Bài tập ứng dụng tích phân có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

NG D NG C A TÍCH PHÂN
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N BÁ TU N
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng

ng d ng c a tích phân thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph
s d ng hi u qu , B n c n h c tr

ng) t i website Hocmai.vn.

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x =2
Gi i:
b



G i S là di n tích c n tính, áp d ng công th c S =

2

f ( x) dx thì S =

a

Ph

x

2

 1dx

0

ng trình: x2 -1= 0  x =  1 , nghi m x = 1  [0;2]
1

1

2

2

x3
x3
V y S =  ( x  1)dx +  ( x  1)dx = (  x) + (  x) = 2 (đvdt)
3
3
0
1

0
1
2

2

Bài 2: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s y = 2 – x2 và y = x.
Gi i:
C n a,b là nghi m c a ph

ng trình: 2 – x2 = x  x2 + x – 2 = 0  x = 1 và x = -2
1

b

G i S là di n tích c n tính, áp d ng công th c S =



f ( x)  g ( x) dx thì S =

V yS=



2

2

 x  2 dx

2

a

1

x

1

1

x3 x2
9
  2 x = (đvdt)
x  x  2 dx =  ( x  x  2)dx =
3 2
2
2
2
2

2

Bài 3: Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s y  4  x2 , x=3, Ox, Oy.
Gi i:
t f ( x)  4  x . Ta th y f ( x)  0 trên  0; 2 và f ( x)  0 trên  2;3 . Theo công th c (1), di n tích
2

S c a hình đang xét là:
3

S   4  x2 dx
0

2

3

0

2

  4  x2 dx   4  x2 dx
2

3

  (4  x )dx   ( x2  4)dx 
2

0

2

Bài 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s
đ

23

(dvdt )
3

y  x3  4 x , tr c hoành, đ

ng th ng x =-3 và

ng th ng x= 4.
Gi i:
th hàm s

y  x3  4 x c t tr c hoành t i 3 đi m x = -2, x = 0, x= 2.

Cách 1: L p b ng xét d u ta có:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

f ( x)  0 trên  3;2  0;2 và f ( x)  0 trên  2;0  2;4

Khi đó di n tích S c a hình đang xét là:
4

S



3

2

0

2

4

3

2

0

2

x3  4 x dx   (4 x  x3 )dx   ( x3  4 x)dx   (4 x  x3 )dx   ( x3  4 x)dx

201
(dvdt )
4

Cách 2: D a vào đ th hàm s :


60

50

40

V đ th hàm s : y  x3  4 x .

30

20

D a vào đ th ta có:
2

10

0

2

4

S   (4 x  x3 )dx   ( x3  4 x)dx   (4 x  x3 )dx   ( x3  4 x)dx
8

3



2

0

6

4

2

2

4

6

8

10

20

201
(dvdt )
4

Cách 3:

2
10

30

40

y  x3  4 x c t tr c hoành t i 3 đi m x = -2, x = 0, x= 2.

th hàm s

Khi đó di n tích c n tìm:
2

4

S



x3  4 x dx 

3



3

2



 (x

3

 4 x)dx 

2

2

0

3



0

4

x3  4 x dx   x3  4 x dx   x3  4 x dx   x3  4 x dx

 (x

3

2

0

2

2

4

0

2

 4 x)dx   ( x3  4 x)dx   ( x3  4 x)dx

201
(dvdt )
4

Bài 5: Tính di n tích c a hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s : y = xlnx , Ox, Oy, x = e
Gi i
Tr c tung có ph

ng trình x = 0
e

e

1

1

Di n tích S c n tìm là S   x ln x dx   x ln xdx

1

du  dx

u  ln x

x

t 
2
dv  xdx v  x

2
e

Do đó S   x ln xdx 
1

e e
e e x2 1
x2
e 2 x2 e e 2  1
x2
(đvdt)



ln x   xdx 
ln x   . d x 
1 1
1 1 2 x
4
2
4 1
2
2

Bài 6: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th các hàn s

y  x2  x  2, y  x  2 và x =-1, x= 3.

Gi i:
Ta có ph

ng trình hoành đ giao đi m: x  x  2  x  2  x  2, x  2 .
2

3

2

3

1

1

2

Khi đó ta có : S   x2  4 dx   ( x2  4)dx   ( x2  4)dx  9 
Bài 7: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

x2

1, y

x

7 34
 (dvdt )
3 3

5.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

Gi i:
ng trình hoành đ giao đi m: x2

Ph

t

x

0

t2

1

t

t2

1

5
t

t

x

t

3

1

x

t2

5

1

t

5, t

x

0

0
x

3

5

3

3

x2

S

1

x

5 dx

x2

2

3

1

x

5 dx

0

B ng xét d u
x

x2
1

S

x2

x

x2

4 dx

0

x
3

V yS

–

1

1
0

3
+

3

2
2

0

x

6 dx

1
3

1

2

x
2

3

x
3

4x
0

3

x2

2

73
3

6x
1

73
(đvdt).
3
x3 , y

Bài 8: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y

4x .

Gi i
ng trình hoành đ giao đi m: x3

Ta có, ph

0

2

x3

S

4x dx

2
x4
4

x3

4x

x

2

x

0

x

2

4x dx

0
0

2x 2
2

V y di n tích c n tìm S

2

x4
4

2x 2

8
0

8 (đvdt).

Bài 9: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th các hàm s : y  x2  4 x  3 , y  x  3
Gi i:
Tr c h t ta v các đ th hai hàm s trên m t h tr c:
T hình v ta suy ra hoành đ giao đi m A, B
là nghi m c a ph

ng trình: x2  4 x  3  x  3  x  0, x  5

Khi đó :
1

S   (( x  3)  ( x2  4 x  3))dx 
0

3

5

  (( x  3)  ( x  4 x  3))dx   (( x  3)  ( x2  4 x  3))dx
2

1



3

109
 đvdt 
6

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Nguyên hàm – tích phân

Chú ý: các bài t p này h c sinh có th g p lúng túng khi xác đ nh các c n l y tích phân. L u ý h c sinh

khi các bài toán có th v đ c đ th , không quá r c r i và khó kh n (có th v phác h a) thì vi c v hình
s giúp nh n di n đ c hình c n tính m t cách d dàng.
Trong tr ng h p vi c v hình khó th c hi n, ch a xác đ nh đ c d u c a bi u th c f ( x)  g ( x) thì nên
s d ng công th c tính b ng cách kh d u giá tr tuy t đ i sau:
b



b

f ( x)  g ( x) dx 

a

  f ( x)  g ( x) dx

. N u trong (a; b )còn t n t i giao đi m g(x)và f(x) thì ta chia

a

kho ng tr

c r i đ a d u tr tuy t đ i ra ngoài d u tích phân.

Bài 10: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i hai đ

ng cong y  (1  e x ) x và y  (e  1) x

Gi i:
ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th hai hàm s :

Ph

(1  e x ) x  (1  e) x  x  0, x  1

Khi đó di n tích c n tìm:
1

1

0

0

S   (1  e) x  (1  e x ) x dx   x(e  e x dx

Khi 01

1

1

0

0

0

S   x(e  e x )dx e  xdx   xe xdx 

V y di n tích c n tìm: S =

e
1
2

e
 1 (đvdt)
2

Bài 11. Tính di n tích hình ph ng { y  2x , y  3  x, x  0, x  2}.
Gi i
2

Ta có S   | 2 x  x  3 | dx.
0

ng trình 2x  x  3  0 có nghi m duy nh t x  1 trên kho ng (0; 2) , do đó

Ph
1

2

0

1

1

2

S   | 2 x  x  3 | dx   | 2 x  x  3 | dx   (2 x  x  3)dx   (2 x  x  3)dx .
0

1

1

2

 2 x x2

 2 x x2

1
  3x   
  3x  
 1.
Suy ra S  
 ln 2 2
 0  ln 2 2
 1 ln 2
Bài 12. Tính di n tích hình ph ng {y  ln x, y  0, x  e}.
Gi i
Xét ph

ng trình ln x  0  x  1. Do đó
e

e

e

S   | ln x | dx   ln xdx  x ln x 1  dx  1.
e

1

1

1

Bài 13. Tính di n tích hình ph ng {y  x, x  2 y  0}.
Gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

Xét ph

4

V y S
0

ng trình

x

Nguyên hàm – tích phân

x  0
x
.

2
x  4
4

2
4
x
x
x2 

x  dx    x   dx   x x    .
2
2
4 0 3
3

0
4

Tính th tích v t th tròn xoay
Bài 1 Cho hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = 2x – x2 và y = 0. Tính th tích v t th tròn xoay đ
sinh ra b i hình ph ng đó khi nó quay quanh tr c Ox.
Gi i: Ph

c

ng trình 2x – x2 = 0  x = 0 và x = 2
b

G i V là th tích c n tính.Áp d ng công th c: V =   f 2 ( x)dx
a

2
0
4
x5 2 16
Ta có V =   (2 x  x2 )2 dx    (4 x2  4 x3  x4 )dx =  ( x3  x4  ) 0 =
(đvtt
3
5
15
0
0

Bài 2: Cho hình ph ng gi i h n b i các đ ng y = – x2 và y = x3. Tính th tích v t th tròn xoay đ
sinh ra b i hình ph ng đó khi nó quay quanh tr c Ox.

Gi i: Ph

c

ng trình – x2 = x3  x = 0 và x = –1

G i V1 là th tích v t th tròn xoay đ c sinh ra do hình ph ng gi i h n b i các đ
x = 0, x = –1 và tr c Ox khi hình ph ng đó quay quanh Ox:
0

Có V1 =   ( x2 ) 2 dx =
1

1

5

G i V2 là th tích v t th tròn xoay đ
= 0, x = -1 và tr c Ox…:
0

Có V2 =   ( x3 ) 2 dx =
1

ng y = – x2,

c sinh ra do hình ph ng gi i h n b i các đ

ng y = x3, x

1

7

V y th tích V c n tính là: V = V1  V2 =

2
 (đvtt)
35

Bài 3: Tính th tích v t th tròn xoay gi i h n b i y =

x
xe 2

, tr c Ox và x = 0; x = 1.

Gi i:
1

Th tích v t th c n tìm: V =  x 2 e x dx
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

u  x2
du  2 xdx
t 


x
dv  e x dx
v  e

1

Xét I =

x e

2 x

dx .

0

2 x1

Khi đó: I = x e

0

1

Tính J =

0

Khi đó: J = xe

x1
0

1

- 2 xe x dx = e – 2J (1)
0

du  dx

u  x
t 
x
dv  e dx

x
 xe dx .

 

v  e

1

-

Nguyên hàm – tích phân

x

1

x
x
 e dx = e – e = 1 (2)
0

0

 I=e–2

T (1) và (2)

V y V = (e – 2)  (đvtt).
Bài 4: Cho hình (D) gi i h n b i các đ
Tính th tích c a v t th tròn xoay đ


x
ng: y = sin cos x ; y = 0 và x = 0; x = .

2
2
c t o nên khi cho (D) quay quanh tr c Ox.
Gi i:


2

Th tích v t th c n tìm: V =  sin 2
0

x

cos 2 xdx =  (1  cos x) cos 2 xdx
20
2


2

=


2


2


 1  cos 2x 3

1
(cos 2 x  cos3 x)dx =  (
 cos x  cos3x)dx

20
20
2
4
4


2


 1
1
3
1
= ( x  sin 2x  sin x  sin 3x) =
 (đvtt)
2 2
4
4
12
8
3
0

2

Bài 5: Tính th tích v t th tròn xoay khi cho hình ph ng gi i h n b i: y = x2 – 4x + 6 và
y = - x2 – 2x + 6 quay quanh tr c Ox.
Gi i:
Hoành đ giao đi m là nghi m ph

ng trình:

x  0
x  1

x2 – 4x + 6 = - x2 – 2x + 6  2x2 – 2x = 0  
1

Th tích v t th c n tìm: V =

  ( x2  4 x  6) 2  ( x2  2 x  6) 2 dx
0
1

1

=

   12 x  36 x  24 xdx =   (12 x3  36 x2  24 x)dx
3

2

0

0

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n)

=

 (3x4  12 x3  12 x2 )

1
0

Nguyên hàm – tích phân

= 3  (đvtt)

Bài 6: Cho hình ph ng gi i h n b i mi n D = { y = x2 ; y =
quay quanh tr c Ox.

x }. Tính th tích v t th tròn xoay khi D

Gi i:
Xét ph

x  0
x  x4 = x  
x  1

ng trình: x2 =

3
1 2 1 5
(đvtt).
Th tích v t th c n tìm: V =   ( x  x )dx =  ( x  x ) =
10
2
5
0
0
1

1

4

Bài 7: Cho hình ph ng (D) gi i h n b i các đ
Tính th tích kh i tròn xoay đ

ng: y =

x ; y = x ; x = 5.

c t o thành khi quay hình ph ng (D) quanh tr c Ox.
Gi i:

Xét ph

x  0
x  0
x  0

x =x  


x

0


x  1
2

x  x
 x  1


ng trình:

1

Th tích c n tìm: V =

5

  ( x  x )dx +   ( x2  x)dx
2

0

1

1

5

59
x2 x3
x3 x2
 ) + (  ) =
(đvtt)
= (
2
2
3 0
3
2 1
Bài 8: G i (D) là mi n gi i h n b i các đ ng: y = -3x + 10 ; y = 1 ; y = x2 (x > 0) và (D) n m ngoài
parabol y = x2. Tính th tích v t th tròn xoay khi quay (D) quanh tr c Ox.
Gi i:
Xét ph

x  2
x0

 x=2
x


5


ng trình: x2 = -3x + 10  x2 + 3x – 10 = 0  

Th tích v t th c n tìm:

=


5

V=
2

x

5

1

2

3

3

1

2

1

  x4 dx +   (10  3x) 2 dx -   dx


9

3

(10  3x)

- x 1 =
3

3
2

56
(đvtt
5

Giáo viên: Nguy n Bá Tu n

Ngu n
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 7 -