Phân dạng các bài toán tích phân Phạm Minh Tứ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (689.84 KB, 42 trang )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
TÍCH PHÂN
I. Khái ni m tích phân
1. Di n tích hình thang cong .
• Gi i thi u cho h c sinh v cách tính di n tích c a m t hình thang cong
• T đó suy ra công th c : xlim
→x
0
2.
S ( x ) − S ( x0 )
= f ( x0 )
x − x0
nh ngh a tích phân
• Cho hàm f liên túc trên m t kho ng K và a, b là hai s b t k thu c K. N u F
là m t nguyên hàm c a f trên K thì hi u s : F(b)-F(a) đ c g i là tích phân
c a f đi t a đ n b , ký hi u là :
b
∫ f ( x)dx
a
• Có ngh a là :
b
F (b) − F ( a )
)dx
∫ f ( x=
a
b
a
• G i F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) và F ( =
x)
F ( b ) − F ( a ) thì :
b
)dx
∫ f ( x=
a
b
F ( x=
) F (b) − F ( a )
a
• Trong đó :
- a : là c n trên , b là c n d i
- f(x) g i là hàm s d i d u tích phân
- dx : g i là vi phân c a đ i s
-f(x)dx : G i là bi u th c d i d u tích phân
II. Tính ch t c a tích phân
Gi s cho hai hàm s f và g liên t c trên K , a,b,c là ba s b t k thu c K . Khi đó ta
có :
a
1.
∫ f ( x)dx = 0
a
b
2.
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx . ( G
a
b
3. ∫=
f ( x)dx
a
b
4.
a
i là tích ch t đ i c n )
b
c
∫
a
b
f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
c
b
b
a
a
∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx . ( Tích phân c m t t ng ho c hi u hai tích
a
phân b ng t ng ho c hi u hai tích phân ) .
5.
b
b
a
a
∫ kf ( x)dx = k.∫ f ( x)dx . ( H ng s k trong d u tích phân , có th đ a ra ngoài d u
tích phân đ c )
Ngoài 5 tính ch t trên , ng
i ta còn ch ng minh đ
6 . N u f(x) ≥ 0∀x ∈ [ a; b ] thì :
c m t s tính ch t khác nh :
b
∫ f ( x)dx ≥ 0∀x ∈ [ a; b]
a
b
b
a
a
7. N u : ∀x ∈ [ a; b ] : f ( x) ≥ g ( x) ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx . ( B t đ ng th c trong tích
phân )
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
8. N u : ∀x ∈ [ a; b ] và v i hai s M,N ta luôn có : M ≤ f ( x) ≤ N . Thì :
b
M ( b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ N ( b − a ) . ( Tính ch t giá tr trung bình c a tích phân )
III. CÁC PH
a
NG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PH
NG PHÁP PHÂN TÍCH
1.Trong ph ng pháp này , chúng ta c n :
• K n ng : C n bi t phân tích f(x) thành t ng , hi u , tích , th ng c a nhi u
hàm s khác , mà ta có th s d ng đ c tr c ti p b ng nguyên hàm c b n
tìm nguyên hàm c a chúng .
• Ki n th c : Nh đã trình bày trong ph n " Nguyên hàm " , c n ph i n m tr c
các ki n th c v Vi phân , các công th c v phép toán l y th a , phép toán c n
b c n c a m t s và bi u di n chúng d i d ng l y th a v i s m h u t .
2. Ví d áp d ng
Ví d 1: Tính các tích phân sau
2
a/
∫
x2 + 1
1
3
c/
∫
(
(
2 x 1+ x
)
(
x 2 x4 −1 + 1
a/ ∫
dx
=
2
+
1
x
1
2
2
⇒ ∫ x 2 − 1d
1
1
)
x2
∫ ( x + 1)
b/
2 x x − 2 x + ln 1 + x
1
Gi i
) dx
(
x 2 x4 −1 + 1
3
dx
0
) dx
2
∫
d/
2
x3 + x 2 − x + 1
dx
x4 − 2 x2 + 1
2
2x x2 −1 x2 + 1
x
x
dx
+
=
−2 x+ x 2 1
dx
∫1
∫
2
2
2
+
+
+
1
1
1
x
x
x
1
2
2 2
2 3
1
x2 −1 + ∫ d x2 + 1 =
x2 −1
+ x2 + 1 = + 5 − 2
1
1 2
2
1
2
)
(
)
) (
(
b/
( x + 1 − 1)
∫0 ( x + 1)3 dx =∫0 ( x + 1)3
1
1
x2
2
1
( x + 1)2
x +1
1
1
1
1
−
+
=
−
+
dx =∫
dx
2
2
3
3
3
∫0 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)3 dx
+
+
+
1
1
1
x
x
x
(
)
(
)
(
)
0
1
1
1
1
d ( x + 1)
d ( x + 1) 1 d ( x + 1)
1 1 1 1
3
ln
1
2
⇒ I= ∫
− 2∫
+
=
+
+
−
= ln 2 +
x
2
3
2
∫
0
x +1
x + 1 0 2 ( x + 1) 0
8
0
0 ( x + 1)
0 ( x + 1)
1
c/
3
∫
(
2 x x − 2 x + ln 1 + x
(
2 x 1+ x
1
∫(
3
⇒=
I
1
d/
∫
2
) (
ln (1 + x )
+d (1= x )
)
1+ x
(1 + 3 ) − ln 2
1
x3 + x 2 − x + 1
dx
=
x4 − 2 x2 + 1
Trang 2
(
3
2
(
)
ln 1 + x 1
x −1 +
= dx−
∫1 1 + x
1+ x 2 x
3
x − 1 dx + ∫
= 2 3 − 4 + ln
2
)
)=
dx
2
−3
)
( x )+
3
+
∫1
3
(
3
x + ln 2=
1
1
1 4 ( x3 − x ) dx
∫ 4 x 4 − 2 x 2 + 1 +
2
2
1
∫ ( x 2 − 1) dx +
2
2
∫
2
(x
2dx
2
− 1)
)
x
2
2
(
x 1
2
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
)1
3
(
)
dx
1+ x 2 x
ln 1 + x
(
)
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1
=
4
2
∫
2
d ( x 4 − 2 x 2 + 1)
1
+
4
2
( x − 2 x + 1) 2
= ln ( x 2 − 1)
1
4
2
2
1
1 1
1
1
∫ x − 1 − x + 1 dx + 2 ∫ 4 x − 1 − x + 1 dx
2
2
2
2
1
x −1 2
1 x −1 2 1 1
+ ln
+ −
−
− ln
=
x + 1 2
2 2 x +1 2 2 x −1 x +1
2
Ví d 2. Tính các tích phân sau
π
2
a/
∫
0
2sin x ( sin x − 1)
π
2
1 + cosx
3
b/
dx
∫ 2sin
2
0
sin 2 x
dx
x + 3cos 2 x
π
1
2+ x
c/ ∫
ln
dx
2
4− x
2− x
−1
1
4
∫
b/
x2 −1
∫1 2 x ( x 2 + 1) dx
Ví d 3. Tính các tích phân sau
e2
a/
ln 3 x + 1
∫e x ln 3 x dx
s inx+ 1+tanx
dx
cos 2 x
0
d/
2
π
π
4 + sin 3 2 x
c/ ∫
dx
sin 2 2 x
π
3
4
d/ ∫ sin 3x.cosxdx
0
6
B. PH
NG PHÁP
I BI N S
I. Ph ng pháp đ i bi n s d ng 1.
tính tích phân d ng này , ta c n th c hi n theo các b c sau
1/ Quy t c :
• B c 1: t x=v(t)
• B c 2: Tính vi phân hai v và đ i c n
• B c 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
• B
• B
b
v (b )
a
v(a)
c 4: Tính ∫=
f ( x)dx =
∫ g (t )dt G(t )
c 5: K t lu n : I= G (t )
v(b)
v(a)
v(b)
v(a)
2/ Nh n d ng : ( Xem l i ph n nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các d u hi u d n t i vi c l a ch n n ph ki u trên thông th
D u hi u
a2 − x2
x2 − a2
ng là :
Cách ch n
π
π
=
x a sin t ↔ − 2 ≤ t ≤ 2
=
x a cost ↔ 0 ≤ t ≤ π
a
π π
x
↔ t ∈ − ;
=
sin t
2 2
a
π
x
↔ t ∈ [ 0; π ] \
=
cost
2
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 3
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
π π
=
x a tan t ↔ t ∈ − 2 ; 2
x a cot t ↔ t ∈ ( 0; π )
=
a2 + x2
a+x
a−x
∨
a−x
a+x
x=a.cos2t
x=a+ ( b − a ) sin 2 t
( x − a )( b − x )
b. Quan tr ng nh t là các em ph i nh n ra d ng :
- Ví d : Trong d ng phân th c h u t :
β
β
β
1
1
*∫ 2
dx ( ∆ < 0 ) ∫
dx
=
=
2
2
α ax + bx + c
α
b
−∆
a x+ +
2a 2a
b
−∆
V=
i : u x+
,k
, du dx .
=
=
2a
2a
* áp d ng đ gi i bài toán t ng quát :
β
*
β
1
∫
α
2 + 2x − x
2
dx = ∫
α
1
( 3)
2
− ( x − 1)
β
∫
α
1
1
du
2
∫
aα u +k
dx
(a
2
+x
)
2 2 k +1
(k ∈ Z ) .
dx . T đó suy ra cách đ t : x − 1 = 3 sin t
2
3/ M t s ví d áp d ng :
Ví d 1: Tính các tích phân sau
1
2
1
a/
∫
1 − x dx
2
b/
0
0
Gi i
a/
∫
2
1
1− 2x
2
c/
dx
∫
1
π π
t x=sint v i : t ∈ − ;
2 2
x = 0 ↔ sin t = 0 → t = 0
• Suy ra : dx=costdt và :
π
x = 1 ↔ sin t = 1 → t = 2
• Do đó : f(x)dx= 1 − x 2 dx =1 − sin 2 tcostdt=cos 2tdt
π
• V y:
b/
t:x=
1
2
0
0
∫ f ( x)dx = ∫
(1 + cos2t ) dt =
2
1
=+
(1 cos2t ) dt
2
π
1 1
1 π 1 π −1
t + sin 2t 2 = − =
2 2
4
0 2 2 2
1
π π
sin t t ∈ − ;
2
2 2
x=0 ↔ sint=0 → t=0
1
• Suy ra : dx = costdt ⇒ 1
1
1
π
t →t
sin =
2
x= 2 ↔=
2
2
2
Trang 4
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
1
3 + 2 x − x2
dx
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
• Do đó :
1
2
1
∫
=
dx
1 − 2 x2
0
π
1
2
1
1
=
dx
2 1 2
− x
2
∫
0
1
2
π
2
∫
0
π
1
1
1 2
= = costdt
= ∫ dt
1
20
1 − sin 2 t 2
2
1
t 2
2 0
c/ Vì : 3 + 2 x − x 2 =4 − ( x − 1) . Cho nên :
2
π π
x −1
( *)
2
1−1
x = 1 ↔ sin t = 2 = 0 → t = 0
π
• Suy ra : dx= 2 costdt và :
⇒ t ∈ 0; → cost>0
6
x = 2 ↔ sin t = 2 − 1 = 1 → t = π
2
2
6
1
1
1
• Do đó : f(x)dx= =
2 cos tdt dt
dx
dx
=
=
2
2
3 + 2x − x
4 (1 − sin 2 t )
4 − ( x − 1)
t:=
sin t
x − 1 2sin t t ∈ − ; ↔ =
2 2
•
π
• V y:
2
6
dx ∫=
dt
∫ f ( x)=
1
0
π
π
t=
6
6
0
Ví d 2: Tính các tích phân sau
2
a/
c/
∫
1
1
dx
+ x +1
2
1
∫x
5
b
a − x2
12 x − 4 x 2 − 5dx
b/
0
1
∫2 x 2 − 4 x + 7 dx
* Chú ý :
d/
∫
0
tính tích phân d ng có ch a
(
( a + x2 )
2
dx
)
x 2 + a , a 2 − x 2 , ta còn s d ng ph
ng
pháp đ i bi n s : u(x)=g(x,t)
Ví d 1 : Tính tích phân sau
1
1
∫
x2 + 1
0
dx
Gi i :
•
t:
x2 + 1 = x − t ⇒ x =
t −1
2t
2
x =0 → t =−1; x =1 → t =1 − 2
• Khi đó :
t2 +1
dx =
2t 2
• Do v y :
1
∫
0
1− 2
1− 2
−2t t 2 + 1
dt
1− 2
. 2 dt
− =
− =
ln t
=
ln 2 1
dx =
2
∫
∫
2
t + 1 2t
t
−1
x +1
−1
−1
1
Ví d 2: Tính tích phân
: I
=
(
)
1
∫x
2
1 − x 2 dx
0
Gi i
•
t : t=sinx , suy ra dt=cosxdx và khi x=0,t=0 ; Khi x=1 , t=
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
π
2
Trang 5
π
2 2
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
• Do đó : f(x)dx= x 2 1 − x 2 dx= sin 2 t. 1 − sin 2 tcostdt=sin 2t cos=2 tdt
π
π
12
1
• V y : I= ∫ f ( x)dx =
−∫ (1 cos4t=
)−dt t
80
8
0
1
sin
=
=
4t 2
4
0
1
II.
1π
82
1 1 − cos4t
dt
4
2
π
16
i bi n s d ng 2
1. Quy t c : ( Ta tính tích phân b ng ph ng pháp đ i bi n s d ng 2 theo các b
sau : )
• B c 1: Khéo léo ch n m t hàm s u(x) và đ t nó b ng t : t=u(x) .
• B c 2: Tính vi phân hai v và đ i c n : dt=u'(x)dx
• B c 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
• B
b
u (b )
a
u (a)
c 4: Tính ∫=
f ( x)dx =
∫ g (t )dt G(t )
• K t lu n : I= G (t )
2. Nh n d ng :
u (b)
u (a)
u (b)
u (a)
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN TH C H U T
β
P( x)
dx
α ax+b
A. D NG : I= ∫
* Chú ý đ n công th c :
( a ≠ 0)
β
m
β
β
m
dx = ln ax+b . Và n
∫
α
a
α ax+b
b ng 2 thì ta chia t cho m u d n đ n
β
c
β
u b c c a P(x) cao h n ho c
β
1
P( x)
m
∫α ax+b dx =α∫ Q( x) + ax+b dx =α∫ Q( x)dx + mα∫ ax+b dx
Ví d 1 : Tính tích phân : I=
2
x3
∫1 2 x + 3 dx
Gi i
Ta có : f ( x=)
Do đó :
3
1 2 3
9 27 1
x
x − x+ −
=
2x + 3 2
4
8 8 2x + 3
2
9 27 1
27
13 27
x3
1 2 3
1 3 3 2 9
2
ln
2
3
=
−
+
−
=
x
−
x
+
x
−
x
+
− − ln 35
dx
x
x
dx
1=
∫1 2 x + 3 ∫1 2 4 8 8 2 x + 3 3 8 8 16
6 16
2
Ví d 2: Tính tích phân : I=
3
∫
5
x2 − 5
dx
x +1
Gi i
4
x −5
.
= x −1 −
x +1
x +1
3
4
x2 − 5
1 2
3
dx= ∫ x − 1 −
dx= x − x − 4 ln x + 1 =
x +1
x +1
2
5
5
2
Ta có : f(x)=
Do đó :
3
∫
5
Trang 6
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
5 +1
5 − 1 + 4 ln
4
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
B. D NG :
β
∫
α ax
2
P( x)
dx
+ bx + c
1. Tam th c : f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghi m phân bi t
β
Công th c c n l u ý :
β
u '( x)
dx = ln u ( x)
∫
α
α u ( x)
Ta có hai cách
Cách 1: ( H s b t đ nh )
Cách 2: ( Nh y t ng l u )
Ví d 3: Tính tích phân : I=
1
∫x
4 x + 11
dx .
+ 5x + 6
2
0
Gi i
Cách 1: ( H s b t đ nh )
A ( x + 3) + B ( x + 2 )
A
B
4 x + 11
4 x + 11
=
=
+
=
x + 5 x + 6 ( x + 2)( x + 3) x + 2 x + 3
( x + 2)( x + 3)
Ta có : f(x)=
2
Thay x=-2 vào hai t s : 3=A và thay x=-3 vào hai t s : -1= -B suy ra B=1
3
1
+
x+2 x+3
1
1
4 x + 11
1
3
V y: ∫ 2
= ∫
+
=
dx
dx
x + 5x + 6
x+2 x+3
0
0
Do đó : f(x)=
1
( 3ln x + 2 + ln x + 3 ) =0
2 ln 3 − ln 2
Cách 2: ( Nh y t ng l u )
2 ( 2 x + 5) + 1
2x + 5
1
2x + 5
1
1
= 2. 2
+
= 2. 2
+
−
2
x + 5x + 6
x + 5 x + 6 ( x + 2 )( x + 3)
x + 5x + 6 x + 2 x + 3
Ta có : f(x)=
Do đó :
1
I= ∫ f ( x)dx
=
0
1
∫ 2. x
0
2
2x + 5
+
+ 5x + 6
1
= dx 2 ln +x 2 +5 x +6
x+3
1
−
x+2
ln
x+2 1
=
x + 3 0
2 ln
− 3 ln 2
2. Tam th c : f ( x) = ax 2 + bx + c có hai nghi m kép
Công th c c n chú ý :
Thông th
β
∫
α
β
u '( x)dx
= ln ( u ( x) )
α
u ( x)
ng ta đ t (x+b/2a)=t .
3
x3
Ví d 4 : Tính tích phân sau : I= ∫ 2
dx
x + 2x +1
0
Gi i
3
Ta có :
∫x
0
3
3
2
3
x
x
dx = ∫
dx
2
+ 2x +1
+
1
x
(
)
0
t : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 .
Do đó :
3
∫ ( x + 1)
0
4
x3
2
dx=
∫
1
( t − 1)
t
2
3
4
dt=
3
1
Ví d 5: Tính tích phân sau : I=
1
1 4
3
1
dt= t 2 − 3t + ln t + = 2 ln 2 −
2
t1
2
2
∫ t − 3 + t − t
1
∫ 4x
0
2
4x
dx
− 4x +1
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 7
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Gi i
4x
4x
Ta có :
=
2
4 x − 4 x + 1 ( 2 x − 1)2
1 x =0 ↔ t =−1
dt ;
2 x = 1 ↔ t = 1
1
1
1
1 4. ( t + 1)
1
4x
4x
1
1 1
1 1
2
Do đó : ∫ 2
dx =
dx
dt
2
=
=
− + 2 dt =−
ln t
=
2
2
∫
∫
∫
t
t t
t −1
4x − 4x +1
2
−1
−1
0
0 ( 2 x − 1)
t : t= 2x-1 suy ra : dt = 2dx → dx =
3. Tam th c : f ( x) = ax 2 + bx + c vô nghi m :
b
u= x +
P( x)
P( x)
2a
Ta vi t : f(x)=
=
;
2
2
2
2
b −∆ a ( u + k ) k = −∆
a x + +
2a
2a 2a
Khi đó :
t u= ktant
Ví d 6: Tính tích phân : I=
2
∫x
2
0
x
dx
+ 4x + 5
Gi i
• Ta có :
2
∫x
2
2
0
•
x
x
dx = ∫
dx
2
+ 4x + 5
0 ( x + 2) + 1
t : x+2=tant , suy ra : dx=
0 ↔ tan t =
2
x =
1
dt ; ⇒
2
2 ↔ tan t =
4
cos t
x =
2
tan t − 2 dt
sin t
• Do đó : ∫
dx
=
=
( ln cost
− − 2 dt−=
2
2
2
∫
∫
1 + tan t cos t t1 cost
t1
0 ( x + 2) + 1
2
t2
x
t
1
2
2
tan t = 2 ↔ 1 + tan t = 5 ↔ cos t = 5 → cost1 =
T :
1
2
2
=
↔
+
=
↔
=
→ cost 2
tan
4
1
tan
17
os
t
t
c
t
17
t
( ln cost
• V y : ( − ln cost − 2t ) −2 =
− 2 2−t2 )
t1
2t )
t2
(1)
t1
1
5
=
1
17
( ln cos− t
cost
cost1
1
−2=
t1 )
ln+
1
17
cost 2
− 2 ( t2 t1 )
cost1
2
• ⇔ − ln =
=
. 5 2−( arctan4-arctan2 )
+ 2 ( t2 − t1 ) 2−( arctan4-arctan2
) ln
Ví d 7: Tính tích phân sau : I=
1 5
ln
2 17
x3 + 2 x 2 + 4 x + 9
dx
∫0
x2 + 4
2
Gi i
1
x + 2x + 4x + 9
= x+2+ 2
2
x +4
x +4
2 3
2
2
2
1
x + 2x + 4x + 9
dx
1 2
2
• Do đó : ∫
= 6 + J (1)
dx = ∫ x + 2 + 2
dx = x + 2 x 0 + ∫ 2
2
x +4
x +4
x +4
2
0
0
0
• Ta có :
3
2
2
Tính tích phân J=
∫x
0
Trang 8
2
1
dx
+4
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
•
t : x=2tant suy ra : dx =
x = 0 → t = 0
2
π
dt ;
π ↔ t ∈ 0; → cost>0
2
cos t x = 2 → t =
4
4
π
• Khi đó :
2
π
1
1
1
2
14
1
dt
t 4
=
=
=
dx
dt
2
2
∫0 x 2 +=
∫
∫
4
4 0 1 + tan t cos t
20
2
0
• Thay vào (1) : I= 6 +
C. D NG :
π
4
β
∫
α ax
3
π
8
π
8
P( x)
dx
+ bx 2 + cx + d
1. a th c : f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có m t nghi m b i ba
Công th c c n chú ý :
β
1
∫
α x
m
dx =
Ví d 8: Tính tích phân : I=
1
1 β
. m −1
1− m x α
1
x
∫ ( x + 1)
3
dx
0
Gi i
Cách 1:
•
t : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2
2
t −1
1 1
1 1 12 1
• Do đó : ∫
dx = ∫ 3 dt = ∫ 2 − 3 dt = − + 2 =
3
t
t t
t 2t 1 8
0 ( x + 1)
1
1
1
2
x
Cách 2:
1) − 1
( x +=
1
1
−
3
2
3
( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
x
• Ta có : =
3
( x + 1)
1
1
1
1
1 1 1
=
−
−
=
+
dx
dx
2
∫0 ( x + 1)3
∫0 ( x + 1)2 ( x + 1)3 x + 1 2 ( x +=
1
)
0
0
x4
Ví d 9 : Tính tích phân : I= ∫
dx .
3
−
1
x
(
)
−1
• Do đó :
•
1
x
1
8
Gi i
t : x-1=t , suy ra : x=t+1 và : khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 .
• Do đó :
0
x4
∫ ( x − 1)
−1
dx=
3
−1
−1
∫
−2
( t + 1)
t
4
3
dt=
−1 4
−1
t + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1
6 4
= dt + ∫ +t +
4 + 2
3
∫−2
t
t t
−2
−1
1
dt
t3
• ⇔ ∫ t + 4 + + 2 + 3 dt = t 2 + 4t + 6 ln t − − 2 =
− 6 ln 2
t t
t
t 2 t −2 8
2
−2
2. a th c : f(x)= ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có hai nghi m :
Có hai cách gi i : H s b t đ nh và ph ng pháp nh y t ng l u
6
4
1
1
Ví d 10 : Tính tích phân sau : I=
4
3
1
∫ ( x − 1)( x + 1)
3
11
33
dx
2
Gi i
Cách 1. ( Ph
ng pháp h s b t đ nh )
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 9
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
• Ta có :
A ( x + 1) + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1)
A
B
C
=
+
+
=
2
2
x − 1 ( x + 1) ( x + 1)
( x − 1)( x + 1)
2
1
( x − 1)( x + 1)
2
1
A=
1 = 4 A
4 . Khi đó (1)
• Thay hai nghi m m u s vào hai t s :
⇔
1
=
−
2
C
C = − 1
2
2
( A + B ) x + ( 2 A + C ) x + A − B − C ⇒ A − B − C =1 ⇔ B =A − C − 1 =1 + 1 − 1 =− 1
⇔
2
4 2
4
( x − 1)( x + 1)
1 1
1
1
1 1
+
−
.
.
∫2 ( x − 1)( x + 1)
∫2 4 x − 1 4 ( x + 1) 2 ( x + 1)2 dx
1
1
1 3 1
3
ln=
8
ln 2
I ln ( x − 1)( x + 1) + .
⇔=
=
2 ( x + 1) 2 4
4
4
• Do đó :
3
3
1
2
dx =
Cách 2:
•
t : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 .
4
4
dt
1
1
1 t − (t − 2)
=
=
−
dt
dt
∫3 t 2 ( t − 2 ) 2 ∫3 t 2 ( t − 2 )
∫
2 2 t ( t − 2 )
4
4
11 1
1
1 1 t −2 1
4 3
ln t
ln 2
=
⇔I
−
−
=
− =
dt ln
dt
∫
∫
t 4
t
2
22 2t −2 t
3 4
3
3
4
1
=
dx
2
2 ( x − 1)( x + 1)
• Khi đó : I= ∫
( 3t
2
− 4t )
2
2
1
1 t − (t − 4)
Ho c : 2 = =
t (t − 2) 4 t 2 (t − 2)
1
∫ t dt
3
3t 2 − 4t 1 ( 3t + 2 ) 3t 2 − 4t 1 3 2
−
=
− +
3
2
4 t 2 t 3 − 2t 2 4 t t 2
t − 2t
1
2 4 3
3
2
ln t − 2t − 4 3ln t − t 3= 4 ln 2
1 3t 2 − 4t − 4
−
=
t 3 − 2t 2
4 t 3 − 2t 2
4
3t 2 − 4t 1 3 2
• Do đó : I= ∫ 3
− + dt=
t − 2t 2 4 t t 2
3
1
Ho c : 3
=
t − 2t 2
4
t+2
1 1
− = 2
4t −2 t
1 1
1 2
− −
4 t − 2 t t2
• Do đó :
I=
4
1 1
1 2
1 t −2 2 4 1 1 1
1 2 1
1
ln
ln + − ln −=
− − 2=
+ =
ln 3 − ln 2 −
dt
∫
3 3 4
6
t
t 3 4 2 2
4 3t −2 t t
4
Ví d 11: Tính tích phân sau : I=
3
x2
∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx
2
2
Gi i
t : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 .
( t + 1) dt
x2
Do đó : ∫
=
=
dx ∫ 2
2
t ( t + 3)
2 ( x − 1) ( x + 2 )
1
3
2
Cách 1; ( H s b t đ nh )
t 2 + 2t + 1 At + B
C
Ta có : 2
=
+
=
2
t ( t + 3)
t
t +3
Trang 10
2
t 2 + 2t + 1
∫1 t 2 ( t + 3) dt
2
( At + B )( t + 3) += Ct 2 ( A + C ) t 2 + ( 3 A + B ) t + 3B
t 2 ( t + 3)
t 2 ( t + 3)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1
B = 3
1
A + C =
5
t 2 + 2t + 1 1 t + 3 4 1
ng nh t h s hai t s : 3 A + B = 2 ⇔ A = ⇒ 2
=
+
9
9 t +3
t ( t + 3) 9 t 2
3B = 1
4
C = 9
Do đó :
2
3 4
1
2 17 4
7
1 1 3 4 1
t 2 + 2t + 1
=
dt
∫1 t 2 ( t + 3)
∫1 9 t + t 2 + 9 t + 3 dt = 9 ln t − t + 9 ln t + 3 1 = 6 + 9 ln 5 − 9 ln 2
2
Cách 2:
• Ta có :
2
2
t 2 + 2t + 1 1 3t 2 + 6t + 3 1 3t 2 + 6t
3 1 3t 2 + 6t 1 t − ( t − 9 )
=
+
=
=
+
t 2 ( t + 3) 3 t 3 + 3t 2 3 t 3 + 3t 2 t 2 ( t + 3) 3 t 3 + 3t 2 9 t 2 ( t + 3)
1 3t 2 + 6t 1 1
1 t − 3 1 3t 2 + 6t 1 1
1 1 3
= 3
+
−
=
+
− − 2
3
2
2
2
3 t + 3t 9 t + 3 9 t
3 t + 3t 9 t + 3 9 t t
• V y:
1 3t 2 + 6t 1 1
1 3
dt
∫1 3 t 3 ++3t 2 9 t + 3 − t + t 2 =
17 4
7
• Do đó I= + ln 5 − ln 2
6 9
9
3
2
3. a th c : f(x)= ax + bx + cx + d ( a ≠ 0 ) có ba nghi
t 2 + 2t + 1
dt
∫1 t 2 ( t + 3=
)
2
2
Ví d 12: Tính tích phân sau : I=
3
1
∫ x(x
2
2
− 1)
1
1 t + 3 3 2
3
2
−
ln t + 3t + ln
t
t 1
27
3
m:
dx
Cách 1: ( H s b t đ nh )
• Ta có :
A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1)
1
1
A
B
C
f(x)=
=
=+
+
=
x ( x − 1)( x + 1)
x ( x 2 − 1) x ( x − 1)( x + 1) x x − 1 x + 1
ng nh t h s hai t s b ng cách thay các nghi m : x=0;x=1 và x=-1 vào
•
A = −1
x =0 → 1 =− A
1
1 1 1 1 1
hai t ta có : x =−1 → 1 =2C ⇔ B = ⇒ f ( x) =− +
+
−
x
x
2
2
1
2 x +1
x = 1 → 1 = 2B
1
C = 2
• V y:
3
1
∫2 x ( x 2 − 1) dx=
Cách 2: ( Ph
3
1 1
1 1
∫ 2 x − 1 + x + 1 − x dx=
2
3
1
3 5
2 ( ln ( x − 1)( x + 1) ) − ln x 2= 2 ln 2 − 2 ln 3
ng pháp nh y l u )
x 2 − ( x 2 − 1)
1
x
1
1 1 2x
Ta có :
=
= 2
−=
−
2
2
2
x −1 x 2 x −1 x
x ( x − 1)
x ( x − 1)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 11
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
3
3
1
1 2 xdx
1
3
1
3 5
Do đó : ∫
=
− ∫ dx
= ln ( x 2 − 1) − ln x = ln 2 − ln 3
dx
2
∫
2
2
2 2 x −1 2 x
2
2 2
2 x ( x − 1)
3
4
Ví d 13: Tính tích phân sau : I= ∫
3
x +1
dx
x ( x2 − 4)
Cách 1:
A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
x +1
x +1
A
B
C
Ta có :
=
=+
+
=
x ( x 2 − 4 ) x ( x − 2 )( x + 2 ) x x − 2 x + 2
x ( x2 − 4)
Thay các nghi m c a m u s vào hai t s :
Khi x=0 : 1= -4A suy ra : A=-1/4
Khi x=-2 : -1= 8C suy ra C=-1/8
Khi x=2 : 3= 8B suy ra : B=3/8 .
Do đó : f(x) = − −
+
4 x 8 x−2 8 x+2
V y:
1 1
1
1
3
1
3
3
3
x +1
1 1
1
1
3
1
1
3
1
3
=
−
−
+
dx
dx
dx
dx =−
ln x − ln x − 2 + ln x + 2 =
∫3 x ( x 2 − 4 )
∫
∫
∫
42x
8 2 x−2
8 2 x+2
8
8
4
2
4
=
5
3
1
ln 3 − ln 5 − ln 2
8
8
4
Cách 2:
Ta có :
x +1
=
x ( x2 − 4)
2
2
1
1 2x
1
1
1
1 1
1 1 x − ( x − 4) 1 1
+
=
−
=
−
+
−
+
2
2
2
2
( x − 4 ) x ( x − 4 ) 4 x − 2 x + 2 4 x ( x − 4 ) 4 x − 2 x + 2 2 x − 4 x
4
1 x − 2 1
4
x +1
1 1
1
1 2x
1
Do đó : ∫
=
−
+
−=
+ ln ( x 2 − 4 ) − ln x
dx
dx ln
2
∫
2
4 3 x−2 x+2 2 x −4 x
4 x + 2 2
3
3 x ( x − 4)
4
Ví d 14: Tính tích phân sau :
Cách 1: ( H s b t đ nh )
3
x2
∫2 ( x 2 − 1) ( x + 2 ) dx
Gi i
A ( x + 1)( x + 2 ) + B ( x − 1)( x + 2 ) + C ( x 2 − 1)
A
B
C
x2
x2
=
=
+
+
=
( x 2 − 1) ( x + 2 )
( x 2 − 1) ( x + 2 ) ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) x − 1 x + 1 x + 2
Do đó :
3
Thay l n l t các nghi m m u s vào hai t s :
Thay : x=1 Ta c : 1=2A , suy ra : A=1/2
Thay : x=-1 ,Ta có :1=-2B, suy ra : B=-1/2
Thay x=-2 ,Ta có : 4= -5C, suy ra : C=-5/4
x2
=
I= ∫ 2
dx
2 ( x − 1) ( x + 2 )
1 x −1 5
3 1 3
1 1
5 1
1 1
−
−
=
−
+
dx
x
ln
ln
2
ln
=
∫2 2 x − 1 2 x + 1 4 x + 2 2 x + 1 4
2 2 2
3
Cách 2.( Nh y t ng l u )
Trang 12
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Ta có :
1
1
1 x ( x + 1) − ( x − 1)( x + 2 )
+
=
+
( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) x + 2 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
x2
x2 −1 + 1
1
=
=
2
2
( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 2 ) x + 2
1
1
1
1
1 1 1
1
1
x
+
−
+ 1 +
−
=
−
x + 2 2 ( x − 1)( x + 2 ) x + 1 x + 2 2 3 x − 1 x + 2 x + 1
=
T đó suy ra k t qu .
β
D. D NG
∫
α ax
4
R ( x)
dx
+ bx 2 + c
Nh ng d ng này , g n đây trong các đ thi đ i h c ít cho ( Nh ng không h n là
không cho ) , nh ng tôi v n đ a ra đây m t s đ thi đã thi trong nh ng n m các
tr ng ra đ thi riêng , mong các em h c sinh khá ,gi i tham kh o đ rút kinh
nghi m cho b n thân .
Sau đây tôi l y m t s ví d minh h a
Ví d 1. Tính các tích phân sau :
1
∫
a.
(x
0
2
1 + x2
b. ∫
dx
3
1 1+ x
1
1
+ 3x + 2 )
2
dx
2
Gi i
1
1
∫
a.
2
0 ( x + 3x + 2 )
2
dx
Ta có :
x + 3x + 2 =
2
=
1
( x + 1)
1
∫
0
(x
2
+
( x + 1)( x + 2 ) ⇒
1
( x + 2)
1
1
−
( x + 1) ( x + 2 )
1
2
=2
+ 3x + 2 )
+ 3x + 2 )
2
2
=2
( x + 1)( x + 2 )
2
1
1
1
1
−
=
+
− 2
−
. V y :
2
2
( x + 1)( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 2 )
x +1 x + 2
(x
1
1
1
1
x +1 1
1
1
2
2
ln
dx =
dx
+
−
−
−
=
−
−
=+
∫0 ( x + 1)2 ( x + 2 )2 x + 1 x + 2 x + 1 x + 2
x + 2 0
1
1
2
2
f ( x) =
1
2
2 ln 3
3
1 + x2
∫1 1 + x3 dx
1
b.
2
1 + x2
1+ x
1 − x + x2 + x
1 − x + x2
+
(1 + x ) (1 − x + x 2 ) (1 + x ) (1 − x + x 2 )
x
(1 + x ) (1 − x + x 2 )
Ta có : =
=
f ( x) =
3
1
1 2x
x
1
+
⇒ ∫
+
dx
3
1+ x 1+ x
2 1 + x3
1 x +1
1
⇔ f ( x) =
2
Ví d 2. Tính các tích phân sau
3
a.
∫
1
x2 −1
dx
x4 − x2 + 1
x4 + 1
∫0 x6 + 1 dx
1
b.
Gi i
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 13
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
3
a.
∫
1
x2 −1
dx . Chia t và m u cho x 2 ≠ 0 , ta có :
4
2
x − x +1
1
x2 ⇒
f ( x) =
1
x2 + 2 −1
x
1−
3
∫
3
∫
f ( x)dx =
1
1
1
1 − 2 dx
x
2 1
x + 2 −1
x
(1)
x = 1 → t = 2
1
1
1
2
2
t : t = x + ⇒ x + 2 = t − 2, dt = 1 − 2 dx ↔
x= 3 → t= 4
x
x
x
3
V y:
4
3
3
4
3
dt
1
=
f ( x)dx ∫=
∫=
t −3 ∫ t −
2
1
2
2
1
−
dt
3 t+ 3
(
)(
)
2
4
3
1
3 ∫ t−
2
3
t− 3
I = ln
2 3 t+ 3
4
1 1
7−4 3
1
3 = ln − ln
= ln 7 + 4 3 )
7 2 3
2 3 7
2
x4 + 1
b. ∫ 6 dx . Vì :
x +1
0
x 6 − 1=
6
x − 1 =
1
1
(
(x )
(x )
2 3
3 2
− 1=
(x
2
1
dt
t+ 3
)
− 1)( x 4 + x 2 + 1)
− 1 = t 2 − 1( t = x 3 )
Cho nên :
1
1
1
1 3x 2
x4 + 1
x4 − x2 + 1
x2
=
−
⇒ f ( x)dx =
f ( x) =6
∫0 x 2 + 1 − 3 x3 2 + 1dx
x + 1 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) ( x3 )2 + 1 ∫0
( )
1 1
1
1
π 1
V y : I− =
arctan x
arctan
3x 2 )
arctan1arctan3
arctan3
=
=
(
0 3
0
4 3
3
−
Ví d 3. Tính các tích phân sau
x2 + 1
x2 −1
a. ∫ 4 dx ∨ ∫ 4 dx
x +1
x +1
0
0
1
1
a.
1
b.
1
2
1
1+ 2
x +1
x2 −1
x
, g ( x) =
f ( x) =
=
=
x4 + 1 x2 + 1
x4 + 1
2
x
1
1
2
t = x + x ⇒ dt = 1 − x 2 dx, x +
t:
1
1
2
t = x − ⇒ dt = 1 + 2 dx, x +
x
x
⇔∫
1
5
2
dt
f ( x)dx = ∫ 2
=
t −2
2
Trang 14
1
dx
+1
4
Gi i
2
2
2
∫x
1
x +1
x −1
dx ∨ ∫ 4 dx . Ta có :
4
x +1
+1
0
∫x
0
2
5
2
∫
2
(
1
x 2 . Cho nên
1
x2 + 2
x
1
5
= t 2 − 2, x = 1 → t = 2, x = 2 → t =
2
x
2
1−
1
3
= t 2 + 2, x = 1 → t = 0, x = 2 → t =
2
2
x
5
2
.V y:
5
1
1
t− 2
1
ln
dt =
−
2
dt =
∫
2 2 2t− 2 t+ 2
2 2 t+ 2 2
t− 2 t+ 2
1
)(
)
1
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
3
2
2
1
⇔ ∫ g ( x)dx =
dt
2
∫
t +2
1
0
(1) .
1
3
3 2
du ↔ t = 0 → u = 0, t = → u = arctan
= u1
2
cos u
2
4
u1
u1
2du
2
2 u1
2
Do đó (1) ⇔ ∫ 2
=
du
u
=
u1
=
∫
2
0
2
2
2
0 cos u ( 2 + 2 tan u )
0
t : t = 2 tan u → dt = 2
1
1
1 1 + x2 + 1 − x2 1 x2 + 1 x2 −1 1
.
Ta
có
:
dx
=
=
− 4 = ( f ( x) − g ( x) )
F
x
(
)
= 4
∫1 x 4 + 1
x4 + 1 2
x4 + 1
2 x +1 x +1 2
2
b.
ã tính trên ( ph n a)
Ví d 4. Tính các tích phân sau
2
a.
∫ (x
2
1
1− 5
2
∫
c.
1
∫ (x
x −1
dx
− 5 x + 1)( x 2 − 3 x + 1)
b.
∫x
4
3
2
dx
− 4 x2 + 3
x7
d. I = ∫
dx
8
4
1
+
x
−
2x
2
3
x2 + 1
dx
x4 − x2 + 1
2
a.
5
2
2
Gi i
x −1
dx . Ta có :
− 5 x + 1)( x 2 − 3 x + 1)
2
2
1
1
2
2
x −1
x
=
=
⇒
f ( x) =
f ( x)dx
( x 2 − 5x + 1)( x 2 − 3x + 1) x + 1 − 5 x + 1 ∫1
x
x −3
1
1
5
t : t = x + → dt = 1 − 2 dx , x = 1 → t = 2, x = 2 → t =
x
2
x
1−
2
1
1 − 2 dx
x
∫1 1 1
x + − 5 x + − 3
x
x
2
(1)
V y (1) tr thành :
5
2
5
5
1 2 1
1
1 t −5
1
1 5
∫2 ( t − 5)( t − 3) = 2 ∫2 t − 5 − t − 3 dt= 2 ln t − 3 2 = 2 ( ln 5 − ln 3)= 2 ln 3
2
dt
5
2
b.
∫x
3
2
4
dx
1
. Ta có=
: f=
=
( x)
2
4
x − 4x2 + 3
− 4x + 3
Do đó :
5
2
5
2
1
∫ f ( x)dx =
∫ x − 3−− x
2
3
2
3
2
(x
1
2
− 1)( x − 3)
2
1 1
1
− 2
2
2 x − 3 x −1
1
I J (1) V i :
dx =
−1
2
5
5
5
2
1
1
1 2 1
1
1
1
37 − 20 3
x− 3 2
ln
ln
I =∫ 2
dx = ∫
dx =
dx =
−
=
∫
2 3 3 x− 3 x+ 3
2 3 x + 3 3 2 3 65 7 − 4 3
x+ 3
3 x −3
3 x− 3
2
2
2
2
5
2
(
)(
)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
(
)
Trang 15
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1
1
J= ∫ 2
dx=
x −1
0
1− 5
2
∫
c.
1
5
5
1 2 1
1
1 x −1 2 1 3
1 1 15
∫0 ( x − 1)( x + 1) dx= 2 ∫3 x − 1 − x + 1 dx= 2 ln x + 1 3= 2 ln 7 − ln 5 = 2 ln 7
2
2
1
1
x2 + 1
dx .
x4 − x2 + 1
1
x
H c sinh xem l i cách gi i ví d 2-a . Ch khác là đ t : t= x − , s ra k t qu .
3
x7
x4
d. I = ∫
dx = ∫
x 3dx
8
4
2
2 1 + x − 2x
2 x4 −1
3
(
)
(1)
dt = 3 x3 dx, x = 2 → t = 15; x = 3 → t = 80
t : t = x4 −1 ⇒
1 1 1
1 x4
1 ( t + 1)
3
=
=
(
)
3
f
x
dx
x
=
dx
dt
+ dt
2
4
3 ( x − 1)
3 t
3 t t2
80
1 1 1
1
1 80 1 16 13
V y : I = ∫ + 2 dt = ln t − = ln +
t 15 3 3 720
3 t t
3
15
E. TR
NG H P :
β
R ( x)
dx
∫
α Q( x)
( V i Q(x) có b c cao h n 4 )
đây tôi ch l u ý : i v i hàm phân th c h u t có b c t th p h n b c m u t i
hai b c ho c tinh ý nh n ra tính ch t đ c bi t c a hàm s d i d u tích phân mà có
cách gi i ng n g n h n . Ph ng pháp chung là nh v y , nh ng chúng ta khéo léo
h n thì cách gi i s hay h n .
Sau đay tôi minh h a b ng m t s ví d
Ví d 1. Tính các tích phân sau .
1
2
2
a.
dx
∫1 x ( x 4 + 1)
b.
x2 + 1
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx
2
0
Gi i
2
a.
dx
. N u theo cách phân tích b ng đ ng nh t h s hai t s thì ta có :
4
+ 1)
∫ x(x
1
4
3
2
1
A Bx 3 + Cx 2 + Dx + E A ( x + 1) + x ( Bx + Cx + Dx + E )
f ( x) =
=
+ =4
x4 + 1
x ( x 4 + 1) x
x ( x + 1)
=
=
A + B 0 =
A 1
B = −1
A + B ) x + Cx + Dx + Ex+A
(
1
x3
C = 0, D = 0
(
)
f
x
⇔ f ( x) =
⇒
⇔
⇒
=
−
D 0,
=
= C 0,=
x x4 + 1
x ( x 4 + 1)
E 0
A 1
E 0
=
=
4
3
2
Nh ng n u ta tinh ý thì cách làm sau s hay h n .
Vì x và x3 cách nhau 3 b c , m t khác x ∈ [1; 2] ⇒ x ≠ 0 . Cho nên ta nhân t và m u v i
x 3 ≠ 0 . Khi đó f ( x) =
Trang 16
x3
. M t khác d ( x 4=) 4 x3dx ⇔ dt
= 4 x3 dx (=
t x 4 ) , cho nên :
4
4
x ( x + 1)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1 3 x3 dx
1 dt
1 1 1
f ( x)dx = 4 4
=
= −
=f (t ) . Bài toán tr nên đ n gi n h n r t
3 x ( x + 1) 3 t ( t + 1) 3 t t + 1
nhi u . ( Các em gi i ti p )
1
2
b.
x2
∫ ( x − 1) ( x + 3) dx
2
0
Nh n xét :
* N u theo cách h
- f ( x=)
ng d n chung ta làm nh sau :
x +1
2
A
=
( x − 1) ( x + 3)
( x − 1)
3
3
+
B
( x − 1)
2
+
C
D
+
x −1 x + 3
1
2
3
8
5
32
- Sau đó quy đ ng m u s , đ ng nh t h s hai t s , ta có : A = , B = , C =− D =
1
2
Do v y : I=
1
∫ 2 ( x − 1)
0
3
+
3
8 ( x − 1)
2
+
5
5
−
dx
32 ( x − 1) 32 ( x + 3)
1 5
1
3
5
5
1
= −
−
+ ln x − 1 − ln x + 3 2 = ln
2
32
8 ( x − 1) 8 ( x − 1) 32
0 32 28
Ví d 2. Tính các tích phân sau :
x4 −1
∫2 x6 − 1 dx
3
a.
1
d.
∫
0
x
1
3
(1 + x
)
2 3
x2 + 1
∫1 x6 + 1 dx
2
b.
e.
dx
∫
0
2
c.
2
(1 + x
2 3
)
4
1
x + 3x + 1
4
dx
∫ x (1 + x )
1
f.
dx
∫
1
3
1
3 3
(x − x )
x4
dx
Gi i
a.
x4 + x2 + 1
x2 + 2
dx
∫1 ( x 2 − 1)( x 4 + x 2 −+ 1) 3 2 =
1
x
−
(
)
3
Tính J : J= artanx = artan3-artan2 .
2
x4 −1
dx
∫1 x6 − 1 =
2
2
3
x2
1
1
1
∫2 x 2 − 1 dx + ∫2 3 2 + x3 − 1 − x3 + 1 dx
( x ) − 1
3
dt = 3 x 2 dx, x = 2 → t = 8; x = 3 → t = 27
Tính K . t =t x3 ⇒
x2
1 dt
1 1 1
1
=
=
=
−
g
x
dx
dx
(
)
dt
3
2
x −1
3 ( t − 1) 3 2 t − 1 t + 1
3
27
27 1 t − 1 27 1 117
1 1
1
1
Do đó : K= ∫ g ( x=
)dx
ln
1
ln
1
ln
t
t
−
=
−
−
+
=
= ln
dt
(
)
8 6 t + 1 8 6 98
6 ∫8 t − 1 t + 1
6
2
3
3
1
1
Tính E= ∫ 3 dx = ∫
dx
2
x −1
2
2 ( x − 1) ( x + x + 1)
1
−
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
Ta có : h( x)
=
=
=
x 2 − ( x 2 − 1)
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x2
x3 − 1
x2 −1
( x − 1) ( x 2 + x + 1)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 17
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
( x − 1)( x + 1)=− x 2
x +1
=−
3
2
2
( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 x + x + 1
3
3
3
1 3x 2
1 ( 2 x + 1)
V y : I =∫ 3 −dx ∫ 2
−dx ∫
x2
=
−
x3 − 1
3 2 x −1
2 2 x + x +1
2
x2
1 2x +1
+
3
x −1 2 x2 + x + 1
1
1 3
x+ +
2 2
2
2
dx
3 1
3
1
1 28 1 13
ln ( x 3 − 1) − ln ( x 2 + x + 1) =
ln − ln − F
−F
2 2
2
3
3 9 2 6
=
( 2)
3 1
dx =
dt
2
3
c
t
2
os
tan t ⇒
2
x= 2 → tan t= 5 → t= a; x= 3 → tan t= 10 → t= b
3
3
1
2
Tính F :
1
x + x +1
2
+
t : x=
3 1
dt
b
b
5
5
10
2 cos 2t
= ∫ dt = t = b − a t ant= → t= a= artan
; b= artan
a
3
3
3
3
2
a
+
t
1
tan
(
)
2
b
Do đó F= ∫
a
Thay vào (2) ta có k t qu .
x2 + 1
x2 + 1
b. ∫ =
=
=
dx ∫ 2
dx
4
2
x6 + 1
1
0 ( x + 1)( x − x + 1)
2
Ta có :
1
2
∫
1
(x
2
1
2
− 1) − x
2
2
dx
∫ (x
1
1
2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
dx
Cx + D
Ax+B
= 2
+ 2
( x + x + 1)( x − x + 1) x + x + 1 x − x + 1
1
2
2
A + C ) x3 + ( B − A + C + D ) x 2 + ( A − B + C + D ) x + ( B + D )
(
=
x4 − x2 + 1
1
A = − 2
0
C
A+ C =
A −=
C = 1
B − A + C +=
1 −=
0
2
0
D
C
2
ng nh t h s hai t s ta có h :
⇔
⇔
D 0
D 0
A − B + C + =
− B + =
D = 1
B + D 1 +
2
=
=
B D 1
1
B =
2
2
2
1
x +1
1
1− x
V y: I=
dx + ∫ +2
dx =
( J K )(1)
∫ 2
2 1 x + x +1
x − x +1 2
1
Tính J=
1 2x +1− 3
1
2x +1
3
1
−x +1
dx
2
∫1 x 2 + x + 1 dx =− 2 ∫1 x 2 + x + 1 dx =2−∫1 x 2 + x + 1 dx 2+∫1
2
1 3
x+ +
2 2
2
2
2
2
2
1
=−ln x 2
2
3
1
1
3
Tính E = ∫
dx , h c sinh t tính b ng cách đ t : x + = tan t
2
2
21
2
2
1 3
+
+
x
2 2
Tính K
Trang 18
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
2
x+ 1 + E+ ( 2 )
1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1 2x −1 + 3
1
2x −1
3
1
1
x +1
dx =
dx + ∫ 2
dx
=
− +2 dx + ln x 2
2
∫1 x 2 − x + 1=
∫
∫
2
2 1 x − x +1
2 1 x − x +1
20
2
1 3
x− +
2 2
2
K
=
2
2
1
x 1
2
1
F
( 2)
2
3
1
1
3
dx , h c sinh t tính b ng cách đ t : x − = tan t
Tính F= ∫
2
2
21
2
2
1 3
−
+
x
2 2
4
4
2
2
2
dx
1
3x3
1 d ( x ) d ( x ) 1 x 4 2 1 32
c. ∫
=
=
−
=
= ln
dx
ln
4
4
4
∫
∫
4
4
4
1 3 17
+
+
x
x
x
1
3
1
3
3
+
+
x
x
x
x
1
1
(
)
(
)
1
1
1
1
1
x2 =
t − 1; dt =
2 xdx
x3
x2
1
2
d. ∫
t : t =+
dx = ∫
2 xdx (1) .
1 x ⇒
3
2 3
2
2 0 (1 + x )
x = 0 → t = 1, x = 1 → t = 2
0 (1 + x )
2
t −1
1 1
1 1 2 13
dt
=
2 − 3 dt = − + 2 1 =
3
∫
16
t
t t
t 4t
1
1
2
Do đó I = ∫
1
e.
∫
x 4 + 3x 2 + 1
(1 + x )
2 3
0
(1 + x 2 )2
1
1
x2
x2
1
dx
J K (1)
+
+
=+
dx =
dx
∫0 1 + x 2 3 1 + x 2 3 ∫0 1 + x 2 ∫0 1 + x 2 3 dx =
(
)
(
)
(
)
1
Tính J : B ng cách đ t x= tan t ⇒ J=
4
dx =
E F ( 2)
+
2 2
2 3
1
x
+
0 (1 + x )
( )
1
dx = cos 2t dt
x tan t ↔
=
Tính E : B ng cách đ t
x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π
4
1
π
1
Tính K= ∫
−
1
π
2
1 1
V y :=
=
=
E=
dx
2 ∫0 1 + x 2
1
π
2
14
1
1
dt
2
∫
2 0 1 + tan t cos 2t
π
14
2 ∫0
π
1
1
dt
1 cos 2t
cos 4t
14
cos 2tdt
∫
20
π
14
1 1
1π 1 π +2
= ∫ (1 + cos2t ) dt = t + sin 2t 4 = + =
16
40
4 2
0 4 4 2
Tính F. T
ng t nh tính E ;
1
dx = cos 2t dt
x tan t ↔
=
B ng cách đ t
x = 0 → t = 0; x = 1 → t = π
4
π
3
1 1
V y :=
=
=
F=
dx
2 ∫0 1 + x 2
1
π
3
1
1
1
dt
2
∫
2 0 1 + tan t cos 2t
4
4
1
2 ∫0
π
1
1
dt
1 cos 2t
cos 6t
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
14
cos 4tdt
∫
20
Trang 19
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
π
π
π
1
1 4
1 + cos4t
2
= ∫ (1 + cos2t ) dt = ∫ 1 + 2cos2t +
dt 4 =
80
8 0
2
0
4
π
π
1 4
1
1
1 π
3π + 8
( 3 + 4 cos 2t + cos4t ) dt= 3t + 2sin 2t + sin 4t 4= 3 + 2=
∫
64
16 0
16
4
0 16 4
1
f.
∫
1
3 3
( x − x )=
dx
x4
1
3
1
1
1
x − x3 3 1
3 dx
∫1 x3=
x
1
3 1 dx
∫1 x 2 − 1 x 2 . x
3
3
1
dx
dt = −
1
1
x
t : t= 2 − 1 ⇒ t + 1= 2 ⇔
x
x
x = 1 → t = 8; x = 1 → t = 0
3
0 1
8
4
1
3 3
3 73 3 43 8 3 7 3 4
24 3 468
Khi đó I =
16 + =
− ∫ t 3 ( t + 1) dt =
+
=
t
t
dt
t + t =.2 + .2 =
∫
4 0 7
4
7
7 4
7
8
0
* Chú ý : Còn có cách khác
1
1 1 3
− 3
1
1
t t
t x =⇒ dx =
− 2 dt ; f ( x)dx =
4
t
t
1
t
Vì : x ∈ ;1 → x ≠ 0 .
3
1
−=
t−( t
3
1
1 3
t )−==
dt −dt
t 1 2 dt (2) .
t
1
3
3
2
t : u =1 −
1
1
1
⇔ 2 =1 − u; du = dt
2
t
t
t
Ví d 3. Tính các tích phân sau
1
p
e p+2
a.
∫
1
1
c. ∫ e
a
x2
x p+2 + 1
x+ex
∫
b.
dx
0
x3 dx
3
( x2 + a2 ) 2
2a
d.
dx
0
∫x
2ax − x 2 dx
0
Gi i
e
a..
1
p+2
∫
1
-
-
x
x
p
2
p+2
+1
dx (
p+2
2
t : =t x = x
HTNguyên-98) : Ta có : f ( x)dx =
p
+1
2
p
2
dt
x
dx
=
⇒
⇔=
1
+
p
2
x = 1 → t = 1; x = e → t = e
du
dt = cos 2u
t : t = tan u ⇒
⇔ I=
1
π
2
t =1 → u = 4 , t =e → u =u1
Trang 20
p
2
x dx
x
p+2
2
e
I
1
2
+1
∫t
.
dt
+1
2
u1
du
∫π cos2u (1 + tan 2 u )=
4
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
1
3
t (t − t )
1
−
dt
− 2 dt =
t
t
2
u1
∫ du =
π
4
π
4
− u1
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
- T : tan u = e ⇒ u = u1 = artan e ⇔ I =
a
b.
∫
0
x3 dx
(x
+a
2
3
2 2
)
π
− artan e
4
dt
π
dx=a
;
0
0,
x
t
x
a
t
=
→
=
=
→
=
2
cos t
4
3
3
3
dt
x dx
a tan t
t=
: x atant=
⇒ f ( x) =
a
=
3
3
cos 2t
2
2 2
2
1
x
a
+
3
(
)
a
2
cos t
.
π
π
4
4
a
π
3
sin t
V=
y: I =
f ( x)dx=
a cos t.tan =
tdt ∫ a cos t.
dt
∫0=
∫0=
cos3t
0
3
π
4 1 − cos 2 t sin t
(
)
sin t
∫0 a. cos2t dt a ∫0 cos2t dt
4
3
π
1
0→u =
1
du =− s intdt;t= 4 → u = 2 ; t =
t : cost=u ⇒
2
f (t )dt =(1 − u ) −du =1 − 1 du
( ) 2
u2
u
-
V y : I=
2
2
∫
1
1
2
1
1
du
1
−
=
+
u
2=
2
u
u
1
x
dt = e x dx; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = e
x
0
x e
( x)dx e=
e dx et dt
f=
0
V y : I=
1
∫
e
f ( x)dx=
0
2a
∫x
2ax − x 2=
dx
0
3
3 2
3 2 −4
− 2=
− 2=
2
2
2
2
2
+
− 2=
2
2
t : =t e x ⇒
1
c. ∫ e x +e dx = ∫ e x ee dx .
d.
a cos t.tan 3 tdt
∫ e dt=
t
1
2a
∫x
x
e
et = e e − e
1
a 2 − ( x − a ) dx
2
0
π
π
dx = a.costdt,x=0 → t=- 2 ;x=2a → t= 2
t : x −=
a a.sin t ⇒
f ( x)dx
= ( a + a.sin t ) a 2 cos 2t .a.costdt
V y:
π
π
π2
π2
2
1 + cos2t
2
I=
a+3 ∫ (1 sin t ) cos
tdt a 3 ∫ cos
tdt a 3 ∫
=
+ 2tdt ∫ cos 2t sin=
− dt
2
π
π
π
π
−
−
− 2
− 2
2
2
π
π
1 1
1 π π
π
2 1
2
3
3
a 3 + =
= a
a3
t + sin 2t π − cos t π =
3
2
2 2
2 2 2
−
−
2
2
2
π
∫π cos td ( cost )
−
2
2
2
Ví d 4. Tính các tích phân sau
3
a.
1
c.
1
dx
∫2 x5 − x 2
∫
0
b.
0
x3 − 2 x
(x
2
+ 1)
∫
2
2
dx
d.
∫
1
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
x 7 dx
(1 + x )
4 2
1 + x3
dx
x4
Trang 21
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
Gi i
3
a.
∫x
2
3
5
1
dx
=∫ 2
dx
2
2
−x
2 x ( x − 1) ( x + x + 1)
Xét : f ( x) =
=
(1)
1
A B Cx + D
E
= 2+ + 2
+
2
x x + x +1 x −1
x ( x − 1) ( x + x + 1) x
2
A ( x 2 + x + 1) ( x − 1) + Bx ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + ( Cx + D ) x 2 ( x − 1) + E ( x 2 + x + 1) x 2
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
B + C + E ) x 4 + ( A + D − C + E ) x3 + ( E − D ) x 2 − Bx − A
(
.
=
x 2 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
ng nh t h s hai t s ta có h :
1
D = 3
0
−E
B + C + E =
C =
C = − 1
A + D − C=
1
1
1
+E 0
+E 1
3
− x+
E + E=
1
3
3
3
0
0
⇔ B =
⇔ B =
−0 ⇒
+ f ( x) =+2
E − D =
2
x
x + x +1 x −1
B 0
E D
1
E =
3
1
1
−
−
A =
=
A
A = −1
1
1
1
3
3
1 1 x −1 1 1
1 −3x+3
3
V y : I =∫− 2 + 2
+
dx
dx = ∫ − 2 − 2
+
x
x + x +1 x −1
x 3 x + x + 1 3 ( x − 1)
2
2
3
1
dx
1 1
3
2
= − ln x + x + 1 + ln x − 1 − ∫
=2
2
3
x 6
2 2
1 3
x+ +
2 2
2
1 1
x − 1)
(
1
2x+1 3
arctan
+
+ ln 2
x 6 x + x +1
2
3
3
1 1
7
5
=
arctan +
arctan
−
6
3
3
3
1
1
x 7 dx
x4
1
b. ∫
=
3 x3 dx (1) .
2
2
∫
4
3 0 (1 + x 4 )
0 (1 + x )
dt = 3 x3 dx, x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
t : t =+
1 x4 ⇒
1 t −1
1 1 1
dx
dt
2 =
− dt
f ( x)=
3 t
3 t t2
2
1 1 1
1
1 2 1
1
V y : I = ∫ − 2 dt = ln t + = ln 2 −
3t t
3
t 1 3
2
0
2
1
1 ( x − 2)
c. ∫
2 xdx
dx = ∫
2
2
2
2
2
1
1
x
x
+
+
0 (
0 (
)
)
1
x3 − 2 x
Trang 22
(1)
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
dt = 2 xdx; x = 0 → t = 1; x = 1 → t = 2
t : t =1 + x ⇔ x − 2 = t − 3 ⇒
1 t −3
1 1 3
)dx
2 =
dt
− dt
f ( x=
2 t
2 t t2
2
1 1 3
1
3 2 1
3
V y : I = ∫ − 2 dt = ln t + = ln 2 −
t 1 2
2t t
2
2
1
2
2
d.
∫
1
2
1 + x3
1 + x3 2
=
dx
∫1 x6 x dx
x4
2
(1) .
2tdt = 3 x 2 dx; x = 1 → t = 2, x = 2 → t = 3
t : t = 1 + x3 ↔ t 2 =1 + x3 ↔
t
1 1 + x3 2
1
=
=
=
2tdt
2
f ( x)dx 3 x 6 3 x dx 3 2
−
1
t
(
)
V y:
2
=
I
3
2
2
3
1
1 1
1
2 1 1
1 1
−
dt
=
∫ t + 1 + 2 t − 1 − t + 1 =
3 ∫2 4 t + 1 t − 1 6
2
3
2 t2
dt
3 ( t 2 − 1)2
1
1
1
1
+
−
−
∫ ( t + 1)2 ( t − 1)2 t − 1 t + 1 dt
2
3
t − 1 3 1 −2t
t −1 3 8 2 − 3 1
1 1
1
= −
−
− ln
=
−
=
+ ln 2 2 − 2
ln
t + 1 2 6 ( t 2 − 1)
t +1 2
6 t +1 t −1
24
3
(
Ví d 5. Tính các tích phân sau :
4
∫x
a.
7
3
∫
c.
1
dx
x2 + 9
x5 − 2 x3
x2 + 1
0
b.
∫
0
1
d.
dx
(x
2
)
− x ) dx
x2 + 1
∫ (1 − x ) dx
2 3
0
Gi i
4
a.
∫x
7
4
dx
x2 + 9
=
∫x
7
xdx
2
(1) .
x2 + 9
2
2
2
2
5
dt
t = x + 9 ↔ tdt = xdx, x = t − 9
t : t= x + 9 ⇒
=
. Do
đó : I ∫=
2
x = 7 → t = 4, x = 4 → t = 5
4 t (t − 9)
A ( t 2 − 9 ) + Bt ( t + 3) + C ( t − 3) t
1
A
B
C
Ta có : f (t ) =
=+
+
=
t ( t − 3)( t + 3) t t − 3 t + 3
t (t 2 − 9)
2
ng nh t h s hai t s b ng cách thay l n l
- V i x=0 : -9A=1 → A =
−
5
dt
∫ t ( t − 3)( t + 3)
4
t các nghi m vào hai t s ta có :
1
9
1
9
1
- V i x=3 : 9B=1 → B =
9
5
5 1 t 2 − 9 5 1 144
1 1
1
1 1
2
V y :=
−
+
+
=
−
−
=
ln
9
ln
ln
t
t
I
dt
(
)
4 9 ln t =
4 9 35
9 ∫4 t t − 3 t + 3 9
- V i x=-3 : 9C=1 → C =
* Chú ý : N u theo ph
ng pháp chung thì đ t : x= 3sin t → dx= 3cos tdt .
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 23
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
7
x = 7 → 7 = 3sin t ↔ sin t =
3 . Nh v y ta không s d ng đ
Khi :
4
x = 4 → 4 = 3sin t ↔ sin t = > 1
3
này đ
1
b.
∫
0
*
(x
c ph
ng pháp
c.
2
− x ) dx
1
1
x2
x
=
dx
− −∫
dx =
J K (1)
∫
2
2
2
x +1
x +1
x +1
0
0
tính J :
π
1
dx = cos 2t dt , x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 4
t=
: x tan t ⇒
. Tính tích phân này không đ n
1
tan 2 t.
dt
2
2
tan
t
cos t
=
=
dt
f ( x)dx
cost
1 + tan 2 t
gi n , vì v y ta ph i có cách khác .
x2 + 1 −1
=
x2 + 1
x2
- T : g ( x=)
=
x2 + 1
- Hai tích phân này đ u tính đ
1
1
x2 + 1 −
x2 + 1
c.
⇒ ∫ g ( x)dx=
0
1
1
x 2 + 1dx − ∫
∫
0
0
1
x2 + 1
1
1 2
1
+/ Tính : E = ∫ x + 1dx = x x + 1 − ∫ 2 dx = 2 − ∫ x + 1dx − ∫ 2 dx
0 0 x +1
x +1
0
0
0
1
2 1
= 2 − E + ln x + x 2 + 1 ⇒ 2 E = 2 + ln 1 + 2 ⇔ E =
+ ln 1 + 2
0
2 2
1
1
1
1
x
1
* Tính K= ∫ 2 dx = x 2 + 1 = 2 − 1 ; ∫ 2 dx = ln x + x 2 + 1 = ln 1 + 2
0
0
x +1
x +1
0
0
1
2
1
2
1
x2
(
(
)
)
(
Do v y : I=
3
x5 − 2 x3
(
) (
)
(
2 1
2 3
+ ln 1 + 2 + ln 1 + 2 = + ln 1 + 2
2 2
2 2
3
)
3
x5
x3
c. ∫ 2
dx =
J K (1)
∫0 x 2 + 1− dx − 2 ∫0 x 2 + 1 dx =
x +1
0
x 2 = t 2 − 1; xdx = tdt ; x = 0 → t = 1, x = 3 → t = 2
2
2
- Tính J: t =t
x2 + 1 ⇒
x 4 xdx ( t − 1) tdt
=
= ( t 4 − 2t 2 + 1) dt
f ( x)dx = 2
t
x +1
2 38
1
2
Suy ra : J= ∫ ( t 4 − 2t 2 + 1) dt = t 5 − t 3 + t =
2
3
5
1 15
x 2 = t 2 − 1; xdx = tdt ; x = 0 → t = 1, x = 3 → t = 2
2
- Tính K: t =t
x2 + 1 ⇒
x 2 xdx ( t − 1) tdt
=
=
= ( t 2 − 1) dt
f ( x)dx
2
t
x +1
2
2 4
1
Suy ra : K= ∫ ( t 2 − 1) dt = t 3 − t =
3
1 3
1
28 4 48 16
V y : I= + =
=
15 3 15 5
1
Trang 24
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
)
dx
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com
1
d.
∫ (1 − x ) dx .
2 3
0
π
= costdt. x=0 → t=0;x=1 → t=
dx
2
t=
: x sin t →
3
f ( x)dx =1 − x 2 dx =cos 6tcostdt=cos 4tdt
( )
π
π
π
2
1
1 + cos4t
1
1 − cos2t
3 1
Do đó I= ∫
dt =∫ 1 − 2 cos 2t +
dt =
− cos2t+ cos4t dt
∫
2
4 0
2
4 2
8
0
0
2
2
2
π
1
3π
3 1
=
t − sin 2t + sin 4t 2 =
32
8
4 4
0
Gv Ph m Minh T - 0968.469.299
Trang 25
