Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Các hàm số lượng giác và các dạng
bài tập
Tiếp theo nội dung của chương trình đại số lớp 10, chương đầu tiên của chương trình đại
số - giải tích lớp 11 chúng ta sẽ tiếp tục học về lượng giác bao gồm hàm số lượng giác và
phương trình lượng giác.
Trong bài này chúng ta sẽ nhắc ba tính chất cơ bản nhất của các hàm số lượng
giác y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx mà ta phải nhớ bao gồm tập xác định, tập
giá trị, tính tuần hoàn và một số dạng bài tập ở phần này.

Tậ
p xác định của hàm số lượng giác
Hàm số y=sinx có TXĐ là D=R.
Hàm số y=cosx có TXĐ là D=R.
Hàm số y=tanx có TXĐ là D=R∖{π2+kπ,k∈Z}
Hàm số y=cotx có TXĐ là D=R∖{kπ,k∈Z}


Tập giá trị của hàm số lượng giác
Hàm số y=sinx có TGT là [−1;1], nghĩa là ta có −1≤sinx≤1∀x∈R.
Hàm số y=cosx có TGT là [−1;1], nghĩa là ta có −1≤cosx≤1∀x∈R.
Hàm số y=tanx có TGT là R.
Hàm số y=cotx có TGT là R.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Hàm số y=sinx tuần hoàn theo chu kỳ là 2π, nghĩa là ta
có sin(x+k2π)=sinx∀x∈R.
Hàm số y=cosx tuần hoàn theo chu kỳ là 2π, nghĩa là ta
có cos(x+k2π)=cosx∀x∈R.
Hàm số y=tanx tuần hoàn theo chu kỳ là π, nghĩa là ta có tan(x+kπ)=tanx∀x∈R.
Hàm số y=cotx tuần hoàn theo chu kỳ là π, nghĩa là ta có cot(x+kπ)=cotx∀x∈R.

Các dạng bài tập hàm số lượng giác
Trong bài này chúng ta có hai dạng toán thường gặp là tìm tập xác định và tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y=sinx+1−−−−−√

b. y=1cos2x

c. y=tan(x−π3)

Giải
a. Hàm số xác định khi: x+1−−−−−√∈R⇔x+1≥0⇔x≥−1
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=[−1;+∞)
b. Hàm số xác định khi: cos2x≠0⇔2x≠π2+kπ(k∈Z)

d. y=1cotx


Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=R∖{π2+kπ|k∈Z}
c. Hàm số xác định khi: x−π3≠π2+kπ⇔x≠5π6+kπ(k∈Z)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=R∖{5π6+kπ|k∈Z}
d. Hàm số xác định khi: {cotx≠0x≠kπ(k∈Z)⇔{x≠π2+kπx≠kπ(k∈Z)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D=R∖{π2+kπ,kπ|k∈Z}
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y=2sinx−3

b. y=cos22x−2

c. y=sinx+3√cosx

Giải
a. Ta có: ∀x∈R thì:

−1≤sinx≤1⇔−2≤2sinx≤2
⇔−5≤2sinx−3≤−2⇔−5≤y≤−2
y=−5⇔sinx=−1⇔x=−π2+k2π(k∈Z)
y=−2⇔sinx=1⇔x=π2+k2π(k∈Z)
Vậy miny=−5 tại x=−π2+k2π(k∈Z)

maxy=−2 tại x=π2+k2π(k∈Z)
b. Ta có: ∀x∈R thì:

−1≤cos2x≤1⇔0≤cos22x≤1
⇔−2≤cos22x−2≤−1⇔−2≤y≤−1
y=−2⇔cos2x=0⇔2x=π2+kπ⇔x=π4+kπ2(k∈Z)
y=−1⇔[cos2x=1cos2x=−1⇔[2x=k2π2x=π+k2π⇔[x=kπx=π2+kπ(k∈
Z)


Vậy miny=−2 tại x=π4+kπ2(k∈Z)

maxy=−1 tại x=kπ hoặc x=π2+kπ (k∈Z)
c. Ta có: y=sinx+3√cosx=2(12sinx+3√2cosx)

=2(cosπ3sinx+sinπ3cosx)=2sin(x+π3)
Đến đây bạn có thể tự giải tương tự như ví dụ a và b.