Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán về tổ hợp – xác suất cho học sinh lớp 11

Lời cảm ơn
Khóa luâ ̣n “Rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài tâ ̣p Tổ hơ ̣p – Xác suấ t cho ho ̣c
sinh lớp 11 đươ ̣c hoàn thành dưới sự giúp đỡ và chỉ bảo tâ ̣n tình của thầ y giáo Tiế n si ̃
Nguyễn Triê ̣u Sơn - Phó Hiệu trưởng Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắ c. Em xin bày tỏ lòng
biế t ơn và kính tro ̣ng tới Thầ y – người đã trực tiế p giúp đỡ em hoàn thành khóa luâ ̣n.
Em trân tro ̣ng cám ơn sự quan tâm và giúp đỡ của các thầ y cô Trường THPT
Nhi ̣ Chiể u – Huyê ̣n Kinh Môn – Tỉnh Hải Dương cùng các em ho ̣c sinh lớp 11A và
11B của trường cùng sự giúp đỡ và ủng hô ̣ nhiê ̣t tiǹ h cùng các ba ̣n sinh viên lớp K53
– Đại học sư phạm Toán Trường Đa ̣i ho ̣c Tây Bắ c.
Em cũng xin đươ ̣c bày tỏ lòng biế t ơn sâu sắ c tới ban chủ nhiê ̣m khoa Toán,
các phòng ban, thư viê ̣n nhà trường đã giúp đỡ, chỉ bảo và ta ̣o điề u kiê ̣n thuâ ̣n lơ ̣i về
nguồ n tài liê ̣u tham khảo trong quá trình nghiên cứu Khóa luâ ̣n.
Đã có nhiề u cố gắ ng, tuy nhiên Khóa luâ ̣n không khỏi có những thiế u xót, em rấ t
mong nhâ ̣n đươ ̣c các ý kiế n đóng góp, phê bình của các thầ y cô và các ba ̣n sinh viên
để khóa luâ ̣n đươ ̣c đầ y đủ và hoàn thiêṇ hơn.
Sơn La, tháng 5 năm 2016.
TÁC GIẢ
Pha ̣m Thu Hằ ng

1


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 5
1. Lý do cho ̣n khóa luâ ̣n .............................................................................................. 5
2. Mu ̣c đích nghiên cứu ............................................................................................... 6
3. Nhiêm
̣ vu ̣ nghiên cứu .............................................................................................. 6
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 6
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luâ ̣n:....................................................................... 6

4.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thư ̣c tiễn ......................................................... 7
5. Cấ u trúc của khóa luâ ̣n........................................................................................... 7
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................. 8
1.1. Kỹ năng giải toán và vấ n đề rèn luyêṇ kỹ năng giải toán cho ho ̣c sinh .......... 8
1.1.1.Kỹ năng ............................................................................................................... 8
1.1.2.Kỹ năng giải toán ............................................................................................... 8
1.1.3.Phân loa ̣i kỹ năng trong môn toán ................................................................... 9
1.1.4.Đă ̣c điể m của kỹ năng giải toán ...................................................................... 10
1.1.5. Sư ̣ hin
̀ h thành kỹ năng giải toán .................................................................... 10
1.2. Nô ̣i dung chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11 ............................................... 11
1.2.1. Vai trò về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11 ........................................... 11
1.2.2. Ý nghiã về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11 ........................................... 12
1.2.3. Mu ̣c đích – yêu cầ u của viêc̣ rèn luyêṇ kỹ năng giải bài toán Tổ hơ ̣p – Xác
suấ t:............................................................................................................................. 13
1.2.4. Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất................................................................... 14
1.3. Vài nét đánh giá thư ̣c tra ̣ng của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất ........ 22
1.4. Kết luận chương 1 .............................................................................................. 27
CHƯƠNG 2. CÁC BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
- XÁC SUẤT .............................................................................................................. 28
2.1. Các định hướng đề xuất biện pháp................................................................... 28
2.2. Các biện pháp rèn luyện .................................................................................... 28

2


2.2.1. Biện pháp 1: Vận dụng các phương pháp dạy học tích cực vào dạy học giải
tốn Tổ hợp - Xác suất. ............................................................................................. 28
2.2.2. Biện pháp 2: Nhấn mạnh vào những dấu hiệu đặc trưng trong truyền thụ
tri thức về Tổ hợp - Xác suất.................................................................................... 35

2.2.3. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng phân chia trường hợp trong dạy học giải
toán thuộc chủ đề Tổ hợp - Xác suất. ...................................................................... 39
2.2.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng toán học hoá các bài toán thực tiễn, và liên
hệ với các mơn học khác trong dạy học giải tốn chủ đề Tổ hợp - Xác suất. ...... 43
2.3. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 52
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 53
3.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................... 53
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................................... 53
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................... 53
3.2.2. Nội dung thực nghiệm. .................................................................................... 53
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................................................... 55
3.3.1. Đánh giá định tính ........................................................................................... 55
3.3.2 Đánh giá định lượng......................................................................................... 55
3.4. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 58
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 60
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 61

3


Bảng ký hiệu các chữ viết tắt

THPT

Trung học phổ thông

PPDH

Phương pháp dạy học

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

SGK

Sách giáo khoa

TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do cho ̣n khóa luâ ̣n

1.1. Lý thuyết xác suất là ngành Tốn học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi
phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lượng, tính toán
Xác suất của một biến ngẫu nhiên. Sự ra đời của lý thuyết xác suất bắt đầu từ trao đổi
giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là Pa-xcan (1623-1662) và Phéc-ma (16011665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ
bạc mà một nhà quý tộc Pháp đặt ra cho Pa-xcan. Ngày nay lý thuyết Xác suất đã trở
thành một ngành Toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của
khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …Đại số Tổ
hợp xuất hiện vào thế kỉ XVII. Trong một thời gian dài, nó nằm ngồi hướng phát
triển chung và những ứng dụng của toán học. Sau khi máy tính điện tử ra đời và tiếp
sau đó là sự phát triển nhảy vọt của toán học hữu hạn. Ngày nay phương pháp Tổ hợp
được áp dụng rộng rãi trong lí thuyết Xác suất với vai trị là cơng cụ tính xác suất,
trong thống kê, trong quy hoạch tốn học, trong hình học hữu hạn, hình học tổ hợp,
trong lý thuyết biểu diễn nhóm, lí thuyết các đại số khơng kết hợp, …
Ngành toán ho ̣c này rấ t cầ n thiế t với đời số ng của con người nhằ m khám phá ra
các quy luâ ̣t của tự nhiên và xã hô ̣i. Mă ̣t khác, các vấ n đề thuô ̣c phương pháp và kỹ
thuâ ̣t tính toán về tổ hơ ̣p và xác suấ t áp du ̣ng rấ t nhiề u trong giải quyế t những bài toán
thực tiễn phức ta ̣p của đời số ng xã hô ̣i.
Vì vâ ̣y lí thuyế t xác suấ t đã đươ ̣c đưa và chương trình toán 11 nhằ m cung cấ p
cho ho ̣c sinh THPT những kiế n thức cơ bản về ngành toán ho ̣c quan tro ̣ng này.
1.2. Mơn Tốn phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trưng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, rèn
luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của
thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lơgic trong những tình huống cụ thể,
khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác. Để có thể ho ̣c tớ t chủ
đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t ho ̣c sinh không những nắ m đươ ̣c các khái niê ̣m các công thức
5


cơ bản như: không gian mẫu, biế n cố , biế n cố xung khắ c,…biế t sử du ̣ng linh hoa ̣t các
quy tắ c cô ̣ng, nhân, giải bài toán tiń h xác suấ t quan tro ̣ng hơn là biế t vâ ̣n du ̣ng các

kiế n thức đó để giải quyế t các bài toán, các tiǹ h huố ng cu ̣ thể .
1.3. Trên tinh thần đó, để phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh
chúng ta cần tăng cường cho học sinh vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống khác
nhau thông qua hệ thống bài tập đa dạng, phong phú để rèn luyện kĩ năng giải toán và
phát triển tư duy cho học sinh. Khi đó, học sinh hiểu biết nhìn nhận mọi vấn đề dưới
nhiều góc độ khác nhau. Thơng qua việc giải các bài tập tốn cịn giúp học sinh hiể u
đươ ̣c bản chấ t của vấ n đề , không còn lúng túng trong viê ̣c giải bài toán tiń h xác suấ t,
hơn nữa ta ̣o cho các em hứng thú ho ̣c tâ ̣p, say mê tìm tòi sáng ta ̣o. Giúp học sinh hiểu
biết hơn về lĩnh vực Tổ hợp - Xác suất là góp phần cho các em say mê mơn tốn nói
riêng và các mơn khoa học khác nói chung.
Với mong muố n ấ y, tôi ma ̣nh da ̣n cho ̣n khóa luâ ̣n: “Rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t
số bài toán về Tổ hơ ̣p – Xác suấ t cho ho ̣c sinh lớp 11”
2. Mu ̣c đích nghiên cứu
Nghiên cứu đặc điểm của chủ đề Tổ hợp - Xác suất trong chương trình phổ
thơng và việc giải tốn Tổ hợp - Xác suất, từ đó xây dựng một số biện pháp sư phạm
nhằm rèn luyện kĩ năng giải mơ ̣t sớ bài tốn Tổ hợp - Xác suất cho học sinh lớp 11.
3. Nhiêm
̣ vu ̣ nghiên cứu
3.1. Tìm hiể u mô ̣t số vấ n đề lý luâ ̣n kỹ năng giải bài tâ ̣p toán
3.2. Làm rõ thêm nô ̣i dung chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t cho ho ̣c sinh lớp 11 và kỹ
năng giải toán thuô ̣c chủ đề này
3.3. Đề xuấ t ra các biê ̣n pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t cho
ho ̣c sinh lớp 11
3.4. Thử nghiê ̣m sư pha ̣m để xem tính khả thi và hiêụ quả của các phương pháp
đề xuấ t.
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luâ ̣n:
6

+Đo ̣c phân tích, hê ̣ thố ng hóa, khái quát hóa, tài liêụ liên quan đế n khóa luâ ̣n
+ Nghiên cứu mô ̣t số tài liêụ về lý luâ ̣n da ̣y ho ̣c, nghiên cứu SGK và mô ̣t số tài liêụ
tham khảo như sách, báo ta ̣p chí liên quan đế n da ̣y và ho ̣c Tổ hơ ̣p – Xác suấ t
4.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thư ̣c tiễn
- Phương pháp quan sát: dự giờ, chủ đô ̣ng quan sát viê ̣c ho ̣c toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t
của ho ̣c sinh lớp 11
- Phương pháp điề u tra: điề u tra bằ ng hê ̣ thố ng câu hỏi và bài tâ ̣p chương Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t
- Phương pháp thử nghiê ̣m
- Phương pháp lấ y ý kiế n chuyên gia
5. Cấ u trúc của khóa luâ ̣n
Tên khóa luâ ̣n: Rèn luyê ̣n kỹ năng giải một số bài toán Tổ hợp – Xác suấ t cho
học sinh lớp 11
Ngoài phầ n mở đầ u khóa luâ ̣n có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luâ ̣n và thực tiễn
Chương 2: Các biêṇ pháp rèn luyê ̣n kỹ năng giải mô ̣t số bài toán xác suấ t cho
ho ̣c sinh lớp 11
Chương 3: Thử nghiê ̣m sư pha ̣m
Kế t luâ ̣n
Tài liêụ tham khảo

7


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng giải toán và vấ n đề rèn luyêṇ kỹ năng giải toán cho ho ̣c sinh
1.1.1. Kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vâ ̣n du ̣ng tri thức khoa ho ̣c và thực tiễn. Trong đó, khả năng
đươ ̣c hiể u là: Sức đã có (về mô ̣t mă ̣t nào đó) để thực hiêṇ mô ̣t viê ̣c gì”
Theo tâm lý ho ̣c, kỹ năng là khả năng thực hiêṇ có hiêụ quả mô ̣t hành đô ̣ng nào

đó theo mô ̣t mu ̣c đích trong những điề u kiê ̣n xác đinh.
̣ Nế u ta ̣m thời tách tri thức và
kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thức thuô ̣c pham vi nhâ ̣n thức, thuô ̣c về khả
năng “biế t”, còn kỹ năng thuô ̣c pha ̣m vi hành đô ̣ng, thuô ̣c pha ̣m vi “biế t làm”.
Các nhà giáo du ̣c cho rằ ng: “Mo ̣i kiế n thức bao gồ m mô ̣t phầ n là thông tin kiế n
thức thuầ n túy và mô ̣t phầ n là kỹ năng”.
Kỹ năng là mô ̣t nghê ̣ thuâ ̣t, là khả năng vâ ̣n du ̣ng những hiể u biế t ở mỗi người để
đa ̣t đươ ̣c mu ̣c đić h. Kỹ năng còn có thể đă ̣c trưng như mô ̣t thói quen nhấ t đinh
̣ và cuố i
cùng kỹ năng là khả năng làm viê ̣c có phương pháp
“Trong toán ho ̣c, kỹ năng là khả năng giải các bài toán. Kỹ năng trong toán ho ̣c
quan tro ̣ng hơn nhiề u so với kiế n thức thuầ n túy, so với thông tin trơn”
“Trong thực tế da ̣y ho ̣c cho thấ y, ho ̣c sinh thường gă ̣p khó khăn khi vâ ̣n du ̣ng các
kiế n thức đã ho ̣c vào giải quyế t các bài tâ ̣p cu ̣ thể là do: ho ̣c sinh không nắ m vững các
khái niê ̣m, đinh
̣ lí, quy tắ c, không trở thành cơ sở của kỹ năng. Muố n hình thành đươ ̣c
kỹ năng, đă ̣c biêṭ là kỹ năng giải toán xác suấ t cho ho ̣c sinh, người thầ y phải tổ chức
cho ho ̣c sinh ho ̣c toán trong hoa ̣t đô ̣ng và bằ ng hoa ̣t đô ̣ng tự giác, tích cực, sáng ta ̣o để
ho ̣c sinh có thể nắ m vững tri thức, có kỹ năng và sẵng sàng vâ ̣n du ̣ng vào thực tiễn.
Góp phầ n thực hiê ̣n nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Ho ̣c đi đôi với hành,
giáo du ̣c kế t hơ ̣p với lao đô ̣ng sản xuấ t, nhà trường gắ n liề n với xã hô ̣i”.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
“Kỹ năng giải toán là khả năng vâ ̣n du ̣ng các tri thức toán ho ̣c để giải các bài tâ ̣p
toán (bằ ng suy luâ ̣n, chứng minh)”.
8


Để thực hiêṇ tố t môn toán trong trường THPT, mô ̣t trong những yêu cầ u đă ̣t ra là:
“Về tri thức và kỹ năng, cầ n chú ý những tri thức, phương pháp đă ̣c biê ̣t là tri thức có
tiń h chấ t thuâ ̣t toán và những kỹ năng tương ứng. Chằ ng ha ̣n: tri thức và kỹ năng giải

bài toán tính xác suấ t bằ ng quy tắ c cô ̣ng, quy tắ c nhân, tri thức và kỹ năng giải bài
toán tiń h xác suấ t theo đinh
̣ nghiã cổ điể n…
Cầ n chú ý là tùy theo nô ̣i dung kiế n thức toán ho ̣c mà có những yêu cầ u rèn luyê ̣n
kỹ năng khác nhau.
1.1.3. Phân loa ̣i kỹ năng trong mơn toán
Giải một bài tốn là tiến hành một hệ thống các hành động có mục đích, do đó chủ
thể giải tốn cần phải: nắm vững các tri thức về hành động, thực hiện hành động theo
các nhu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện
khác nhau. Trong giải Tốn thì kĩ năng của học sinh chính là khả năng vận dụng sáng
tạo, có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải các bài tốn cụ thể,
thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán
một cách khoa học. Hệ thống kĩ năng giải toán của học sinh có thể chia thành ba cấp
độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài tốn cụ thể.
Trong giải Tốn, học sinh cần có nhóm kĩ năng chung sau:
+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài tốn;
+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán;
+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch giải;
+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải tốn và kết quả bài toán;
+ Kỹ năng thu nhâ ̣n hợp thức hoá bài tốn thành kiến thức mới của người giải tốn.
Ngồi ra cần chú ý rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
Nhóm kĩ năng thực hành.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải Tốn.
+ Kĩ năng tính tốn.
+ Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc,
vẽ hình, ...chính xác, rõ ràng.
9


+ Kĩ năng ước lượng đo đạc.

+ Kĩ năng toán học hố các tình huống thực tiễn.
Nhóm kĩ năng về tư duy.
+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán.
+ Kĩ năng tổng hợp.
+ Kĩ năng phân tích.
+ Kĩ năng mơ hình hố.
+ Kĩ năng sử dụng thơng tin.
Xét kĩ năng tốn học trên 3 bình diện: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ
mơn Tốn, kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào những mơn học khác, kĩ năng vận
dụng Tốn học vào đời sống.
1.1.4. Đă ̣c điể m của kỹ năng giải toán
Khái niê ̣m kỹ năng ở trên chứa đựng những đă ̣c điể m sau:
- Bấ t cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyế t đó là kiế n thức.
Bởi vì, cấ u trúc của kỹ năng là: hiể u mu ̣c đić h – biế t cách thức đi đế n kế t quả – hiể u
những điề u kiê ̣n để triể n khai cách thức đó.
- Kiế n thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiế n thức đó phản ánh đầ y đủ các thuô ̣c tính
bản chấ t của đố i tươ ̣ng, đươ ̣c thử nghiê ̣m trong thực tiễn và tồ n ta ̣i trong ý thức với tư
cách là công cu ̣ của hành đô ̣ng. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cầ n thấ y rõ tầ m
quan tro ̣ng của kỹ năng. Bởi vì: “Môn toán là môn ho ̣c công cu ̣ có đă ̣c điể m và vi ̣ trí
đă ̣c biê ̣t trong viê ̣c thực hiêṇ nhiê ̣m vu ̣ phát triể n nhân cách trong trường phổ thông”.
Vì vâ ̣y cầ n hướng ma ̣nh vào viêc̣ vâ ̣n du ̣ng tri thức và rèn luyê ̣n kỹ năng, vì kỹ năng
chỉ có thể đươ ̣c hình thành và phát triể n trong hoa ̣t đô ̣ng.
- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán ho ̣c, bao gồ m: kiế n thức, kỹ
năng, phương pháp.
1.1.5. Sư ̣ hin
̀ h thành kỹ năng giải toán

10

Sự hình thành kỹ năng là làm cho ho ̣c sinh nắ m vững các kiế n thức mô ̣t hê ̣ thố ng
các thao tác nhằ m biế n đổ i và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong các bài
tâ ̣p.
Vì vâ ̣y muố n hình thành kỹ năng cho ho ̣c sinh, chủ yế u là kỹ năng ho ̣c tâ ̣p và kỹ
năng giải toán, người thầ y giáo cầ n phải:
- Giúp ho ̣c sinh hin
̀ h thành mô ̣t đương lố i chung (khái quát) để giải quyế t các đố i
tươ ̣ng, các bài tâ ̣p cùng loa ̣i.
- Xác lâ ̣p đươ ̣c mố i liên hê ̣ giữa những bài tâ ̣p khái quát và các kiế n thức tương
ứng
Ví du ̣: Khi rèn luyê ̣n kỹ năng giải toán xác suấ t bằ ng quy tắ c cô ̣ng, cầ n chú ý
giúp ho ̣c sinh nhâ ̣n ra cách xác đinh
̣ biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p từ đó tiń h xác suấ t của
biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p
Chẳ ng ha ̣n:
1.Mô ̣t hô ̣p đựng 8 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ. Lấ y ngẫu nhiên 3 viên bi. Tiń h xác
suấ t để
a. Lấ y đươ ̣c 3 viên bi cùng màu.
b. Lấ y đươ ̣c 3 viên bi khác màu
c. Lấ y đươ ̣c ít nhấ t 2 viên bi xanh.
Những bài tâ ̣p da ̣ng này giúp ho ̣c sinh củng cố kỹ năng sử du ̣ng quy tắ c cô ̣ng để
tính xác suấ t của biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p. Ngoai ra còn sử du ̣ng kỹ thuâ ̣t đế m và cách
xác đinh
̣ biế n cố đố i, biế n cố hơ ̣p.
Vâ ̣y viê ̣c truyề n thu ̣ kiế n thức, rèn luyê ̣n kỹ năng là nhiê ̣m vu ̣ quan tro ̣ng hàng đầ u
cuả bô ̣ môn toán trong nhà trường phổ thông nói chung và chủ đề toán Tổ hơ ̣p – Xác
suấ t lớp 11 nói riêng.
1.2. Nô ̣i dung chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11
1.2.1. Vai trò về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11
Xu thế chung của giáo dục Tốn học phổ thơng hiện nay trên thế giới là tăng cường

thực hành ứng dụng cho học sinh. Vì vậy đa số các nước trên thế giới đã có sự thống
11


nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có nhiều ứng dụng như Tở Hơ ̣p
- Xác suất.
Theo Nguyễn Bá Kim thì: “Tở hơ ̣p – Xác suấ t có nhiều khả năng trong việc góp
phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh”
TSKH Vũ Đình Hồ khẳng định: “Sự chuyển hướng xây dựng Tốn học hiện đại
dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX. Một trong những
ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính tốn với tập hợp hữu
hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong tổ hợp , . . .”.
Các bài tốn Tở hơ ̣p – Xác suấ t “là một bộ phận quan trọng của tốn học có nội dung
rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời
sống hàng ngày của chúng ta”. Và ngày nay, trong các kì thi quốc gia và quốc tế
thường khơng vắng bóng các bài tốn Tổ hợp – Xác suấ t, nhất là trong các kì thi học
sinh giỏi Tốn. Thơng thường đây là các bài tốn khó khơng chỉ đối với học sinh Việt
nam mà cả với học sinh quốc tế nói chung.
1.2.2. Ý nghiã về chủ đề Tổ hơ ̣p – Xác suấ t của lớp 11
Trong khoa ho ̣c cũng như trong cuô ̣c số ng, chúng ta thường gă ̣p các bài toán xác
đinh
̣ số lươ ̣ng các đố i tươ ̣ng có mô ̣t tính chấ t nào đó, ta go ̣i là bài toán đế m. Tổ hơ ̣p là
mô ̣t ngành toán ho ̣c nghiên cứu các bài toán có cấ u trúc như thế . Nhờ nghiên cứu lý
thuyế t về tổ hơ ̣p mà chúng ta có thể xác đinh
̣ đươ ̣c số lươ ̣ng các phầ n tử của mô ̣t tâ ̣p
hơ ̣p mô ̣t cách nhanh chóng, chính xác mà không cầ n liêṭ kê tấ t cả các phầ n tử vì trong
nhiề u trường hơ ̣p điề u đó là không khả quan. Từ đó mà ta thấ y đươ ̣c rằ ng viê ̣c rèn
luyê ̣n kỹ năng những yế u tố của tổ hơ ̣p là rấ t cầ n thiế t phu ̣c vu ̣ cho nhiề u ứng du ̣ng
trong thực tế hơn nữa là giải toán xác suấ t.
Bản thân mỗi chúng ta thường tiế p xúc, va cha ̣m với biế n cố ngẫu nhiên, những tình

huố ng có yế u tố may rủi, những vấ n đề không thể dự đoán trước đươ ̣c chắ c chắ n xảy ra
hay không xảy ra. Lý thuyế t xác suấ t là ngành toán ho ̣c nghiên cứu tìm ra các quy luâ ̣t
chi phố i các hiê ̣n tươ ̣ng ngẫu nhiên, đưa ra các phương pháp dự báo, ước lươ ̣ng tính

12


toán xác suấ t của mô ̣t biế n cố ngẫu nhiên. Bởi vây, lý thuyế t xác suấ t đươ ̣c sử du ̣ng
trong tấ t cả các ngành của đời số ng xã hô ̣i.
Như vâ ̣y, viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng giải bài toán về Tổ hơ ̣p – Xác suấ t là rấ t cầ n thiế t.
Cầ n rèn luyê ̣n cho ho ̣c sinh những nô ̣i dung cơ bản của những lý thuyế t naỳ để giải
những bài toán thực tiễn.
1.2.3. Mu ̣c đích – yêu cầ u của viêc̣ rèn luyêṇ kỹ năng giải bài toán Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t:
i) Phầ n kiế n thức về Tổ hơ ̣p – Xác suấ t đưa vào chương trin
̀ h lớp 11 nhằ m
cung cấ p cho ho ̣c sinh những hiể u biế t ban đầ u, cơ bản về nô ̣i dung này. Và mu ̣c
đích của viêc̣ rèn luyêṇ nô ̣i dung này là sau khi ho ̣c xong thì ho ̣c sinh đa ̣t đươ ̣c:
a) Về kiế n thức:
-

Nắ m đươ ̣c hai quy tắ c đế m cơ bản là quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân, phân biêṭ
đươ ̣c hai quy tắ c này.

-

Hiể u đươ ̣c các khái niê ̣m hoán vi,̣ chin̉ h hơ ̣p, tổ hơ ̣p. Đă ̣c biê ̣t thấ y rõ mố i liên
hê ̣ và sự khác nhau giữa tổ hơ ̣p và chin̉ h hơ ̣p. Nhớ các công thức tính số hoán
vi,̣ số chin
̉ h hơ ̣p và số tổ hơ ̣p.

-

Nắ m đươ ̣c công thức tính nhi ̣thức Niu-tơn, cách thiế t lâ ̣p tam giác Pa-xcan.

-

Nắ m đươ ̣c các khái niê ̣m: phép thử không gian mẫu, kế t quả thuâ ̣n lơ ̣i cho mô ̣t
biế n cố .

-

Nắ m vững cách tính xác suấ t theo đinh
̣ nghiã cổ điể n.
Nắ m đươ ̣c quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân xác suấ t.

b) Về kỹ năng:
-

Biế t cách vâ ̣n du ̣ng hai quy tắ c đế m cơ bản, các công thức tính số hoán vi,̣ số
tổ hơ ̣p số chỉnh hơ ̣p để giải mô ̣t số bài toán tổ hơ ̣p đơn giản.

-

Biế t vâ ̣n du ̣ng công thức khai triể n nhi ̣ thức Niu-tơn vào các bài toán có liên
quan.

-

Biế t vâ ̣n du ̣ng các kiế n thức tổ hơ ̣p để tính xác suấ t theo đinh

̣ nghiã cổ điể n
của xác suấ t.
13


- Biế t vâ ̣n du ̣ng quy tắ c cô ̣ng và nhân xác suấ t để giải mô ̣t số bài toán xác suấ t
đơn giản.
ii) Rèn luyêṇ kỹ năng giải toán xác suấ t cầ n đa ̣t đươ ̣c những yêu cầ u sau:
1/ Giúp ho ̣c sinh hin
̀ h thành nắ m vững ma ̣ch kiế n thức cơ bản trong chương 2 Tổ hơ ̣p
– Xác suấ t, có thể kể tới các kiế n thức sau:
- Quy tắ c đế m
- Hoán vi –̣ Chin
̉ h hơ ̣p – Tổ Hơ ̣p
- Nhi ̣thức Niu-tơn
- Phép thử của biế n cố
- Xác suấ t của biế n cố
2/ Giúp ho ̣c sinh phát triể n các năng lực trí tuê ̣, cu ̣ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chiń h xác, trong đó có tư duy thuâ ̣t toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tươ ̣ng và trí tưởng tươ ̣ng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổ ng hơ ̣p, khái quát hóa.
- Các phẩ m chấ t trí tuê ̣ như tư duy đô ̣c lâ ̣p, tư duy linh hoa ̣t và sáng ta ̣o.
3/ Coi tro ̣ng viê ̣c rèn luyê ̣n kỹ năng tính toán trong khi ho ̣c giải bài toán về Tổ hơ ̣p –
Xác suấ t
Kỹ năng giải bài tâ ̣p toán, đă ̣c biê ̣t về giải toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t bao gồ m mô ̣t hê ̣
thố ng các thao tác tri tuê ̣ và thực hành để vâ ̣n du ̣ng tri thức (kiế n thức, phương pháp)
vào viê ̣c giải các bài tâ ̣p khác nhau đa ̣t đươ ̣c mô ̣t số yêu cầ u của chủ đề giải bài tâ ̣p về
Tổ hơ ̣p – Xác suấ t trong chương trình giải tích.
1.2.4. Các dạng toán Tổ hợp - Xác suất
Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài tốn này thuộc kiểu

gì?”. Đây khơng hồn tồn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nêu câu hỏi như vậy có
thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừng mực nhất định có nghĩa là
ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó, đối chiếu bài tốn với đoạn này đoạn
kia đã từng được biết đến trong sách giáo khoa hoặc trong q trình giải tốn, thì như

14


vậy chúng ta đã tiến thêm một bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài tốn kiểu
đó mà ta đã nghiên cứu trước đây.
Điều này không chỉ đúng cho những bài tốn giản đơn mà cịn đúng với việc giải
mọi bài toán ở bất kỳ độ phức tạp nào. Câu hỏi nói trên sẽ dẫn đến một câu hỏi tiếp
theo “Có thể sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?”. Và những câu hỏi
tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khi điều bí mật được hé mở.
Việc phân loại các bài tốn, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng
kiểu, có thể giúp ích ta khi giải tốn. Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành
những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một phương pháp giải.
1.2.4.1. Các dạng bài tập về chủ đề Tổ hợp
i) Bài toán đếm
Đây là các bài toán nhằm trả lời cho câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình thoả mãn
điều kiện đã nêu?”. Phương pháp đếm thường dựa vào một số nguyên lý cơ bản và
một số kết quả đếm các cấu hình đơn giản. Bài tốn đếm được sử dụng trong việc tính
tốn xác suất và một số lĩnh vực khác.

 Đặc trưng của bài toán đếm:
Bài toán được cho bằng lời, các vấn đề mà bài toán nhắm đến là các vấn đề nảy
sinh trong cuộc sống hàng ngày. Các đối tượng của bài toán là hữu hạn và rời rạc.



Các dạng bài toán đế m và phương pháp giải:
Bài toán 1: Đế m số phầ n tử của hơ ̣p các tâ ̣p hơ ̣p (quy tắc cộng)

Một cơng việc được hồn thành bởi 2 (hay nhiều) phương án. Nếu có m cách thực
hiện phương án 1 và n cách thực hiện phương án 2 (không trùng với m cách thực hiện
phương án 1) thì sẽ có m + n cách thực hiện cơng việc.
Bài toán 2: Đế m số cấ u hin
̀ h đươ ̣c xây dư ̣ng theo nhiề u bước (quy tắc nhân)

15


Một cơng việc được hồn thành bởi 2 (hay nhiều) bước. Nếu có m cách thực
hiện bước 1 và n cách thực hiện bước 2 thì sẽ có m.n cách thực hiện công việc.
Bài toán 3: Đế m số cấ u hin
̀ h là hoán vị

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử này được gọi
là một hoán vị của n phần tử. Số hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn và được tính bằng
cơng thức: Pn  n!
Bài toán 4: Đế m số cấ u hin
̀ h là tổ hợp

Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách chọn ra k trong n phần tử đó được gọi là
k
một tổ hợp chập k của n phần tử. Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là Cn và

được tính theo cơng thức: Cnk 

n!

k !(n  k )!

Bài toán 5: Đế m số cấ u hin
̀ h là chỉnh hợp

16


Một tập hợp có n phần tử, mỗi cách chọn ra k trong n phần tử đó và sắp xếp thứ tự k
phần tử này được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số chỉnh hợp chập k của
k
k
k
n phần tử ký hiệu là An và được tính theo cơng thức: An  Cn .Pk 

n!
(n  k )!

Bài toán 6: Đế m số cấ u hin
̀ h là hỗn hơ ̣p của nhiề u cấ u hin
̀ h cơ bản
Phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán
đươ ̣c phân theo các da ̣ng cơ bản sau:
Da ̣ng 1. Sắ p xế p các đố i tươ ̣ng vào các vi tri
̣ ́
Cho A là tâ ̣p gồ m m phầ n tử và B là tâ ̣p gồ m n vi ̣trí khác nhau. Yêu cầ u bài toán
là sắ p xế p các phầ n tử của tâ ̣p hơ ̣p A vào các vi ̣trí trong tâ ̣p hơ ̣p B theo mô ̣t điề u kiêṇ
nào đó.
Cách giải. Ta xem trong hai tâ ̣p A và B tâ ̣p nào it́ phầ n tử hơn thì phầ n tử của tâ ̣p
đó đươ ̣c cho ̣n phầ n tử của tâ ̣p còn la ̣i.

 Thí du ̣ 1. cho tâ ̣p hơ ̣p A={1; 2; 3; 4; 5}.
Từ tâ ̣p A lâ ̣p đươ ̣c bao nhiêu số : Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó 1 xuấ t hiêṇ hai
lầ n, còn các số khác xuấ t hiêṇ đúng mô ̣t lầ n?
Lời giải.
Tâ ̣p B gồ m 6 vi ̣trí (ô)
Ta thấ y tâ ̣p A có 5 phầ n tử, còn số cầ n lâ ̣p có 6 chữ số (6 vi ̣ trí như hiǹ h vẽ trên).
Như vâ ̣y các phầ n tử của A sẽ cho ̣n các vi tri
̣ ́. Thực hiê ̣n các bước liên tiế p:
+ Đă ̣t số 5 vào 1 trong 6 ô trên: Có 6 cách.
+ Đă ̣t số 4 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 5 cách.
17


+ Đă ̣t số 3 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 4 cách.
+ Đă ̣t số 2 vào 1 trong 5 ô còn la ̣i: Có 3 cách.
+ Cuố i cùng số 1 phải đă ̣t vao 2 ô cuố i cùng, tức là có mô ̣t cách đă ̣t.
Theo quy tắ c nhân có 6.5.4.3=360 (số ).
Da ̣ng 2. Phương pháp lâ ̣p bảng
 Thí du ̣ 2.
Đô ̣i thanh niên xung kić h của mô ̣t trường trung ho ̣c phổ thông có 12 ho ̣c sinh, gồ m
5 ho ̣c sinh lớp A, 4 ho ̣c sinh lớp B, 3 ho ̣c sinh lớp C. Cầ n cho ̣n 4 ho ̣c sinh đi làm
nhiê ̣m vu ̣, sao cho mỗi lớp có ít nhấ t 1 ho ̣c sinh. Hỏi có bao nhiêu cách cho ̣n như vâ ̣y?
Hướng dẫn giải:
Ta lâ ̣p bảng sau để phân chia các trường hơ ̣p có thể xảy ra:
Trường Lớp A

Lớp B

Lớp C

hơ ̣p

(5 hs)

(4 hs)

(3 hs)

1

1

1

2

C51.C41 .C32  60

2

1

2

1

C51.C42 .C32  90

3

2

1

1

C51.C42 .C31  120

Kế t quả

Số cách cho ̣n

270

Da ̣ng 3: Phương pháp ta ̣o “vách ngăn”
Khi bài toán yêu cầ u xế p hai hoă ̣c nhiề u các phầ n tử không đứng ca ̣nh nhau.
Chúng ta có thể ta ̣o ra các “vách ngăn” các phầ n tử này trước khi xế p chúng.
 Thí du ̣ 3. Có 6 ho ̣c sinh và 2 thầ y giáo đươ ̣c xế p thành hàng ngang. Hỏi có bao
nhiêu các sắ p xế p sao cho 2 thầ y giáo không đứng ca ̣nh nhau?
Lời giải. Trước khi xế p, xế p 6 ho ̣c sinh thành mô ̣t hàng: Có 6! cách. Khi đó mỗi
ho ̣c sinh đóng vai trò là mô ̣t vách ngăn và ta ̣o nên 7 vi ̣trí để xế p 2 thầ y giáo vào đó.
2
+ Xế p 2 thầ y giáo vào 2 trong 7 vi tri
̣ ́: Có A7 cách

18


2
Theo quy tắ c nhân có tấ t cả: 6!. A7  30240 cách sắ p xế p

Da ̣ng 4. Phương pháp “buô ̣c” các phầ n tử
Đố i ngẫu với phương pháp ta ̣o “vách ngăn” là phương pháp “buô ̣c” các phầ n tử.
Các bài tâ ̣p da ̣ng này yêu cầ u xế p hai hoă ̣c nhiề u phầ n tử đứng ca ̣nh nhau. Vì vâ ̣y ta
“buô ̣c” các phầ n tử này thành mô ̣t nhóm và coi như mô ̣t phầ n tử.
 Thí du ̣ 7.
Mô ̣t ho ̣c sinh gồ m 4 ho ̣c sinh lớp A, 3 ho ̣c sinh lớp B, 5 ho ̣c sinh lớp C. Hỏi có bao
nhiêu cách sắ p xế p các ho ̣c sinh trên thành mô ̣t hàng ngang sao cho 4 ho ̣c sinh lớp A
đứng ca ̣nh nhau, 3 ho ̣c sinh lớp B đứng ca ̣nh nhau?
Hướng dẫn giải. Ta “buô ̣c” 4 ho ̣c sinh lớp A la ̣i và coi như mô ̣t phầ n tử A,
“buô ̣c” 3 ho ̣c sinh lớp B la ̣i và coi như mô ̣t phầ n tử B. Khi đó xế p 7 ho ̣c sinh (gồ m 5
ho ̣c sinh lớp C và 2 phầ n tử A, B) thành mô ̣t hàng có 7! cách.
Sau đó xế p thứ tự trong nhóm A có 4! cách; xế p thứ tự trong nhóm B có 3! cách.
Tóm la ̣i, có cả thảy là 7!.4!.3!=725760 cách sắ p xế p.
Da ̣ng 5. Phương pháp tim
̀ gián tiế p: Xét bài toán đố i
Khi giải bài toán bằ ng cách giải trực tiế p gă ̣p khó khăn do xảy ra quá nhiề u trường
hơ ̣p, chúng ta tìm gián tiế p bằ ng cách xét bài toán đố i.
 Thí du ̣ 8. Trong hô ̣p có 20 quả cầ u kích thước giố ng nhau gồ m 10 quả xanh; 10
quả vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấ y ra 9 quả cầ u sao cho 9 quả cầ u lấ y ra đó có
đủ cả hai màu?
Lời giải. Lấ y ra 9 quả cầ u trong 20 quả cầ u:
9
Có C20 cách.

Xét bài toán đố i: Lấ y ra 9 quả cầ u không đủ cả 2 loa ̣i xanh, vàng. Tức là 9 quả cầ u
lấ y ra hoàn toàn là màu xanh hoă ̣c hoàn toàn là màu vàng: Có C109 + C109 cách.
9
9
Như vâ ̣y có C20 2.C10 = 167940 cách lấ y ra 9 quả cầ u thỏa mañ yêu cầ u bài toán

ii) Bài tốn sử dụng cơng thức nhị thức Niu tơn

19


Tính hệ số trong khai triển nhị thức Niu- tơn
 Thí du ̣ 9: Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200
Giải: (2x-3y)200
= (2x+(-3y))200
k
k
k
(2 x) 200k (3x) k  C 200
2 200k x 200k (3) k y k  C 200
2 200k (3) k x 200k y k
= C 200

Ta có



200  k 101
 k  99
k 99

99 99
99 99
2 (3) 99  C 200
6

Vậy hệ số của x101y99 trong khai triển (2x-3y)200 là C 200

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
 Thí du ̣ 10: Chứng minh rằng
k
k 1
1007
1008
C 2015
 C 2015
 C 2015
 C 2015
( 0  k  2014)

Chứng minh một hệ thức giữa các C nk bằng cách biến đổi đại số
 Thí du ̣ 11: Chứng tỏ rằng n nguyên dương thì
C 2nn  C 2nn1 

1 n1
C2n2
2

Giải: Ta có,
C2nn  C2nn1 

=

(2n)!
(2n)!
(2n)!(n  1)!(2n)!n(n  1) 1 (2n)!(2n  2)(n  1)  (2n)!(2n  2)n



 .
n!n! (n  1)!(n  1)!
(n  1)!(n  1)!
2
(n  1)!(n  1)!

1 (2n  2)!
1
.
 .C2nn12
2 (n  1)!(n  1)! 2

Tính tổng các luỹ thừa của cùng một cơ số dạng

n


k 0

Tính tổng C nk
0
1
n
 Thí du ̣ 13: Tính các tổng A= C n  C n  ...  Cn

B= C n0  C n2  C n4  ...
C= C n1  C n3  C n5  ...
Giải:

20

k

ak


Ta có: (1  x) n  C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn x n
Chọn x = 1, ta được A = 2n= B+C
Trong cho x = -1, ta được 0 = B-C
Vậy B = C = A  2 n1
2

1.2.4.2. Các dạng bài tập chủ đề Xác suất
i) Đếm số phần tử của biến cố, không gian mẫu
 Thí du ̣ 14:
Gieo hai con xúc sắc cân đối đồng chất. Mơ tả khơng gian mẫu, tìm số phần tử của
không gian mẫu?
Cách 1:
Ta sử dụng bảng hai chiều để tìm các phần tử của khơng gian mẫu:
Bảng 1.1
1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6, 6)

Khi đó, khơng gian mẫu

  (1,1); (1,2);...; (6,6)  ,   36

Cách 2: Con xúc sắc thứ nhất có 6 khả năng xảy ra, con xúc sắc thứ hai cũng có
6 khả năng xảy ra, theo quy tắc cộng ta có, 6.6 = 36 (khả năng)
Như vậy, khơng gian mẫu có 36 phần tử và khơng gian mẫu

  (1,1); (1,2);...; (6,6)



ii) Bài tốn tính xác suất
+ Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
21


Cách giải: Sử du ̣ng ki ̃ thuâ ̣t đế m và công thức sau để tính xác suấ t theo đinh
̣ nghiã cổ
điể n: P(A) =

A


+ Tính xác suấ t bằ ng quy tắ c cô ̣ng
Cách giải: Sử dụng ki ̃ thuật đế m và các công thức sau để tính xác suấ t của biế n cố
đố i biế n cố hợp
P( A)  1  P( A); P( A  B)  P( A)  P( B) , nế u A  B  

+ Tinh xác suấ t bằ ng quy tắ c nhân
Cách giải. Để tin
́ h xác suấ t biế n cố giao của hai biế n cố đô ̣c lâ ̣p A và B ta dùng công
thức P( AB)  P( A).P( B)
Do thời gian có ha ̣n, khóa luâ ̣n chỉ tâ ̣p trung vào mô ̣t số da ̣ng toán Tổ hơ ̣p – Xác suấ t

tiêu biể u, gơ ̣i mở cho ho ̣c sinh hướng giải và mở rô ̣ng bài toán.
1.3. Vài nét đánh giá thư ̣c tra ̣ng của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất
Với toán Tổ hợp – Xác suấ t đã được đưa vào chương trình Tốn phổ thơng từ
lâu và nội dung tương đối ổn định, nhưng các suy luận khơng hồn tồn giống suy
luận tốn học, lầ n đầ u tiên ho ̣c sinh đươ ̣c ho ̣c các quy tắ c cô ̣ng và quy tắ c nhân; các
khái niê ̣m hoán vi,̣ chin
̉ h hơ ̣p, tổ hơ ̣p. Làm quen với các khái niê ̣m phép thử, không
gian mẫu, các biế n cố liên quan đế n phép thử, các phép toán trên biế n cố , các đinh
̣
nghiã xác suấ t, các công thức tiń h xác suấ t. Do đó các em ho ̣c sinh thường gă ̣p khó
khăn và dễ mắ c sai lầ m khi giải các bài toán thuô ̣c chủ đề này
i) Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp
Theo A.A.Stơliar thì, khơng ít học sinh cịn yếu trong việc nắm cú pháp của
ngơn ngữ Tốn học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định
nghĩa.
Ví dụ 1: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ
số đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cnk ”, hoặc

22


k

“Chỉnh hợp chập k của n là An ”, trong khi đó nói đúng phải là

“ Số Tổ hợp chập k

k

của n là Cnk ”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là An ”,

Ví dụ 2: Khơng phân biệt được A và  A , biến cố A và tập con  A của không
gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A. Chẳng hạn bài toán sau:
Gieo hai con súc sắc cân đối.
a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ
hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)
Họ sinh sẽ giải như sau:
a) Khơng gian mẫu là    a; b  / a, b  N *,1  a  6,1  b  6 , khơng gian mẫu có
36 phần tử
b) Các kết quả thuận lợi cho A là:
 6;1 , 5;1 , 5;2  ,  4;1 ,  4;2  ,  4;3 , 3;1 , 3;2  , 3;3 , 3;4  ,  2;1 ,
 , Biến cố A gồm
2;2
,
2;3
,
2;4
,
2;5
,
1;1
,
1;2
,
1;3
,
1;4
,
1;5
,

1;6























A  

21 phần tử. Vậy P(A) = 21 = 7
36

12

Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với tập  A
mô tả biến cố A do không nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh có cách nhìn rất
hình thức. Tuy nhiên kết quả vẫn đúng..
ii) Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc để vận dụng vào giải
Toán.
Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khi vận
dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm.
Ví dụ 3: Hai quy tắc đếm cơ bản của Đại số tổ hợp là quy tắc cộng và quy tắc
nhân, trong khi vận dụng vào giải Toán học sinh vẫn thường nhầm. Chẳng hạn bài
toán sau:

23


Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 2 học
sinh: một bạn nam và một bạn nữ đi dự lễ kỉ niệm mừng Quốc khánh. Hỏi giáo viên
đó có bao nhiêu cách chọn?
Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài này là dùng quy tắc
cộng, cho rằng có 20 + 23 = 43 (cách chọn). Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân là
có 20.23 = 460 (cách chọn).
iii) Khó khăn trong việc nhận thức các suy luận hợp lí trong sự phân biệt
với các suy luận diễn dịch.
Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất học
sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào đó
cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận diễn
dịch. Do đó làm thế nào để học sinh nhận thức được các suy luận hợp lí trong sự phân
biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giúp các em sử dụng kết hợp
hai suy luận này trong quá trình học Xác suất?
Suy luận hợp lí: “là suy luận có bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng

định không được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (những khái niệm hợp lí
hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nó với độ chính xác thích hợp
(trong hồn cảnh mà nó được áp dụng vào), thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả chấp
nhận được”
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy
luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề (các tiên đề) là
đúng thì kết luận ra cũng đúng. Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn
của Logic hình thức. “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi
được và dứt khốt”
Khi giải các bài tốn Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử
dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng
minh các kết quả đã thu được. Như đã nói kĩ năng này là hồn tồn mới đối với học
sinh, vì thế học sinh khơng tránh khỏi những khó khăn nhất định. ta xét ví dụ sau:
24


Ví dụ 4: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao
cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiện trong lần
gieo thứ nhất.
Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau:
Bước 1: Không gian mẫu là:    i; j  /1  i, j  6
Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”

B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10”
Bước 2: Ta tính A   5;1 ,  5;2 ,  5;3 ,  5;4  , 5;5 , 5;6 
B   4;6 ,  6;4  , 5;5 , 5;6 , 6;5 , 6;6 

Bước 3: Ta áp dụng công thức: P( B / A) 

P( B  A)

P( A)

Bước 4: Tính: P( A  B)  2 ; P( A)  6
36

36

Bước 5: Khi đó P( B / A)  2 : 6  1  0,3
36 36 3

Bước 6: Kết luận P(B / A)  0,3
Trong lời giải trên có sự kết hợp cả của suy luận diễn dịch và suy luận có lí, ta
khơng bắt học sinh phải chỉ ra rõ ràng bước nào là bước suy luận diễn dịch, bước nào
là bước suy luận có lí. Nhưng trong q trình giải tốn Xác suất học sinh phải hiểu
được các bước cần làm, rèn luyện cho học sinh làm được những bước như vậy là góp
phần rèn luyện kĩ năng làm tốn Xác suất đồng thời góp phần phát triển tư duy cho
học sinh.
iv) Khó khăn do ở học sinh cơ sở trực giác cho việc học các yếu tố của Lí
thuyết xác suất là chưa có.
Trực giác tốn học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều
dạng khác nhau. Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được, có thể
là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp khơng phải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển
Bách khoa tồn thư Việt Nam, tr. 1369), là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện
25