DE CUONG ON TAP CHUONG I DAI SO 7

§1. Tập hợp các số hữu tỉ. Thứ tự trong Q
1.

SHT: Mọi SHT đều có thể viết dưới dạng

a
với a, b ∈ Z, b > 0.
b

2.
Thứ tự trong Q.
- Để so sánh hai SHT x, y ta viết chúng dưới dạng phân số sau đó so sánh hai phân số
- Trên trục số x < y thì điểm x ở bên trái điểm y.
§2. Phép cộng và phép trừ trong Q. Giá trị tuyệt đối của một SHT
1.
Cộng hai phân số hữu tỉ.
. Để cộng hai số hữu tỉ x, y ta đưa về cộng hai phân số
. Mỗi SHT x đều có số đối , kí hiệu là –x sao cho: x + (-x) = 0.
2.
Trừ hai số hữu tỉ: x – y = x + (-y)
3.
Giá trị tuyệt đối của SHT x, kí hiệu: x được xác định như sau:

 x nêu x ≥ 0
x =
− x nêu x < 0
4.
Tổng đại số
5.
Một dãy các phép tính cộng trừ các SHT được gọi là một tổng đại số. Vậy ta có:
- Đổi chõ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng,

- Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là
dấu “ - ’’ thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
§3. Phép nhân và phép chia trong Q
1.
Phép nhân trong Q.
- Nhân hai SHT ta làm như nhân hai phân số
- Mỗi SHT x ≠ 0 đều có số nghich đảo, kí hiệu là x-1, sao cho x. x-1 = 1.
- Nếu x =
2.

a
b
thì x-1 =
b
a

Phép chia trong Q: x : y = x.y-1
3.
Chú ý
- Nếu một tích bằng 0 thì ít nhất một thừa số của tích phải bằng 0
- Khi nhân hai hay nhiều SHT, ta nhân các giá trị tuyệt đối của chúng với nhau và đặt trước kết
quả nhận được: dấu “ + ’’nếu số thừa số âm chẵn, dấu “ - ’’nếu số thừa số âm lẻ
4.
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
- Với mọi x, y, z ∈ Q: x( y ± z) = xy ± xz
( x ± y) : z = x : z ± y : z
- Với mọi x, y, z, t ∈ Q:

( x + y ) ( z − t ) = x ( z − t ) + y ( z − t ) = xz − xt + yz − yt

- Nếu các số hạng của tổng đại số có chung một thừa số thì ta có thể đặt thừa số đó ra thành
thừa số chung của tổng
5. Kiến thức bổ sung
- Với mọi x, y, z ∈ Q: x < y ⇔ x + z < y + z
Một BĐT không đổi chiều nếu ta thêm vào hai vế của nó với cùng một số hạng
- Với z > 0 thì x < y ⇔ x . z < y . z và nếu z < 0 thì x < y ⇔ x . z > y . z
Một BĐT không đổi chiều nếu ta nhân cả hai vế của nó với cùng một số dương và sẽ đổi chiều
nếu ta nhân cả hai vế của nó với cùng một số âm.
1


1.

Tính

a)

−2 21
.
7 8

b) 0,24.

2. Tính

−15
4

c) ( −2 ) .(−

7
)
12

d) (−

3
):6
25

−3 12  25 
−38 −7  3 
7  8  45 
−11 33 3
. . − ÷; b) (-2).
. . − ÷; c) (
: ). ; d) .  − ÷− 
4 −5  6 
21 4  8 
23  6  18 
12 16 5
5  1 5  5  1 2
 −2 3  4  −1 4  4
+ ÷: +  + ÷:
e) 
f) :  −
÷+ :  − ÷
9  11 22  9  15 3 
 3 7 5  3 7 5
a)

3. Thực hiện phép tính

 3
 7

1 1
4 3

 1
 3

a) 1 − 2 ÷.3

1 
2 

b) 2 + 3 ữ: 4

4. Tìm x biết

1
1
1
+ 3 ÷+ 7
6
7
2

1 2  1

3 1
3
1 2
1 1
=
b) x + = −  − ÷ c) x − =
d) + : 2 x = −5
3 5  4
4 36
5
2 7
4 3
1 
1

3

e)  3 x − ÷. x + ÷ = 0
f) ( 2 x − 5 ) .  x + 9 ÷. ( 0,3 x − 12 ) = 0
4 
2

2

a) x +

5. Tìm x, biÕt
a) x +

1 9

=
5 10

d) 2 x . 3,5 = −28

b) x −

1
+ x+ y =0
2

e) x − 1,7 = 2,3

c) 2 x − 3,5 = −6,5
f) x +

I. Lũy thừa với một số hữu tỉ
Với x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z;
1.

Lũy thừa với một số mũ tự nhiên.

x ={
x.x...x (n ≠ 0)
n

n lân

Quy uoc : x 0 = 1 ( x ≠ 0); x1 = x
2. Tích của hai lũy thừa cùng cơ số. x n .x m = x n+ m .

3. Thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

xn
1
= x n− m , ( x ≠ 0 ) ; x − n = n , ( x ≠ 0 )
m
x
x
n m
nm
4. Lũy thừa của lũy thừa: ( x ) = x

5. Lũy thừa của một tích: ( xy ) = x . y
n

n

n

n

x
xn
6. Lũy thừa của một thương:  ÷ = n
y
 y

( y ≠ 0)
2

3 1
− =0
4 3


7. Lũy thừa chẵn cùng bậc của hai số đối nhau: ( − x )
8. Lũy thừa lẻ cùng bậc của hai số đối nhau: ( − x )

2n

2 n +1

= x2n

= − x 2 n+1

9. Nâng lên lũy thừa hai vế của bất đẳng thức:

a > b > 0 ⇒ an > bn
a > b ⇔ a 2 n+1 > b 2 n+1
a > b ⇔ a 2n > b2n

Bài tập:
Bài 1: Tính
2

3

2
3

0
 −3 
 −2 
a) 
÷ ;  ÷ ; ( 0,5 ) ; ( 0,5 ) ; ( 9,7 )
 4 
 5 
4
3
2
3
0
 −1 
 1
b) 
;
−
2
;
−
0,2
;
−
0,2
;
−
5,3
(
)
(

)
(
)
÷

÷
 3
 4
2
3
4
5
 1
 1
 1
 1
c)  − ÷ ;  − ÷ ;  − ÷ ;  − ÷ .
 2
 2
 2
 2
5
42.43 ( 0,6 ) 27.93 63 + 3.62 + 33
;
d) 10 ;
6 ;
5 2
4
6
.8

−13
( 0,2 )
2

2

5

4

54.204
3 1
3 5
 10   −6 
e)  + ÷ ;
−
;
;

÷
 − ÷ . ÷ ;
255.45
7 2
4 6
 3  5 
2
3
3
 2 1 4 3
1 2

 1 1
f) 1 + − ÷.  − ÷ ;
2 :  − ÷ ; 9.9.  − ÷ + ;
3
4
5
4



2 3
 3 3

( 4.2 ) :  2 .16 ÷
5

3

Bài 3. Tìm n
n

5

7

2
3
3
b)  ÷ x =  ÷ ; c) ( x − 2 ) = 1 ;
4

4
n

1
343  7 
1
a)  ÷ =
;
b)
= ÷;
2
32
125
 
5
e) 8n : 2n = 4 ;
f) 32.3n = 35
i) 2−1.2n + 4.2n = 9.25

16
c) n = 2 ;
2
2
n
g) ( 2 : 4 ) .2 = 4

1



Bài 2: Tìm x biết

1
 1
a) x :  − ÷ = − ;
2
 2

3



d) ( 2 x − 1) = 8
3

( −3)
d)

n

= −27
81
h) 3−2.34.3n = 37

Bài 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho
a) 2.16 ≥ 2 n > 4
b) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
c) 3 < 3n ≤ 243
d) 125 ≥ 5n ≥ 25
Bài 5. Chứng minh rằng

a) 87 − 218 M
b) 106 − 57 M
14
59
5
6
n+2
n+2
c) 313 .299 − 313 .35M
d) 3 − 2 + 3n − 2n M
7
10
n +3
n +3
n +1
n+2
6
5
4
e) 3 + 2 + 3 + 2 M
f) 7 + 7 − 7 M
6
11
3


Bài 6. So sánh
a) 291 và 535

( )

c) 2

b) 544 và 2112

2

3

3

2

và 22

3

d) 23 và 22

II. Tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
a
1. Tỉ số. Kí hiệu:
hay a : b.
b
2. Một đẳng thức giữa hai tỉ số gọi là một tỉ lệ thức.
3. Các tính chất của tỉ lệ thức
a)

a c
= ⇒ ad = bc

b d

a c a b d c d b
= ; = ; = ; = .
b d c d b a c a
a c
a b d c d b
c) = ⇒ = ; = ; = .
b d
c d b a c a
b) ad = bc ( a, b, c, d ≠ 0 ) ⇒

4. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
a)

a c a±c
= =
b d b±d

b)

a c e a+c+e
a −c +e
= = =
=
b d f b+d + f b−d + f

5. Khi nói x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là ta có:

x y z

= = , hoặc ta có thể viết x : y : z = a : b : c.
a b c

Bµi tËp:

x

10 y

3

Bài 1: Tìm x, y, z biết y = 9 ; z = 4 và x – y – z =78
Bài 2: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
a)

x−3 5
=
x+5 7

b)

7
x +1
=
x −1
9

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết:

c)

x+4
5
=
20
x+4

d)

x −1 x − 2
=
x+2 x+3

x 9 y 7
x y z
= = ; x − 3 y + 4 z = 62
b) y = 7 ; z = 3 ; x − y + z = −15
4 3 9
x 7 y 5
c) y = 20 ; z = 8 ; 2 x + 5 y − 2 z = 100 d) 5x = 8y = 20z; x – y – z = 3
6
9
18
x y z
e) x = y = z; − x + y + z = −120 f) = = ; xyz = 20
11
2
5
12 9 5
x y z 2

12
x
−
15
y 20 z − 12 x 15 y − 20 z
=
=
; x + y + z = 48
g) = = ; x + y 2 − z 2 = 585 h)
5 7 3
7
9
11

a)

a+5 b+6
a 5
=
( a ≠ 5; b ≠ 6 ) . Chứng minh rằng =
a−5 b−6
b 6
2
Bài 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m . Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều
chiều rộng khu vườn.
Bài 3: Cho

SỐ THẬP PHÂN - LÀM TRÒN SỐ - CĂN BẬC HAI
A. Lý thuyết
4

1. Số thập phân
Mỗi số thập phân có thể viết được dưới dạng STP hữu hạn hoặc STP vô hạn tuần hồn và
ngược lại
2. Quy tắc làm trịn số
Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi < 5 thì ta giữ ngun bộ phận cịn lại
Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi ≥ 5 thì ta cộng thêm 1 và chữ số cuối cùng của
bộ phận còn lại
3. Căn bậc hai
Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x 2 = a
Số dương a có đúng hai CBH, một số dương kí hiệu là a , và một số âm kí hiệu là − a
Số 0 chỉ có một CBH là 0, cũng viết là 0 = 0
Với hai số dương bất kì a và b: Ta có
a =b⇒ a = b
aa >b⇒ a > b
4. Số vô tỉ - Số thực
Số vô tỉ là số có thể viết dưới dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn. Tập hợp số vơ tỉ
kí hiệu là I
Số thực là tập hợp số vơ tỉ và số hữu tỉ kí hiệu là R và R = Q ∪ I
Bài tập
Bài 1. Số nào là STP hữu hạn, STP vơ hạn tuần hồn, vì sao?
−5
7
−8 11
−13
2
−4
;

;
;
;
;
;
64 625 30 37
400 15 55
Bài 2. Viết các STP sau dưới dạng phân số
0,(8); 0,11(7); 3,(5); −2,15(16); −17,(23); 0,18(0)
Bài 3. Tính
a) 10,(3) + 0,(4) – 8,(6)
b) [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21)
2  4
4
 
0,8 :  .1,25 ÷ 1,08 − ÷:
4
25  7
5
+ 
+ ( 1,2.0,5 ) :
c)
1
1 2
 5
5
0,64 −
6 − 3 ÷.2

25

4  17
 9
Bài 4. Trong các số sau số nào có căn bậc hai? Tính căn bậc hai của số đó.
36
16
49
25
2
36; −3600; −0,125;
; 121; ( −0,81) ; 0,09;
;
; −
49
81
9
49
Bài 5. Tìm x biết a)7 − x = 0; b)4 x 2 − 1 = 0; c)2 x 2 + 0,82 = 1
Kiểm tra
Câu 1: Tính
a)

−3 12  25 
. . − ÷
4 −5  6 

1  1
1
1
 1
c)  2 + 3 ÷:  −4 + 3 ÷+ 7

2  6
7
2
 3

b) (-2).

−38 −7  3 
. . − ÷
21 4  8 

42.43 ( 0,6 ) 27.93 63 + 3.62 + 33
;
d) 10 ;
6 ;
5 2
4
−13
( 0, 2 ) 6 .8
5

5


Câu 2: Tìm x

1 
1
3
1 2

1 1

x − = ; b) + : 2 x = −5 ; c)  3 x − ÷. x + ÷ = 0 ; d) 2 x − 3,5 = −6,5
4 
2
5
2 7
4 3

3 1
2
e) 2 x . 3,5 = −28 ;
f) x + − = 0 ;
g) ( x − 2 ) = 1 ;
h) 8 x : 2 x = 4
4 3
a)

i) 32.3x = 35

k)

Câu 3: Tìm các số x, y, z biết:
a)

x

x y z
= = ; x − 3 y + 4 z = 62
4 3 9

Câu 4:

Cho biÓu thøc A =

x+4
5
=
20
x+4

9 y

7

b) y = 7 ; z = 3 ; x − y + z = −15

x −1
x2 −1

a) TÝnh giá trị của A tại x = 2
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Cõu 5: Tìm số đo các góc của tam giác biết r»ng c¸c gãc cđa tam gi¸c tØ lƯ víi 4, 6, 9

BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức
a) ( −5 − 1 − 2 ) ;
3

b) ( −5 − 8 − 3 − 2 ) ;

3

2

c) ( −4 − 9 − 1 − 3) ;
3

3

 −2 
 −2 
 −2 
e) 6. ÷+ 12  ÷ + 18. ÷
 3 
 3 
 3 
Bài 2.Tìm x; y biết
a) ( x − 2 ) = −27 ;
3

f)

( −5 )

2

2

3 5
d) 9,6. − ÷

4 6

+ 52 −

( −3)

2

− 32

1
;
d) 2 x + 2 x+3 = 144
243
2
2
2
2
2
4
f) x + y = 0 ; g) ( x − 1) + ( y + 2 ) = 0 ; h) ( x + y − 11) + ( x − y − 4 ) = 0
b) ( 2 x − 3) = 25 ; 4 x 2 − 1 = 0 ;
2

x−1
c) 3 =

e) 81−2 x.27 x = 95 ;
5
1 1

x− =
i)
k) x + 1 − 2 = 0 ; x + 1 + 2 = 0
12
6 3
Bài 3. Cho
x + 16 y − 25 z + 9
=
=
;2 x3 − 1 = 15 . Tính x + y + z
a)
9
16
25
3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
x y z
=
=
b)
Chứng minh rằng: = =
4
3
2
2 3 4
x
y
z
=
=
= x+ y+ z

Bài 4.Tìm x, y, z biết rằng
y + z +1 x + z +1 y + x − 2

6