Chương IV - Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai (Vân - Trần Hưng Đạo - Hải Phòng)

Bài giảng :

Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Giáo viên: NGuyễn Hồng Vân


HÃy gọi tên các đối tượng sau:
+)y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0

Lµ hµm sè bËc hai

+ )ax 2 + bx + c = 0, a 0

Là phương trình bậc hai

Xét biểu thức:
+ )f(x) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0

Lµ tam thøc bËc hai


Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai
I. Định lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai
1. Tam thøc bËc hai
a)Định nghĩa:
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thøc cã d¹ng f(x) = ax 2 + bx + c
Trong đó a,b,c là những số đà cho, a 0
b)VÝ dô: f(x) = x 2 − 5x + 4

f(x) = 2xf(x) = 5x

5

g(x) = x 2 − 4

h(x) = 3x + 2x 2
2

2

c)Chú ý: Nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0, a 0
2
Cũng được gäi lµ nghiƯm cđa tam thøc f(x) = ax + bx + c, a ≠ 0


y

0

a>0
<0
Hình 1

0

x

{

a>0
=0

x1 0

x

{
Hình 3

Hình 2

Xác định dấu của a và cho phù hợp với đồ
y2
thị
y minh họa hµm sè y = ax + bx + c , ( a≠ 0)
0
x

0

x

H×nh 4

{

a<0
∆ <0

H×nh 5

{

a<0
∆ =0

x

x2

x1

a>0
∆ >0

y

x2

H×nh 6

{

a<0
∆ >0

x

y

0

{

y


x
y=f(x)

-

•

-

-

a<0

x

-

0

-b
2a

y =f(x)= ax2 + bx + cy, ( a≠ 0)

-

y

-∞
Cïng dÊu víi a

∆=0

+•
+
+
0

+

a>0
-b
2a

-b
2a
0

+

+
+
+
x

+∞
Cïng dÊu víi a

-


y =f(x)= ax2 + bx + c , ( a≠ 0)
y
a>0

y

-

-

.

-

.

-

-

Cùng dấu với a

x2

x

-

0

-

y=f(x)

+

x

x

ã1
x

+

ã

+

x2

0

+

x1

+

+

.+

+

.
+

a<0

>0
x1

x2

0 Trái dấu với a

0

+
Cùng dấu với a

2.Dấu của tam thức bậc hai
a) Định lý (SGK)

Suy ra quy trình
Dấu của tam thức bậc
xét dấu tam vào
hai phụ thuộcthức
bậc nào?
yếu tố hai?

2

2

b) Bảng xét dấu: f(x) = ax + bx + c, (a ≠ 0), Δ = b − 4ac

+)Δ < 0

+)Δ = 0

b
+∞
x −∞
−
+∞
*)Quy x − ∞xÐt dÊu tam 2a
tr×nh
thøc
f(x)
Cïng dÊu a

f(x)=ax2+bx+b 0 Cïng dÊu a
f(x) Cïng dÊu
+)TÝnh ∆ hc ∆' a
+)XÐt x sè
+ )Δ > 0, f(x) cã 2 nghiÖm x , hÖ ( x a< x )
1
+)NÕu ∆ < 0 hc ∆2= 01 dÊu f(x)
⇒ 2

+∞
x −∞
x1
x2
+)NÕu ∆ > 0 ⇒ t × m nghiƯm của f(x) và lập bảng
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dÊu a 0 Cïng dÊu a


3. ¸p dơng
VÝ dơ1: XÐt dÊu c¸c tam thøc bËc hai sau
2

a)f(x) = x − 4x + 5
Ta cã Δ' = −1 < 0 vµ a = 1 > 0 ⇒ f(x) > 0 víi ∀x ∈ R
2

b)f(x) = −4x + 4x − 1

1
Ta cã ∆ = 0 vµ a = -4 < 0 ⇒ f(x) < 0 víi ∀x ≠
2

2
c)f(x) = x − 5x + 6
Ta cã ∆ = 1 > 0 ⇒ f(x) cã hai nghiÖm x1 = 2, x2 = 3 vµ a = 1 > 0
Ta lËp b¶ng xÐt dÊu

x −∞
f(x)

2

3

0

0

⇒ f(x) > 0 víi ∀x ∈ (-∞,2) ∪ (3,+∞ )
f(x) < 0 víi ∀x ∈ (2;3)

+∞


3. áp dụng
Ví dụ 2: a) Lập bảng xét dấu c¸c tam thøc

*) f(x) = x - 4
x −∞
f(x)

2

*) g(x) = -x − 3x + 4

2

-2

2

0

0

+∞

x −∞
g(x)

-4

1

0

0

b) Tõ ®ã suy ra tập xác định của các hàm số
2

*)y = x 4

*)y =

x+2
2

x 3x + 4

] [

TXĐ là D = ( - ;-2 2;+ )

TXĐ là D = ( - 4;1)

+∞


3. ¸p dơng
VÝ dơ3: XÐt dÊu c¸c biĨu thøc
2

2

a)f(x) = (4 − x )(x + 4x − 5)
2
Ta cã : 4 − x = 0 ⇔ x = −2, x = 2
2
x + 4x − 5 = 0 ⇔ x = 1, x = −5
LËp b¶ng xÐt dÊu:
−∞

x

4−x

-5

2

2

-2

1

0

x + 4x − 5

0

f(x)

0

2
0

0
0

0

0

+∞


Bài tập trắc nghiệm
HÃy chọn đáp án đúng

CÂU 1 : Tam thức f(x) = -2x
a)Luôn dương

b)Luôn âm
2

2

CÂU 2 : Tam thức f(x) = x + 3

c)không dương

d)không âm

a)f(x) > 0, ∀x ∈ ( −∞;− 3 ) ∪ ( 3 ;+∞ )

c)f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R

b)f(x) < 0, ∀x ∈ ( − 3 ; 3 )

d)f(x) > 0, ∀x ∈ R
2

C¢U 3 : Tam thøc f(x) = x + 3x cïng dÊu víi hƯ sè a
c)∀x ∈ (0;−3)
a)∀x ∈ R
b)∀x ≠ −3

d)∀x ∈ −∞ 0 3) ∪ (0; +∞ )
d)∀x ∈ ((−∞;;−) ∪ ( −3;+∞ )
2

C¢U 4 : Tam thøc f(x) = -2x − 4x + 6 tr¸i dÊu víi hÖ sè a

a)∀x ∈ ( −∞;1) ∪ ( −3;+∞ )

b)∀x ∈ ( −1;3)

c)∀x ∈ ( −∞;-3) ∪ (1;+∞ )

d)∀x ∈ ( −3;1)


Vậy điều kiện để
Vậy điều kiện để
Trong trườngbậc hai
hợp nào
tam thức bậc hai
tam thức
dấu luôntam thức bậc

của âm là gì?
luôn dương là gì?
hai không thay đổi?

2.Dấu của tam thức bậc hai
B¶ng xÐt dÊu:

2

2

f(x) = ax + bx + c, (a ≠ 0), Δ = b − 4ac

+)Δ < 0
+∞
x −∞
f(x)
Cïng dÊu a

+)Δ = 0
−

x −∞

b
2a

+∞

f(x) Cïng dÊu a 0 Cïng dÊu a

+ )Δ > 0, f(x) cã 2 nghiÖm x , x ( x < x )
1

2

1

2

+∞
x −∞
x1
x2
f(x) Cïng dÊu a 0 Tr¸i dÊu a 0 Cïng dÊu a


4.Hệ quả: Điều kiện để tam thức không đổi dấu
2
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax + bx + c, a ≠ 0

a > 0
*)f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ 
Δ < 0
a < 0
*)f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
Δ < 0
a < 0
*)f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
Δ ≤ 0

a > 0
*)f(x) ≥ 0, x R
0

Cho
biết
đặc
điểm
chung
của 4
trường
hợp
này?


Ví dụ:Tìm các giá trị của m để tam thức sau luôn dương?
2

f(x) = x 2x + 2 m
Lêi gi¶i:

1 > 0, ∀m
a > 0 ⇔ 
f(x) > 0, ∀x ⇔ 
m − 1 < 0 ⇔ m < 1 ⇔ m < 1

Δ' < 0
VËy víi m<1 tam thức đà cho luôn dương

Cđng cè vµ bµi tËp vỊ nhµ

*) Cđng cè: - Định lý về dấu của tam thức bậchai
- Quy trình xÐt dÊu tam thøc bËc hai
*) Bµi tËp vỊ nhµ:
- Bài 1; 2 (105)
- Bài chép: Tìm m để biểu thức sau luôn dương
f(x) = (2-m)x2-2x+1


Giáo viên : Vũ Thị Huyền Trang


2

b)g(x) =

( −3x + 3x − 1)(2x − 4)
2

x + 3x
2
Ta cã : - 3x + 3x − 1 = 0, cã ∆ = -3 < 0 ⇒ v« nghiƯm
2x − 4 = 0 ⇔ x = 2
2
x + 3x = 0 ⇔ x = -3, x = 0
LËp b¶ng xÐt dÊu
x

−∞

-3

0

2

2

− 3x + 3x − 1

2x − 4
2

x + 3x
g(x)

0
0

0
0

+∞


Hoạt động 1
Từ đồ thị hàm số bậc hai

y = ax 2 + bx + c

H·y nhËn xÐt vÒ dÊu cđa a vµ
y
y
O

x1

x2

y

x
x

O − b

2a

a > 0,
y
x1
O

a < 0,

>0
x2

>0

a > 0,
=0
y − b
x

O

a < 0,

2a

=0

x

x

O
a > 0,
y

<0
x

O

a < 0,

<0

Hoạt động 1
y

<0

O
y
O

x
x

>0

y
O

a>0

a<0

y

=0

x1 x2

x

x

O b

2a
y b
2a

y
x

O

O x1 x2

x

* f(x) cïng dÊu víi a,

DÊu
f(x)

f(x) cïng dÊu
víi a,∀x ∈ R

f(x) cïng dÊu víi a, ∀x ∈ (−∞, x ) ∪ (x ,+∞)
1
2
b

víi ∀x ≠ −
* f(x) tr¸i dÊu víi a,
2a

∀x ∈ (x1 , x 2 )