03 ham so bac hai p3 BG2017

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Facebook: LyHung95

03. HÀM SỐ BẬC HAI – P3
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO – TIẾP TUYẾN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số :
a) y = x − 1 và y = x 2 − 2 x − 1

b) y = 2 x − 5 và y = x 2 − 4 x − 1
Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x 2 − 2 x − 1 = x − 1 ⇔ x 2 − 3 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3
Khi x = 0 thì y = −1 ; x = 3 thì y = 2
Vậy có 2 giao điểm A ( 0; − 1) và A ( 3; 2 ) .
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
x2 − 4x − 1 = 2x − 5 ⇔ x2 − 6 x + 4 = 0
∆ ' = 9 − 4 = 5 nên x1 = 3 − 5 , x2 = 3 + 5

Khi x1 = 3 − 5 thì y1 = 1 − 2 5 , khi x2 = 3 + 5 thì y2 = 1 + 2 5 .

(

) (

)

Vậy có 2 giao điểm M 3 − 5;1 − 2 5 , N 3 + 5;1 + 2 5 .

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường parabol:
a) y = x 2 − 4 và y = 4 − x 2

b) y =

x2
+ x + 1 và y = x 2 − 2 x + 1
4

Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: x − 4 = 4 − x ⇔ 2 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2
Khi x = −2 thì y = 0 ; x = 2 thì y = 0 . Vậy có 2 giao điểm A ( −2; 0 ) và B ( 2; 0 ) .
2

2

x2
+ x + 1 = x 2 − 2 x + 1 ⇔ 3 x 2 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4
4
Khi x = 0 thì y = 1 ; x = 4 thì y = 9 . Vậy có 2 giao điểm I ( 0;1) và J ( 4; 9 ) .

b) Phương trình hoành độ giaod điểm:

Ví dụ 3: [ĐVH]. Chứng minh đường thẳng:
a) y = − x + 3 cắt ( P ) : y = − x 2 − 4 x + 1

b) y = 2 x − 5 tiếp xúc với ( P ) : y = x 2 − 4 x + 4
Lời giải:
a) Phương trình hoành độ giao điểm: − x + 3 = − x − 4 x + 1 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0

Vì ∆ = 9 − 8 > 0 nên đường thẳng cắt ( P ) tại 2 điểm phân biệt.
2

b) Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4 x + 4 = 2 x − 5 ⇔ x 2 − 6 x + 9 = 0
Vì ∆ = 9 − 9 = 0 nên đường thẳng tiếp xúc với ( P ) .
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 2 − 2 x + m − 1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số:
a) Không cắt trục Ox
b) Tiếp xúc với trục Ox
c) Cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ở về bên phải gốc O.
Lời giải:
2
Cho y = 0 ⇔ x − 2 x + m − 1 = 0; ∆ ' = 1 − ( m − 1) = 2 − m
a) Đồ thị không cắt trục Ox khi ∆ ' < 0 ⇔ 2 − m < 0 ⇔ m > 2 .
b) Đồ thị tiếp xúc trục Ox khi ∆ ' = 0 ⇔ 2 − m = 0 ⇔ m = 2 .
c) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt ở về bên phải gốc O khi phương trình có nghiệm dương phân biệt
∆ ' > 0
2 − m > 0
m < 2


⇔1< m < 2 .
 P > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ 
m > 1
S > 0
1 > 0


Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Facebook: LyHung95

Ví dụ 5: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của đường thẳng ( d ) : y = 2 x + m với ( P ) : y = x 2 + x − 6. Khi cắt 2 điểm A,
B, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
Lời giải:
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x + x − 6. = 2 x + m ⇔ x 2 − x − 6 − m = 0
∆ = 1 + 4 ( 6 + m ) = 4m + 25. Do đó:
Nế u m < −

25
thì ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm nên ( d ) và ( P ) không có điểm chung.
4

25
thì ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép nên ( d ) tiếp xúc với ( P ) .
4
25
Nế u m > −
thì ∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên ( d ) và ( P ) có hai điểm chung phân biệt.
4
Giả sử ( P ) và ( d ) cắt nhau tại hai điểm A và B phân biệt thì A, B có tọa độ: A ( x1 ; 2 x1 + m ) và B ( x2 ; 2 x2 + m ) .

Nế u m = −

x +x

Do đó trung điểm của đoạn thẳng AB là I  1 2 ; x1 + x2 + m 

 2

1

x =
Theo định lí Vi-ét, ta có x1 + x2 = 1 nên điểm I : 
2
 y = 1 + m

Vì điều kiện m > −

25
19
1
19
nên y > − . Vậy quỹ tích của trung điểm I là phần đường thẳng: x = , giới hạn y > − .
4
5
2
5

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho parabol ( P ) : y = x 2 − 4 x + 3

Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A ( 4;1) biết rằng:

a) d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt

b) d tiếp xúc với ( P ) .

Lời giải:

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua A, phương trình của d là:
y − 1 = k ( x − 4 ) ⇔ y = kx − 4k + 1

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 4 x + 3 = kx − 4k + 1 ⇔ x 2 − ( k + 4 ) x + 4k + 2 = 0

∆ = ( k + 4 ) − 4 ( 4 k + 2 ) = k 2 − 8k + 4 .
2

a) d cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt khi ∆ > 0
⇔ k 2 − 8k + 4 > 0 ⇔ ( k − 4 ) > 8 ⇔ k − 4 > 2 2 ⇔ k < 4 − 2 2 hoặc k > 4 − 2 2 .
Phương trình d : y = kx − 4k + 1 .
2

b) d tiếp xúc với ( P ) khi ∆ = 0 ⇔ k 2 − 8k + 4 = 0 ⇔ k = 4 ± 2 2

(

)

(

)

Vậy d : y = 4 + 2 2 x − 15 − 8 2; y = 4 − 2 2 x − 15 + 8 2 .

Ví dụ 7: [ĐVH]. Lập phương trình tiếp tuyến với ( P ) : y = x 2 + x − 1
a) Tại điểm A ( −2;1)

b) đi qua B ( −1; − 5 )

a) Đường thẳng d đi qua A ( −2;1) có hệ số góc k:

Lời giải:

y − 1 = k ( x + 2 ) ⇔ y = kx + 2k + 1

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + x − 1 = kx + 2k + 1 ⇔ x 2 + (1 − k ) x − 2 − 2k = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = 0 ⇔ (1 − k ) + 4 ( 2k + 2 ) = 0 ⇔ k 2 + 6k + 9 = 0 ⇔ k = −3. Vậy tiếp tuyến d : y = −3x − 5 .
2

b) Đường thẳng d đi qua B ( −1; 5 ) có hệ số góc k ' :

Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + x − 1 = kx + k − 5 ⇔ x 2 + (1 − k ) x + 4 − k = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ = 0 ⇔ (1 − k ) − 4 ( 4 − k ) = 0 ⇔ k 2 + 2k − 15 = 0 ⇔ k = 3 hoặc k = −5 .
2

Khi k = 3 , phương trình tiếp tuyến d1 : y = 3 x − 2
Khi k = −5 , phương trình tiếp tuyến d 2 : y = −5 x − 10 .

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Facebook: LyHung95

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho parabol ( P ) : y = x 2 − 3 x + 2 . Lập phương trình tiếp tuyến của ( P ) biết rằng:
a) Tiếp tuyến đó tạo với tia Ox một góc bằng 450

b) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2 x + 1
1
c) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = − x + 2
3
Lời giải:
a) Theo giả thiết tiếp tuyến d tạo với tia Ox một góc bằng 450 nên hệ số góc của đường thẳng d là d = tan 450 = 1 , do
đó d : y = x + b.
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x + 2 = x + b ⇔ x 2 − 4 x + ( 2 − b ) = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 4 − ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −2
Vậy phương trình đường thẳng d là y = x − 2 .
b) Tiếp tuyến d song song với đường thẳng y = 2 x + 1 nên hệ số góc của d bằng 2, do đó d : y = 2 x + b, b ≠ 1.
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 − 3x + 2 = 2 x + b ⇔ x 2 − 5 x + ( 2 − b ) = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 25 − 4 ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −
Vậy phương trình tiếp tuyến d là y = 2 x −

17
.
4

17
.
4

1
c) Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng y = − x + 2 nên có hệ số góc của d bằng 3, do đó d : y = 3x + b
3
2
Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x + 2 = 3x + b ⇔ x 2 − 6 x + 2 − b = 0

Điều kiện tiếp xúc: ∆ ' = 9 − ( 2 − b ) = 0 ⇔ b = −7 .
Vậy phương trình tiếp tuyến d là y = 3 x − 7.

Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để đường thẳng d : y = x − 1 cắt parabol ( P ) : y = x 2 + mx + 1 tại hai điểm P, Q mà đoạn
PQ = 3 .
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x + mx + 1 = x − 1 ⇔ x 2 + ( m − 1) x + 2 = 0
2

Điều kiện cắt tại 2 điểm P, Q : ∆ > 0 ⇔ m 2 − 2m − 7 > 0
Ta có PQ = 3 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 9
2

2

⇔ ( x2 − x1 ) + ( x2 − 1 − x1 + 1) = 9 ⇔ 2 ( x2 − x1 ) = 9
2

(

2

2

)

⇔ 2 x12 − x22 − 2 x1 x2 = 9 ⇔ S 2 − 4 P =

9
2

b
c
= 1 − m, P = x1 x2 = = 2
a
a
25
=
2

Theo định lí Vi-ét: S = x1 + x2 = −

9
2
⇔ (1 − m )
2
5
5 2
⇔ m −1 = ±
⇔ m =1±
(chọn).
2
2

nên: (1 − m ) − 8 =
2

DẠNG 4. TỔNG HỢP VỀ HÀM BẬC HAI (Tham khảo thêm)
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (bé nhất) nếu có của các hàm số:
a) y = 7 x 2 − 3 x + 10

b) y = −2 x 2 − x + 1
Lời giải:
a) y = 7 x 2 − 3 x + 10 có a = 7 > 0 nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh x1 = −

b
3
 3  271
= là y1 = f ( x1 ) = f   =
và
2a 14
8
 14 

không tồn tại giá trị lớn nhất.

b) y = −2 x 2 − x + 1 có a = −2 < 0 nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh x1 = −

b
1
 1 9
= − là y1 = f ( x1 ) = f  −  = và
2a
4
 4 8

không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số:

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN
a) y = x 2 − 3 x với 0 ≤ x ≤ 2
...

Facebook: LyHung95

b) y = − x 2 − 4 x + 3 với 0 ≤ x ≤ 4

(

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − 4ax + a 2 − 2a + 2
trên đoạn [0; 2] là bằng 3.
...
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
a) y = x ( x + 1)( x − 2 )( x − 3)

b) y = ( 2 x − 1) − 4 2 x − 1 + 3
...
2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hai hàm số y1 = x + 1 + x − 1 và y2 =

1 2 3
x + x +1
4
4

a) Chứng minh đồ thị của y1 có trục đối xứng.
b) Tìm những giá trị của x để y1 > y2 .

Lời giải:
a) y1 = f ( x ) = x + 1 + x − 1 có D = R : x ∈ D ⇒ − x ∈ D

f ( x ) = − x + 1 + − x − 1 = x − 1 + x + 1 = f ( x ) . Vậy f là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng Oy.

−2 x khi x < −1

b) Ta có y1 = f ( x ) = 2
khi − 1 ≤ x ≤ 1
2 x khi x > 1

Ta xét 3 trường hợp:
1
3
−11 − 105
−11 + 105
- Với x < −1: y1 ≥ y2 ⇔ −2 x ≥ x 2 + x + 1 ⇔ x 2 + 11x + 4 ≤ 0 ⇔
≤x≤
4
4
2
2
−11 − 105
Chọn nghiệm:
≤ x < −1.
2
1
3
- Với −1 ≤ x < 1: y1 ≥ y2 ⇔ 2 ≥ x 2 + x + 1 ⇔ x 2 + 3x − 4 ≤ 0 ⇔ −4 ≤ x ≤ 1. Chọn nghiệm −1 ≤ x ≤ 1 .
4

4
1 2 3
- Với x ≥ 1: y1 ≥ y2 ⇔ 2 x ≥ x + x + 1 ⇔ x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 (thỏa mãn).
4
4
−11 − 105
Vậy giá trị x cần tìm
≤ x < 4.
2

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho f ( x ) = ax 2 + bx + c thỏa mãn f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ {−1; 0;1}
5
Chứng minh: f ( x ) ≤ , ∀x ∈ [ −1;1] .
4

Lời giải:
1

 a = 2 ( f (1) + f ( −1) ) − f ( 0 )
 f ( −1) = a − b + c 

1

Ta có:  f ( 0 ) = c
⇒ b = ( f (1) − f ( −1) ) − f ( 0 )
2


f
1

=
a
+
b
+
c
(
)

c = f ( 0 )


1
1
Do đó: f ( x ) = ax 2 + bx + c = f (1) . x 2 + x + f ( −1) . x 2 − x + f ( 0 ) . 1 − x 2
2
2
Vì f ( −1) ≤ 1, f ( 0 ) ≤ 1, f (1) ≥ 1 nên có:

(

)

(

)

(

)

1
1
1
1
f (1) . x 2 + x + f ( −1) . x 2 − x + f ( 0 ) . 1 − x 2 ≤ x 2 + x + x 2 − x + 1 − x 2
2
2
2
2
2
2
1 + x − x khi − 1 ≤ x < 0
5 
1
5
=
= 1 + x − x2 = −  x −  ≤
2
4 
2
4
1 − x − x khi 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) ≤

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!

)

Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN

Bài 1: [ĐVH]. Cho ( P ) : y =

Facebook: LyHung95

1 2
x + x − 4.
2

a) Vẽ đồ thị. Lập bảng biến thiên.
b) Dựa vào đồ thị, tìm x để y < 0.
c) Biện luận số nghiệm phương trình: y =

1 2
x + x −3 = m
2

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x + x − 2
2

a) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên hàm số.
b) Tìm m để pt: x + x − 2 = 2m − 1 có 2 nghiệm.
2

Bài 3: [ĐVH]. Vẽ đồ thị hàm số:
2 x + 1; x ≤ 1
a) y =  2
 x + 3; x > 1

 x 2 + 4 x − 5; x ≤ 2
b) y = 
2 − x; x > 0

Bài 4: [ĐVH]. Xác định parabol:
a) đi qua điểm A(1; −5) và có đỉnh I(3; −9).
b) đạt GTLN bằng 8 tại x = −1 và đi qua A(0; 6).
 3 1
c) đi qua 3 điểm A ( 0;1) , B (1; 0 ) , C  ; −  .
 4 8

Bài 5: [ĐVH]. Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabol y =

1 2
x + 2 x − 1 tại điểm có hoành độ là
3

−2.

Bài 6: [ĐVH]. Cho Parabol ( P ) : y = x 2 − 3x + 2 và đường thẳng d : y = mx + 2 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( P ) .
b) Tìm tham số m để hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau (có duy nhất một điểm chung), cắt nhau tại hai
điểm phân biệt.
c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2 − 3 x + 3 − 2m = 0 .
Bài 7: [ĐVH]. Cho Parabol ( P ) y = x 2 − 1 .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ( P ) .
b) Xác định điểm M trên ( P ) để đoạn OM là ngắn nhất.
c) Chứng minh rằng khi OM ngắn nhất thì đường thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của ( P ) .
Bài 8: [ĐVH]. Cho đường thẳng d : y = 2 x + 1 − 2m và Parabol ( P ) đi qua điểm A (1;0 ) và đỉnh S ( 3; −4 ) .

a) Lập phương trình và vẽ Parabol ( P ) .
b) Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định.
c) Chứng minh rằng d luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt.
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!