SKKN Dạy 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

PHẦN I. MỞ ĐẦU

2

1. Lý do chọn đề tài.

2

2. Mục đích nghiên cứu.

3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

4. Phạm vi nghiên cứu.

3

5. Phương pháp nghiên cứu.

4
5

PHẦN II. NỘI DUNG

A: Cơ sở khoa học và giải pháp thực hiện đề tài nghiên cứu.

5

I. Cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.

5

II. Giải pháp sư phạm

6
7

B: Nội dung đề tài
I.

Những vấn đề lí thuyết liên quan đến đề tài

7

II.

Các định nghĩa, tính chất, dấu hiệu về chia hết

7

III.

Các phương pháp giải toán chia hết

9

IV.

Một số bài tập khắc sâu kiến thức

16

PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

19

1. Mục đích thực nghiệm

19

2. Nội dung thực nghiệm

19

3. Kết quả thực nghiệm

22
PHẦN IV. KẾT LUẬN

24

PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO

25

26

Xác nhận của đơn vị công tác.

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 1

Lớp Đại Học Toán K 6


I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì
bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu
khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn nại không nản lòng khi gặp khó khăn trong
học tập cũng như trong cuộc sống sau này. Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri
thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công
nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là
người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là
đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng.
Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì nó giúp các em
tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ
trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý
… “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp
toán học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng)
Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi
học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí
tuệ”. Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải
biết phân tích, tìm tòi, phán đoán … từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh

sáng tạo.
Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có
kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có
thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức
quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng đường học tập của các em.
Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và
chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách
hợp lý.
Học toán giúp hình thành ở học sinh tính chính xác, hệ thống, khoa học, lôgic và
tư duy cao…
Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ"
là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số …

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 2

Lớp Đại Học Toán K 6


Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng vận
dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" còn yếu, chưa linh hoạt… dẫn đến vận dụng kỹ năng
này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức… còn chưa thành thạo hoặc
sai sót…. Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do
học sinh yếu về kỹ năng làm bài.
Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập nên bản thân tôi đã trăn trở và
tìm hiểu nguyên nhân từ đó xin đưa ra một số ý kiến về những lưu ý trong giảng dạy "7
hằng đẳng thức đáng nhớ" ở học sinh lớp 8.
Với những lý do khách quan và chủ quan nêu trên, bản thân tôi đã chọn cho mình

giải pháp “Dạy 7 hằng đằng thức đáng nhớ”” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học
2015 – 2016.
Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS tôi không ngừng học hỏi từ bạn bè
đồng nghiệp, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là được sự hướng dẫn tận tình của TS
Nguyễn Văn Khiêm– Giảng viên khoa Toán - Tin trường ĐHSP Hà Nội đã giúp tôi hoàn
thành đề tài này.

2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học
để cùng nhau chung sống và học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình
thành và bồi dưỡng cho học sinh năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề. Việc trang bị tốt
năng lực này là một trong những hoạt động trọng tâm của việc đổi mới phương pháp dạy
học trong điều kiện đổi mới chương trình phổ thông. Vì thế cốt lõi của đổi mới phương
pháp dạy học là hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh,
chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới
nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức
dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kĩ thuật dạy học với
định hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể,
phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, các điều kiện dạy học của nhà trường, ứng dụng
công nghệ thông tin.
- Các hằng đẳng thức đáng nhớ
- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức hằng đằng thức vào việc giải các bài tập
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 3

Lớp Đại Học Toán K 6


- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tư duy trí tuệ ,hình thành những phẩm chất tư
duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao độ tính tư duy tích cực,
độc lập sáng tạo, năng lực hoạt động và tự học của học sinh.
Học sinh nhìn nhận ra hằng đẳng thức trong phép toán hay biểu thức một cách rõ
ràng, chính xác. Nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học và trình độ phát triển của học
sinh,tạo niềm tin cho học sinh trong việc học môn toán.
4. Phạm vi nghiên cứu:
- Phạm vi nghiên cứu: Trường THCS
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối lớp 8.
- Thời gian: Từ tháng 9/2015 đến tháng 5/2016.
- Một số dạng bài tập có liên quan đến hằng đẳng thức.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Qua việc giảng dạy và thông qua tiết luỵên tập trên lớp và một số bài kiểm tra, tôi nắm
bắt được chất lượng tiếp thu của học sinh để đưa ra một số bài tập có sử dụng hằng đẳng
thức đáng nhớ.
- Rèn luỵên kỹ năng giải bài tập là một ý nghĩa quan trọng đặc biệt của môn toán. Nhằm
cho học sinh lĩnh hội một số kiến thức và biết vận dụng một số kiến thức đã học, đặc
biệt là những phương pháp tư duy cần thiết.

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 4

Lớp Đại Học Toán K 6


II. PHẦN NỘI DUNG
A – CƠ SỞ KHOA HỌC VÀ GIẢI PHÁP THỰC

I) Cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.
a) Cơ sở lý luận
- Môn Toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm
chất trí tuệ. Thật vậy, do tính trừu tượng cao độ của Toán học, môn Toán có thể giúp
nhiều cho học sinh trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo. Do tính chính xác
cao, suy luận logic, chặt chẽ, là môn “Thể thao trí tuệ”, Toán học có khả năng phong
phú làm cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic. Việc tìm kiếm, tìm lời
giải của một bài toán có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp
khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các
vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng
đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống
và trong lao động.
- Vì vậy khi dạy Toán là làm thế nào cho học sinh nắm được một cách chính
xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kĩ năng Toán học phổ thông cơ
bản. Có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau,
vào đời sống, vào lao động sản xuất và vào học tập các môn học khác.
- Phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri
thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và
hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi
mãi về sau. Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công
dân, phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
- Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng trong đời
sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các em sẽ nắm bắt được
nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp,
giải quyết được nhiều bài toán trong thực tế cuộc sống.
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 5

Lớp Đại Học Toán K 6

- Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới là dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ
năng , vì thế những gì gọi là chuẩn – là cơ bản nhất cần phải nắm vững. Rèn kỹ năng
giải toán chia hết cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống bài tập thể hiện
dạng toán chia hết có vai trò quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng tư
duy, khả năng vân dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải
chính xác và logic. Đó cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngôi trên
ghế nhà trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là phát huy hết tính
tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học.
b) Cơ sở thực tiễn.
Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ"
là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số …
- Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng
vận dụng " 7 hằng đẳng thức đáng nhớ" còn yếu, chưa linh hoạt… dẫn đến vận dụng kỹ
năng này trong phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn biểu thức… còn chưa thành thạo
hoặc sai sót…. Do vậy kết quả môn toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu
do học sinh yếu về kỹ năng làm bài.
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không
chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận
và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ dễ đến
khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào
các tiết luyện tập. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự
chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng
thú học tập hơn rất nhiều.
II. Giải pháp sư phạm
- Hệ thống lí thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó, các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng, kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của các
em học sinh.

- Kiếm tra đánh giá học sinh qua các bài kiểm tra tự luận. Sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em. Học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi
nhóm khi cần thiết. Giáo viên yêu cầu học sinh tự giác, tính cực, chủ động, có trách
nhiệm với bản thân và tập thể trong việc lĩnh ngộ kiến thức.
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 6

Lớp Đại Học Toán K 6


- Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận
thấy việc ““ dạy 7 hằng đẳng thức” là thực sự cần thiết để các em áp dụng vào làm bài
tập. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận dụng
linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm tòi,
phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất. Không những thế, giải pháp này còn
giúp các em hứng thú hơn khi được học toán, xem việc giải bài tập như cách giải trí sau
khi học các môn khác

B – NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Những vấn đề lí thuyết liên quan đến đề tài
- "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" là bảy công thức, mỗi công thức có hai vế: một vế
ở dạng tích, vế còn lại ở dạng tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
A2 – B2 = (A – B) (A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

- Trong đó: A, B có thể là các số, hoặc ở dạng chữ (đơn thức, đa thức), hoặc A, B
là các biểu thức bất kỳ.
- Thực chất của việc vận dụng "7 hằng đẳng thức đáng nhớ" là thực hiện biến đổi
theo hai chiều:
- Biến đổi từ tích thành tổng bằng việc áp dụng luôn công thức mà không cần thực
hiện phép nhân nhiều khi phức tạp.
Kỹ năng này sử dụng nhiều trong các bài toán rút gọn biểu thức, tính nhẩm, tính
hợp lý giá trị của 1 biểu thức, tìm x.

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 7

Lớp Đại Học Toán K 6


- Biến đổi từ tổng thành tích là một kỹ năng sử dụng nhiều trong bài toán tính
nhẩm, tìm x và là 1 phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này
từ đó phục vụ cho các phép toán về phân thức đại số, giải các loại phương trình ở các
chương sau.
II. Một số lưu ý khi dạy lý thuyết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. Bước 1: Chứng minh sự tồn tại của hằng đẳng thức để gây sự tin tưởng của học sinh
về tính đúng đắn của công thức.
Cụ thể:

a) Dạy hằng đẳng thức (HĐT)
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3
A2 - B2 = (A +B)(A - B)
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)

Chẳng hạn: Dạy hằng đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 xuất phát từ phép nhân đa
thức với đa thức.
Yêu cầu học sinh tính: (a + b)2 =(a +b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 với a,b là các số
Vậy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Tổng quát HĐT trên đúng với A,B là các biểu thức tùy ý
b) Dạy Hằng đẳng thức:
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2
(A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3A B2 - B3
A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
- Có 2 cách tìm ra công thức:
+ Cách 1: Thực hiện nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc rồi thu gọn.
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 8

Lớp Đại Học Toán K 6


+ Cách 2: Vận dụng hằng đẳng thức đã học.
Chẳng hạn:
- Dạy hằng đẳng thức: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 với a,b là các số
Ta có: (a - b)2 = [a +(-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2= a2 - 2ab + b2
Vậy: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Tổng quát: hằng đẳng thức đúng với A, B là biểu thức tùy ý.
- Sau khi tìm ra hằng đẳng thức GV: khái quát hằng đẳng thức đúng với các biểu
thức tuỳ ý, đi sâu vào cách nhớ HĐT, yêu cầu học sinh phát biểu thành lời theo hai chiều
từ tích

→

tổng và tổng

→

tích.

2. Bước 2: Đưa ra các tình huống tạo điều kiện cho HS ghi nhớ công thức và phát triển
công thức theo chiều tư duy thuận. Bước này để HS tự làm là chính thông qua các trò
chơi....
3. Bước 3: GV giúp HS hoàn thiện tư duy theo chiều ngược lại.
4. Bước 4: Để HS thấy được lợi ích của công thức trên, GV cho HS tính nhanh một số
phép tính đơn giản.
Sau khi học xong các HĐT, GV chỉ ra cách nhớ cho HS qua việc so sánh các HĐT cụ
thể như sau:
a. Cách đọc các biểu thức:
(A - B)2: Bình phương của một hiệu
A2 - B2 : Hiệu hai bình phương
(A + B)3 : Lập phương của một tổng
A3 + B3 : Tổng hai lập phương
(A - B)3 : Lập phương của một hiệu
A3 - B3 : Hiệu hai lập phương
b.Sự giống nhau, khác nhau của các HĐT:
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 9

Lớp Đại Học Toán K 6


(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

* Giống nhau: Vế phải có 3 hạng tử giống nhau.
* Khác nhau: Dấu của hạng tử 2AB
(A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3 A2B + 3A B2 - B3
* Giống nhau: Vế phải có 4 hạng tử giống nhau
* Khác nhau: Ở công thức (A - B)3 dấu “-”đứng trước luỹ thừa bậc lẻ của B (quy tắc
đan dấu)
A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
Cùng dấu cộng

Bình phương thiếu của hiệu

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)
Cùng dấu trừ

Bình phương thiếu của tổng

c. Mối quan hệ giữa các HĐT
+ (A - B)2 = (B - A)2
+ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 - 2AB + B2 + 4AB = (A - B)2 + 4AB
Vậy:
(A + B)2 = (A - B)2 + 4AB
+ (A + B)3 = A3 + 3 A2B + 3A B2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
Vậy:
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 10

Lớp Đại Học Toán K 6


(A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)
- Tương tự ta còn có các mối quan hệ khác như:
+ A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB
+ A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB
+ A3 - B3 = (A - B)3 +3AB(A - B)
......

III. Phân dạng bài tập áp dụng 7 hằng đằng thức đáng nhớ trong giải toán

Dạng 1: Vận dụng trực tiếp HĐT: Từ tổng thành tích, từ tích thành tổng.
Ví dụ:

Bài 1: Tính
x−

a) (

1
2

)2

b) (2m + 3n)2
c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2)
d) (a + b + c)2
Giải

x−

a) (

1
2

)2 = x2 – 2.x.

1
2

+(

1
2

)2 = x 2 - x +

1
4

b) (2m + 3n)2 = (2m)2 + 2.2m.3n + (3n)2 = 4m2 + 12mn + 9n2
c) (2y -x)( x2 + 2xy + 4y2) = (2y -x)[( 2y)2 + 2yx + x2)] = (2y)3 - x3 = 8y3 - x3
d) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 11

Lớp Đại Học Toán K 6

= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac
•

Lưu ý:

- Một số học sinh chưa nhận dạng được các tích này có dạng HĐT nên thực
hiện phép nhân đa thức với đa thức để tính. Thực ra ở bài tập này chính là vận
dụng HĐT theo chiều tích

→

tổng để phá ngoặc rồi thu gọn đơn thức đồng dạng.

- HS thường quên không thực hiện đóng ngoặc ở những biểu thức là phân số
hoặc đơn thức có từ 2 thừa số trở lên hoặc đa thức.
1
2

- Chẳng hạn ở câu a học sinh không viết ( )2 mà viết
không viết (2m)2 mà viết 2m2... dẫn đến sai bản chất
•

1
2

2

, ở câu b học sinh

Ở câu d để vận dụng HĐT phải nhóm các số hạng (Khi gặp bình phương của nhiều
số hạng).
Tương tự câu d ta cũng tính được các kết quả sau:
+ (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac
+ (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac
…………..
Bài 2 : Viết các tổng sau về dạng tích:
a)

-6x + 9x2 + 1

b)

-9x2 +6x – 1

c)

8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3
Giải

a) -6x + 9x2 + 1 = 9x2 - 6x + 1 = (3x)2 - 2.3x.1 + 12 = (3x - 1)2
b) -9x2 +6x - 1 = -(9x2 - 6x + 1) = -(3x - 1)2
c)

8x3 - 6yx2 + 12x2y - y3 = (2x)3 - 3 (2x)2y + 3.(2x) y2 - y3 = (2x - y)3

•

Lưu ý :

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 12

Lớp Đại Học Toán K 6


- Ở câu a, c một số học sinh chưa nhận ra HĐT "ẩn" trong biểu thức này, nếu
khéo léo biến đổi thêm một bước thì sẽ xuất hiện HĐT.
+ Một số trường hợp các biểu thức chưa đúng dạng HĐT mà phải đổi vị trí
hạng tử như câu a, c
+ Để xuất hiện HĐT phải đổi dấu hạng tử bằng cách đưa các hạng tử vào trong
ngoặc mà trước ngoặc là dấu “-” như câu b.
-

Tuy nhiên không phải lúc nào đề bài cũng chỉ rõ việc dựa vào HĐT mà câu hỏi
khác đi chẳng hạn: Viết tổng thành tích, tính, tính nhanh, thêm hạng tử vào biểu
thức để có HĐT, điền biểu thức thích hợp vào ô vuông,…. mấu chốt ở đây nếu cho
một biểu thức ở dạng tích thì tìm cách biến đổi về dạng tổng, nếu cho một đa thức
thì tìm cách biến đổi về dạng tích.
* Phương pháp:

-

-

Nhận dạng HĐT, xác định biểu thức thứ nhất, biểu thức thứ hai và viết kết quả
theo đúng công thức đã học.
Thực hiện phép tính trên các hạng tử cho gọn.

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 13

Lớp Đại Học Toán K 6


Dạng 2 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 - 4y2 tại x = 70, y = 15
b) 742 + 242 - 48.74
Giải
a) x2 - 4y2 = x2 - (2y)2
= (x + 2y)(x - 2y)
Thay x = 70, y = 15 ta có :
(70 + 2.15)(70 - 2.15)
=

100.40

=

4000

b) 742 + 242 - 48.74
= 742 + 242 - 2.24.74
= (74 - 24) 2
= 502
= 2500

* Lưu ý :
-

Không nên thay trực tiếp hoặc dùng máy tính để tính.

* Phương pháp :
-

Dựa vào HĐT biến đổi biểu thức đã cho theo chiều từ tích -> tổng, từ tổng
-> tích .

- Thay số (đối với đa thức).
* Mở rộng:
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 14

Lớp Đại Học Toán K 6


Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể đưa ra một số bài tập tính giá trị của
biểu thức chứa hai biến
Ví dụ:

a, Cho x - y = 7. Tính giá trị của biểu thức

A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37
* Hướng suy nghĩ: ở câu này nếu vận dụng phương pháp tính giá trị của biểu thức
như ở trên thì không làm được. Vậy giáo viên gợi ý cho học sinh biến đổi biểu
thức A để xuất hiện lũy thừa của x - y

Giải:
A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37
= x2 + 2x + y2 -2y - 2xy + 37
= (x2 - 2xy + y2) + (2x - 2y) + 37
= (x - y)2 + 2(x - y) + 37
Thay x - y = 7 ta có :
A = 72 + 2.7 + 37 = 100.
b, Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5
Tính x3 + y3
* Hướng suy nghĩ: Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2), để tính được x3 + y3 thì
phải tính được xy. Giáo viên gợi ý học sinh dựa vào 2 dữ kiện đề bài tìm cách tính
được xy
Giải:
Từ x + y = 3 suy ra (x + y)2 = 9
=> x2 + 2xy + y2 = 9
=> 2xy = 9 - 5
=>

xy = 2

Ta có x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 15

Lớp Đại Học Toán K 6


= 3(5 - 2)
= 3.3 = 9

* Lưu ý: Trên cơ sở bài tập trên làm các bài tập tương tự chẳng hạn cho biết x -y,
x2 + y2 tính x3 - y3 ….
Dạng 3: Rút gọn biểu thức
Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau:
a)

(x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3)

b)

(2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)

c)

(2x - 1)2 - (2x + 2)2

d)

(a + b)3

- 3ab(a + b)
Giải:

a)

(x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3 = 27 – 54 = -27

* Lưu ý: Câu a có thể thay câu hỏi là “Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
không phụ thuộc vào x” ( vì kết quả câu a sau khi rút gọn là hằng số).
b)

(2x + y)(4x2 – 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x)3 + y3 – [(2x)3 - y3]
= 8x3 + y3 - 8x3 + y3

= 2 y3

*Lưu ý : + Kết quả câu b không phụ thuộc vào biến x, có thể thay câu hỏi :
“Chứng minh rằng giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào x”
+ HS thường không đóng ngoặc ở kết quả tích 2 đa thức khi trước tích là dấu
“-” dẫn đến rút gọn sai như không viết – [(2x)3 - y3] mà viết – (2x)3 - y3
c)

(2x - 1)2 - (2x + 2)2

= 4x2 - 4x + 1 – (4x2 + 8x + 4)
= 4x2 - 4x + 1 – 4x2 - 8x - 4
= -12x – 3
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 16

Lớp Đại Học Toán K 6


*Lưu ý :
+ Biểu thức trên có dạng HĐT “Hiệu hai bình phương” nên có cách thứ 2 như
sau:
(2x - 1)2 - (2x + 2)2

= [(2x - 1) + (2x + 2)][ (2x - 1) - (2x + 2)]
= (2x - 1 + 2x + 2)(2x - 1 - 2x – 2)
= (4x + 1)(-3)
= -12x – 3
+ Giáo viên có thể hỏi thêm:
* Tính giá trị của biểu thức trên tại x = 1 => đưa về bài toán tính giá trị của biểu
thức.
* Nếu cho -12x – 3 = 0 tìm được x =? => đưa về bài toán tìm x.

d)

(a + b)3 - 3ab(a + b)

= a3 + 3 a2b + 3a b2 + b3 -3a2b – 3ab2
= a 3 + b3
* Lưu ý : Có thể đưa về bài toán chứng minh đẳng thức :
(a + b)3

- 3ab(a + b) = a3 + b3

Thực chất của chứng minh đẳng thức chính là bài toán rút gọn nhưng đã biết kết
quả bởi vậy qua bài tập này giáo viên cung cấp cho học sinh các cách chứng minh
một đẳng thức.
Thông thường ta biến đổi vế phức tạp - kết quả là vế còn lại
* Phương pháp:
-

Xem xét xem các hạng tử hoặc tích các đa thức có tạo thành HĐT hay
không? Nếu có thì vận dụng HĐT theo chiều tích -> tổng

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 17

Lớp Đại Học Toán K 6


-

Thực hiện các phép tính bỏ dấu ngoặc rồi thu gọn các đơn thức đồng dạng.

Dạng 4 : Tìm x
Ví dụ : Tìm x, biết : a) x2 – 2x + 1 = 25

b) x3 – 3x2 = -3x +1
Giải

a) x2 – 2x + 1 = 25
⇒

(x - 1)2 = 52
(x - 1)2 - 52 = 0
(x - 1 + 5)( x - 1 - 5) = 0
(x + 4)(x - 6) = 0

⇒

x + 4 = 0 hoặc x - 6 = 0
x = - 4 hoặc x = 6

Vậy x = - 4 ; x = 6
b)

⇒

x3 – 3x2 = -3x +1
x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0
(x - 1)3 = 0

⇒

x – 1 =0
x=1

Vậy x = 1
Lưu ý: với những bài toán tìm x sau khi rút gọn hai vế ta có bậc của biến từ bậc
hai trở lên thì tìm cách biến đổi để xuất hiện HĐT theo chiều từ tổng -> tích từ đó
vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x.
* Phương pháp :
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 18

Lớp Đại Học Toán K 6


Tổng quát
* A 2 = k2

(k

∈

R)

A 2 - k2 = 0
⇒

(A - k)(A + k) = 0
A – k =0 hoặc A + k = 0
A = k hoặc A = - k

* (A + B)3 = 0
⇒

A+ B = 0

Dạng 5 : Chứng minh giá trị biểu thức luôn dương, luôn âm
Ví dụ 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của
biến
a) A = 4x2 + 4x + 2
b) B = 2x2 - 2x + 1
Giải
a) A = 4x2 + 4x + 2 = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + 1
Cách 1:
≥

Nhận xét: (2x + 1)2 0 với
Nên (2x + 1)2 + 1 > 0 với

∀

∀

x và 1 > 0 với

∀

x

x

Cách 2:
≥

Nhận xét : (2x + 1)2 0 với
⇒

≥

∀

x

(2x + 1)2 + 1 1 với

∀

x

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 19

Lớp Đại Học Toán K 6


=> (2x + 1)2 + 1> 0 với

∀

x

Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương với mọi giá trị của biến
b) Gợi ý: tìm cách biến đổi biểu thức B xuất hiện HĐT bình phương của 1 hiệu
B = 2x2 - 2x + 1
= 2(x2 - x +
= 2(x2 - 2.

1
2

1
2

)

x+

1

2

1
4

1
2

1
2

= 2[(x- )2 +
= 2(x - )2 +

1
4

-

1
4

+

1
2

)

]

Các bước tiếp theo làm tương tự như câu a
* Mở rộng: Ở câu a từ cách 2 giáo viên hỏi thêm:
1
2

+ Biểu thức A có giá trị bằng 1 khi nào? ( x = - )
+ Với x ≠ -

1
2

thì A có giá trị như thế nào? ( A > 1)
1
2

Từ đó GV dẫn dắt giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x= - . Đó chính là bài toán tìm
giá trị nhỏ nhất của 1 biểu thức.
* Phương pháp tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất) của f(x):
Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a > 0, b và m là hằng số)

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 20

Lớp Đại Học Toán K 6


Nhận xét f(x): (x + b)2 > 0 với

∀

a(x + b)2 > 0 với

x

∀

x

a(x + b)2 + m > m với

∀

x

Dấu "=" xảy ra  (x + b)2 = 0
x=



m

b

Từ đó kết luận giá trị nhỏ nhất của f(x).
Lưu ý:
+Với m > 0 khi thực hiện xong bước nhận xét đã chứng minh được giá trị biểu
thức luôn dương
+ Đối với các biểu thức chứa 2 biến thì cách tìm giá trị nhỏ nhất hoặc chứng

minh giá trị biểu thức luôn dương hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của
biến B = -15 –x2 + 6x
Giải:
B = -15 –x2 + 6x

= –x2 + 6x - 9 – 6

= - (x2 - 6x + 9) – 6 = - (x -3)2 - 6
Cách 1:
Nhận xét : (x - 3)2
⇒

- (x - 3)2

≤

≥

0 với

0 với
∀

∀

x

x mà -6 <0 với

∀

x nên - (x -3)2 – 6 < 0 với

∀

x

Cách 2:
Nhận xét : (x - 3)2
⇒

- (x - 3)2

≤

≥

0 với

0 với
∀

∀

x

x

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 21

Lớp Đại Học Toán K 6


⇒

- 6 - (x - 3)2

≤

- 6 với

=> - 6 - (x - 3)2 < 0 với

∀

∀

x

x

Vậy giá trị của biểu thức B luôn âm với mọi giá trị của biến.
Mở rộng: Từ cách 2 GV hỏi thêm :
+ Với giá trị nào của x thì B có giá trị bằng -6? (x = 3)
•

+ Với x ≠ 3 thì B có giá trị như thế nào? (B < -6)

GV chốt – 6 là giá trị lớn nhất của B (khi x = 3), từ đó dẫn dắt đến bài toán tìm
giá trị lớn nhất.
* Muốn tìm GTLN ( giá trị lớn nhất) của f(x) thì biến đổi :
Biến đổi f(x) = a(x + b)2 + m ( a < 0, b và m là hằng số)
Nhận xét f(x): (x + b)2 ≥ 0 với

∀

a(x + b)2 ≤ 0 với

x

∀

x

a(x + b)2 + m ≤ m với
Dấu "=" xảy ra ⇔ (x + b) = 0
2

⇔

x=

∀

x

m

b

Từ đó kết luận GTLN của f(x)
* Lưu ý: Nếu m< 0 thì khi thực hiện xong bước nhận xét đã chứng minh được giá
trị biểu thức luôn âm với

∀

x.

PHẦN III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
I.

Mục đích thực nghiệm.

Giúp học sinh hình thành một số kỹ năng và phương pháp giải liên quan đến 7 hằng
đẳng thức đáng nhớ.
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 22

Lớp Đại Học Toán K 6


-

-

-

-

Lời giải không phạm sai lần và không có sai sót mặc dù nhỏ: Trước tiên giáo viên
hướng dẫn học sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến
thức, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, kí hiệu, rèn cho học sinh có thói
quen quan sát kỹ đề bài để tìm đúng phương pháp giải phù hợp.
Lời giải phải có đầy đủ và mang tính toàn diện: Hướng dẫn học sinh không được
bỏ xót khả năng, chi tiết nào. Không được thừa những cũng không được thiếu.
Hướng dẫn học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ chưa? Kết quả của
bài toán đã là đúng chưa? Có bị mắc phải các sai lầm nào không?
Lời giải bài toán phải đơn giản: Bài toán phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không
sai sót. Có lập luận mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học
sinh, đại đa số học sinh đều hiểu và thực hiện được.
Lời giải bài toán phải đầy đủ, rõ ràng, có thể nên kiểm tra lại: Lưu ý đến việc giải
các bước tiến lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, không cắt bước làm, kết
quả phải đúng. Muốn vậy cần hướng dẫn cho học sinh thói quen sau khi giải xong
phải thử lại kết quả, xem xét lại các bước làm.

II. Nội dung thực nghiệm
Soạn giáo án:

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 23

Lớp Đại Học Toán K 6


Tiết 7 :

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (tt)

I. MỤC TIÊU :
1. Kiến thức : HS nắm được các hằng đẳng thức : Tổng hai lập phương , hiệu hai lập phương.
2. Kĩ năng : Biết vận dụng các hằng đẳng thức trên vào giải toán
3. Thái độ : Rèn kĩ năng quan sát, linh hoạt khi làm toán.

II. CHUẨN BỊ :
1. GV : Bảng phụ, phấn màu, thước thẳng
2. HS : Học thuộc năm hằng đẳng thức đã biết, bảng phụ, bút dạ
III. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC :
1. Tổ chức lớp :1’
2. Kiểm tra bài cũ :8’
ĐT
Câu hỏi
Đáp án
Điểm
Khá
Viết hằng đẳng thức : Lập phương
HS viết HĐT như SGK.
4đ
của một tổng, lập phương của một
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 +
hiệu như SGK
3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3
Chữa bài 28 SGK tr14
= (6 + 4)3 = 103 = 1000
3đ
3
2

3
b) x – 6x + 12x – 8 = x –
3.x2.2 + 3.x.22 – 8
= (x – 2)3 = (22 – 2)3 = 203
3đ
= 8000
TB

Trong các khẳng định sau, khẳng a) Sai
định nào đúng ?
b) Đúng
a) (a – b)3 = (b – a)3
c) Đúng
2
2
b) (x – y) = (y – x)
d) Sai
3
3
2
c) (x + 2) = x + 6x + 12x + 8
d (1 – x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3

10đ

3. Bài mới :
* Giới thiệu bài :1’
GV (đvđ): Các em đã học năm hằng đẳng thức và vận dụng chúng vào giải bài tập. Hôm nay chúng
tả nghiên cứu tiếp hai hằng đẳng thức : Tổng hai lập phương , hiệu hai lập phương.
* Tiến trình bài dạy :

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Trang 24

Lớp Đại Học Toán K 6


TL

Hoạt động của GV

Người thực hiện: Nguyễn Văn Tiến

Hoạt động của HS

Trang 25

Kiến thức

Lớp Đại Học Toán K 6