03 PT bac hai BG2017

Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

03. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình:
a) ( 3 x − 5 ) − ( x − 3) = 0
2

2

c) ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = 9 − 4 x 2

(

)

b) ( 5 − 3 x ) 9 x 2 − 25 = 0
Lời giải:

a) Phương trình tương đương:
4 x − 8 = 0
x = 2
( 3 x − 5 ) + ( x − 3)  . ( 3 x − 5 ) − ( x − 3)  = 0 ⇔ ( 4 x − 8 )( 2 x − 2 ) = 0 ⇔ 
.
⇔
2 x − 2 = 0
x = 1
Vậy tập hợp nghiệm S = {1; 2} .

5

x=
3 x = 5

5
−
3
x
=
0

 5 5
3
⇔  2 25 ⇔ 
b) ( 5 − 3 x ) 9 x 2 − 25 = 0 ⇔  2
. V ậy S =  − ;  .

5
x
=
 3 3
x = ±
9 x − 25 = 0

9
3


(

)

c) ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = 9 − 4 x 2 ⇔ ( 2 x + 3)( 4 x − 1) = ( 2 − 3 x )( 3 + 2 x ) ⇔ ( 2 x + 3)( 4 x − 1 − 3 + 2 x ) = 0
3

x = − 2
2 x + 3 = 0
 3 2
⇔ ( 2 x + 3)( 6 x − 4 ) = 0 ⇔ 
⇔
. V ậy S =  − ;  .
2
6
x
−
4
=
0
 2 3
x =


3
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình (chính xác đến hàng phần trăm)
a) x 2 − 5,60 x + 6, 41 = 0
b) 2 x 2 + 4 3 x − 2 2 = 0
Lời giải:
Sử dụng máy tính, ta tính được 2 nghiệm gần đúng

a) x ≈ 4,00; x ≈ 1,60
b) x ≈ 0,38; x ≈ −5, 28

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) x 2 − 4 x + m − 3 = 0
b) ( m − 1) x 2 + 3 x − 1 = 0
Lời giải:
a) x − 4 x + m − 3 = 0 có ∆ = 4 − ( m − 3) = 7 − m. Biện luận:
2

Nếu ∆ ' < 0 ⇔ m > 7 thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆ ' = 0 ⇔ m = 7 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 2
Nếu ∆ ' > 0 ⇔ m < 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2 ± 7 − m
1
b) – Khi m = 1 phương trình: 3x − 1 = 0 ⇔ x =
3
– Khi m ≠ 1 phương trình bậc 2 có ∆ = 9 + 4 ( m − 1) = 4m + 5
5
thì ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm.
4
5
−3
2
Nếu m = − thì ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
=
4
2 ( m − 1) 3

Nếu m < −

Nếu m > −

5
−3 ± 4m + 5
thì ∆ > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: x =
.
4
2 ( m − 1)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) ( k + 1) x − 1 ( x − 1) = 0
b) ( mx − 2 )( 2mx − x + 1) = 0
Lời giải:
Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) – Xét x = 1 thì phương trình nghiệm đúng.
– Xét x ≠ 1 thì phương trình tương dương ( k + 1) x = 1 .
Nếu k = −1 thì phương trình 0 x = 1 vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm phương trình x = 1 .
1
1
Nếu k ≠ 1 thì phương trình x =
. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1; x =
.
k +1
k +1

b) Phương trình: m ( 2m − 1) x 2 − ( 3m − 2 ) x − 2 = 0
- Với m = 0 phương trình có một nghiệm x = 1
1
- Với m = , phương trình có một nghiệm x = 4
2
1
- Với m ≠ 0 và m ≠ phương trình bậc hai có:
2
2
2
∆ = ( 3m − 2 ) + 8m ( 2m − 1) = 25m2 − 20m + 4 = ( 5m − 2 ) ≥ 0
2
5
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = .
5
2
2
2
−1
Xét m ≠ thì phương trình cóhai nghiệm phân biệt x = và x =
.
5
3
2m + 1

Xét m =

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình:
a) mx 2 − 2 ( m + 3) x + m + 1 = 0

(

)

b) ( a = b ) x 2 − a 2 + b 2 − 4ab x − 2ab ( a − b ) = 0
Lời giải:

a) mx − 2 ( m + 3) x + m + 1 = 0
2

- Xét m = 0 phương trình trở thành phương trình bậc nhất: −6 x + 1 = 0 ⇔ x =
- Xét m ≠ 0 ta có ∆ ' = ( m + 3) − m ( m + 1) = 5m + 9

1
6

2

9
m + 3 ± 5m + 9
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =
5
m
9
m+3
2
Nếu m = − thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
=−
5
m

3
9
Nếu m < − thì phương trình vô nghiệm.
5
b) ( a = b ) x 2 − a 2 + b 2 − 4ab x − 2ab ( a − b ) = 0
Nếu m > −

(

)

- Xét a = b thì phương trình 2abx = 0
Nếu a = b = 0 thì nghiệm là mọi x
Nếu a = b ≠ 0 thì phương trình có nghiệm x = 0
- Xét a ≠ 0 thì phương trình bậc 2 có biệt thức

(

∆ = a 2 + b 2 − 4ab

)

2

2

+ 8ab ( a − b ) = ( a − b ) − 2ab  + 8ab ( a − b )


2

2

2

2

= ( a + b ) + 4ab ( a − b ) + 4a 2 b 2 = ( a − b ) + 2ab  > 0


4

2

2

nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = a − b; x2 = −

2ab
a −b

Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx 2 + ( 3m + 4 ) x + 8m + 34 = 0
b) x 2 − x + m = 0
Lời giải:
17
a) Xét m = 0 . Phương trình 4 x + 34 = 0 ⇔ x = −
2
2
2

Xét m ≠ 0 : ∆ = ( 3m + 4 ) − 4m ( 8m + 34 ) = 9m + 24m + 16 − 32m 2 − 136m = −23m 2 − 112m + 16

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

−56 ± 3504
3m + 4
phương trình có nghiệm kép x = −
.
23
2m
2
112m 16
56 
3504
56
3504

- Nếu ∆ < 0 ⇔ 23m 2 + 112m − 16 > 0 ⇔ m 2 +
>
⇔ m +  >
⇔ m+
>
23
23
23 

529
23
23


- Nếu ∆ = 0 ⇔ 23m 2 + 112m − 16 = 0 ⇔ m =

−56 − 3504
−56 + 3504
hoặc m >
. Phương trình vô nghiệm.
23
23
m ≠ 0

2
- Nếu ∆ > 0 ⇔ 23m + 112m − 16 < 0 ⇔  −56 − 3504
−56 + 3504 .

23
23

⇔m<

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,2 =

b) x 2 − x + m = 0

− ( 3m + 4 ) ± −23m 2 − 112m + 16

2m

.

(1)

Đặt t = x , t ≥ 0 thì (1): t 2 − t + m = 0
(2)
∆ = 1 − 4m
1
Nếu ∆ < 0 ⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > thì (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm.
4
1
1
1
1
Nếu ∆ = 0 ⇔ m = thì (2) có nghiệm kép t = ≥ 0 nên (1) có nghiệm x = ⇔ x = ± .
4
2
2
2
1
1 − 1 − 4m
1 + 1 − 4m
Nếu ∆ > 0 ⇔ 1 − 4m > 0 ⇔ m < thì (2) có nghiệm t1 =
, t2 =
>0
4
2
2

Với m = 0 thì t1 = 0, t2 = 1 nên (1) có nghiệm x = 0, x = ±1 .
 1 + 1 − 4m 
Với m < 0 thì t1 < 0 nên (1) có 2 nghiệm x = ± 
 .

2


 1 − 1 − 4m 
 1 + 1 − 4m 
Với 0 < m < 1 thì t1 > 0 nên (1) có 4 nghiệm : x = ± 
; x = ±

 .



2
2





Ví dụ 7: [ĐVH]. Biện luận số giao điểm của hai parabol: y = − x 2 − 2 x + 3 và y = x 2 − m theo m.
Lời giải:
Số giao điểm của hai parabol đúng bằng số nghiệm của hai phương trình hoành độ giao điểm
− x2 − 2x + 3 = x2 − m ⇔ 2 x2 + 2 x − m − 3 = 0
∆ = 2m + 7 . Do đó:
Nếu m < −3,5 thì phương trình vô nghiệm, suy ra hai parabol không có điểm chung.

Nếu m = −3,5 thì phương trình có một nghiệm (kép), suy ra hai parabol có một điểm chung.
Nếu m > −3,5 phương trình có hai nghiệm phân biệt, suy ra hai parabol có hai điểm chung.
Ví dụ 8: [ĐVH]. Chứng minh phương trình
a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c.

(

)

b) a 2 x 2 + a 2 + b 2 − c 2 x + b 2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải:
a) ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = 0 ⇔ 3x 2 − 2 ( a + b + c ) x + ( ab + bc + ca ) = 0
∆ ' = ( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca =
2

=

1
 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2ac − 2ca 

2

1
( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2  ≥ 0, ∀ a, b c . Vậy phương trình luôn có nghiệm.

2

(

b) Ta có: ∆ = a 2 + b 2 + c 2

)

2

(

− 4a 2b 2 = a 2 + b 2 + c 2

)

2

(

)(

− ( 2ab ) = a 2 + 2ab + b 2 − c 2 a 2 − 2ab + b 2 − c 2
2

)

2
2
= ( a + b ) − c 2  ( a − b ) − c 2  = ( a + b + c )( a + b − c )( a − b + c )( a − b − c )



Vì a, b, c là 3 cạnh tam giác nên:
a + b + c > 0, b + b − c > 0, a − b + c > 0, a − b − c < 0 . Do đó ∆ < 0 . Vậy phương trình vô nghiệm.

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Ví dụ 9: [ĐVH]. Tìm m để phương trình
a) ( m + 2 ) x 2 + 2 ( 3m − 2 ) x + m + 2 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
b) x 2 − 2 ( m + 3) x + m − 1 = 0 có một nghiệm bằng 2 và tìm nghiệm kia.

Lời giải:
a) Điều kiện m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ −2
Phương trình ( m + 2 ) x 2 + 2 ( 3m − 2 ) x + m + 2 = 0 có nghiệm kép khi ∆ ' = 0
m = 0
2
⇔ ( 3m − 2 ) − ( m + 2 )( m + 2 ) = 0 ⇔ 8m 2 − 16m = 0 ⇔ 
m = 2
− ( 3m − 2 )
Ta có x1 = x2 =
. Khi m = 0 thì x1 = x2 = 1; khi m = 2 thì x1 = x2 = −1 .
m+2
b) Thế x = 2 vào phương trình :
4 − 4 ( m + 3) + m − 1 = 0 ⇔ 3m = −9 ⇔ m = −3

Với m = −3 thì phương trình x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 . Vậy nghiệm kia là x = −2 .

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hai phương trình bậc hai:
x 2 + p1 x + q1 = 0; x 2 + p2 x + q2 = 0 có các hệ số thỏa mãn điều kiện p1 p2 ≥ 2 ( q1 + q2 )

Chứng minh rằng trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Lời giải:
Ta dùng phương pháp phản chứng.
∆1 = p12 − 4q1 < 0
⇒ p12 + p22 < 4 ( q1 + q2 )
Giả sử hai phương trình đều vô nghiệm. Suy ra : 
2
∆ 2 = p2 − 4q2 < 0
⇒ 4 ( q1 + q2 ) > p12 + p22 ≥ 2 p1 p2 ≥ 2.2 ( q1 + q2 ) = 4 ( q1 + q2 ) ⇒ 4 ( q1 + q2 ) > 4 ( q1 + q2 ) : Điều này là vô lí.
Vậy ít nhất một trong hai phương trình phải có nghiệm.

Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho hai phương trình x 2 + x + m + 1 = 0 và x 2 + ( m + 1) x + 1 = 0. Tìm m để hai phương trình :
a) có một nghiệm chung
b) tương đương
Lời giải:
 x02 + x0 + m + 1 = 0
(1)
a) Giả sử 2 phương trình có một nghiệm chung x0 thì ta có hệ phương trình:  2
(2)
 x0 + ( m + 1) x0 + 1 = 0
m = 0
Trừ phương trình (2) với (1) vế với vế ta có: mx0 − m = 0 ⇔ m ( x0 − 1) = 0 ⇔ 
 x0 = 1
Khi m = 0 thì hai phương trình vô nghiệm (loại).
Khi x0 = 1 thì m = −3 . Lúc đó phương trình (1) trở thành x 2 + x − 2 = 0 có 2 nghiệm : x1 = 1; x2 = −2 và phương trình
(2) trở thành x 2 − 2 x + 1 = 0 có nghiệm kép x1 = x2 = 1 . Vậy m = −3 thì hai phương trình có nghiệm chung.
b) Theo kết quả trên hai phương trình chỉ tương đương khi chúng vô nghiệm :
3

∆1 < 0

4m > −3
3
1 − 4m − 4 < 0
4m > −3
m > −
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ − < m <1
4

2
2
4
∆ 2 < 0
m < −3 hay m > 1
( m + 1) − 4 < 0 ( m + 1) < 4 m + 1 < −2 hay m + 1 > 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) x 2 + 5 x + 3m − 1 = 0.

b) 2 x 2 + 12 x − 15m = 0.

Bài 2: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 = 0.

b) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0.

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!


Khóa học TOÁN 10 – MOON.VN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 3: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) (m − 1) x 2 + (2 − m) x − 1 = 0.

b) mx 2 − 2(m + 3) x + m + 1 = 0.

Bài 4: [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại?
3
2
a) x − mx + m + 1 = 0; x = − .
2

b) 2 x 2 − 3m 2 x + m = 0; x = 1.
Bài 5: [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại?
a) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + m − 2 = 0; x = 2.
b) x 2 − 2(m − 1) x + m 2 − 3m = 0; x = 0.
Bài 6: [ĐVH]. Cho phương trình (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − 2 = 0, (*)
2

Xác định m để:

a) (*) có hai nghiệm phân biệt.
b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.

Bài 7: [ĐVH]. Tìm m để phương trình x 2 − x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt?
Bài 8: [ĐVH]. Cho phương trình mx 2 − 2(m 2 + 4m) x + m 2 (m + 4) = 0
Xác định m để:

a) Phương trình có nghiệm kép. Tính giá trị nghiệm kép đó.
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và có trị tuyệt đối bằng nhau.

Tham gia khóa TOÁN 10 tại MOON.VN để tự tin hướng đến kì thi Trung học phổ thông Quốc gia!