Dethi HSG Toán 10 cấp trường

Sở gd & đt TháI bình
Trờng thpt bình thanh

đề thi học sinh giỏi năm học 2015-2016

Môn: Toán - Khối 10
(Thời gian làm bài 150 phút)

Cõu 1 ( 5 im).
1. Cho
2. Tỡm tp xỏc nh ca hm s:
1
a. y = 2
x + 3x 4

b. y = x 2 4

Cõu 2 ( 4 im).
1. Cho phng trỡnh (m 1) x 2 + 2 x m + 1 = 0.
a) Chng minh rng vi mi m 1 phng trỡnh luụn cú hai nghim trỏi du .
b) Vi giỏ tr no ca m thỡ tng bỡnh phng hai nghim ca phng trỡnh bng 6 ?
2.Gii phng trỡnh:

a.

b.

Cõu 3 (4 im)


1

1. Trong mt phng to , cho u = i 5 j v v = ki 4 j .
2


a) Tỡm giỏ tr ca k cho u v ;
b) Tỡm giỏ tr ca k u = v .

2. Trong mt phng to , cho ba im : A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2).
a) Chng t ba im A, B, C khụng thng hng. Tỡm to im D sao cho t giỏc ABCD l hỡnh
bỡnh hnh ?

b) Tỡm to tõm I ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC v ta chõn ng cao k
t A ca tam giỏc ABC?

Cõu 4 ( 4 im).

a.
3 2 x + y + x 2 y + 1 = 5
b. Gii h phng trỡnh:
2 x 2 y + 1 5 x 10 y 9 = 0

Cõu 5 ( 2 im).

Cho cỏc s thc dng x, y, z tho món: x + y + z = 2 .

Chng minh rng:

x
y

z
+
+
3.
2 x
2 y
2z

Ht
Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm.


Họ tên học sinh:……………………………………Số báo danh: …...................


HƯỚNG DẪN CHẤM

3 2 x + y + x − 2 y + 1 = 5
Giải hệ phương trình: 
2 x − 2 y + 1 − 5 x − 10 y − 9 = 0
ĐK: 2 x + y ≥ 0, x − 2 y + 1 ≥ 0 . Đặt u = 2 x + y ,(u ≥ 0) và v = x − 2 y + 1,( v ≥ 0) .
3u + v = 5

Ta được hệ phương trình: 

2
2
 4u − 3v − 2v + 12 = 0
v = 5 − 3u


v = 5 − 3u
 u =1
⇔
⇔  
2
 23u − 96u + 73 = 0
 u = 73
 
23

 2 x + y = 1

2 x + y = 1
x = 1
⇔
⇔
(t/m)
 x − 2 y = 3  y = −1
 x − 2 y + 1 = 2

Với u = 1 ⇒ v = 2 ⇒ 

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 2 .
x
y
z
+
+
≥ 3
2

−
x
2
−
y
2
−
z
Chứng minh rằng:
.
=

Ta có:

P

x
y
z
2 − (2 − x ) 2 − (2 − y ) 2 − (2 − z )
+
+
=
+
+
2−x
2− y
2−z
2−x
2− y

2− z

 1
1
1 
= 2
+
+
÷− 2 − x + 2 − y + 2 − z
 2− x
2− y
2− z ÷


 1
1
1 
+
+

÷. 2 − x + 2 − y + 2 − z ≥ 9
2− x
2− y
2−z 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

(

)

(

)


 1
1
1 
18
⇒ 2
+
+
÷≥
2− y
2− z 
2− x + 2− y + 2− z
 2− x
( 2 − x + 2 − y + 2 − z ) 2 ≤ (1 + 1 + 1).(6 − ( x + y + z ))
Theo
Bunhia
ta
có:
⇒ 0 < 2 − x + 2 − y + 2 − z ≤ 3(6 − ( x + y + z ) = 2 3
18
−2 3
2
3
≥
Suy ra: P

=

hay

3

x
y
z
+
+
≥ 3
2− x
2− y
2−z
. (đpcm)

Dấu “=” xảy ra ⇔

x= y=z=

2
3.