Khóa luận tốt nghiệp vật lý hệ thống hóa bài tập spin và hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Đề tài:

SVTH : Đỗ Thùy Linh
GVHD: TS Nguyễn Văn Hoa
Khóa:
2004 – 2008

Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 năm 2008


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt 4 năm học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh, được sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trường, đã
giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao sự hiểu biết. Công lao to lớn của quý
thầy cô em không thể nào quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban
giám hiệu trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và ban chủ
nhiệm khoa Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho em khi làm luận văn.
Em xin cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hoa đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Em xin gửi lời cảm ơn đến các
thầy cô trong trường đã truyền đạt kiến thức cho em trong khóa học 2004 –
2008 và em cảm ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giúp đỡ .
Đặc biệt em cảm ơn thầy trưởng khoa, TS Thái Khắc Định, đã tạo
điều kiện thuận lợi để em thực hiện tốt luận văn này.
Sau cùng em xin kính chúc quý thầy cô luôn mạnh khỏe và thành
công trong sự nghiệp giáo dục.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài – giới hạn đề tài
Chúng ta đã quan niệm rằng trạng thái của một vi hạt được xác định
nếu biết ba tọa độ của nó hay ba hình chiếu của xung lượng. Nhưng một loạt
các sự kiện thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các vi hạt như electron, proton,
nơtron… còn có một bậc tự do nội tại đặc thù. Bậc tự do này gắn liền với
một mômen quay riêng của hạt, không liên quan đến chuyển động quay của
nó. Mômen riêng này được gọi là spin ký hiệu là S. Sự tồn tại của spin ở
electron được xác nhận trước khi cơ học lượng tử ra đời. Người ta đã tìm
cách minh họa spin như một đại lượng đặc trưng cho chuyển động tự quay
của hạt quanh trục riêng của nó. Nhưng giải thích như thế mâu thuẫn với
những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối. Như sẽ thấy sau này, bậc tự
do nội tại và spin liên quan đến nó có một đặc tính lượng tử đặc thù. Khi
chuyển sang cơ học cổ điển 0 spin sẽ bằng không. Do đó spin không có sự
tương tự cổ điển.
Các bài tập phần spin và hệ hạt đồng nhất là khó, đòi hỏi việc phân
loại phải đầy đủ, rõ ràng. Em chọn đề tài này nhằm giúp sinh viên ngành vật
lý Đại học Sư Phạm có một hệ thống bài tập rõ ràng hơn, qua đó nắm được
bản chất của phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Hệ thống bài tập áp dụng cho chương trình đại học và cao học.
2. Mục tiêu đề tài
Nhằm xây dựng và phân loại bài tập cho phần spin và hệ hạt đồng
nhất trong chương trình học phần cơ học lượng tử.
3. Phương pháp nghiên cứu
Có 3 phương pháp chính được sử dụng khi nghiên cứu đề tài
này : Phương pháp thực hành giải bài tập.


Phương pháp phân tích nội dung chương trình cơ học lượng tử.
Phương pháp phân loại bài tập.

4. Cấu trúc luận văn
Mở đầu.
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Hệ thống bài tập phần spin và hệ hạt đồng
nhất. Kết luận.


Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Spin [1]
Spin là momen xung lượng riêng của hạt, độ lớn của spin được đặc
trưng bởi số lượng tử spin S có thể nhận giá trị nguyên dương hay bán
nguyên. Cũng giống như các mômen cơ khác, sự định hướng của mômen cơ
spin bị lượng tử hóa, nghĩa là hình chiếu spin lên một trục tùy ý nào đó trong
không gian có thể có hai giá trị 2 .
Các trạng thái của spin là các ket véctơ Sz ( trạng thái spin lên) và
Sz (trạng thái spin xuống). Hai trạng thái này lập thành một hệ trực chuẩn:

1

0

Và tính đủ của không gian:

1.
,

Trạng thái Sz gọi là trạng thái phân cực vì spin có hướng đặc biệt.
Trạng thái ban đầu không phân cực được mô tả bởi tổ hợp tuyến tính :
a

Trong đó :

2

2

b

a 2 là xác suất để hạt có spin hướng lên.
b 2 là xác suất để hạt có spin hướng xuống. Từ

1 a 2 b 2 1.

điều kiện chuẩn hóa ta có

Hình chiếu spin lên trục z có giá trị 2 nên ta biểu diễn thông qua hai
trạng thái của spin như sau:
ˆ

Sz =

2

và ˆ

Sz =-

2

ˆ
Ma trận của toán tử được viết như sau:
Sz
0
2
0
2

Các toán tử hình chiếu spin của hạt lên các trục tọa độ tuân theo hệ
thức giao hoán:
ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ

S x S y S y S x i Sz

S y S z S z S y i Sx

Đặt ˆ

Sx

ˆ ˆ
ˆˆ
ˆ
S z S x S x S z i Sy
ˆ
1 ˆy
Sy 2

1ˆ x
2

ˆ
Sz

1 ˆz
2

Trong đó ˆx , ˆ y , ˆz gọi là các ma trận Pauli. Ma trận Pauli là ma trận vuông
cấp hai và ˆz có dạng:
1

0

ˆz 0

1

Các hệ thức giao hoán đối với ma trận Pauli được viết lại:
ˆx ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y
ˆ z ˆ z ˆ y 2i ˆx ˆz ˆ

x

ˆ x ˆ z 2i ˆ y

Các ma trận Pauli tuân theo hệ thức phản giao hoán:
ˆx ˆ y ˆ y ˆ x ˆ y ˆ z ˆ z ˆ y ˆ z ˆ x ˆ x ˆz 0 .
Vì trị riêng của các toán tử Pauli ˆx , ˆ y , ˆz tương ứng bằng 1, suy ra
ˆ x2

ˆ y2

ˆz2

1

0

0

1

I

Trong Sz biểu diễn các ma trận Pauli có dạng :
1

ˆz 0

0 ,

1

0

ˆx 1

1 ,
ˆy
0

0

i

i
0


V 2

x2 y2 z2 3I

Vy toỏn t bỡnh phng momen spin:
2
S

2

2
Sx

2

Sy

2

2
4

Sz

32
I
4

32
4

1

0

0

1

Tr riờng ca toỏn t 2 l :
S

32
4 s ( s 1)

2
S

2

vụựi s =1 (soỏ lửụùng tửỷ spin).
2

Tr riờng v vect riờng ca toỏn t
S x , S y , Sz .
Sz ,

Xột trong c s
Sz
l :1

0

, biu din ma trn ca c s

Sz
vaứ

1 0,

0

1

,

0

1

1

0

1 =1 vaứ 0
0

1
Vy

01

1

1

0



, l cỏc spin riờng ca Sz ng vi cỏc tr riờng

0

1

2

.

Phng trỡnh tr riờng ca vi ma trn tr riờng cú dng


vo phng trỡnh tr riờng ca toỏn t
vector riờng

11
21

v

1

Sx , gii phng trỡnh ta thu c hai

1

2

ng vi hai tr riờng

1

Sx l

2

.

2

1

Vy hai spinn riờng ca toỏn t

1

1

1
v

2

Tr riờng ca toỏn t vi ma trn tr riờng cú dng
phng trỡnh tr riờng ca toỏn t
11
2i

v

1
2 i

1
.

1
c . Thay vo

d

Sy

vector riờng

a . Thay

b

Sx

1


Sy

, gii phng trỡnh ta thu c hai
ng vi hai tr riờng

2

.


ˆ
Vậy hai spinnơ riêng của toán tử Sy

ˆ
S

1
là

1

2i

và

1

1

2

i

.

ˆ
ˆ
ˆ hay
Ta đang xét trong Sz biểu diễn, để chuyển từ Sz biểu diễn sang Sx
biểu diễn ta tìm một ma trận biến đổi. Trong ˆ biểu diễn các spinnơ của
Sz

y

ˆ có dạng

1

1 và

1

1 , trong ˆ biểu biễn các spinnơ của ˆ phải có

Sx

2

1

2

1

dạng

1

và 0

0
phương trục x. Mối liên hệ giữa các spinnơ riêng của toán tử

Sx

Sx

tương ứng với spin hướng lên hay hướng xuống dưới theo

1
ˆ

trong các

Sx

biểu diễn khác nhau được xác định bởi một ma trận biến đổi U thỏa mãn:
1
U

1
1

2
1

2

0

và U

2
1
2

0
1

Ma trận U có dạng
1
U

2
1
2

1
2
1
2

Các toán tử của ma trận chuyển biểu diễn từ cơ sở này sang cơ sở
khác không làm thay đổi chuẩn của các véctơ trạng thái và bảo toàn xác suất
lượng tử.
1.2. Lý thuyết hệ hạt đồng nhất [2]

1.2.a. Nguyên lý bất khả phân biệt hệ hạt đồng nhất
Các hạt có cùng các đặc trưng vật lý như: khối lượng, điện tích, spin,
mômen từ… không có thêm một đặc điểm nào để phân biệt các hạt, hệ hạt
như vậy gọi là hệ hạt đồng nhất. Theo vật lý cổ điển ta có thể phân biệt các


hạt đồng nhất bằng cách phân biệt theo trạng thái của chúng. Trong cơ học


lượng tử, ta chỉ biết mật độ xác suất để ở một vị trí đã cho có bao nhiêu hạt
thuộc hệ hạt đồng nhất. Ta không thể phân biệt được các hạt dù có đánh dấu
chúng trong một hệ hạt đồng nhất. Việc không phân biệt được các hạt đồng
nhất có liên quan đến nguyên lí bất định. Nguyên lí không phân biệt được
các hạt đồng nhất đòi hỏi chỉ tồn tại các trạng thái mà chúng không thay đổi
khi hoán vị hai hạt bất kì.

a
1,b2
12

1.2.b. Các trạng thái đối xứng và phản xứng
Xét hệ hai hạt đồng nhất, trạng thái của hệ được biểu diễn:
a,b

Trong đó
Toán tử

a

b

1

2

là trạng thái của hai hạt 1 và 2.
được coi là toán tử hoán vị, khi tác dụng lên trạng thái của

hệ hai hạt a , b cho một trạng thái mới trong đó tọa độ hai hạt hoán vị cho
nhau.

ˆ
P12 a , b b, a

Theo nguyên lí không phân biệt được các hạt đồng nhất, khi hoán vị hai hạt
bất kỳ ta được :
P

ˆ

.

12

Khi hoán vị lần nữa :
ˆ2

P

12

2

2

1

= 1.


Trong cơ sở a , b ,

b, a trực chuẩn ta có dạng ma trận của toán tử ˆ như
P
12

sau:
a,b ˆ a,b
P

b, a

P

12

ˆ

a , b ˆ b,
a

ˆ
b, a
b, a

P

12

a,b

12

P12 .

1

1

0

12

P

Phương trình trị riêng của toán tử ˆ

0


0

1

1
0

1

0

1
2

1

2

1
0

0

1
2

0

1
2

Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức các hệ số

bằng không:
1 021= 1
1

Ta có các trạng thái riêng ứng với các trị riêng trên :
1 a,b
2
1 a,b
2

s
a

b, a

=1

b, a

=-1

Trạng thái s đối xứng với phép hoán vị hai hạt và trạng thái a phản đối xứng
với phép hoán vị hai hạt.
ˆ

P

12

ˆ

P

12

s
a

s
a

Tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng của các trạng thái phụ thuộc
vào các loại hạt. Các hạt có spin nguyên S ms , ms 0,1, 2... gọi là các hạt bozon,
1 3
tuân theo thống kê Bose-Einstein. Các hạt có spin bán nguyên ms 2 , 2
,...gọi là các hạt fermion, tuân theo thống kê Fermi- Dirac.
1.2.c. Nguyên lý loại trừ Pauli

Xét hệ hai hạt đồng nhất kí hiệu 1, 2 có phương trình Schrodinger:
ˆ
H (1, 2) E (1, 2)

Trong trường hợp (1,2) chứ có tính đối xứng ta phải đối xứng hóa hàm
sóng. Đối với một trạng thái bất kỳ ta có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của hai trạng thái (1, 2), (2,1) .
C1 (1, 2)

C2 (2,1)

Khi C C

2

s

C ta có hàm sóng

C (1, 2) (2,1)

.

1

Khi C C

2

C ' ta có hàm sóng

a

.

C ' (1, 2) (2,1)

1

1
, C' 1.

2
2
Tổng quát cho trường hợp hệ có nhiều hơn hai hạt N 2 .

Sử dụng điều kiện chuẩn hóa ta tìm được C

N

s

ˆ

(1, 2,...., N ) CPij (1, 2,..., N )
i 1, j i
N

a

đối với hệ hạt boson.
i j

(1, 2,...., N ) C '( 1)

ˆ

đối với hệ hạt fermion.

Pij (1, 2,..., N )

i 1, j i

Xét hệ lượng tử gồm N hạt đồng nhất với khối lượng m và spin bằng 0
1
(hệ hạt boson) hoặc 2 (hệ hạt fermion) chuyển động trong trường thế V ( r ) .

Bỏ qua tương tác giữa các hạt ta có Hamiltonian của hệ bằng tổng các
Hamiltonian của từng hạt riêng rẽ.
N

ˆ
H0

H

N

ˆ

i

2
m

i

i1

i1

V(r) .

Phương trình Schrodinger của một hạt viết dưới dạng:
ˆ

Hi

ni

(i )

.

ni

ni (i

)

ni

i là biến số xác định vị trí và spin của hạt thứ i.

là hệ các hàm riêng trực chuẩn của Hamiltonian.
Hàm sóng của hệ đang xét phụ thuộc vào tọa độ của N hạt được ký
hiệu là (1,2,...., N ) , hàm sóng này là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm
sóng một hạt :
(1, 2,...., N )

n1 (1) n 2

Năng lượng của hệ là:
N

(2)...............

nN

(N ) .


E ni .
i1


Hàm sóng đối xứng:
N
s

ˆ

C

Pkj

n1

(1) n 2 (2)........... nN ( N ) ,

k 1,k j

và hàm sóng phản xứng:
N

a

C'

k j

1
k 1,k j

ˆ
Pkj

(2)........... nN ( N ) .
n1

1

Từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng ta có C

(1) n 2
, C'

1

N!

N!

Đối với hệ hạt boson có thể có ki hạt cùng ở trạng thái ứng với mức
năng lượng
k1

ni

. Gỉa sử có k1

hạt ở trạng thái n1 , k2 hạt ở trạng thái n2 …với

k 2 .... N . Hàm sóng của hệ viết lại như sau:
ˆ
s

C P

(1) n1 (2).... n1 (k1 ) n 2 (k1 1) n 2 (k1 2).... n 2 (k 2 )......... nN (N )

n1

Trong đó hệ số chuẩn hóa C

k!
j
j

N!

Đối với hệ hạt fermion hàm sóng có thể viết dưới dạng định thức Slater

n1
a

(1,......, N )

(1)

n1

(2)

n1

(N )

n2

(1)

n2

(2)

n2

(N )

nN

(1)

nN

(2)

nN

(N )

Nếu ta hoán vị hai hạt bất kỳ thì tương ứng với việc đổi chỗ hai cột
trong định thức Slater.
Trong định thức Slater, các bộ số lượng tử phải khác nhau, ni nj nếu i j .
Nếu có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng 0 hay a 0 .

Nguyên lí Pauli được phát biểu như sau: trong hệ nhiều fermion đồng
nhất không thể có nhiều hơn một hạt trên một trạng thái.


Hệ các boson không bị chi phối bởi nguyên lí loại trừ Pauli, trạng thái
cơ bản có thể chứa rất nhiều hạt gọi là sự ngưng tụ Bose.
1.2.d. Tương tác trao đổi
Xét hệ hạt đồng nhất, hạt thứ nhất xác định bởi tọa độ r1 và spin 1 , hạt
thứ hai được xác định bởi tọa độ r2 , spin 2 …..Hamiltonian của các hạt tương
tác điện ( không có từ trường) không chứa các toán tử spin, do đó khi tác
động lên hàm sóng nó không tác động lên biến spin. Hàm sóng của hệ có thể
viết dưới dạng tích của hàm tọa độ và hàm spin:
(1, 2,..., N )

Với

(r1 , r2 , ..., rN ) ( 1 , 2 ,....,

N

)

là hàm spin của hệ, phụ thuộc biến spin của hạt.
Xét hệ hạt boson có spin bằng 0, khi đó hàm sóng chỉ còn là hàm tọa

độ (r1 , r2 ) , hàm này phải là hàm đối xứng. Như vậy không phải tất cả các
mức năng lượng thu được từ việc giải phương trình Schrodinger đều chấp
nhận, chỉ có những mức năng lượng ứng với hàm sóng (r1 , r2 ) đối xứng
được chấp nhận.
Việc hoán vị hai hạt đồng nhất tương đương với phép nghịch đảo hệ
tọa độ. Do phép nghịch đảo hàm sóng (r1 , r2 ) phải nhân với 1 l trong đó l là
mômen quỹ đạo của chuyển động tương đối của hai hạt. Vì hàm sóng của hệ
là đối xứng nên:
s

( 1)l

's

s

.

Vậy hệ hai hạt đồng nhất có spin bằng không có mômen quỹ đạo chẵn.
1
Xét hệ hạt fermion (electron) có spin 2 khi đó hàm sóng toàn phần

của hệ là phản đối xứng đối với sự hoán vị hai hạt. Như vậy nếu hàm tọa độ
là đối xứng thì hàm spin là phản đối xứng và ngược lại. Ta viết hàm spinnơ
dưới dạng spinnơ hạng hai ( ) , mỗi chỉ số ứng với spin của một hạt.


Do đó các mức năng lượng tương ứng với các nghiệm đối xứng
(r1 ,
r2 )

(r1 ,
r2 )

của phương trình Schrodinger thực tế có thể được thực hiện khi spin
toàn phần của hệ bằng không, nghĩa là khi spin của hai electron “ đối song” ,
khi đó Sz

0.

Các mức năng lượng tương ứng với hàm sóng phản đối xứng
đòi hỏi spin toàn phần của hệ phải bằng đơn vị , nghĩa là các spin của hai
electron phải song song vì các spin cộng lại được theo quy tắc cộng véctơ,
khi đó Sz 0, 1 .
Như vậy giá trị năng lượng khả dĩ của hệ electron phụ thuộc vào spin
toàn phần của hệ. Ta tìm dạng tổng quát của hàm spinnơ (s1 z , s2 z ) toàn phần

cho các trạng thái với các S và Sz
trình:
ˆ

đã cho. Các hàm này thỏa mãn phương

2

2

S

S ( S 1)

ˆ

Trong đó ˆ ˆ
S S1

ˆ

Sz

ms

S2 là toán tử spin toàn phần của hệ. Ta biểu diễn hàm
dưới dạng tích các hàm riêng
1 (1),
1 (1),
1(2),
1 (2) . Trường hợp
2

tổng quát hàm

(1, 2) C1

2

2

2

có thể viết như sau:
1

(1)
2

1

(2) C2
2

1

(1)
2

1

(2) C3
2

1

(1)
2

1
2

(2) C4

1
2

(1)

1

(2) .

2

Trong đó C1 ,C 2 ,C3 ,C4 là các hệ số được xác định bằng điều kiện chuẩn hóa.
Ta có :


1

1

1

(1) 1 (2)
2

2

0

1

1

1 (1)

2
1

1

S=1, S z 1

1
2

2

(1)

1
2

(2)

(2)

(1) 1 (2)

1

1

2

2

S=1, Sz 0

2

S=1, Sz 1


0

0

1

1

2

2

(1)

1

(1) 1 (2)

2

2

(2)

1
2

S=0, Sz

0

Trong đó chỉ số trên ký hiệu spin toàn phần của hai hạt, chỉ số dưới ký
hiệu hình chiếu của spin toàn phần lên trục z. Ba hàm đầu là hàm đối xứng
với phép hoán vị hai hạt, hàm còn lại là hàm phản đối xứng.
Xác định các trị riêng của tích vô hướng (S1 .S2 ) .
ˆ2
ˆ ˆ
S (S1 S 2 )
ˆˆ

Ta coù:

2

ˆ2 ˆ2
ˆˆ
S1 S 2 2(S1 S 2 )
s
1 ˆ 2 ˆ2 ˆ2

(S1 S 2 )

S

2

S1

ˆˆ
1 ˆ 2 ˆ 2 ˆ2
(S1 S 2 ) 2 S
S1 S2
2
3 s

s

S2

2

S ( S 1)

2

Đối với hàm spin đối xứng có S = 1:
ˆˆ
(S1 S2 )

1

1

2

.

4

Đối với hàm spin phản đối xứng có S = 0:
0

ˆˆ

0

32
4

(S1 S2 )

Hàm tọa độ:
a

s

(r1 , r2 )

1 n (r1 ) m (r2 )

m

(r1 ) n (r2 )

(r1 , r2 )

2
1 n (r1 ) m (r2 )
2

m

(r1 ) n (r2 )

Vậy hàm sóng toàn phần của hệ hai electron:
a

(r1 , r2 )

a

(r1 , r2 ) 11

1

n

(r1 ) m (r2 )

m

(r1 ) n (r2 )

1

2
a

( r1 , r2 )

a

(r 1 , r 2 )

1
0

1

n

(r 1 ) m (r 2 )

2

m

(r 1 ) n (r 2 )

2
a

(r1 , r2 ) a

a

(r1 , r2 )

(r 1 , r 2 )

1

1

1

n

(r 1 ) m (r 2 )

m

1

(1)1 (2)

2

2

(r 1 ) n (r 2 )

2
s

(r1 , r2 )

0
0

1
2

1

(1)

(r 1 ) m (r 2 )

m

(r 1 ) n (r 2 )

1

(2)

2

1

(1)
2

1

1

(2)

2

(2)

2

2
n

(1)

1

(1)1 (2)

2

2

1

(1)
2

1
2

(2)


Tính không phân biệt được của hệ hạt đồng nhất dẫn tới sự tồn tại của
1
tương tác trao đổi giữa các hạt. Ta xét hệ gồm hai hạt có spin 2 , giữa chúng

Vˆ( r12 )

có một tương tác không liên quan đến spin của các hạt. Giả sử tương tác này
đủ nhỏ để có thể xem là nhiễu loạn đối với hệ hạt không tương tác. Ký hiệu
nhiễu loạn đó là toán tử

ˆ
r12 là khoảng cách giữa các hạt.
V ( r12 ) trong đó

ˆ
không tác dụng lên spin của hệ.
V ( r12 )

Năng lượng trung bình trong phép gần đúng bậc một được tính:
(1)

(0)*

ˆ

(0)

E V V dV .
nnn
n
n
Đối với hệ hai hạt có spin thì công thức trên được viết lại:
E (1)
(0)* ˆ (0) dV1 dV2 .
V

Hàm (0) mô tả trạng thái không nhiễu loạn, nghĩa là trạng thái các hạt
không tương tác. Hàm sóng của hệ gồm hai thành phần nhưng toán tử
không tác động lên hàm spinnơ, do đó ta đưa hàm spin ra khỏi dấu

tích phân.
Ta viết lại dạng ma trận của hàm spin, khi S = 0 hàm spinnơ bằng 1,
khi S = 1 thì hàm spinnơ có dạng:
1
0

,

( )

:số lượng tử của hình chiếu spin toàn phần với i

1

2

i

Vậy:
1
(1)

E

*
1

*
0

*
1

0
1

*

ˆ

(1, 2) V (1, 2)dV1 dV2

Với

(1, 2) là hàm tọa độ .

(1, 2)

*

ˆ

i

V (1, 2)dV1 dV2
i

2

(1, 2)

*

ˆ (1, 2)dV

V

1

dV2

1.


E

m

a

(1, 2)

s

(1, 2)

1
2
1

2

m

(1) n (2)

n

(1) m (2)

m

(1) n (2)

n

(1) m (2)

(1)

1

*

2m (1) n (2) n (1) m (2) V
*
*
ˆ
(2)V m (1) n (2) dV1 dV2 m (1) n

(1) n

*

ˆ

m

(1) n (2)

n

(1) m (2) dV1 dV2

ˆ (2) (1) dV dV Q A.
n
1
2
(2)V m

*

1
Vậy hiệu chính năng lượng của hai hạt có spin 2 gồm hai phần. Phần

thứ nhất không liên quan đến sự có mặt của spin ở các hạt và có sự tương tự
cổ điển. Dấu phụ thuộc vào spin toàn phần của hệ mặc dù tương tác giữa
các spin không được toán tử

ˆ

xét đến. Phần năng lượng A gọi là tương

V ( r12 )
ˆ

tác trao đổi. Gọi như vậy là do trong các hàm đứng trước toán tử dưới dấu
tích phân và trong các hàm đứng sau toán tử

ˆ

các hạt trao đổi chỗ cho

V

V

nhau, như vậy mỗi hạt như thể ở trong cả hai trạng thái. Năng lượng trao đổi
ˆ

thu được cả trong trường hợp toán tử
mômen từ spin, tức là toán tử

ˆ

V

có xét đến tương tác giữa các

có tác động lên các phần spinnơ của hàm

V

sóng.
1.3. Kết luận
Trên đây là một số lí thuyết cơ bản về phần spin và hệ hạt đồng nhất.
Để hiểu và vận dụng được lí thuyết trên ta cần có một hệ thống bài tập với
nhiều mức độ khác nhau, từ dễ đến khó.
Chúng ta xây dựng hệ thống bài tập nhằm đáp ứng yêu cầu trên.


Chương 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP SPIN VÀ HỆ HẠT ĐỒNG
NHẤT
Bài 1.
Tính bình phương của hình chiếu spin của electron trên một phương
bất kỳ.
Lời giải
Vì spin là đại lượng véctơ nên ta có
S=Si S y j Sk.
x

z

Hình chiếu spin lên một trục bất kỳ
S.n = Sx n x
2

S.n

=

Syny

S n
x

Sxnx

2

x

Syny

z

2

Sz nz

x

x

Sxnx
Vì Sx ,Sy

z

z x

Syny

2

y

S

z z

n S nx S yn S
n
y x

Sz nz

Sx Sy Sy Sx

S n

x

2

x x z

2

S z nz

Syny
S n S n

n Sy n y S n S n

S

Sy n y

z

SnSn

y z

z z x

2

0.

Ta có:
ˆ2

2

ˆ2

2

Sx
ˆ2
Sy
ˆ2
Sz

4

x

4I

2

ˆ2

2

4

y

4I

2

ˆ2

2

4

z

4 I.

Sx n x

2

2

S.n

4

2

Sy n y

n x 2 n y 2 nz 2

2

Sz nz

2

4

2

x

Sn
z z

Sy n
y



Nhận xét
Kết quả bài toán cho thấy bình phương hình chiếu spin lên một
phương bất kỳ đều bằng nhau. Tức là hình chiếu spin lên một phương có thể
có hai giá trị là

2

. Do vậy mà ta rất khó xác định được trạng thái của spin

ˆ

S . Nếu xét hệ nhiều hạt thì việc xác định spin toàn phần của hệ rất khó khăn.
Bài 2.
Giả sử , là các véctơ trực giao và chuẩn hóa trong không gian hai
chiều. Định nghĩa các toán tử:
ˆ
Sx

=2

ˆ

=i
2

S

y

ˆ
Sz

=2

Hãy chứng minh :

ˆ

ˆ

S i ,S j i

ˆ

S

ijk

k

ˆ

;

S

2

ˆ

i

,S

ij

.

j

2
Lời giải
Chứng minh S
Vì

,

ˆ
i

,S

ˆ

j i ijk

S

ˆ

k

là các véctơ trực giao và chuẩn hóa nên ta có:
1
0.

Để chứng minh các hệ thức trên ta tính các hệ thức giao hoán
S ,S

ˆ

ˆ ˆ
SS

xy

x

SS

y

ˆ ˆ
y

x