoa học của mình, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá
trình nghiên cứu của tôi. Đồng thời tôi cũng xin được chân thành cảm
ơn các thầy cô phản biện đã đọc kỹ bản thảo luận văn và chỉ dẫn cho
tôi những ý kiến quý báu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học-Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam, Trung tâm đào tạo sau đại học và các thầy cô trong tổ
hình học và topo đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ tục hành
chính để tôi hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình, người thân và
bạn bè về những lời khích lệ động viên tôi trong suốt quá trình học tập,
để tôi có thể vượt qua mọi khó khăn và đạt kết quả như ngày hôm nay.
Do điều kiện về thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận
văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận
được sự chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô và bạn bè để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cám ơn!
Hà Nội, năm 2015
Học viên
Nguyễn Huyền Trang


4

Bảng kí hiệu
Tập các số tự nhiên.
Tập các số thực.
Tập các số thực dương.
Không gian thực n chiều.
Tích đề các của hai tập hợp A và B .

Tích vô hướng của hai vectơ u và v .
Bao đóng của A trong không gian topo.
A◦
Phần trong của A.
SX (x, R)
Mặt cầu tâm x bán kính R trong không gian X .
BX (x, R)
Hình cầu mở tâm x bán kính R trong không gian X .
gradf (a)
Gradient của f tại a.
R [x1 , ..., xn ] Không gian các đa thức hệ số thực.
f∗
Toán tử liên hợp của toán tử f .
.
Chuẩn Euclide trên Rn .
f|D
Hạn chế của f trên D.
N
R
R+
Rn
A×B
u, v
A¯


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

2

BẢNG KÍ HIỆU

4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Một số khái niệm và định lý của độ đo . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Phân thớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Hình học nửa đại số
2.1

2.2

11

Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2

Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả . . . . . . . . . . . . . .

14

Hàm nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Hàm Rabier và tập các giá trị tới hạn suy rộng của hàm số

25

3.1

Hàm Rabier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2

Tập các giá trị tới hạn suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4 Định lý Sard nửa đại số cho tập giá trị tới hạn suy rộng

5

48


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này tác giả nhắc lại một số kiến thức về Giải tích hàm và
Hình học vi phân cần thiết để định nghĩa hàm Rabier và tập các giá trị
tới hạn, đồng thời được sử dụng trong chứng minh Định lý Sard nửa đại
số cho tập giá trị tới hạn suy rộng (Định lý 4.1).

1.1

Một số khái niệm và định lý của giải tích hàm

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên trường R. Ta nói

. là chuẩn trên X nếu nó thỏa 3 tính chất sau:
1)||x||

0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0.

2)||kx|| = |k|.||x||; ∀x ∈ X, k ∈ R.
3)||x + y||

||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X.

Nếu . là chuẩn trên X, ta nói (X, . ) là không gian tuyến tính
định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach là không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ. Cụ thể hơn, X là không gian Banach nếu X là không
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

gian định chuẩn sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) =
x − y ) đều có giới hạn trong X.
Cho X và Y là các không gian banach trên R. Tập hợp các ánh xạ
tuyến tính liên tục f : X → Y được ký hiêu là L(X, Y ).
Nếu Y = R ta đặt X = L(X, R).
Nhận xét 1.3. 1) Với các không gian định chuẩn hữu hạn chiều thì mọi
toán tử tuyến tính đều liên tục.
2) L(X, Y ) với chuẩn ||A|| =

sup

||Ax||, A ∈

x∈X,||x|| = 1

L(X, Y ) là không gian Banach.
Định nghĩa 1.4. Cho một không gian tuyến tính X trên R. Hàm số
f : X → R được gọi là dưới tuyến tính nếu

 f (αx) = αf (x) ; ∀x ∈ X, ∀α ∈ R+ .
 f (x + y) f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.5. Ánh xạ tuyến tính f : X → R được gọi là phiếm hàm
tuyến tính.
Định nghĩa 1.6. Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định
chuẩn X. Ta nói siêu phẳng H = {x ∈ X : f (x) = α ∈ R} tách A và B
nếu:



 ∀x ∈ A, f (x)

α.


 ∀x ∈ B, f (x)

α.

Định lí 1.7. (Định lý Hahn–Banach dạng giải tích). Giả sử f : X → R
là dưới tuyến tính và ϕ : U → R là một phiếm hàm tuyến tính trên một
không gian con U của X. Nếu ϕ bị chặn trên bởi f trên U (|ϕ (x)|

7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

f (x), ∀x ∈ U ) thì tồn tại một mở rộng tuyến tính ψ : X → R của ϕ
(ψ (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ U ) cũng bị chặn trên bởi f trên X.
Định lí 1.8. (Định lý Hahn–Banach dạng hình học). Cho A và B là hai
tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn X, A là
tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng tách A và B.
Định lí 1.9. (Nguyên lý ánh xạ mở). Nếu f : X → Y là một toán tử
tuyến tính toàn ánh liên tục giữa các không gian Banach X và Y , thì f
là một ánh xạ mở. Đặc biệt ∃r > 0 : f (BX (0, 1)) ⊃ BY (0, r).

1.2

Một số khái niệm và định lý của độ đo

Định nghĩa 1.10. Cho tập hợp X, kí hiệu 2X là các tập con của X.
Tập Σ ⊂ 2X được gọi là σ-đại số nếu:
1)Σ = ∅.
2)A ∈ Σ ⇒ X\A ∈ Σ.
3)Ai ∈ Σ, i ∈ I đếm được thì ∪ Ai ∈ Σ.
i∈I

Định nghĩa 1.11. Hàm µ : Σ → R ∪ {+∞} được gọi là một độ đo trên
X nếu:
1)∀A ∈ Σ, µ(A)

0.

2)µ(∅) = 0.
3){Ai }i∈I , I đếm được, Ai ∩Aj = ∅, i = j ⇒ µ( ∪ Ai ) =
i∈I

µ(Ai ).
i∈I

Nếu µ là một độ đo trên X, thì mọi phần tử của Σ được gọi là µ-đo được,
hay đơn giản hơn là đo được. Bộ (X, Σ, µ) được gọi là một không gian
đo được.
8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.12. Cho (X1 , Σ1 , µ1 ) ; (X2 , Σ2 , µ2 ) là các không gian đo
được. Hàm f : X1 → X2 được gọi là đo được nếu ∀A ∈ Σ2 , f −1 (A) ∈ Σ1 .
Định nghĩa 1.13. Cho (X, Σ, µ) là một không gian đo được, A ∈ Σ.
Một dãy hàm {fn } được gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm số f trên tập
A nếu ∃B ⊂ A, B ∈ Σ, µ(B) = 0 sao cho lim fn (x) = f (x), ∀x ∈ A\B.
n→∞

Định lí 1.14. (Định lý lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Giả sử fn là dãy
các hàm đo được trên X thỏa mãn:
1) fn bị chặn bởi một hàm khả tích g không âm trên X
|fn (x)|

g(x), ∀n

1, ∀x ∈ X.

2) fn hội tụ hầu khắp nơi tới f .
Khi đó f khả tích và
lim

fn dµ =

n→∞
X

f dµ.
X

Định nghĩa 1.15. Cho hình hộp B = [x1 , y1 ] × ... × [xn , yn ] , (xi < yi ).
n

(yi − xi ).

Kí hiệu thể tích của B là V oln (B) =
i=1

Định nghĩa 1.16. Cho A ∈ Rn . Độ đo ngoài Lebesgue, kí hiệu V oln∗ (A),
được định nghĩa bởi
V oln∗ (A) = inf

V oln (Bα )
α∈I

với {Bα }α∈I là một phủ đếm được của A bằng các hình hộp.

Độ đo Lebesgue của A được cho bởi độ đo ngoài Lebesgue V oln (A) =
V oln∗ (A) nếu với E ⊂ Rn
V oln∗ (E) = V oln∗ (A ∩ E) + V oln∗ ((Rn \A) ∩ E).
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Nhận xét 1.17. Tập A ⊂ Rn có độ đo không nếu ∀ε > 0, ∃ phủ mở đếm
được của A bằng một họ các hình hộp {Bα }α∈I sao cho

1.3

V oln (Bα ) < ε.
α∈I

Phân thớ

Định nghĩa 1.18. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần. Ánh xạ f
được gọi là một phân thớ khả vi tầm thường trên Rk nếu tồn tại vi phôi
ϕ : Rn → Rk × F với F là đa tạp n − k chiều sao cho biểu đồ sau giao
hoán
Rn

ϕ

→
− Rk × F

f

π
Rk

với
π : Rk × F → Rk
(y, z)

→ y

Định nghĩa 1.19. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần, V ⊂ Rk là tập
mở. Ánh xạ f được gọi là phân thớ khả vi tầm thường địa phương trên
V nếu f |f −1 (V ) : f −1 (V ) → V là một phân thớ tầm thường trên V .
Định nghĩa 1.20. Cho f : Rn → Rk khả vi vô hạn lần, a ∈ Rk . Ánh xạ
f được gọi là phân thớ (khả vi) tầm thường tại a nếu f là một phân thớ
tầm thường địa phương trên một lân cận Va của a.

10


Chương 2
Hình học nửa đại số
2.1

Tập nửa đại số

Trước tiên, ta trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của tập
nửa đại số. Đồng thời trình bày Định lý Tarski-seidenberg cùng một số
hệ quả của nó.
2.1.1

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 2.1. ([3]) Một tập con nửa đại số trong Rn là tập các điểm
của Rn thỏa mãn tổ hợp hữu hạn các phương trình và bất phương trình
đa thức với hệ số thực. Cụ thể hơn, các tập con nửa đại số của Rn hình
thành lớp nhỏ nhất SAn các tập con của Rn sao cho:
1) Nếu P ∈ R [x1 , ..., xn ] thì {x ∈ Rn : P (x) = 0} ∈ SAn và {x ∈ Rn :
P (x) > 0} ∈ SAn .
2) Nếu A ∈ SAn và B ∈ SAn thì A ∪ B ∈ SAn , A ∩ B ∈ SAn và
Rn \A ∈ SAn .
Mệnh đề 2.2. Mọi tập con nửa đại số của Rn là hợp của hữu hạn các
11


Chương 2. Hình học nửa đại số

tập con nửa đại số có dạng:
{x ∈ Rn : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, ..., Ql (x) > 0}
với l ∈ N và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[x1 , ..., xn ].
Ví dụ 2.3.
• Tập con nửa đại số trong R là hợp của hữa hạn điểm và khoảng
mở.
Chứng minh. Tập con nửa đại số trong R là hợp của hữu hạn các tập có
dạng:
{x ∈ R : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, ..., Ql (x) > 0}
với l ∈ N; P, Q1 , ..., Ql ∈ R [x]. Phương trình P (x) = 0, x ∈ R có hữu hạn
nghiệm. Các bất phương trình Qi (x) > 0, x ∈ R cho ta hữu hạn khoảng
mở. Vậy tập con nửa đại số trong R là hợp của hữa hạn điểm và khoảng
mở.

• Tập đại số trong Rn là tập nửa đại số.
• Cho F : Rm → Rn là ánh xạ đa thức. F = (F1 , ..., Fm ), với Fi ∈
R[x1 , ..., xn ]. Nếu A là tập con nửa đại số trong Rn thì F −1 (A) là tập
con nửa đại số của Rm .
Chứng minh. Ta có A là tập nửa đại số nên A là hợp hữu hạn của các
tập có dạng
{y ∈ Rn : P (y) = 0, Q1 (y) > 0, ..., Ql (y) > 0}
với l ∈ N và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[y1 , ..., yn ]. Để đơn giản ta giả sử chính A
có dạng đó. Khi đó
12


Chương 2. Hình học nửa đại số

F −1 (A)
= {x ∈ Rm : F (x) ∈ A}
= {x ∈ Rm : P (F (x)) = 0, Q1 (F (x)) > 0, ..., Ql (F (x)) > 0}
= {x ∈ Rm : (P ◦ F )(x) = 0, (Q1 ◦ F )(x) > 0, ..., (Ql ◦ F )(x) > 0} .
Vì ánh xạ F là ánh xạ đa thức và P, Q1 , ..., Ql ∈ R[y1 , ..., yn ] nên
{x ∈ Rm : (P ◦ F )(x) = 0, (Q1 ◦ F )(x) > 0, ..., (Ql ◦ F )(x) > 0} là nửa đại
số hay F −1 (A) là nửa đại số.
• Nếu A là tập con nửa đại số của Rn và L ⊂ Rn là một đường thẳng
thì L ∩ A là hợp của hữu hạn điểm và khoảng mở. Do đó L ∩ A là nửa
đại số.
• Nếu A ⊂ Rm và B ⊂ Rn là các tập nửa đại số thì A × B là tập con
nửa đại số của Rm × Rn .
Chứng minh. Giả sử
A = x ∈ Rm : P 1 (x) = 0, Q11 (x) > 0, ..., Q1l (x) > 0
B = y ∈ Rn : P 2 (y) = 0, Q21 (y) > 0, ..., Q2k (y) > 0
trong đó l, k ∈ N, P 1 , Q11 , ..., Q1l ∈ R[x1 , ..., xm ] và P 2 , Q21 , ..., Q2k ∈

R [y1 , ..., yn ]. Khi đó
A × B = {(x, y) ∈ Rm × Rn : x ∈ A, y ∈ B}


2
2


 (x, y) ∈ Rm × Rn : P 1 (x) + P 2 (y) = 0,

=

 Q11 (x) > 0, ..., Q1l (x) > 0, Q21 (y) > 0, ..., Q2k (y) > 0

là tập nửa đại số.

13


Chương 2. Hình học nửa đại số

2.1.2

Đinh lý Tarski-Seidenberg và hệ quả

Định lí 2.4. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ nhất)([3]). Cho hệ phương
trình và bất phương trình đa thức theo biến là T = (T1 , ..., Tp ) và X, với
hệ số trong R



S1 (T, X) 1 0





 S2 (T, X) 2 0
S(T, X) :


···




 S (T, X) 0
l
l
ở đó

i

∈ {=, =, >, }. Khi đó tồn tại một thuật toán cho ta một danh

sách hữu hạn C1 (T ), ..., Ck (T ) các hệ phương trình và bất phương trình
đa thức trong T với hệ số thực sao cho với mọi t ∈ Rp , hệ S(t, X) có
nghiệm thực khi và chỉ khi một trong các Cj (t) được thỏa mãn.
Nói cách khác, công thức "∃X, S(T, X)" tương đương với "C1 (X)
hoặc ... hoặc Ck (X)". Định lý Tarski-Seidenberg khẳng định sự tồn tại
của một thuật toán để loại trừ biến thực X.

Định lí 2.5. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ hai)([3]). Cho A là tập
con nửa đại số của Rn+1 và π : Rn+1 → Rn là ánh xạ chiếu lên n tọa độ
đầu tiên. Khi đó π(A) là tập con nửa đại số của Rn .
Chứng minh. Vì A là hợp hữu hạn của các tập có dạng
x = (x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 ; P (x) = 0; Q1 (x) > 0, ..., Qk (x) > 0
với l ∈ N và P, Q1 , ..., Qk ∈ R[x1 , ...xn+1 ]. Để đơn giản ta có thể giả sử
rằng chính A có dạng đó. Ta có
π(A) = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 ∈ R, (x1 , ..., xn+1 ) ∈ A} .
14


Chương 2. Hình học nửa đại số

Theo định lý 2.4, tồn tại một tổ hợp C(x1 , ...xn ) các phương trình và
bất phương trình đa thức sao cho mỗi phần tử của π(A) đều thỏa mãn
C(x1 , x2 , ...xn ), do đó π(A) là nửa đại số.
Hệ quả 2.6. 1) Nếu A là tập con nửa đại số của Rn+k thì ảnh của nó
bởi phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên là một tập con nửa đại số của Rn .
2) Nếu A là một tập con nửa đại số của Rm và F : Rm →
Rn là một ánh xạ đa thức thì ảnh trực tiếp F (A) là một tập con nửa đại
số của Rn .
Chứng minh. Hệ quả 1) dễ dàng được suy ra từ Định lý 2.5 bởi quy nạp
theo k. Với hệ quả 2), trước hết ta có {(y, x) ∈ Rn × Rm : x ∈ A; y = F (x)}
là tập con nửa đại số của Rm × Rn . Xét phép chiếu của tập đó lên Rn ta
thu được F (A). Áp dụng 1) ta có F (A) là nửa đại số.
Hệ quả 2.7. Nếu A là tập con nửa đại số của Rn thì bao đóng của nó
trong Rn cũng là nửa đại số.
Chứng minh. Bao đóng của A là:
A¯ = x ∈ Rn : ∀ε ∈ R, ε > 0, ∃y ∈ A : x − y

2

< ε2 .

Ta có:
Rn \A¯ = Rn \ x ∈ Rn : ∀ε ∈ R, ε > 0, ∃y ∈ A : x − y 2 < ε2





n
 (x, ε) ∈ R × R :



n
= π1 {(x, ε) ∈ R × R, ε > 0} \


 ∃y ∈ A : x − y 2 < ε2 





n
n
 (x, ε, y) ∈ R × R × R 




n
= π1 {(x, ε) ∈ R × R, ε > 0} \π2


 y ∈ A, x − y 2 < ε2 

15


Chương 2. Hình học nửa đại số

trong đó π1 (x, ε) = x và π2 (x, ε, y) = (x, ε).
Ta thấy

(x, ε, y) ∈ Rn × R × Rn , y ∈ A, x − y

số, suy ra π2 (x, ε, y) ∈ Rn × R × Rn , y ∈ A, x − y

2

< ε2
2

là nửa đại

< ε2 là nửa đại

số. Vì {(x, ε) ∈ Rn × R, ε > 0} là nửa đại số nên Rn \A¯ là nửa đại số. Do

đó A¯ là nửa đại số.
Ta thấy rằng việc viết ra phép chiếu để chứng tỏ một tập con là nửa
đại số thường khá phức tạp. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng cách viết công
thức nhiều hơn. Trước hết ta cần định nghĩa "công thức thứ tự đầu
tiên".
Định nghĩa 2.8. ([3]) Công thức thứ tự đầu tiên thu được bởi các quy
tắc sau:
1) Nếu P ∈ R [x1 , ...xn ] thì P = 0 và P > 0 là công thức thứ tự đầu
tiên.
2) Nếu Φ và Ψ là công thức thứ tự đầu tiên thì "Φ và Ψ", "Φ hoặc
Ψ", "không Φ" (kí hiệu tương ứng là Φ ∧ Ψ, Φ ∨ Ψ, ¬Φ) là công thức thứ
tự đầu tiên.
3) Nếu Φ là công thức thứ tự đầu tiên và x thuộc R thì ∃xΦ và ∀xΦ
là công thức thứ tự đầu tiên.
Công thức thu được bởi chỉ quy tắc 1) và 2) được gọi là "công thức
lượng hóa tự do".Theo định nghĩa, tập con A ⊂ Rn là nửa đại số khi và
chỉ khi tồn tại công thức lượng hóa tự do Φ(x1 , ..., xn ) sao cho
(x1 , ..., xn ) ∈ A ⇔ Φ(x1 , ..., xn ).
Định lí 2.9. (Tarski-Seidenberg-dạng thứ ba)([3]). Nếu Φ(x1 , ..., xn )
16


Chương 2. Hình học nửa đại số

là công thức thứ tự đầu tiên thì tập các (x1 , ..., xn ) ∈ Rn thỏa mãn
Φ(x1 , ..., xn ) là nửa đại số.
Chứng minh. Dễ thấy quy tắc 1) và 2) chỉ sinh ra các tập nửa đại số.
Đối với quy tắc 3), nếu
A = (x1 , ..., xn+1 ) ∈ Rn+1 : φ (x1 , ..., xn+1 )
là nửa đại số thì

{(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 , φ (x1 , ..., xn+1 )}
là ảnh của A qua phép chiếu lên Rn , do đó, là nửa đại số theo Định lý
2.5. Tương tự
B = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∀xn+1 , φ (x1 , ..., xn+1 )}
là nửa đại số vì
Rn \B = {(x1 , ..., xn ) ∈ Rn : ∃xn+1 , ¬φ (x1 , ..., xn+1 )}
là nửa đại số.
Nhận xét 2.10. Theo Định lý 2.8, "Mỗi công thức thứ tự đầu tiên tương
đương với một công thức lượng hóa tự do".
Chú ý 2.11. Nhận xét trên không đúng trong trường hợp khoảng biến
thiên không phải là R, Rn hoặc tập con nửa đại số của Rn . Ví dụ tập
(x, y) ∈ R2 : ∃n ∈ N, y = nx không là nửa đại số do N không là nửa
đại số.
Chú ý 2.12. 1) Cho tập nửa đại số A = {x ∈ Rn : h(x) > 0} thì nói
chung A¯ = {x ∈ Rn : h(x)

0}. Ví dụ A = x ∈ R2 : x31 − x21 − x22 > 0 ,
17


Chương 2. Hình học nửa đại số

ta có (0, 0) ∈

x ∈ R2 : x31 − x21 − x22

0

nhưng với mọi x ∈ A thì

¯
1, do đó (0, 0) ∈
/ A.

x1

2) Cho tập nửa đại số A = {x ∈ Rn : h(x)

0} thì nói chung A◦ =

{x ∈ Rn : h(x) > 0}. Ví dụ A = x ∈ R : (1 − x)x2 (1 + x)

0 = [−1, 1].

Ta có 0 ∈ A◦ = (−1, 1) nhưng tập x ∈ Rn , (1 − x)x2 (1 + x) > 0 không
chứa 0.

2.2

Hàm nửa đại số

Tiếp theo, ta trình bày định nghĩa và một số tính chất của hàm nửa đại
số.
Định nghĩa 2.13. ([3]) Cho A ⊂ Rn và B ⊂ Rk là các tập nửa đại số.
Ánh xạ f : A → B được gọi là nửa đại số nếu đồ thị của nó
Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}
là tập con nửa đại số của Rn × Rk .
Ví dụ 2.14. • Nếu f : A → B là ánh xạ đa thức (tất cả tọa độ của f
đều là đa thức) thì nó là nửa đại số.
Chứng minh. Ta có

Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}
= {(x, y) ∈ A × B : f (x) − y = 0}
là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số.
• Nếu f : A → B là ánh xạ hữa tỉ chính quy (tất cả các tọa độ của
f là phân thức hữu tỉ không triệt tiêu trên A) thì nó là nửa đại số.
18


Chương 2. Hình học nửa đại số

gk (x)
g1 (x)
, ...,
h1 (x)
hk (x)
gi (x), hj (x) là các ánh xạ đa thức, hj (x) = 0, ∀x ∈ A. Khi đó

Chứng minh. Giả sử f (x) = (f1 (x), ..., fk (x)) =

với

Γf = {(x, y) ∈ A × B : yi = fi (x), i = 1, ..., k}
= (x, y) ∈ A × B : yi =

gi (x)
, hi (x) = 0, ∀x ∈ A, i = 1, ..., k
hi (x)

= {(x, y) ∈ A × B : gi (x) − yi .hi (x) = 0, i = 1, ..., k}
là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số.

• Nếu f : A → R là hàm nửa đại số thì |f | là hàm nửa đại số.
Chứng minh. Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn các
tập có dạng {(x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1 (x, y) > 0, ..., Ql (x, y) > 0}
với l ∈ N; P (x, y), Q1 (x, y), ..., Ql (x, y) ∈ R [x, y]. Để đơn giản ta có thể
giả sử rằng chính Γf có dạng đó. Khi đó
Γ|f | = {(x, y) ∈ A × R : y = |f (x)|}




 {(x, y) ∈ A × R : y = f (x), y > 0} ∪
=

 {(x, y) ∈ A × R : y = −f (x), y > 0} 







(x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1 (x, y) > 0, ...,






= Ql (x, y) > 0, y > 0} ∪ {(x, y) ∈ A × R : P (x, −y) = 0,










 Q (x, −y) > 0, ..., Q (x, −y) > 0, y > 0
1
l
là tập nửa đại số nên |f | là hàm nửa đại số.
• Nếu f : A → R là hàm nửa đại số và f

0 trên A thì

√

f là hàm

nửa đại số.
Chứng minh. Do f là nửa đại số nên ta có Γf là hợp của hữu hạn các
19


Chương 2. Hình học nửa đại số

tập có dạng
{(x, y) ∈ A × R : P (x, y) = 0, Q1 (x, y) > 0, ..., Ql (x, y) > 0}
với l ∈ N; P (x, y), Q1 (x, y), ..., Ql (x, y) ∈ R [x, y]. Để đơn giản ta có thể

giả sử rằng chính Γf có dạng đó. Khi đó
Γ√f = (x, y) ∈ A × R : y = f (x)


 (x, y) ∈ A × R : P (x, y 2 ) = 0,
=

 Q1 (x, y 2 ) > 0, ..., Ql (x, y 2 ) > 0, y
là tập nửa đại số nên

√





0

f là hàm nửa đại số.

Mệnh đề 2.15. Cho A ⊂ Rn , A = ∅ là tập nửa đại số. Khi đó, hàm
khoảng cách là nửa đại số:
dist(.,A) : Rn → R
x → inf

y∈A

x−y

Chứng minh. Ta có Γdist(.,A)

= {(x, y ∗ ) ∈ Rn × R : y ∗ = dist(x,A)}
(x, y ∗ ) ∈ Rn × R : y ∗ = inf x − y

 y∈A





 ∀y ∈ A : x − y

y∗
∗
n
= (x, y ) ∈ R × R :



 ∀ε > 0, ∃y ∈ A, x − y −y ∗ < ε 



n




∀y ∈ A :
(x − y)2 − (y ∗ )2 0



i=1
= (x, y ∗ ) ∈ Rn × R :
n




∀ε
>
0,
∃y
∈
A,
(x − y)2 < (ε + y ∗ )2



=

i=1

20















Chương 2. Hình học nửa đại số

là tập nửa đại số nên f là hàm nửa đại số theo định lý 2.8.
Hệ quả 2.16.
1) Ảnh và nghịch ảnh của tập nửa đại số bởi ánh xạ nửa đại số là
nửa đại số.
Chứng minh. Cho A ⊂ Rn và B ⊂ Rk là các tập nửa đại số. Giả sử ánh
˜ ⊂ B là nửa đại số.
xạ f : A → B là hàm nửa đại số. Cho A˜ ⊂ A, B
˜ là nửa đại số. Thật vậy,
• Ta có f (A)
˜ = f (x) ∈ B, x ∈ A˜
f (A)
= π2 (x, y) ∈ A˜ × B : y = f (x)
˜ y ∈ B, y = f (x)
= π2 (x, y) ∈ Rn × Rk : x ∈ A,
˜ là nửa
với π2 (x, y) = y là phép chiếu lên k tọa độ cuối cùng. Do đó f (A)
đại số.
˜ là nửa đại số. Thật, vậy,
• Ta có f −1 (B)
˜ = x ∈ A, f (x) ∈ B
˜

f −1 (B)
˜ : y = f (x)
= π1 (x, y) ∈ A × B
˜ y = f (x)
= π1 (x, y) ∈ Rn × Rk : x ∈ A, y ∈ B,
˜ là
với π1 (x, y) = x là phép chiếu lên n tọa độ đầu tiên. Do đó f −1 (B)
nửa đại số.
2) Hợp thành của hai ánh xạ nửa đại số là nửa đại số.
Chứng minh. Cho A ⊂ Rm , B ⊂ Rn và C ⊂ Rk là các tập nửa đại số.
Giả sử f : A → B và g : B → C là các ánh xạ nửa đại số. Khi đó
21


Chương 2. Hình học nửa đại số

g ◦ f : A → C là nửa đại số. Ta có
Γf = {(x, y) ∈ A × B : y = f (x)}
suy ra
Γf × C = {(x, y, z) ∈ A × B × C : y = f (x)}
là tập nửa đại số. Tương tự ta có
A × Γg = {(x, y, z) ∈ A × B × C : g(y) = z}
cũng là nửa đại số. Do đó,
(Γf × C) ∩ (A × Γg )
= {(x, y, z) ∈ A × B × C : y = f (x); g(y) = z}
= {(x, y, z) ∈ A × B × C : z = g(f (x)), y = f (x)}
là nửa đại số. Vì vậy
π ((Γf × C) ∩ (A × Γg )) = {(x, z) ∈ A × C : z = g(f (x))} = Γg◦f
là nửa đại số, với π(x, y, z) = (x, z) là phép chiếu lên Rm+k .
Trong phần còn lại tác giả phát biểu một số kết quả không tầm thường

được sử dụng trong chứng minh Định lý 4.1.
Định nghĩa 2.17. ([6]) Ta nói tập A ⊂ Rn có tính chất Whitney với
hằng số M nếu bất kỳ hai điểm x, y ∈ A có thể được nối trong A bởi một
đường cong trơn từng khúc có độ dài

M. x − y .

Cho A ⊂ Rn × Rp , t ∈ Rp và kí hiệu At = {x ∈ Rn : (x, t) ∈ A}. Ta
có định lý sau:
22


Chương 2. Hình học nửa đại số

Định lí 2.18. ([6]) Tồn tại M = M (n) > 0 sao cho với mọi tập nửa đại
số A ⊂ Rn × Rp tồn tại phân hoạch hữu hạn A =

Li thỏa mãn với
i∈I

p

mỗi t ∈ R , mỗi tập

Lit

có tính chất Whitney với hằng số M . Đặc biệt

Lit với mỗi t ∈ Rp .

At =
i∈I

Bổ đề 2.19. ([1],[2])(Bổ đề chọn đường cong)
¯ Khi đó tồn tại một ánh
Cho A ⊂ Rn là tập nửa đại số. Cho x ∈ A.
xạ nửa đại số liên tục γ : [0, ε) → Rn sao cho γ(0) = x và γ((0, ε)) ⊂ A.
Bổ đề 2.20. ([1],[2])(Bổ đề chọn đường cong tại vô hạn)
Cho A ⊂ Rn và cho φ : A → Rq là ánh xạ nửa đại số. Giả sử tồn
tại dãy xl ∈ A sao cho xl → ∞, φ(xl ) → y với y ∈ Rq . Khi đó tồn tại
đường cong nửa đại số γ : (α, β) → Rn sao cho γ(t) ∈ A, lim |γ(t)| =
t→β

+∞, lim φ(γ(t)) = y.
t→β

Bổ đề 2.21. ([1])(Bổ đề cánh)
Cho Ω và B là hai tập con nửa đại số của Rn . Giả sử B = B ⊂ Ω\Ω.
Khi đó, tồn tại một tập nửa đại số A ⊂ Ω sao cho
B = A ∩ (Ω\Ω).
Định nghĩa 2.22. Đặt B i = x ∈ Ri : x < 1 ⊂ Ri . Ta có e ⊂ Rn
được gọi là một buồng i chiều nếu e đồng phôi với B i .
Định lí 2.23. (Định lý phân ngăn trụ) Cho S ⊂ Rn là tập nửa đại số.
Khi đó tồn tại một phân hoạch S thành họ hữu hạn các buồng nủa đại
số {ei }i∈I , tức là S =

ei với ei là nửa đại số và ei ∩ ej = ∅ với i = j.
i∈I

23

Chương 2. Hình học nửa đại số

Định nghĩa 2.24. (Chiều của tập nửa đại số) Ta định nghĩa chiều của
một tập nửa đại số S như sau:
DimS = max dim ei .
i∈I

24