Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN

TRẦN THỊ HOÀI

TUYẾN TÍNH HÓA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC
TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2014


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Thang thời gian . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . .
1.1.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Một số kí hiệu . . . . . . . . .
1.1.4 Đạo hàm trên thang thời gian
1.2
1.3

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
1
2
3
6

Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Nguyên lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian
2.1
2.2

.
.
.
.
.

ii
iii

12

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Định lí tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian

29

3.1 Thang thời gian tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 30
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tài liệu tham khảo

34

i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong
thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,
thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi
người.
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy
đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những
người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao
học.
Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại

Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thiện các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng
hộ tôi vô điều kiện.

ii


Lời nói đầu
Gần đây, lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian được phát
triển một cách có hệ thống nhằm hợp nhất và suy rộng lí thuyết phương trình
vi phân và phương trình sai phân. Luận văn trình bày lí thuyết phương trình
động lực trên thang thời gian với bài toán tuyến tính hóa.
Xét hệ phương trình tuyến tính
x∆ = A(t)x,

(1)

và hệ phương trình nửa tuyến tính
x∆ = A(t)x + f (t, x)

(2)

trong đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)).
Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô chúng tôi sẽ nghiên
cứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính (1) và hệ phương trình nửa
tuyến tính (2). Trong luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một vài điều kiện đủ
đảm bảo cho sự tồn tại của hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bị
chặn của hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1).
Chúng tôi mở rộng định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ động

lực trên thang thời gian. Ở đây, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp giải
tích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô trên thang thời gian. Kết quả
là mới ngay trong trường hợp T = R. Để đưa ra một cách đầy đủ các phương
pháp khác nhau nghiên cứu bài toán tương đương tôpô, chúng tôi xem xét các
kết quả khác nhau từ công trình nghiên cứu đầu tiên của Higler. Hơn nữa, chúng
tôi sẽ chứng minh hàm tương đương H (t, x) cũng là ω - tuần hoàn khi hệ là ω tuần hoàn.
Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian
chứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) và
hệ phương trình tuyến tính (1). Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các khái
niệm nhị phân mũ, và xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x). Nội dung luận
văn trình bày kết quả chính trong bài báo " A new analytical method for the
linearization of dynamic equation on measure chains" của Yonghui Xia, Jinde
Cao và Maoan Han.
Luận văn được chia thành ba chương
iii


Chương 1: trình bày khái niệm cơ bản trên thang thời gian và các kí hiệu,
khái niệm nhị phân mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân và
khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian.
Chương 2: chứng minh sự tồn tại hàm tương đương tôpô của hệ phương trình
nửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. Đây chính là mục đích chính của
luận văn.
Chương 3: chứng minh hàm tương đương là ω - tuần hoàn nếu hệ tuyến tính
là ω - tuần hoàn trên thang thời gian.
Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót.
Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng
nghiệp.
Hà nội, tháng 12 năm 2014
Trần Thị Hoài

iv


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Thang thời gian

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Thang thời gian là tập con đóng, khác rỗng tùy ý của tập số
thực R.
Kí hiệu thang thời gian là T.
Các tập R, Z, N, [0, 1] ∪ [2, 3] là ví dụ về thang thời gian.
Sau đây ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui và hàm graininess
trên thang thời gian.
Định nghĩa 1.2. Cố định t ∈ T. Toán tử σ : T −→ T xác định bởi
σ (t) := inf {s ∈ T : s > t}

được gọi là toán tử nhảy tiến trên thang thời gian T.
Ví dụ:
Nếu T = Z thì σ (n) = n + 1.
Nếu T = R thì σ (t) = t.
Định nghĩa 1.3. Cố định t ∈ T. Toán tử ρ : T −→ T xác định bởi
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}

được gọi là toán tử nhảy lui trên thang thời gian T.

1


Ví dụ:
Nếu T = Z thì ρ(n) = n − 1.
Nếu T = R thì ρ(t) = t.
Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật
phải, điểm bị cô lập và điểm trù mật như sau.
Nếu σ (t) > t, ta nói t là rời rạc phải.
Nếu ρ(t) < t, ta nói t là rời rạc trái.
Nếu ρ(t) < t < σ (t), ta nói t bị cô lập.
Nếu σ (t) = t, ta nói t trù mật phải.
Nếu ρ(t) = t, ta nói t trù mật trái.
Nếu ρ(t) = t = σ (t), ta nói t trù mật.
Định nghĩa 1.4. Hàm µ : T −→ [0, ∞) xác định bởi
µ(t) := σ (t) − t

được gọi là hàm graininess.
Ví dụ:
Nếu T = Z, ta có µ(n) = 1.
Nếu T = R, ta có µ(t) = 0.
Ta định nghĩa tập
Tκ =

T \ (ρ (supT) , supT) nếu supT < ∞
T
nếu supT = ∞.

Sau đây ta giới thiệu một số khái niệm liên quan đến hàm mũ trên thang thời
gian.

1.1.2

Hàm mũ

Ta kí hiệu tập tất cả các hàm regressive và rd - liên tục f : T −→ R bởi
R = R(T) = R(T, R).

Định nghĩa 1.5. Giả sử p ∈ R, ta định nghĩa hàm mũ tổng quát trên thang
thời gian như sau
t

ep (t, s) = exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

trong đó, ξµ(τ ) (p(τ )) =

1
Log (1 + µ(τ )p(τ )).
µ (τ )
2

, t, s ∈ T.

Bổ đề 1.1. Với p ∈ R, ta có
ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), τ, s, t ∈ T.

Chứng minh. Giả sử p ∈ R với τ, s, t ∈ T, ta có
t

ep (t, τ )ep (τ, s) = exp

τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

τ

s
t

= exp

τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ +
τ

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

t

= exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ
s

= ep (t, s).
Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta giới thiệu một số tính chất của hàm mũ trong định lí sau.
Định lý 1.1. Giả sử các hàm p, q ∈ R. Khi đó ta có
(i) e0 (t, s) ≡ 1 và ep (t, t) ≡ 1;
(ii)ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s);
1
= e p (t, s);
(iii)
ep (t, s)
1
(iv) ep (t, s) =
= e p (s, t);
ep (s, t)
(v) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s);
ep (t, s)
(vi)
= ep q (t, s).
eq (t, s)
Chứng minh. Xem [ 1 ].
Bây giờ ta sẽ giới thiệu một số kí hiệu được dùng trong luận văn.

1.1.3

Một số kí hiệu

Giả sử T là thang thời gian tùy ý với hàm bị chặn graininess µ và X là không
gian Banach thực hoặc phức với chuẩn · .
Gọi L (X1 , X2 ) là không gian tuyến tính các ánh xạ tuyến tính liên tục với
chuẩn xác định bởi
T := sup T x , ∀T ∈ L (X1 , X2 ) .
x =1

3


Gọi GL (X1 , X2 ) là tập các đẳng cấu tuyến tính giữa hai không gian con X1 , X2
của X.
IX1 là ánh xạ đồng nhất trên X1 .
L (X) := L (X, X).
N (T ) = T −1 ({0}) là không gian nhân.
R (T ) := TX là khoảng biến thiên của T ∈ L (X).

Một vài kí hiệu đặc trưng cho phép toán trên thang thời gian
T+
τ := {t ∈ T : t ≥ τ }, ∀τ ∈ T.
T−
τ := {t ∈ T : t ≤ τ }, ∀τ ∈ T.
Ta cũng dùng kí hiệu ρ+ để chỉ toán tử nhảy tiến, tức là ρ+ (t) = σ (t), ∀t ∈ T.
Tập J ⊆ T được gọi là không bị chặn trên (tương ứng dưới) nếu tập
{µ (t, τ ) ∈ R : t ∈ J, ∀τ ∈ T}

không bị chặn trên (tương ứng dưới).
Đạo hàm riêng cấp 1 của ánh xạ Φ : T × T −→ X, kí hiệu là ∆1 Φ.
Crd (Tκ , X) là tập các ánh xạ rd - liên tục từ Tκ đến X.
Crd R+ (Tκ , R) là không gian tuyến tính của các hàm regressive với các phép

toán đại số
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t),
a(t) − b(t)
,
(a b)(t) :=
1 + µ(t)b(t)
(1 + ha(t))α − 1
(α a)(t) := lim
, t ∈ Tκ ,
h

h

µ(t)

trong đó a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) , α ∈ R và
Crd R+ (Tκ , R) := {a ∈ Crd (Tκ , R) : 1 + µ (t) a (t) > 0, t ∈ Tκ }.

Nếu T = R thì
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t),
(a

b)(t) := a(t) − b(t).

4

Nếu T = Z thì
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t),
a(t) − b(t)
(a b)(t) :=
.
1 + b(t)
Với τ ∈ T cố định và c, d ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta định nghĩa
+
Bτ,c
(X) := {λ ∈ Crd T+
τ , X : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞},
τ t

−
Bτ,d
(X)

:= {λ ∈

±
Bτ,c,d
(X) :=

Crd T−
τ ,X

: sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞},
t τ

λ ∈ Crd (Tκ , X) |∃τ ∈ T : sup λ(t) e c (t, τ ) < ∞,
τ t

sup λ(t) e d (t, τ ) < ∞ .
t τ

là không gian tuyến tính các ánh xạ c+ - tựa bị chặn và d− - tựa bị chặn.
Các không gian trên là không gian Banach với chuẩn
λ
λ

+
τ,c

:= sup λ(t) e c (t, τ ),

±
τ,c,d

λ

τ t

:= max{ λ|T+τ

+
τ,c ,

λ|T−τ

−
τ,d

:= sup λ(t) e d (t, τ ),
t τ

−
τ,d }.

trong đó ec (t, τ ) là hàm mũ thực trên T. Có thể dễ dàng thấy rằng
λ(t) ≤ λ

+
τ,c ec (t, τ ), ∀t

λ(τ ) ≤ λ

+
τ,c

≤ λ

∈ T+
τ ,

λ(t) ≤ λ

±
τ,c,d ,

λ(τ ) ≤ λ

−
τ,d ed (t, τ ), ∀t ∈
−
±
τ,d ≤ λ τ,c,d .

T−
τ ,

Một số kí hiệu viết tắt
b − a := infκ {b(t) − a(t)},
t∈T

a ✁ b :⇔ 0 < b − a ,
a ✂ b :⇔ 0 ≤ b − a .

trong đó hai hàm regressive a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) được kí hiệu là bậc tăng nếu
sup µ(t)a(t) < ∞ và

sup µ(t)b(t) < ∞.

t∈Tκ

t∈Tκ

Khi đó ta thu được các giới hạn sau
lim ea b (t, τ ) = 0,

lim eb a (t, τ ) = 0.

t→∞

t→−∞

với bậc tăng a ✁ b không bị chặn trên (tương ứng dưới) trên thang thời gian.
Khái niệm khả vi delta trên thang thời gian được giới thiệu dưới đây.
5


Tài liệu tham khảo
[1] Martin Bohner, Allan Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, May
4, 2001.
[2] Martin Bohner, Allan Peterson, Advances in dynamic Equations on Time
Scales, 2003.
[3] Yonghui Xia, Jinde Cao, Maoan Han, A new analytical method for the
linearization of dynamic equation on measure chains, Scince Direct, 235
(2007) 527 - 543.
[4] C. Potzsche, Exponential Dichotomies for Dynamic Equations on Measure
Chains, Nonlinear Analysis 47 (2001) 873 - 884.
[5] C. Potzsche, Langsame Faserbundel Dynamischer Gleichungen auf MaBketten, PhD thesis, Logos Verlag, Berlin, 2002.
[6] C. Potzsche, Exponential dichotomies of linear dynamic equations on measure chain under slowly varying coefficients, J. Math. Anal. Appl. 289 (2004)
317 - 335.
[7] C. Potzsche, Exponential dichotomies for linear dynamic equations, Nonlinear Anal. 47 (2001) 873 - 884.
[8] K.J. Palmer, A generalization of Hartman’s linearization theorem, J. Math.
Anal. Appl. 41 (1973) 753 - 758
[9] J. Shi, J. Zhang, Classification of the Differential Equations, Science Press,
BeiJing, 2003.

[10] Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed point theory, Springer Press, 2003.

34