Ánh xạ không giãn tiệm cận (LV01850)

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯

⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆ ❚■➏▼ ❈❾◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✻


❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷

✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❯

⑩◆❍ ❳❸ ❑❍➷◆● ●■❶◆ ❚■➏▼ ❈❾◆
❚♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤
✻✵ ✹✻ ✵✶ ✵✷

❈❤✉②➯♥ ♥❣❤➔♥❤✿
▼➣ sè✿

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

❚❙✳ ❚r➛♥ ◗✉è❝ ❇➻♥❤

❍➔ ◆ë✐ ✲ ✷✵✶✻


✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❊♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ t❤➛② ❣✐→♦ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❚❙✳ ❚r➛♥ ◗✉è❝
❇➻♥❤✳ ❚❤➛② ✤➣ ❣✐❛♦ ✤➲ t➔✐ ✈➔ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❡♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤
❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤ tî✐ t♦➔♥ ❜ë ❝→❝ t❤➛②
❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✈➔ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✣↕✐ ❤å❝ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï
❝❤ó♥❣ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ✤➙② ✤ç♥❣ t❤í✐✱ tæ✐ ①✐♥ ❝↔♠
ì♥ ❝→❝ ❜↕♥ tr♦♥❣ ❧î♣ ❝❛♦ ❤å❝ ❑✶✽ ❚♦→♥ ●✐↔✐ ❚➼❝❤ ✤ñt ✶ ✤➣ ♥❤✐➺t t➻♥❤
❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❧î♣✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✻✱ ♥➠♠ ✷✵✶✻

❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉


✐✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐
❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❚❙✳ ❚r➛♥ ◗✉è❝ ❇➻♥❤✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ tæ✐ ✤➣ ❦➳ t❤ø❛ t❤➔♥❤ q✉↔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛
❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈î✐ sü tr➙♥ trå♥❣ ✈➔ ❜✐➳t ì♥✳

❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✻✱ ♥➠♠ ✷✵✶✻

❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤✉


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐

▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐✐

✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷✳ ❚➼♥❤ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸✳ ❈➜✉ tró❝ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✹✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✈➔ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

▼ð ✤➛✉✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✸
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✻

∗

✶✳✺✳ ❚æ♣æ ②➳✉ ✈➔ tæ♣æ ②➳✉

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

∗

✶✳✻✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ tæ♣æ ②➳✉ ✈➔ tæ♣æ ②➳✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾
✾

✶✳✻✳✶✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✻✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✻✳✸✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✸

✭✣à♥❤ ❧þ ❆❧❛♦❣❧✉✬s✮

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

✶✵

✶✳✻✳✹✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✻✳✺✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✺

✭✣à♥❤ ❧þ ❊❜❡r❧✐♥✲❙♠✉❧✐❛♥✮

✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

✶✵

✶✳✻✳✻✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✶✳✼✳ ◆❣✉②➯♥ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✽✳ ❚➟♣ ❜➜t ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✐✐✐


✐✈

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳✳✳✳ ✶✷
✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✷✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✹✳ ▼æ✤✉♥ ❧ç✐ ✈➔ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✻✳ ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ✤✉♥ ❧ç✐ ✈➔ ❝➜✉ tró❝ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✸✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✸✺

✸✳✷✳ ◆❤ú♥❣ ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥
tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

✸✳✸✳ ❚✐➺♠ ❝➟♥ s✐➯✉ ❧ô② t❤ø❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✺

❑➳t ❧✉➟♥ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✺✹
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳ ✺✺





ỵ ồ t
ỵ tt t ở ởt tr ỳ q trồ ừ
t t õ õ õ õ t ợ qt
ổ ừ ồ ỏ tở

ồ tt tỹ t t r tứ t t
ồ tr t ợ q t tợ õ t
r tt t ở t tr t sự s rở


X

ổ

T :CC

tọ

n 1

C

t rộ ừ

tỗ t số

T n x T n y kn x y
ữủ ồ ổ

kn = 1 n 1

kn > 0

X

s

,y C
ổ t

lim kn = 1

n

ữ ự sỹ tỗ t t ở ừ ổ
õ ởt ữỡ tữớ ờ r t
tỗ t t ở ừ ổ t ử
số trú t số
t ữớ t ỵ tt r ớ ở


✹

❤ì♥✱ ♥➠♠ ✶✾✼✷✱ s♦ ✈î✐ ♥➠♠ ✶✾✻✺ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❱➔ ❝ô♥❣ ❝â ❧➩
✈➻ ♥â ❦❤â ❤ì♥ ♥➯♥ ❝ô♥❣ t❤ó ✈à ❤ì♥✳
✣➸ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❣✐ó♣ ♥❣÷í✐ ✤å❝ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❧þ t❤✉②➳t →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❜↔♥ t❤➙♥ ♥â✐ r✐➯♥❣ ❤✐➸✉ s➙✉ ❤ì♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲
♥➔②✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❚❙✳ ❚r➛♥ ◗✉è❝ ❇➻♥❤✱ tæ✐
❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏

⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥

✑ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣

❝õ❛ ♠➻♥❤✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ①➙② ❞ü♥❣ ♠ët ❜➔✐ tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧➼ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ❝õ❛ ❧î♣ →♥❤ ①↕ ♥➔②✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❱î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr➯♥ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔✿
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥✳
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ t✐➺♠ ❝➟♥ s✐➯✉ ❧ô② t❤ø❛✳

✹✳ ✣è✐ t÷ñ♥❣ ✈➔ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣è✐ t÷ñ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥✳
P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❈→❝ ❝✉è♥ s→❝❤ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤è✐ t÷ñ♥❣
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳


✺

✺✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➼ ❧✉➟♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ ❝❤✉②➯♥ ❦❤↔♦✳
✲ P❤➙♥ t➼❝❤✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ♠ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

✻✳ ❑➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✣➙② ❧➔ ❜➔✐ tê♥❣ q✉❛♥✱ ❝â ❤➺ t❤è♥❣ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t
❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t✐➺♠ ❝➟♥✳

✻

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳
♥➳✉

x∈M

t❤➻

◆➳✉

diamA

✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø

x

A

✈➔

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝

dist (x, A)

✤➳♥ t➟♣

A✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ ❝õ❛ t➟♣

✣÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿

diamA = sup {ρ (x, y) : x, y ∈ A} ,
dist (x, A) = inf {ρ (x, y) : y ∈ A} .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳

▼å✐ t➟♣ ❝♦♥

D, H

❝õ❛

X❀ u ∈ X✿

ru (D) = sup { u − v : v ∈ D} ,
rH (D) = inf {ru (D) : u ∈ H} ,
CH (D) = {u ∈ H : ru (D) = rH (D)} .
❑❤✐ ✤â✿
✰❙è

ru (D)

✰❙è

rH (D)

✰❙è

CH (D)

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛

(M, ρ)

D

s♦ ✈î✐

u✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ❝❤❡❜②s❤❡r ❝õ❛
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➙♠ ❝❤❡❜②s❤❡r ❝õ❛

D

D

s♦ ✈î✐

s♦ ✈î✐

H✳

H✳

✈➔

A




ởt


u

uD

ữủ ồ ữớ

ru (D) = diamD

ổ t ữủ ồ ữớ

ỗ


õ t

01

sỷ

A X

X

ổ t t

R

t số tỹ

x1 , x2 A, R

ữủ ồ ỗ ợ ồ



t õ

x1 + (1 ) x2 A


ự

A



A X convA

ữủ ồ ỗ ừ

t ỗ ọ t ừ

A

convA = {K X : K A}


convA

t õ t

convA =

X

convA

ợ

K

ỗ

ữủ ồ ỗ õ ừ

{K X : K A} K

A

õ ỗ

ỵ rs A t t convA ụ t

(X, . )


ổ

t ợ ồ

x=y

x 1 y 1



tữỡ ữỡ ợ

x = y

ợ ởt

>0


ợ ồ

> 0

ữủ ồ ỗ t ỗ

t õ

x+y
2

x+y = x + y

< 1


y=0

t

õ

ổ

tỗ t

x 1; y 1; x y

( ) > 0

(X, . )

ữủ ồ ỗ

s ợ ồ

t ổ õ

x+y
2

x, y X

1 ( )







ợ ộ ồ

(X, d)

ổ tr

{x }

d (x , x ) r + r

X

tr

ữủ ồ s ỗ

ồ số tỹ ổ

{r }

s

t õ

B (x , r ) =


trú t


X

ổ õ t õ s



ủ

K

t ồ t ỗ

S

ừ

X

ừ

ữủ ồ õ trú

K

ợ

diamS > 0

õ ự

ởt ổ ữớ



ởt t ỗ

trú t

diamS > 0

D

tr ổ ố

ồ t õ ỗ

X
S

ồ õ

ừ

D

ợ

õ ởt ổ ữớ

ổ ủ t
ổ
t t tứ

X



X Y L(X, Y ) t t tỷ

Y

ợ

T

ừ t tỷ

T L(X, Y )

ữủ

T = sup

Tx
x



: x X; x = 0 = sup { T x : x X; x = 1}
ổ ủ

X

ừ

X X = L(X, R)

ổ t t tử tr

x (x) = x, x ; x X, x X

X




✾

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶✳
❤ñ♣ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛
⑩♥❤ ①↕
❝õ❛

X

x → x∗∗

tr♦♥❣

X∗∗ = L (X∗ , R)

❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥

X✳
❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ❤❛② ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝

X∗∗ ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✷✳
X

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❣å✐ ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕✿

◆➳✉ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝

x → x∗∗

❧➔ t♦➔♥ →♥❤ t❤➻

X = X∗∗ ✳

✶✳✺✳ ❚æ♣æ ②➳✉ ✈➔ tæ♣æ ②➳✉∗

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸✳
{Px∗ }

✈î✐

x∗ ∈ X∗ ✱

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✹✳
✈î✐

x ∈ X✱

ð ✤➙②✿

❚æ♣æ ②➳✉ tr➯♥

ð ✤➙②✿

X

❧➔ tæ♣æ s✐♥❤ ❜ð✐ ❤å ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥

Px∗ (x) = | x, x∗ | , x ∈ X✳
∗

❚æ♣æ ②➳✉

tr➯♥

X∗

✤÷ñ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ ♥û❛ ❝❤✉➞♥

{Px }

Px (x∗ ) = | x, x∗ | ; x∗ ∈ X∗ ✳

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ X ✈➔ X

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❚r➯♥ X∗ ❝â
❤❛✐ tæ♣æ ②➳✉✱ ❧➔ tæ♣æ s✐♥❤ ❜ð✐ X∗∗ ✈➔ tæ♣æ ②➳✉∗ s✐♥❤ ❜ð✐ X✳ ◆➳✉ X ❧➔ ♣❤↔♥
①↕ t❤➻ ❝→❝ tæ♣æ ♥➔② trò♥❣ ♥❤❛✉✳
∗

✶✳✻✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ tæ♣æ ②➳✉ ✈➔ tæ♣æ

②➳✉∗

✶✳✻✳✶✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶
▼ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐

K

❝õ❛

X

❧➔ ✤â♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❧➔ ✤â♥❣ ②➳✉✳

✶✳✻✳✷✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷
◆➳✉

K

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ ❝õ❛

X

t❤➻

convK

❝ô♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳


✶✵

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝á♥ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ tæ♣æ ②➳✉
✶✳✻✳✸✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✸ ✭✣à♥❤ ❧þ ❆❧❛♦❣❧✉✬s✮
❍➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à
tr♦♥❣ tæ♣æ ②➳✉
◆➳✉

X

∗

∗

✳

B (0, 1) tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ X∗ ❧✉æ♥ ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t

✳

❧➔ ♣❤↔♥ ①↕ t❤➻

X = X∗∗ ✱

❞♦ ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❆❧❛♦❣❧✉✬s t❛ ❝â t➼♥❤

❝❤➜t ❞÷î✐ ✤➙②✳

✶✳✻✳✹✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✹
◆➳✉

X

❧➔ ♣❤↔♥ ①↕ t❤➻ ♠é✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ tr♦♥❣

X

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣

tæ♣æ ②➳✉✳

✶✳✻✳✺✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✺ ✭✣à♥❤ ❧þ ❊❜❡r❧✐♥✲❙♠✉❧✐❛♥✮
❈❤♦

A

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛

X✱

t❤➻ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭❛✮ ▼é✐ ❞➣②

{xn }

tr♦♥❣

A

❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳

✭❜✮ ▼é✐ ❞➣②

{xn }

tr♦♥❣

A

❝â ♠ët ✤✐➸♠ tö ②➳✉ tr♦♥❣

✭❝✮ ❇❛♦ ✤â♥❣

A¯

❝õ❛

A

X✳

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉✳

✶✳✻✳✻✳ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ✻
▼ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

X ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉

❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭❛✮

X∗

✭❜✮

B (0, 1)

❧➔ ♣❤↔♥ ①↕✳

❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ tr♦♥❣

X∗ ✳




ồ tr

ồ

x X

X

tỗ t

ự ởt ở tử

x B (0, 1)

ồ t ỗ õ
s

ừ

x (x) = x



X ồ x X tỗ t X K

x (x) sup {x (y) : y K}

ồ t ý

X

K

s

{Kn } t rộ ỗ õ ừ

õ rộ


n Kn

=

ờ r ộ tr ởt t ữủ s tự tỹ ở


M

õ tr t tr M tỗ t tỷ ỹ

t ở ừ

ỵ ổ H f : H H

t f : H H õ t t ở x0 H
f (x0) = x0

t



ởt t

t ố ợ

D

rộ ỗ õ ừ

T :KK

T (D) D

K

ồ t


✶✷

❈❤÷ì♥❣ ✷
❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥
✷✳✶✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳
♠➯tr✐❝

(Z, ρ)

⑩♥❤ ①↕

T

tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠➯tr✐❝

(X, d) ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ X

t❛ ❝â

ρ (T x, T y) ≤ d (x, y)✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳
❳➨t✿

❈❤♦

X = l1

✈➔ ❝❤♦

{en } = {δin }

❧➔ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

l1 ✳

K = conv {en : n ≥ 1, 2...} = {x = {xi } : xi ≥ 0; i = 1, 2...; x = 1}✳

❑❤✐ ✤â

diamK = 2

✈➔ t♦→♥ tû

S

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

Sx = S (x1 , x2 , ...) = (0, x1 , x2 , ...)
❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝ü tø
❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉

K

✈➔♦

Sx = x❀ x = 0

K

♠➙✉ t❤✉➝♥

Kn+1 = convS (Kn ) : n = 1, 2...
ré♥❣✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐

❱➼ ❞ö ✷✳✷✳

❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳

x =

∞
i=1 xi

= 1✳

◆❣♦➔✐ r❛

t↕♦ t❤➔♥❤ ♠ët ❞➣② ❣✐↔♠ ✈î✐ ❣✐❛♦ ❜➡♥❣

x, y ∈ K ✿ lim y − S n x = 2 = diamK ✳

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

n→∞

c0 (N)

♣❤➨♣ ✤➥♥❣ ❝ü

T

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✿


✶✸

T (x1 , x2 , ...) = (1, x1 , x2 , ...)
❧➔ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ ❝â

x∗ = T x∗

t❤➻ t❛ ❝â✿

(x∗1 , x∗2 , x∗3 ...) = (1, x∗1 , x∗2 , ...)✳
◆❤÷♥❣ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â

❱➼ ❞ö ✷✳✸✳

❈❤♦

x∗i = 1

✈î✐ ♠å✐

X = C [−1; 1]

i✱

♥➯♥

x∗

❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝

✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ →♥❤ ①↕

c0 ✳

T✿

(T x) (t) = min {1, max {−1, x (t) + 2t}}✱
❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❜✐➳♥ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❧➯♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ✈➻

(T x) (t) > x (t)

✈î✐

t>0

❤♦➦❝

(T x) (t) < x (t)

✈î✐

t<0

♥➯♥

T

❦❤æ♥❣ ❝â

✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ✈➼ ❞ö tr➯♥ ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ ♥➳✉ K ❦❤æ♥❣
❝♦♠♣❛❝t ✈➔ ❧ç✐ t❤➻ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ T : K → K ❧➔ tç♥ t↕✐ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣
❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳

❇ê ✤➲ ✷✳✶✳ ◆➳✉ K ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ♥❣➦t X ✈➔ T :
K→K

✈➔ ❧ç✐✳

❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤➻ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ❧➔ ✤â♥❣

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❝❤♦

λ ∈ (0; 1)

❚❛ ❝â

✈➔ t➟♣

T

❧➔ ✤â♥❣ ✈➻

T

❧✐➯♥ tö❝✳ ●✐↔ sû

z = (1 − λ) + λy

x = Tx

t❤➻✿

x − Tz + Tz − y = Tx − Tz + Tz − Ty
≤ x−z + z−y
= x−y
≤ x − Tz + Tz − x .

✈➔

y = Ty






x, T z



y

t t tr

x z = x Tz


X

ỗ t



K

y z = y Tz

z = T z


X





K

t ỗ õ ừ ổ

ữủ ồ ữ õ t t t ở ố ợ

ổ ợ ồ ổ

T :K K

t õ

inf T y y = 0

yK

t t t ỗ õ ừ ổ
t ữ õ t t t ở ố ợ ồ

ổ

ỵ ỡ t ở ừ
ổ tr ổ

ỵ r K ởt t ỗ t õ trú


t tr ổ X T : K K ổ
õ T õ t ở tr K

ự

t

F = {D K, T (D) D}

ợ

D

ỗ õ

rộ
õ

F =0

K F

ợ q tự tỹ tự

(F, )

tr

t t ữủ s tự tỹ ở
t

G = {D }

ợ

D F

D = 0

ỗ õ



K


t

T

D


ờ r

F



D


D



ữợ ừ



ự ởt tỷ ỹ t

H

G

H

ự

ỗ ởt ự

d = diamH > 0

sỷ

K



õ trú t tỗ t

zH

s

r = sup { z x : x H} < d
M = {z H : H B (z, r)} = 0

t ủ

õ t

z

r



T (H) B (T z, r)

ổ t õ

z



convT (H) ởt t ủ ỗ õ tr K
convT (H) conv (H) = H

z

ứ t õ

s tr

[0, 1]

z M


M

zn M

xz r
õ


M H

t õ



M

H



ự tọ

T



convT (H) B (T z, r)

t tr



ụ t

H

ỹ t

T z M

convT (H) =

T (M ) M





zn z

ợ ồ

M K

H

x zi

z1, z2 M



r i = 1, 2, ...

z = z1 + (1 ) z2
ợ ồ

x H



ỗ





ỗ õ

õ

H

t

xH

x zn r

z M



M

tứ

M = H

T

t õ

s r

õ

T

õ ợ ồ



M F

u, v M = H

d = diamH = diamM r < d

ỗ ởt tự

t ố ợ

x H

ợ ồ

t ỗ õ t ố ợ

ỹ t

u v r

t

M



M

t tr

ợ

H B (T z, r)

B (z, r)

T (convT (H)) T (H) convT (H)

convT (H) F convT (H) H



H



tr õ

t

H = {x }

T x = x

ỵ rr K t ỗ õ tr


ổ ỗ X T

:KK

ởt ổ õ

t t ở ừ T ỗ õ rộ

ự



X ỗ õ K

t õ

trú t t ỵ r t ủ t ở

T

ừ

rộ r õ õ

T

tử ỏ ự

t ỗ ừ t ủ


u = T u v = T v

õ õ



m = u + (1 ) v

u m = (1 ) (u v)



ợ ởt

[0, 1]

v m = (v u)



T





ổ t õ

u Tm + Tm v u m + m v = u v


u v = (u T m) + (T m v)

u v u Tm + Tm v



t ủ ợ t tự tr t ữủ

u v = u Tm + Tm v
t

x = u T m, y = T m v



>0

X

t õ



x + y = x+y

ỗ t ụ ỗ t tự tr ự tọ tỗ t



u T m = (T m v)

Tm =

1
1+ u

+


1+ v

s ự r

ứ t õ

= u + (1 ) v

=

ợ

=

1
1+

ự sỷ

>

õ t õ

Tv Tm = v Tm = u v > u v = v m








t ợ t ổ ừ
t tữỡ tỹ

Tu Tm > u m

<



T

t t ụ t

=

T m = m

ồ tr

ố t ở ụ t ở t ủ
t ở t ỗ

t rr sỷ ử ỵ tr ự sỹ tỗ

t t ừ ữỡ tr tr ổ rt
ợ ởt t
t ỵ ừ r ởt ọ ữủ t r õ
t ọ ữủ

õ trú t ữủ ổ õ

ởt ổ tr ởt t ủ ỗ t ừ
ởt ổ t õ t tt õ t ở ổ
s ữ r tr ớ ừ ữ r ử
ữợ

ử



X = L1 [0; 1]

t

1

K=

f L1 [0; 1] :

f (t) dt = 1; 0 f (t) 2
0

t


min {2f (2t) , 2} :0 t 1
2
(T f ) (t) =
max {2f (2t 1) 2, 0} : 1 t 1.
2
õ

K

t ỗ t

Tf Tg = f g


T

ỹ tr

K

tự

ữ ổ õ t ở

L1 [0; 1] ổ ổ ởt ọ ỳ

t ởt ổ tr ởt t ỗ õ




ừ ởt ổ õ t tt õ t ở
ổ ọ ữ õ ớ

t r tỗ t t ở ổ
ỏ ọ ỳ t tr ừ
tỗ t t ở tự ợ ồ > 0 tỗ t x s
T x x < ỏ ọ ỳ rt tỹ ử t
ổ tr ởt t ỗ õ ổ õ t
ở t x0 tũ ỵ tr K ợ ộ n t
Tn x = n1 x0 + 1

T x, x K

1
n

K ỗ Tn : K K T ổ Tn
Tn x Tn y = 1

1
n

Tx Ty 1

1
n

xy



ỵ tỗ t xn s xn = Tnxn õ
xn = Tn xn = n1 x0 + 1

õ

xn T xn

T xn xn 0

ừ T

=

1

n

x 0 T xn

1
n

T xn + n1 (x0 T xn )


1
n diamK

n ợ n ừ ợ xn

K
ởt t ở

t ừ t t ở




X

ởt t

K

rộ ỗ õ tr ổ

ồ õ t t t ở ố ợ ổ

ợ ộ ổ



T :KK

ởt ổ

X

õ t ở

ữủ ồ õ t t

t ở ũ ộ t rộ ỗ õ


✶✾

❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✤è✐ ✈î✐ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣
❣✐➣♥✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t➟♣ ✤✐➸♠

❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝❤ò♠ ❤➻♥❤ ❝➛✉✳ ❈❤♦ K ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥✱ ❧ç✐✱ ✤â♥❣
❝õ❛ X ✈➔ ❝❤♦ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ t❤➻ ❤♦➦❝ ❧➔ F ixT = ∅
❤♦➦❝ ❧➔ T ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❜➜t

❜✐➳♥ ❝õ❛ K t❤❡♦ T ✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✸✳ ●✐↔ sû K ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❝â t➼♥❤ ❝❤➜t t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝❤ò♠ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✈➔ ❣✐↔ sû T : K → K
❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❑❤✐ ✤â F ixT ❧➔ ♠➯tr✐❝ ❧ç✐✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
d1 + d2 > 0

❚❛ ♥❤➟♥ ①➨t r➡♥❣ ♥➳✉

t❤➻ t➟♣✿

x, y ∈ F ixT

K1 = B (x, d1 ) ∩ B (x, d2 )

✈î✐

x−y = d =

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣✱ ❧ç✐ ❝õ❛

❝❤ò♠ ❤➻♥❤ ❝➛✉✳ ❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❛♠ ❣✐→❝ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥

T :K→K

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✺✳
♠å✐

x, y ∈ X

❈❤♦

t❤➻

K

F ixT ∩ K1 = ∅✳

❧➔ ❧ç✐ ✈➔ ❝❤♦

t❛ ①➨t ❝→❝ ❤➔♠

φx,y

T :K→K

❧➔ →♥❤ ①↕ ❜➜t ❦ý✱ ✈î✐

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

φx,y (t) = (1 − t) (x − y) + t (T x − T y) , t ∈ [0; 1]✳
❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥

φx,y

❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤❡♦

❣✐➣♥ ✈ú♥❣ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ K

t✳

⑩♥❤ ①↕

❤➔♠

φx,y

T

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣

❧➔ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ tr➯♥

[0; 1]✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✹✳ ❈❤♦ K ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ X ✈➔ ❝❤♦ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♠ët
❤å Fα : K → K ✈î✐ α ∈ [0; 1)❀ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈ú♥❣ ❝â ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t s❛✉✿


✷✵

✭❛✮ ▼å✐ t➟♣ ❝♦♥ K0 ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤è✐ ✈î✐ T ❧➔ Fα✲❜➜t ❜✐➳♥ ✈î✐ ♠å✐

α ∈ [0; 1)✳
✭❜✮ F ixFα = F ixT ✈î✐ ♠å✐ α ∈ [0; 1)✳
✭❝✮ ◆➳✉ T ❝â q✉ÿ ✤↕♦ ❜à ❝❤➦♥ t❤➻ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ K ✿ α→1
lim

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
♥❣❤➽❛✿

❈❤♦

x ∈ K ❀ α ∈ [0; 1)

✈➔ →♥❤ ①↕

Fα x − T Fα x = 0✳
Fα : K → K ❀

✤à♥❤

Tx z = (1 − α) x + αT z : z ∈ K (∗)✳

⑩♥❤ ①↕

Fα x ∈ K

T x ❝â ❤➡♥❣ sè ❧✐♣s❤✐t③ α < 1✳ ◆➯♥ tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ✤✐➸♠
♠➔

T x Fα x = Fα x ✳

❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ ❝❤♦

u, v ∈ K

✣✐➲✉ ♥➔② ①→❝ ✤à♥❤

t❤❡♦

(∗)

Fα : K → K

✈➔

Fα

❧➔

t❛ ❝â✿

Fα u = (1 − α) u + αT Fα u,
Fα v = (1 − α) v + αT Fα v.
◆❤÷ ✈➟②✿

Fα u − Fα v ≤ (1 − α) u − v + α T Fα u − T Fα v
≤ (1 − α) u − v + α Fα u − Fα v .
◆❣❤➽❛ ❧➔✿

F α u − Fα v ≤ u − v
(a)

❚➼♥❤ ❝❤➜t
♠➔

Fα x = x

❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛

❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔

✣➸ ❦✐➸♠ tr❛

✳

x ∈ K✳

(c) t❛ ❣✐↔ sû T

❚➼♥❤ ❝❤➜t

❉♦ ✤â

(c)

❝â t❤➸ s✉② r❛ trü❝ t✐➳♣ ❦❤✐

x = (1 − α) x + αT x✳
❝â q✉ÿ ✤↕♦ ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â

t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥✱ ❧ç✐✱ ❜➜t ❜✐➳♥ t❤➟t ✈➟②

❝❤ù❛

(b)

{Fα x} ⊂ K0

✈➔

T

❧➔

{Fα x}

K0

1−α
α

❝â ❝❤ù❛ ♠ët

✈➔ ❤ì♥ t❤➳ ♥ú❛

❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ ♠å✐

❜➙② ❣✐í s✉② r❛ ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉✿

T Fα x − Tα x =

T

Fα x − x

✳

K0

❝â

α ∈ [0; 1)✳




ữủ s r tứ ổ tự
ỏ ự ộ

[0; 1)



F

F x = (1 ) x + T F x ()



ổ ờ ố

t (0; 1)

t

p = (1 t) x + tF x,
q = (1 t) y + tF y.


()

t õ

1
t
F x +
p + T F x
1t
1t
1t
1t
p+
T F x.
1
1 t
1 t

F x = (1 )
F x =
t

F x = F p

ợ

=

(1t)
1t ữỡ tỹ

F p = F q

ợ

F x F y = F p F q
pq
= (1 t) (x y) + t (F x F y) .
õ

T

ổ ờ

ổ ỗ trữ ỗ


[0; 2] [0; 1]

ổ ỗ ừ ổ

X

số

X :

ữủ

X ( ) = inf 1

x+y
2

: x 1; y 1; x y



t D ởt t ỗ ừ ổ
ỗ X ợ diamD = d > 0 x, y D tọ
m = 21 (x + y) t ợ ồ z D t ý

x+y

d
2