CHƯƠNG III véc tơ TRONG KHÔNG GIAN QUAN hệ VUÔNG góc TRONG KHÔNG GIAN

CHƯƠNG III: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
I.

VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa và các phép toán
 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về véc tơ trong không gian được xây
dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
 Ghi nhớ:
uuur uuu
r uuur
 Quy tắc ba điểm: cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC
 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
uuur uuur uuur
AB + AD = AC
 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:
uuur uuur uuuu
r uuur
AB + AD + AA′ = AC′
 Hệ thức trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng
uur uu
r r uuur uuur
uur
AB và một điểm O tùy ý, ta có: IA + IB = 0; OA + OB = 2OI
 Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm tam giác ABC và một
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
điểm O tùy ý, ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG
 Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm tứ diện ABCD và một
điểm O tùy ý, ta có:
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur

uuur
GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r r
 Điều kiện hai véc tơ cùng phương: a và b cùng phương ( a ≠ 0 ) khi và
r
r
chỉ khi ∃ !k ∈ ¡ : b = ka .
 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k, O tùy ý, ta có:
uuur
uuur
uuuu
r
uuur uuuu
r OA − kOB
MA = kMB; OM =
, k ≠1
1− k
2. Sự đồng phẳng của ba véc tơ
 Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với
một mặt phẳng nào đó.
r r r
r
r
 Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ: Cho ba véc tơ a, b, c trong đó a và b
r r r
không cùng phương. Khi đó, a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy
r
r

r
nhất hai số thực m và n sao cho c = ma + nb
r r r
r
 Cho ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý. Khi đó, tồn tại duy nhất ba
r
r
r
r
số thực m, n, p sao cho x = ma + nb + pc


3. Tích vô hướng của hai véc tơ
 Góc giữa hai véc tơ trong không gian:
uuur r uuur r
r r
·
·
AB = u, AC = v ⇒ u, v = BAC
0° ≤ BAC
≤ 180°

(

)

(

)

 Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian:
rr r r
r r
r r r
u.v
=
u
.
v
.
cos
u,
v
 Cho u, v ≠ 0 . Khi đó,
r r
r r
rr
 Với u = 0 hoặc v = 0 . Quy ước u.v = 0
r r
rr
 Với u ⊥ v ⇔ u.v = 0

(

)

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VÉC TƠ
Dựa vào quy tắc các phép toán về véc tơ và các hệ thức
véc tơ.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I

là trung điểm của EF.
uur uu
r uur uur r
a) Chứng minh rằng IA + IB + IC + ID = 0 .
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
uuu
r
b) Chứng minh rằng MA + MB + MC + MD = 4MI .
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
MA
+
MB
+
MC
+
MD
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho
nhỏ nhất.
Bài 2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung
điểm của các cạnh đối đồng quy tại trung điểm của chúng (điểm đồng quy
đó được gọi là trọng tâm của tứ diện).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi A′, B′, C′, D′ lần lượt là các điểm chia các
cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k ( k ≠ 1) . Chứng minh rằng hai tứ diện
ABCD, A′B′C′D′ có cùng trọng tâm.
VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA VÉC TƠ ĐỒNG PHẲNG
PHÂN TÍCH MỘT VÉC TƠ THEO BA VÉC TƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG

Để chứng minh ba véc tơ đồng phẳng, ta có thể
chứng minh bằng một trong các cách sau:
 Chứng minh các giá của chúng cùng song song với
một mặt phẳng.


 Dưa vào điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng: “Nếu
r
r
r
có m, n là các số thực sao cho c = ma + nb thì ba
r r r
véc tơ a, b, c đồng phẳng”.
r
Để phân tích một véc tơ x theo ba véc tơ không
r r r
đồng phẳng a, b, c , ta đi tìm bộ ba số m, n, p sao
r
r
r
r
cho x = ma + nb + pc .
Bài 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên
uuur
uuuu
r
đoạn SA lấy điểm M sao cho MS = −2MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao
uuur uuuu
r uur
uuur uuur

cho 2NB = NC . Chứng minh rằng ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung
điểm của các cạnh AE, CG, AD, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của
NG và JH.
uuuu
r uuu
r uuu
r
a) Chứng minh ba véc tơ MN, FH, PQ đồng phẳng.
uu
r uur uuur
b) Chứng minh ba véc tơ IL, JK, AH đồng phẳng.
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm
của AE, EC, CD, BC, BE. uur uur uuur
a) Chứng minh rằng ba véc tơ AJ, GI, HK đồng phẳng.
FM CN 1
=
= . Các
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
FA CE 3
đường thẳng vẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và
uuuu
r uuu
r uur
Q. Chứng minh ba véc tơ MN, PQ, CF đồng phẳng.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của CD và DD′ , G và G′ lần lượt là trọng tâm các tứ diện A′D′MN và
BCC′D′ . Chứng minh rằng đường thẳng GG′ P( ABB′A′ ) .
r r r
r

Bài 5. Cho ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng và véc tơ d .
r
r
r
a) Cho d = ma + nb với m, n khác 0. Chứng minh rằng các bộ ba véc tơ sau
đồng phẳng.
r r r
r r r
i. b, c, d
ii. a, c, d
r
r
r
r
b) Cho d = ma + nb + pc với m, n, p ≠ 0 . Chứng minh các bộ ba véc tơ sau
không đồng phẳng.


r r r
a, b, d

r r r
a, c, d
uuuu
r r uuur r uuur r
Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA′ = a, AB = b, AC = c .
uuur uuur
r r r
Hãy phân tích các véc tơ B′C, BC′ theo ba véc tơ a, b, c .
Bài 7. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng

uuur utâm
uur ucủa
uur tam giác ABC.
uuur
a) Phân tích véc tơ OG theo ba véc tơ OA, OB, OC .
uuur
b) Gọi D là trọng tâm tứ diện OABC. Phân tích véc tơ OD theo ba véc tơ
uuur uuur uuur
OA, OB, OC .
Bài 8. Cho hình hộp OABC.DEFG .uGọi
Iu
ur uu
rlàutâm
u
r hình hộp.
uur
a) Phân tích véc tơ BI theo ba véc tơ FE, FG, FI .
uuur uuur uuur
uur
uuur
b) Phân tích véc tơ OI và AG theo OA, OC, OD .
uuur uuur
Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Phân tích véc tơ AE, AG theo ba
uuur uuu
r uuur
véc tơ AC, AF, AH
i.

ii.

r r r
b, c, d

iii.

VẤN ĐỀ 3: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
′B′C′D′ .
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A
uuuur uuur
uuur
uuuur uuur
uuur
a) Xác định góc giữa các cặp véc tơ: AB và A′C′ , AB và A′D′ , AC′ và BD .
b) Tính các tích vô hướng của các cặp véc tơ ở phần a).
Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ BD . Gọi P và Q lần lượt là
các điểm thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r
PA = kPB, QC = kQD, k ≠ 1 . Chứng minh rằng AB ⊥ PQ .
II.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Véc rtơ chỉ
r phương của đường thẳng

Véc tơ a ≠ 0 gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song
song hoặc trùng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng
¶ b = a· ′, b′
 a′ Pa, b′ Pb ⇒ a,
r
r
 Giả sử u là véc tơ chỉ phương của a, v là véc tơ chỉ phương của b,

( ) (

(

)

r r
¶ b = α
u, b = α . Khi đó: a,

180° − α

)

( )

nÕu 0° ≤ α ≤ 90°
nÕu 90 < α ≤ 180°




( )

¶ b = 0° .
Nếu a Pb hoặc a ≡ b thì a,

3. Hai đường thẳng vuông góc
¶ b = 90° .
 a ⊥ b ⇔ a,
r r
 Giả sử u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng a,b. Khi đó:
rr
a ⊥ b ⇔ u.v = 0 .
 Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

( )

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta có
thể sử dụng một trong các cách sau:
 Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng
90° .
 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của chúng
vuông góc với nhau.
 Sử dụng tính chất của hình phẳng (như định lí Pi –
ta – go).
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
·
·
·

. Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ CA, SC ⊥ AB .
ASB
= BSC
= CSA
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c .
a) Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc
với hai cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với
AB = a, AD = 2a , SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh
AD ( M ≠ A, D ) . Mặt phẳng (P) qua M song song với (SAB) cắt BC, SC, SD
lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x . Tính diện tích của MNPQ theo a, x.


Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Chứng minh rằng AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′ .
III.

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. Định nghĩa
d ⊥ ( P ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ ( P )
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 a, b ⊂ ( P ) , a ∩ b ≠ ∅

⇒ d ⊥ ( P)

d
⊥
a,
d
⊥
b

3. Tính chất
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với
đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
 a Pb
⇒ ( P) ⊥ b
 
P
⊥
a
(
)

 ( P ) P( Q )
⇒ a ⊥ ( Q)
 
a
⊥
P
(
)


 a P( P )
⇒b⊥a
 
b
⊥
P
(
)

a ≠ b
⇒ a Pb
 
 a, b ⊥ ( P )

 ( P ) ≠ ( Q )
⇒ ( P ) P( Q )
 
P
,
Q
⊥
a
(
)
(
)


 a ⊄ ( P )

⇒ a P( P )
 
a,
P
⊥
b
(
)


4. Định lí ba đường vuông góc
Cho a ⊥ ( P ) , b ⊂ ( P ) , a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó,
b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Nếu d ⊥ ( P ) thì góc giữa d với (P) bằng 90° .
 Nếu d ⊥ P thì góc giữa d với (P) chính là góc giữa d với d′ với d′ là
hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt qua 90° .
VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT
PHẲNG
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC










Để chứng minh d ⊥ ( P ) , ta có thể chứng minh bởi
một trong các cách sau:
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt
nhau nằm trong (P).
Chứng minh d ⊥ ( Q ) và ( P ) P( Q ) .
Chứng minh d Pa và a ⊥ ( P ) .
Để chứng minh d ⊥ a , ta có thể chứng minh bởi
một trong các cách sau:
Chứng minh d ⊥ ( P ) và (P) chứa a.
Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
Sử dụng các phương pháp đã biết ở phần trước.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ⊥ ( ABCD )
. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) , CD ⊥ ( SAD ) , BD ⊥ ( SAC ) .
b) Chứng minh AH ⊥ SC, AK ⊥ SC . Từ đó suy ra ba đường thẳng AH, AI, AK
cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Chứng minh HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông
góc với AI.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, SA ⊥ ( ABC ) .
a) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) .
b) Gọi AH là đường cao của tam giác |SAB. Chứng minh AH ⊥ SC .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi tâm O,
SA = SC, SB = SD .
a) Chứng minh SO ⊥ ( ABCD ) .
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng
IJ ⊥ ( SBD ) .
Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều. Gọi I là
trung điểm của BC.

a) Chứng minh BC ⊥ ( AID ) .
b) Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh AH ⊥ ( BCD ) .
Bài 5. Cho tứ điện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi
H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ ( OAH ) .


b) H là trực tâm tam giác ABC.
1
1
1
1
=
+
+
c)
2
2
2
OH
OA
OB OC2
d) Tam giác ABC nhọn.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là
tam giác đều, SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh SI ⊥ ( SCD ) , SJ ⊥ ( SAB ) .
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng SH ⊥ AC .
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM ⊥ SA . Tính AM
theo a.

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và AD.
a) Chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) .
b) Chứng minh AC ⊥ SK, CK ⊥ SD .
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D và
SD = a 5 .
a) Chứng minh SA ⊥ ( ABCD ) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là
hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với
(HIJ). Chứng minh rằng AK ⊥ ( SBC ) , AL ⊥ ( SCD ) .
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 9. Cho ∆MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C′ là
hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC′ .
a) Chứng minh CC′ ⊥ ( MBD ) .
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của
∆BCD .
Bài 10. Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng
AB ⊥ CD ⇔ AC 2 − AD 2 = BC 2 − BD 2 .
VẤN ĐỀ 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI
MỘT ĐƯỜNG THẲNG


Tìm hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với
đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song
song (hoặc chứa) với hai đường thẳng ấy.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với
AB = BC = a , AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a . Gọi M là một điểm trên

cạnh AB, mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt
AM = x ( 0 ≤ x ≤ a ) .
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện đó là hình gi?
b) Tính diện tích thiết diện theo a, x.
Bài 2. Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) và
SA = 2a . Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ
diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này.
Bài 3.
Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B,
AB = a, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, đặt
AM = x ( 0 < x < a ) . Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có
giá trị lớn nhất.
Bài 4. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) và
SA = a . Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích thiết diện trong
các trường hợp sau:
a) (P) qua S và vuông góc với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD )
và SA = a 2 . Vẽ đường cao AH của tam giác SAB.
SH 2
= .
a) Chứng minh rằng
SB 3
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo
thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện?
VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Để xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng

(P), ta cần:


 Tìm giao điểm O của d với (P).
 Chọn điểm A ∈ d và dựng điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên (P). Khi đó, góc cần tìm
·
chính là AOH
.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O,
SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N lần lượt là trung điêm của các cạnh SA và BC.
Biết góc giữa đường thẳng MN với (ABCD) bằng 60° .
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN với mặt phẳng (SBD).
Bài 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA ⊥ ( ABCD ) và SA = a 6 . Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD)
b) SC và (SAB)

c) SB và (SAC)
d) AC và (SBC)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) .
Cạnh SC = a hợp với đáy một góc α và hợp với mặt bên một góc β .
a) Tính SA.
b) Chứng minh rằng AB = a cos ( α + β ) cos ( α − β ) .
Bài 4.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân,
·

AB = AC = a, BAC
= α . Biết SA, SB, SC đều hợp với đáy một góc α .
Bài 3.

a) Chứng minh rằng hình chiếu S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ΑΒC .
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Bài 5.
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a,
AA′ ⊥ ( ABC ) và đường chéo BC′ hợp với mặt bên ABB′A′ một góc 30° .
a) Tính AA′ .
b) Tính khoảng cách của trung điểm M của AC đến ( BA′C′ ) .
IV.

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Góc giữa hai mặt phẳng
 a ⊥ ( P )
¶b
⇒ (·P ) , ( Q ) = a,
 
 b ⊥ ( Q )

(

) ( )


 Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c . Từ I ∈ c dựng
 a ⊂ ( P ) , a ⊥ c

¶b
⇒ (·P ) , ( Q ) = a,

 b ⊂ ( Q ) , b ⊥ c
·
 Chú ý: 0 ≤ ( P ) , ( Q ) ≤ 90° .

) ( )

(

(

)

2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P). S′ là diện tích hình chiếu ( H′ )
của (H) trên (Q) và góc giữa (P) và (Q) là ϕ . Khi đó, S′ = S. cos ϕ .
3. Hai mặt phẳng vuông góc
 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90° .
 Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trên mặt
phẳng này có chứa một đường thẳng nào đó vuông góc với mặt phẳng
kia.
4. Tính chất

 ( P ) ⊥ ( Q ) , ( P ) ∩ ( Q ) = c
⇒ a ⊥ ( Q)

a
⊂

P
,
a
⊥
c
( )



( P ) ⊥ ( Q )

⇒ a ⊂ ( P)
 A ∈( P )

 a ∋ A, a ⊥ ( Q )

 ( P ) ∩ ( Q ) = a
⇒a ⊥( R)

P
⊥
R
,
Q
⊥
R
(
)
(
)

(
)
(
)

VẤN ĐỀ 1: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có
thể sử dụng một trong các cách sau:
 Tìm hai đường thẳng a, b sao cho a ⊥ ( P ) , b ⊥ ( Q )
. Khi đó, góc cần tìm chính là góc giữa hai đường
thẳng a và b.


 Giả sử ( P ) ∩ ( Q ) = c . Từ I ∈ c , dựng
 a ⊂ ( P ) , a ⊥ c
. Khi đó, góc cần tìm chính là góc

 b ⊂ ( Q ) , b ⊥ c
giữa hai đường thẳng a và b.
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân với AB = BC = a
, SA ⊥ ( ABC ) và SA = a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. SA ⊥ ( ABCD ) . Tính SA theo
a để số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60° .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường
tròn đường kính AB = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 3 .
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC)
Bài 5.

b) (SBD) và (ABD)

c) (SAB) và (SCD)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O. Biết

a
a 6
và SO =
.
3
3
a) Chứng minh tam giác SAC vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 2 và đáy ABCD
là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a . Tính góc giữa
các cặp mặt phẳng sau:
SA ⊥ ( ABCD ) , OB =

a) (SBC) và (ABC)

b) (SAB) và (SBC)

c) (SBC) và (SCD)

VẤN ĐỀ 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG
THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG








Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể
chứng minh bởi một trong các cách sau:
Chứng minh trong mặt phẳng này chứa một đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Chứng minh góc giữa chúng bằng 90° .
Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các
cách sau:
Chứng minh d ⊂ ( Q ) với ( P ) ⊥ ( Q ) và d vuông
góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
Chứng minh d = ( Q ) ∩ ( R ) với

( Q) ⊥ ( P) ,( R ) ⊥ ( P) .
 Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC.
Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6
. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài 2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với
mặt BCD. Vẽ các đường cao BE, DF của tam giác BCD, đường cao DK của

tam giác ACD.
a) Chứng minh AB ⊥ ( BCD ) .
b) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC).
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của tam giác BCD và ADC. Chứng minh
OH ⊥ ( ACD ) .
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ ( ABCD ) .
a) Chứng minh rằng ( SAC ) ⊥ ( SBD ) .
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh rằng
( ACF ) ⊥ ( SBC ) , ( AEF ) ⊥ ( SAC ) .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) .
Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC và DC sao cho
BM =
góc.

a
3a
, DN = . Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông
2
4


Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là
tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI ⊥ ( ABCD ) , AD ⊥ ( SAB ) .
b) Tính góc giữa BD với (SAD).
c) Tính góc giữa SD với (SCI).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm I cạnh a và có góc
a 6

·
và SC ⊥ ( ABCD ) .
BAD
= 60° , SC =
2
a) Chứng minh ( SBD ) ⊥ ( SAC ) .
b) Trong tam giác SAC kẻ IK vuông góc với SA tại K. Tính độ dài IK.
·
c) Chứng minh BKD
= 90° . Từ đó suy ra ( SAB ) ⊥ ( SAD )
V.

KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
 d ( M, a ) = MH, d ( M, ( P ) ) = MH , trong đó H là hình chiếu vuông góc
của M trên a hoặc trên (P)
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt
phẳng song song
 d ( a, ( P ) ) = d ( M, ( P ) ) , trong đó M là một điểm bất kì nằm trên a.

 d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( Q ) ) , trong đó M là một điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đường thẳng ∆ cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường
vuông góc chung của a, b.
 Nếu ∆ cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
 Độ dài đoạn IJ gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và
song song với nó.

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
VẤN ĐỀ 1: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU


Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau a và b, ta có thể thực hiện một trong các cách
sau:
Giả sử a ⊥ b
 Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại
A.
 Dựng AB ⊥ b tại B.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Sử dụng mặt phẳng song song
 Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
 Chọn M ∈ a , dựng MH ⊥ ( P ) tại H.
 Từ H kẻ đường thẳng a′ Pa cắt b tại B.
 Từ B dựng đường thẳng song song với MH, cắt a
tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Sử dụng mặt phẳng vuông góc
 Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O.
 Dựng hình chiếu b′ của b trên (P).
 Dựng OH vuông góc với b′ tại H.
 Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại
B.
 Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a
tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Bài 1. Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và

OA = OB = OC = a . Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng OA và BC, AI và OC.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a,
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: SC và
BD, AC và SD.
Bài 3. Cho tứ diện SABC có SA ⊥ ( ABC ) . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của
các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b) Chứng minh SC ⊥ ( BHK ) , HK ⊥ ( SBC ) .
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.


Bài 4.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm của AB. Dựng IS

a 3
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các
2
cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các
cặp đường thẳng : NP và AC, MN và AP.
vuông góc với (ABCD) và IS =

VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Bài 1.

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

(mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm
đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
Cho hình chóp S.ABCD có SA = a 6, SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là

nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn có đường kính AD = 2a .
a) Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) song
a 3
.
4
Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ ( ABC ) và AA′ = a , đáy

song với (SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng
Bài 2.

ABC là tam giác vuông tại A và BC = 2a, AB = a 3 .
a) Tính khoảng cách từ AA′ đến ( BCC′B′ ) .
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′BC ) .
c) Chứng minh rằng AB ⊥ ( ACC′A′ ) và tính khoảng cách từ điểm A′ đến mặt
phẳng ( ABC′ ) .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA ⊥ ( ABCD ) , SA = 2a .
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), từ C đến (SBD).
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN song
song với mặt phẳng (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD).


c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. cho biết AD
cách (P) một khoảng bằng

a 2
. Tính khoảng cách từ S đến (P) và diện tích
2

tứ giác BCEF.
Bài 4. Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60° , nhận AB = a
làm đoạn vuông góc chung. Trên By lấy điểm C với BC = a . Gọi D là hình
chiếu của C trên Ax.
a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD.
·
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và BAD
= 60° .
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với đáy và
3a
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
4
a) Chứng minh ( SOF ) ⊥ ( SBC ) .
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
SO =