NỘI DUNG 3 ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân
A. Tóm tắt lí thuyết
I. CÔNG THỨC
1. Công thức tính diện tích hình phẳng
y
y

xb
(C1 ) : y  f ( x)

xa

(C1 ) : y  f ( x)
(C ) : y  g ( x)
 2
(H ) : 
 1 : x  a

 2 : x  b

(H )

x

a

O

(C 2 ) : y  g ( x)
b

(C 2 ) : x  g ( y)
yb

b

(H )

x
O

(C1 ) : x  f ( y)

b

S

ya

a

(C1 ) : x  f ( y )
(C ) : x  g ( y )
 2
(H ) : 
 1 : y  a


 2 : y  b

b

f ( x)

S

g ( x) dx

f ( y)

g ( y ) dy

a

a

2. Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay
xb
(C ) : y  f ( x)

y
xa

O

a

y0

x
b

2

V     f ( x) dx
b

a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

y
yb
(C ) : x  f ( y )

b
x0

ya

a

x
O

2

V     f ( y ) dy

b

a

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
II. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y
thẳng y

x2

x

3

và đường

2 x 1.

Bài giải
♥ Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường
x2

x

3

x2

2x 1

3x

2

0

x

1

x

2

1
.
6



♥ Diện tích hình phẳng cần tìm là
2

x2

S

3x

2 dx

1
2

x

2

3x

x3
3

2

1

3x 2
2

2

2x
1

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi
1
, y  0, x  0
1  4  3x

các đường y 

và

x 1

xung quanh trục hoành.

Bài giải
♥ Thể tích khối tròn xoay là

1

V 
0

♥ Đặt

t  4  3x ,

Khi đó ta có


ta có khi

x0

thì

dx

1 

4  3x

t  2,

khi



2

.

x 1

thì

t 1

và

x

4  t2
3

nên

dx  

2t
dt .
3

1
2t
2
t
2  1
1 
V 
.
dt 
dt 


 dt
2
2


3 1 (t  1)

3 1  t  1 (t  1) 2 
(1  t ) 3
2
1

2

2

2 
1  2 2  3 1   
3 
ln
|
t

1|


 
 ln     6ln  1 . 
3 
t 1 1
3  2 6 9 
2 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e x  1 ,trục hoành, x = ln3
và x = ln8.
Diện tích S 

ln8



e x  1dx ; Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  e x  t 2  1

ln 3

Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = e xdx  dx 

2t
dt
t 1
2

3
2t 2
2
t 1  3


 3
Do đó S   2 dt    2  2  dt   2t  ln
 2  ln   (đvdt)

t 1
t 1
t 1  2
2

2
2
3

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

0

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (-1; 0). Do đó S  

1

x 1
1 x  2dx =
0

Ta có S 

0

3

 (1  x  2 )dx  ( x  3ln x  2 )|

0
1

1

x 1
và các trục tọa độ.
x2

x 1
dx
x2

 1  3ln

2
3
 3ln  1 .
3
2

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  ( x  1) ln x và đường thẳng
y  x  1.

+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1
+ Diện tích cần tìm là:

y

5

x
-8

-6

-4

-2

2

-5

4

6

8

x = 1 hoặc x = e.

e

e

e

1

1

1

x2
S   ( x  1)(ln x  1) dx   ( x  1)(ln x  1)dx   (ln x  1)d (  x ) 
2
e

x2
x
1 1

 (  x )(ln x  1) |1e   (  1)dx     x 2  x  |1e
2
2
2 4

1



e 2  4e  5
(đvdt).
4

Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x2 , trục hoành và hai

đường thẳng x=0, x=2.
y  x2 , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.

Trên [0; 2] ta có x2  0  x  0  [0;2]
Diện tích của hình phẳng đã cho:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
2

2

1
8
S   x 2 dx  x 3 
3 0 3
0

Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x2 , y  2 x  3 và hai
đường thẳng x =0, x=2.
Đặt f1 ( x)  x 2 , f 2 ( x)  2 x  3
 x  1 [0;2]
Ta có: f1 ( x)  f 2 ( x)  0  x 2  (2 x  3)  0  x 2  2 x  3  0  
 x  3  [0;2]
Diện tích hình phẳng đã cho

2

S   | x 2  2 x  3 | dx
0

1

2

  ( x  2 x  3)dx   ( x 2  2 x  3)dx
2

0

1
1

2

 x3

 x3

   x 2  3x     x 2  3x 
 3
0  3
1

1
8

1
5 7
 2   4  6  1 3    4
3
3
3
3 3



Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y  x 2 , y  x  2
 x  1
Ta có: x 2  ( x  2)  0  x 2  x  2  0  
x  2
Diện tích hình phẳng
2

 x3 x 2

8
1 1
9
S   | x  x  2 | dx     2x    2  4    2 
3 2
2
 3 2
 1 3
1
2

2

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
y x 3 4x 2 3x 1 và y
2x 1 .
Cho x 3

4x 2

3x

2x

1

1

 Diện tích cần tìm là: S
hay S

2
1

(x 3

4x 2

5x

2)dx

x3
2
1

4x 2

x3

x4
4

5x

2

4x 2

5x

4x 3
3

5x 2
2

0

x

1

x

2

2 dx
2

2x
1

1
12

1
(đvdt)
12

Câu 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y  x 3  3x 2  4 và đường thẳng
: y   x  1
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
Phương trình hoành độ giao điểm của C  và  là:

 x 3  3x 2  4  x  1  x 3  3x 2  x  3  0
 x  1
  x  3
 x  1

Diện tích hình phẳng phải tìm:
S

  x
3

3

 3x  4   x  1 dx 
2

1



1



  x
1

3

 x

3

 3x 2  x  3 dx

1

1

 x

3

3

3

 3x 2  x  3 dx    x 3  3x 2  x  3 dx
1

 3x 2  x  3dx 

1

  x
3

3

 3x 2  x  3dx

1
1

3

 x4

 x4

x2
x2
3
3
  
x 
 3x    
x 
 3x 
2
2
 4
 1  4
1

  4  4  8 (đvdt)

Câu 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  ( x  1).( x 2  2 x) với trục
hoành.
Ta có

x  0

( x  1).( x 2  2 x)  0   x  1


 x  2

Do đó diện tích cần tìm là
2

S   ( x  1).( x 2  2 x) dx
0
1

2

  ( x  1).( x 2  2 x) dx   ( x  1).( x 2  2 x) dx
0

1

1

2

  ( x  1).( x 2  2 x)dx   ( x  1).( x 2  2 x)dx
0

1
1

2

1
1
  ( x 2  2 x)d ( x 2  2 x)   ( x 2  2 x)d ( x 2  2 x)
20
21
1

1

2



  ( x 2  2 x) 2  ( x 2  2 x) 2 
4
0
1




1
1  (0  1)
4
1
 .
2



Câu 10. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D)
giới hạn bởi y  1  x 2 , y  0
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Nguyên hàm – Tích phân

FB: />
Ta có: 1  x2  0  x  1
b

Áp dụng công thức: V    f 2 ( x)dx
a

1


2x 3 x5 
2
4
2 2
Ta có: V    (1  x ) dx    1  2x  x  dx    x 
 
3
5  1


1
1
1

1

 2 1  
2 1 
4 2  16

  1      1        2    
3 5 
3 5  15

 3 5  

Câu 11. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): y  x sin x , các trục Ox, Oy và
đường thẳng x 


4

. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox.

Thể tích khối tròn xoay cần tính là




4



V=   ( x sin x) 2 dx =  04 x.sin 2 xdx   04 x.
0





4

2 4

x
+  xdx =
2
0

+





4
0



0

2



1  cos 2 x
 
dx    4 xdx   4 x cos 2 xdx 
0
2
2 0


.

32

x cos 2 xdx . Đặt từng phần u = x, dv = cos 2xdx. Ta có du = dx, v =

Từ đó, tính được





4
0

x cos 2 xdx =

1
sin 2x.
2

 2
 1
(  4  8) .
 . Do đó, V =
64
8 4

Câu 12. Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường y = tanx ; y=0 ; x=0; x =



4

quanh trục Ox.

Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm:





4

1

  (
 1) dx   (tan x  1) 04   (1  )
2
4
0 cos x

4
V    tan 2 xdx
0

Câu 13. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  x3  1 ,y =0,x =0,x =1 khi quay xung quanh trục Ox.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y  x3  1 và y=0:
x3  1  0  x  1  0;1

Gọi V là thể tích của vật thể cần tìm:
1

 x7 1 4

 1 1  23


V    ( x  1) dx    ( x  2 x  1)dx
  x  x       1   (đvtt )
 7 2  14
 7 2
0
0
0

1

1

3

2

6

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ