DAP AN HSG TOAN 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN DUYÊN HẢI BẮC BỘ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: TOÁN
Lớp 10
Bài 1. Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ax x y x z
by y x y z
cz z x z y
= − −

= − −


= − −

Trường hợp 1: Nếu x, y, z dương. Không mất tính tổng quát giả sử
x y z≥ ≥
. Suy ra
( ) ( )
0by y z y x= − − ≤
(vô lý)
Trường hợp 2: Nếu x, y, z có 2 số dương, 1 số âm. Giả sử z < 0 và x, y > 0. Khi đó ta có
( ) ( )
0 0cz z x z y> = − − >
(loại)
Trường hợp 3: Nếu x, y, z có 2 số âm và 1 số dương. Giả sử x, y < 0 và z > 0. Khi đó
( )

2
0 0ax by x y> + = − ≥
(loại)
Trường hợp 4: Nếu x, y, z âm. Giả sử
0 x y z> ≥ ≥
, ta có
( ) ( )
0 0ax x y x z> = − − ≥
(loại)
Vậy trong 3 số x, y, z phải có 1 số bằng 0. Từ đó suy ra phương trình đã cho có 4
nghiệm:
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; 0;0;a b c
Bài 2:
Hướng dẫn:
Đặt
; ; ; ; 0a x b y c z a b c= = = >
Bất đẳng thức đã cho trở thành:

2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
( , , ) ( )
2
a b c
f a b c a b c
b c c a a b
= + + + + ≥
+ + +
Ta có:

( , , ) ( , , )f a b c f a b c
λ λ λ
=
nên không làm mất tính tổng
quát giả sử a
2
+ b
2
+ c
2
= 3.
BĐT cần chứng minh trở thành:
2 2 2
3
3 3 3 2
a b c
a b c
+ + ≥
− − −
với
a,b,c
(0; 3)∈

Ta có:
2 2
2 2
( 1) ( 2)
0
3 2 2(3 )
a a a a a

a a
− +
≥ ⇔ ≥
− −
luôn đúng với a
(0; 3)∈
Tương tự 2 BĐT còn lại sau đó cộng lại ta được điều cần chứng
minh.
0.5
0.5
1.0
1.0
1.0
Bài 3:
F
O
B
A
C
D
E
M
. Khi đó ta có
2
/( )
.
M AB
P MD MB MF
= =
(2)

Từ (1) và (2) suy ra MD = ME
hay M là trung điểm của DE.
Vậy BF đi qua trung điểm của DE.
Bài 4:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0
y y
x x x y x x x y x x
⇔ + + + + + − + − + + − =
( ) ( ) ( )
2 2 3 3
2 1 2 2 2 1 2 0
y y
x y x x x x
⇔ + + + − − + + − =
( ) ( )
2 2 3
2 2 1 2 0
y
x y x x
⇔ + − + + − =
( )
( )
2 2
3
2 2
2 1 2 3
y

x y
x x

+ =
⇔

+ + =


Gi¶i (2) do x,y nguyªn d¬ng nªn
1x y= =
Gi¶i (3)
a) NÕu
1 0y x= ⇒ =
hoÆc
2
2x
=
(lo¹i)
b) NÕu
( )
( )
3 2
2 2 3 0 1 3 0 1y x x x x x x
= ⇒ + − = ⇔ − + + = ⇔ =
suy ra cã nghiÖm (1;2)
c) NÕu
3y
≥
tõ (3) cã x lÎ vµ

( )
2
2 2 1
y
x x
+ = −
Do
( )
( ) ( ) ( )
2
2 3 2 1 mod3 3 1 1 mod3
y
y
x x y
+ ⇒ ≡ ⇔ − = ⇒
M
ch½n.
Tõ (3) l¹i cã
( )
( )
2
1 3 2 2
y
x x x
+ − + = +
Gi¶ sö p lµ mét íc nguyªn tè cña
2
3x x− +
p
⇒

lÎ

( ) ( )
2 2 0 mod 2 2 mod
y y
p p
⇒ + ≡ ⇔ ≡ −

Do y ch½n nªn
2
y
lµ sè chÝnh ph¬ng
2
⇒ −
lµ sè chÝnh ph¬ng theo

( )
mod p
( ) ( )
1
2
2 1 mod
p
p
−
⇒ − ≡
(4)
Mµ
( ) ( )
2

1
1
2
8
2 1 mod
p
P
p
−
−
≡ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 1 1
2
2 8 2
2 . 1 1 . 1 mod
p
p p p
p
−
− − −
⇒ − ≡ − −
( ) ( ) ( )
2
1 4 5
2 8
2 1 mod
p p p

p
− + −
⇒ − ≡ −
(5)
Tõ (4) vµ (5)
2
4 5
8
p p
+ −
⇒
lµ sè ch½n
( ) ( )
1 5
8
p p
− +
⇒
ch½n
8 1
8 3
p m
m
p m
= +

⇒ ∈

= +


¥
Tõ (3)
( )
3
2 1 0 mod8x x
⇒ + + ≡
( ) ( )
2
5 mod8 3 7 mod8x x x
⇒ ≡ ⇒ − + ≡
2
3x x⇒ − +
cã íc nguyªn tè d¹ng
8 7m
+
( m©u thuÉn)
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (1;1) vµ (1;2).
Bài 5:
Bổ đề : Cho 0 <
1 2 3 4 5 6 7 8 1
3x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
. Khi đó

( )
1 3 5 7 2 4 6 8 1 3 5 7
3
2
x x x x x x x x x x x x+ + + ≤ + + + ≤ + + +

Chứng minh:

Ta có
1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 5 7 2 4 6 8
; ; ; (1)x x x x x x x x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ + + + ≤ + + +
Mặt khác
( )
2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 3 5 7
1
; ; ; 3
2
x x x x x x x x x x x x x≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + + +

Cộng theo vế suy ra
( )
2 4 6 8 1 3 5 7
3
2
x x x x x x x x+ + + ≤ + + +
( 1đ)
Vào bài
Giả sử
1 2 300
; ;...;a a a
là trọng lượng của các quả táo xếp theo thứ tự tăng dần. Theo giả
thiết suy ra
1 2 300 1
0 ... 3a a a a< ≤ ≤ ≤ ≤
.
Chia
{ }
1 2 300

, ,...,a a a
thành 75 nhóm
{ }
75 150 225
, , , , 1,75
i i i i
a a a a i
+ + +
=
. Xét hai nhóm bất kì:
(1,5đ)

{ }
{ }
75 150 225
75 150 225
75 75 150 150 225 225
, , ,
, , , ,( 75)
3
m m m m
n n n n
m n m n m n m n m
a a a a
a a a a m n
a a a a a a a a a
+ + +
+ + +
+ + + + + +
< <

⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
(0,5đ)
Theo bổ đề trên

( )
75 150 225 75 150 225 75 150 225
3
2
m m m m n n n n m m m m
a a a a a a a a a a a a
+ + + + + + + + +
+ + + ≤ + + + ≤ + + +
(0,5đ)
Suy ra trọng lượng của một nhóm bất kì không lớn hơn
3
2
trọng lượng của nhóm khác.
( 0,5đ)