Hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Hải Lý giảng viên khoa Toán - Lý - Tin trường Đại học Tây Bắc đã tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
khóa luận.
Để hoàn thành khóa luận, tôi cũng nhận được sự giúp đỡ tạo điều kiện thuận
lợi về cơ sở vật chất, tài liệu và phòng Khoa học công nghệ và Quan hệ quốc tế,
Thư viện và một số phòng ban, khoa trực thuộc Trường Đại học Tây Bắc.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp k52 ĐHSP Toán Lý đã
động viên, đóng góp ý kiến và đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời
gian tôi làm khóa luận này.
Vì thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn để khóa
luận được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 05 năm 2015
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Anh Phƣơng


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn khóa luận ......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1
3. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..................................................................... 2
4.1. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2
4.2. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
5.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận..................................................................... 2
5.2. Phương pháp điều tra quan sát ....................................................................... 2
5.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận ...................................................................................... 2

Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 3
1.1. Cơ sở lí luận chung ........................................................................................ 3
1.1.1. Quan niệm về bài toán................................................................................. 3
1.1.2. Vị trí, chức năng của bài toán ..................................................................... 3
1.1.3. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán .................................................... 4
1.1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán ........................................................... 7
1.2. Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chương trình Toán học Trung
học cơ sở................................................................................................................ 8
1.2.1. Biến đổi đồng nhất. ..................................................................................... 8
1.2.2. Vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chương trình môn Toán
Trung học cơ sở. .................................................................................................... 8
1.3. Thực trạng việc hướng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép
biến đổi đồng nhất ................................................................................................. 8
Chƣơng 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT............................................................... 11
2.1. Bài toán về chứng minh đẳng thức............................................................... 11


2.2. Bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử ................................................ 17
2.3. Bài toán về rút gọn biểu thức ....................................................................... 27
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................... 41
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 41
3.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................................. 41
3.3. Tổ chức thực nghiệm.................................................................................... 41
3.4. Tiến hành thực nghiệm................................................................................. 41
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ..................................................................... 44
KẾT LUẬN: ....................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 46
PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khóa luận
Hiện nay cuộc cách mạng khoa học công nghệ đang phát triển nhảy vọt
trên phạm vi toàn cầu, thúc đẩy sự thành công của quá trình công nghệp hóa,
hiện đại hóa đất nước, trong đó tri thức là nền tảng, là nguồn lực con người đóng
vai trò then chốt.
Tại điều 2, chương 1 của luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa
Việt Nam thông qua ngày 14 tháng 6 năm 2005 viết: “Mục tiêu giáo dục là đào
tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe và
thẩm mĩ, có nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa
xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân,
đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”.
Hướng dẫn học sinh giải toán về phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại
số là một trong những yêu cầu quan trọng trong dạy học Toán ở Trung học cơ
sở. Các bài toán giải bằng cách áp dụng phép biến đổi đồng nhất có rất nhiều cơ
hội khai thác, bồi dưỡng cho học sinh tư duy lôgic và đóng vai trò quan trọng
trong việc hình thành năng lực trí tuệ chung cho học sinh.
Chính vì vậy, việc nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng các bài toán, phân dạng
các bài toán có thể vận dụng giải được bằng phép biến đổi đồng nhất là rất cần
thiết và hữu ích cho học sinh, cho giáo viên Toán ở trường Trung học cơ sở.
Với những lí do trên tôi chọn khóa luận: “Hƣớng dẫn học sinh THCS giải
một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về phép biến đổi
đồng nhất ở trường Trung học cơ sở.
3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lí luận có liên quan như:
Phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chương trình toán Trung
học cơ sở.

1


Nghiên cứu vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chương trình
Toán Trung học cơ sở.
Tìm hiểu thực trạng việc hướng dẫn học sinh giải một số toán về phép biến
đổi đồng nhất ở trường Trung học cơ sở.
Đề xuất giải pháp sư phạm rèn luyện việc hướng dẫn học sinh Trung học
cơ sở giải toán về phép biến đổi đồng nhất.
Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất trong chương trình Toán Trung
học cơ sở.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu tài liệu liên quan đến khóa luận, đọc và hệ thống các tài liệu có
liên quan đến cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu và tài liệu liên quan đến bài
toán về phép biến đổi đồng nhất cho học sinh Trung học cơ sở và một số vấn đề
lí luận có liên quan.
5.2. Phƣơng pháp điều tra quan sát
Nghiên cứu, tìm hiểu việc giải toán về phép biến đổi đồng nhất cho học
sinh Trung học cơ sở.
5.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá kết quả nghiên cứu.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục tài liệu tham khảo đề tài bao gồm 3

chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Hướng dẫn học sinh Trung học cơ sở giải một số bài toán về
phép biến đổi đồng nhất.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
2


Chƣơng 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận chung
1.1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn
ở người giải tại thời điểm được đưa ra.
1.1.2. Vị trí, chức năng của bài toán
Ở trường Trung học cơ sở, bài tập có vai trò quan trọng trong môn Toán,
dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang
hoạt động của học sinh, các bài toán ở trường Trung học cơ sở là một phương
tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm
vững kiến thức, phát triển tư duy và hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán
học vào thực tiễn. Thông qua việc giải bài tập, học sinh phải thực tiễn hoạt động
nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay
phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ
biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn
ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương
pháp dạy học. Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán được thể hiện cả trên ba
phương diện
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập Toán học ở trường
Trung học cơ sở là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động
đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những
chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán,

cụ thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
3


Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo
những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác.
Những bài tập toán học còn là phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh
hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập Toán còn là giá mang
hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động bằng những hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học. Đảm bảo trình độ xuất phát. Gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố và kiểm tra, … Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài
tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc
độc lập và trình độ phát triển của học sinh… Một bài tập có thể nhằm vào một
hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập, ta cần chú ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc bài toán bao gồm:
+) Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh
trung bình.

+) Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức.
+) Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện các bước tìm lời giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình bốn
bước của G.Pôlya.
1.1.3. Phƣơng pháp chung tìm lời giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải mọi
bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có
trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng
4


dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể
và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Pôlya về cách giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có
thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán gồm 4 bước sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh”
của bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là
các chi tiết rắc rối. Cần “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc
vùng kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ
giải quyết được vấn đề gì?
Sau đó, cần phân biệt cái gì đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; phát
biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội dung bài toán; có
thể dùng công thức, hình vẽ, kí hiệu để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú cho học sinh,
khiến cho học sinh thích giải bài toán đó, và gợi sự “tò mò” muốn tìm lời giải
cho đề toán.

Bƣớc 2: Tìm cách giải
Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải
bài toán. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà
chỉ có thể đưa ra lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời
giải được đúng hướng hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công
hơn. Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh
hoạt, càng nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn; và càng nhiều thành
công, càng giải được nhiều bài toán thì chúng càng trở thành “của mình”, thành
những “kinh nghiệm sống” chứ không phải chỉ là những chỉ dẫn khô khan.
Việc tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ giải với một
bài toán cũ tương tự, một môi trường riêng, một bài toán tổng hay một bài toán nào

5


đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với những dạng toán như
chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán dựng hình, quỹ tích,…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ càng từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được đối chiếu kết quả với một tri thức có liên quan.
Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để tìm được cách giải
hợp lý nhất cho bài toán.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Khi đã tìm được cách giải rồi thì việc trình bày lời giải không còn khó khăn
nữa, song tính chất hai công việc có khác nhau. Việc trình bày lời giải là văn bản
để đánh giá kết quả hoạt động của bài toán.
Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách
lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng
những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý đến trình
tự các chi tiết, đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối liên hệ giữa các chi

tiết trong từng đoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào
“bỗng nhiên” xuất hiện mà căn cứ vào những kiến thức đã học những chi tiết mà
ta trình bày trước đó.
Trình bày các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất
khác với trình tự đã trình bày lời giải để sắp xếp các vệc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó
và lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
Bƣớc 4: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải:
Bao gồm một số việc như sau:
+ Kiểm tra lời giải bài toán cả về mặt định tính và mặt định lượng.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
+ Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
* Những lưu ý khi dạy học giải bài tập toán học: Để dạy học giải bài tập
toán học, ta cần lưu ý những điểm sau:
- Xây dựng, chọn lọc bài tập bao gồm:
+ Bài tập tương tự với sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
6


+ Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa kiến thức.
+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải.
- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình 4 bước
của G.Pôlya
1.1.4. Các yêu cầu đối với lời giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết phải nắm vững các yêu cầu
của lời giải bài toán. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Cụ thể là:
i. Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,

một hình vẽ, … thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng
phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình,
biến đổi biểu thức.
2i. Lập luận chặt chẽ.
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luận đề phải nhất quán.
- Luận cứ phải đúng.
- Luận chứng phải hợp lôgic.
3i. Lời giải phải đầy đủ.
Yêu cầu này có nghĩa là: Lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp,
một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là phương trình không được thiếu nghiệm,
phân chia các trường hợp không được thiếu khả năng nào.
4i. Ngôn ngữ chính xác.
Đây là một yêu cầu về giáo dục, tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
5i. Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mĩ thuật.
Yêu cầu này đặt ra đối với tất cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp
các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.

7


6i. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số
các cách giải đã tìm được.
7i. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu từ i) đến 4i) là bốn yêu cầu cơ bản; 5i) là yêu cầu về mặt trình
bày; 6i) 7i) là yêu cầu đề cao.
1.2. Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số trong chƣơng trình Toán học
Trung học cơ sở.
1.2.1. Biến đổi đồng nhất.

Biến đổi đồng nhất có thể hiểu là phép biến đổi từ biểu thức này thành biểu
thức kia sao cho giá trị của hai biểu thức này bằng nhau với mọi giá trị của các
chữ có mặt trong biểu thức.
1.2.2. Vị trí, vai trò của phép biến đổi đồng nhất trong chƣơng trình môn
Toán Trung học cơ sở.
Trong phân phối chương trình môn Toán Trung học cơ sở của Bộ giáo dục
và đào tạo thì phép biến đổi đồng nhất không dạy tường minh, nó được trình bày
xen kẽ trong hầu hết các nội dung về biểu thức đại số và chúng được tích hợp
dần đối với học sinh.
Hướng dẫn học sinh giải toán về phép biến đổi đồng nhất ở trường Trung
học cơ sở là một trong những yêu cầu quan trọng bậc nhất trong dạy học Toán ở
Trung học cơ sở. Các dạng toán để hướng dẫn học sinh biến đổi đồng nhất rất đa
dạng như: thực hiện phép toán, chứng minh các biểu thức bằng nhau (còn gọi là
chứng minh hằng đẳng thức), rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức với
một bộ giá trị của các biến, phân tích đa thức thành nhân tử, chứng minh một
biểu thức không phụ thuộc vào biến, một số bài về giải phương trình (bất
phương trình, hệ phương trình) mà khi giải phải biến đổi các biểu thức có mặt
trong phương trình (bất phương trình, hệ phương trình) đó.
1.3. Thực trạng việc hƣớng dẫn học sinh THCS giải một số bài toán về phép
biến đổi đồng nhất
Để tìm hiểu thực trạng việc dạy học môn Toán ở trường THCS, chúng tôi
đã tiến hành điều tra trên hai đối tượng: Giáo viên và học sinh. Tuy nhiên việc
8


giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh ở việc hướng dẫn và giải một số
bài toán về phép biến đổi đồng nhất còn nhiều hạn chế. Qua điều tra chúng tôi
thu được kết quả như sau:
Bảng 1. Bảng điều tra giáo viên trường: THCS Tân Sơn - Phú Thọ
Họ tên giáo

Tuổi

viên

nghề

ST

Hệ đào tạo
Thạc Đại

T

sĩ
1 Lê Mạnh
Hùng
2 Trần Quốc
Đạt
3 Phạm Thị
Tình

Dưới 10
năm

Thùy Dung

giảng dạy

giỏi cấp

Cao Giỏi Khá Trung Tỉnh Huyện Trường

+

+

năm
Dưới 10

+

năm
năm

Danh hiệu dạy

học đẳng

Trên 10

4 Nguyễn Thị Dưới 10

Chất lượng

+

bình
+

+

+

+

+

+

+

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy đa số giáo viên trẻ tuổi mới bước vào
nghề, chưa có kinh nghiệm, chưa hình thành phương pháp và kĩ năng giải toán
cho học sinh.
Về trình độ đào tạo có hai giáo viên đạt trình độ đại học và hai giáo viên
đạt trình độ cao đẳng.
Về chất lượng giảng dạy đa số giáo viên đạt chất lượng giảng dạy loại giỏi,
tuy số lượng còn ít và chưa nhiều giáo viên đạt danh hiệu các cấp nhưng đội
ngũ giáo viên luôn trau dồi kiến thức và nghiệp vụ sư phạm, nhiệt tình trong
giảng dạy.
Bảng 2. Bảng điều tra học sinh trường THCS Tân Sơn - Phú Thọ
Bảng điều tra học sinh lớp 8A, 8B, 8C trường THCS Tân Sơn - Phú Thọ

9


STT

Lớp

Giới tính
Nam

Nữ

Dân tộc

Xếp loại học tập (môn toán)
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu

1

8A

27

13

17

1

24

15

0

2

8B

19

26

20

5

18

22

0

3

8C

16

25

15

2

27

12

0

Nhận xét:
Về phía học sinh, qua điều tra và quan sát tôi có một số nhận định như sau:
Đa số các em là người dân tộc, các em chưa có phương pháp học tập tốt. Bên
cạnh đó là hạn chế về tài liệu tham khảo, điều kiện học tập, đa số các em còn
phải vừa học vừa giúp đỡ gia đình. Các em chủ yếu là học sinh trung bình nên
khả năng phân tích - tìm lời giải một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất còn
hạn chế. Vì vậy việc chọn vấn đề nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh THCS giải
một số bài toán về phép biến đổi đồng nhất” là cần thiết và phù hợp với thực tiễn

10


Chƣơng 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH THCS GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
2.1. Bài toán về chứng minh đẳng thức
Để chứng minh được một đẳng thức ta có thể thực hiện việc biến đổi biểu
thức (thực hiện phép tính) ở vế này (thường là vế phức tạp hơn của đẳng thức)
để được một biểu thức ở vế kia. Trong một số trường hợp để chứng minh một
đẳng thức ta có thể biến đổi đồng thời cả hai vế của đẳng thức sao cho chúng

cùng bằng một biểu thức thứ ba, hoặc cũng có thể lấy biểu thức vế trái trừ biểu
thức vế phải hoặc ngược lại lấy biểu thức vế phải trừ biểu thức vế trái và biến
đổi có kết quả bằng 0.
Ví dụ 1:
Chứng minh đẳng thức sau:

a

2

 b2  c 2  d 2    ac  bd    ad  bc 
2

2

Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Ta thấy rằng đây là một bài toán chứng minh đẳng thức không điều kiện
cho trước. Ta thấy vế trái biểu thức là tích của tổng các bình phương, vế phải là
tổng và hiệu hai bình phương. Nhìn qua ta thấy cả hai vế đều phức tạp nên việc
chứng minh vế trái bằng vế phải hoặc ngược lại vế phải bằng vế trái là điều khó
khăn. Như vậy ta sẽ đi biến đổi đồng thời cả hai vế sao cho chúng bằng nhau.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Vế trái   a 2  b2  c 2  d 2   a 2c 2  a 2d 2  b2c 2  b2d 2
Vế phải   ac  bd    ad  bc 
2

2

 a2c2  2abcd  b2d 2  a 2d 2  2abcd  b2c 2

 a2b2  a2d 2  b2c2  b2d 2

Vế trái = vế phải (đpcm).
Bƣớc 3: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
Với bài toán này ta cũng có thể giải bằng cách lấy vế trái trừ vế phải hoặc
lấy vế phải trừ vế trái và biến đổi có kết quả bằng 0.
11


Ví dụ 2:
Chứng minh rằng;

2
2x
x
x2
 2


x  3 x  4x  3 x  1 x  3
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Bài toán này là chứng minh đẳng thức mà hai vế là các phân thức, trước
tiên ta phải đi tìm điều kiện xác định của các phân thức này, rồi ta nhận thấy vế
trái của đẳng thức ở dạng phức tạp, còn vế phải là một biểu thức đơn giản. Do
đó để giải bài toán ta sẽ đi biến đổi vế trái.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Vế trái 

ĐKXĐ: x  1, x  3.

2
2x
x
 2

x  3 x  4x  3 x  1



2
2x
x


x  3  x  1 x  3 x  1



2  x  1  2 x  x  x  3
 x  1 x  3

x2  x  2
 x  1 x  2 


 x  1 x  3  x  1 x  3



x2

= Vế phải
x3

Ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán:
Rút gọn biểu thức: A 

2
2x
x
x2
 2


x  3 x  4x  3 x  1 x  3

Ví dụ 3:
Cho a  b  1 . Chứng minh rằng: a3  b3  3ab  1.
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Bài toán này ta thấy giả thiết cho a  b  1 và yêu cầu chứng minh
a3  b3  3ab  1. Như vậy ta sẽ nghĩ đến việc biến đổi vế trái sao cho xuất hiện

12


a  b . Ta sẽ thêm bớt để biến đổi a3  b3 thành hằng đẳng thức  a  b  để sử
3

dụng được giả thiết a  b  1.

Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Vế trái  a3  b3  3ab

  a  b   3ab  a  b   3ab
3

Mà a  b  1. Ta có:
Vế trái  13  3ab.1  3ab  1
Ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra nghiên cứu sâu lời giải
Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán :
Cho a  b  1. Tính a3  b3  3ab  1 ?
Ví dụ 4:
Cho a  b  c  0 . Chứng minh rằng:
a3  b3  c3  3abc.

Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Đây là bài toán chứng minh đẳng thức có điều kiện cho trước. Ta thấy
vế trái là lập phương của 3 số a; b; c mà việc biến đổi hằng đẳng thức đó là rất
khó khăn vậy nên ta sẽ biến đổi sao cho nó thành hằng đẳng thức tổng của hai
lập phương mà ta đã biết. Từ giả thiết ta có: a  b  c và từ đó ta đi lập phương
hai vế của đẳng thức ta sẽ có điều phải chứng minh.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
a  b  c  0  a  b  c (1)

Lập phương 2 vế của đẳng thức (1), ta được:
(a  b)3  (c)

3

 a3  3a2b  3ab2  b3  c3
 a3  b3  3ab(a  b)  c3
 a3  b3  3ab(c)  c3

 a3  b3  c3  3abc

13


Ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài cách chứng minh trên ta cũng có thể sử dụng giả thiết để biến đổi ra
được điều phải chứng minh. Ta có thể biến đổi:
*)a  b  c  0  a  b  c  (a  b)3  (c)3
*)a  b  c  0  a  b  c  ab(a  b)  abc   a 2 b  ab2  abc

Ví dụ 5:
Biết rằng a  b  c  0. Chứng minh rằng:
(a 2  b2  c2 )2  2(a 4  b4  c4 )

Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Trong bài toán này, ta đặt ra câu hỏi là các hằng đẳng thức nào cho ta mối
quan hệ giữa a  b  c và a 2  b2  c2 , giữa a 2  b2  c 2 và a 4  b4  c4 ? Hoặc
từ giả thiết có mối quan hệ b  c  a . Vậy hằng đẳng thức nào cho ta mối quan
hệ giữa b 2 , c 2 và a 2 , giữa b 4 , c 4 và a 4 ? Như vậy để giải được bài toán này ta
biến đổi giả thiết a  b  c , sau đó bình phương hai vế đẳng thức a  b  c .
Tiếp tục bình phương và cộng 2 vế của biểu thức ta được điều phải chứng minh.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có: a  b  c  0  a  b  c (1)
Bình thường 2 vế đẳng thức (1)

(a)2  (b  c)2  a2  b2  2bc  c 2

 2bc  a 2  b2  c2 (2)

Tiếp tục bình phương 2 vế đẳng thức (2), ta được:
4b2c2  (a 2  b2  c 2 )2

 4b2c2  a4  b4  c4  2a2b2  2b2c2  2a 2c2

 a4  b4  c4  2a2b2  2b2c2  2a2c2 (3)

Cộng hai vế đẳng thức (3) với a 4  b4  c 4 , ta có:
2(a 4  b4  c4 )  a 4  b4  c 4  2a 2b2  2b2c 2  2a 2c 2
 (a 2  b 2  c 2 ) 2

14


Ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
Từ việc giải bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán:
Cho a  b  c  0 và a 2  b2  c2  14 .
Tính: a 4  b4  c4 ?
Ví dụ 6:
Cho số thực, thỏa mãn a  b  c  0 và

1 1 1
1
  
a b c abc

Chứng minh rằng trong số a; b; c luôn có hai số đối nhau.
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Ta thấy bài toán yêu cầu ta chứng minh trong ba số a; b; c luôn có hai số
đối nhau. Như vậy ta có thể hiểu yêu cầu bài toán là đi chứng minh a  b hoặc
b  c hoặc c  a hoặc ngược lại b  a ; c  b ; a  c . Để chứng minh bài

toán này ta sẽ sử dụng phương pháp lấy vế trái trừ vế phải và biến đổi sao cho
kết quả bằng 0. Từ đó ta sẽ có được điều phải chứng minh.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải

1 1 1
1
1 1 1
1
  
   
0
a b c abc
a b c a bc


ab
ab

0
ab
c(a  b  c)

 (a  b)[

1
1
1
1

]  0  (a  b)[ 
]0
ab c(a  b  c)
ab c(a  b  c)

 (a  b)(b  c)(c  a)  0
a  b  0
 a  b
 b  c  0  b  c


c  a  0
c  a

Ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải

15


Ví dụ 7:
Cho a  b  c  abc và
Chứng minh rằng:

1 1 1
   2 với a; b; c  0 và a  b  c  0 .
a b c

1 1 1
  2
a 2 b2 c 2

Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Bài toán này ta thấy giả thiết cho a  b  c  abc và

1 1 1
   2 rồi yêu
a b c

1 1 1
   2 . Như vậy ta nghĩ ngay đến việc bình
a 2 b2 c 2

cầu ta chứng minh

phương hai vế biểu thức

1 1 1
1 1 1
   2 để làm xuất hiện 2  2  2 , sau đó sử
a b c
a b c

dụng giả thiết a  b  c  abc ta sẽ thực hiện được yêu cầu của bài toán.

Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:

1 1 1
  2
a 2 b2 c 2

Bình phương hai vế của biểu thức ta được:
2

1 1 1
    4
a b c

1
1 
 1 1 1  1
  2  2  2   2     4
 a b c   ab bc ca 
1 1 1
abc
 2  2  2 2
4
a b c
abc
Thay a  b  c  abc ta có:

1 1 1
  2
a 2 b2 c 2

Như vậy ta có điều phải chứng minh.
Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Ta cũng có thể phát biểu bài toán này một cách khác như sau:
Cho

1 1 1
1 1 1
   2 và 2  2  2  2 với a; b; c  0 và a  b  c  0 .
a b c
a b c

Chứng minh rằng: a  b  c  abc
16


Ví dụ 8:
Chứng minh đẳng thức sau:

a  b  c

 a3  b3  c3  3 a  b  b  c  c  a 

3

Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Bài toán này ta thấy vế trái là một biểu thức đơn giản hơn vế phải nên ta có
thể nghĩ ngay đến việc sẽ biến vế trái bằng với vế phải. Ta thấy vế trái có thể
biến đổi ghép nhóm nó thành hai số hạng để sử dụng hằng đẳng thức lập phương
của một tổng mà ta đã biết. Cụ thể ta biến đổi  a  b  c    a  b   c  sau đó
áp dụng hằng đẳng thức và ghép nhóm ta sẽ có được điều phải chứng minh.

3

3

Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:

a  b  c

3

  a  b   c    a  b   3 a  b  .c  3 a  b .c 2  c3
3

3

2

 a3  3a 2b  3ab2  b3  3 a  b  .c  3  a  b .c 2  c 3
2

 a3  b3  c3  3ab  a  b   3 a  b  .c  3 a  b .c 2
2

 a3  b3  c3  3 a  b  ab   a  b .c  c 2 

 a3  b3  c3  3 a  b  a b  c   c b  c 
 a3  b3  c3  3 a  b b  c c  a 

Vậy vế trái bằng vế phải. Ta có điều phải chứng minh.

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Từ việc giải bài toán trên, ta có thể yêu cầu học sinh chứng minh tương tự
bài toán sau:
Cho a  b  1; ab  0 . Chứng minh rằng:
2  ab  2 
a
b


b3  1 a3  1 a 2b2  3

2.2. Bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử
Trong chương trình Toán Trung học cơ sở, phân tích đa thức thành nhân tử
là một trong những phần kiến thức nền tảng để giải quyết rất nhiều các bài toán
17


khác như: rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, chứng minh đẳng
thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích những đơn thức và đa thức.
Các phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử như:
đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm các hạng tử một
cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử
chung. Ngoài ra, người ta còn sử dụng một vài phương pháp khác như: phương
pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm (bớt) cùng một
hạng tử thích hợp, phương pháp đặt biến phụ hay phương pháp hệ số bất định.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc hướng dẫn
học sinh tìm ra được phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn
gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài

toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng của học sinh thông qua
quá trình hướng dẫn của người giáo viên.
Sau đây là một số ví dụ sử dụng nhiều phương pháp khác nhau nhằm
hướng dẫn học sinh giải bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 x  y  1  2 y  y  1
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Đối với bài toán này ta dễ dàng nhận ra được cách làm khi đã nhìn thấy
nhân tử chung. Như vậy chỉ cần đặt

 y  1

quyết xong vấn đề của bài toán.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
2 x  y  1  2 y  y  1

  y  1 2 x  2 y 
 2  x  y  y  1

18

làm nhân tử chung là ta đã giải


Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bằng cách sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, giải quyết các bài tập
tương tự.
Bài tập tƣơng tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 5x  x  1  3x  x  1
b. x  x  y   5x  5 y

c.

2
2
x  y  2  y  y  2
5
5

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 10 xy  x  y   6 y  y  x 
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán
Bài toán này ta thấy  y  x     x  y  . Từ đó ta có thể sử dụng phương
pháp đặt nhân tử chung để giải quyết yêu cầu bài toán. Đưa bài toán về phân tích
đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
10 xy  x  y   6 y  y  x 

 10 xy  x  y   6 y  x  y    x  y 10 xy  6 y 
 2 y  5 x  3 x  y 

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bài tập tƣơng tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x  x  1  y 1  x 
b. 5x  x  2000   x  2000
c. x  x  y   y  y  x 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8x3  y 3
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán
Đối với bài toán này ta thấy 8x3 có thể biến đổi thành  2x  . Như vậy ta
3

có thể sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để thực hiện yêu cầu của
bài toán.
19


Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:

8 x3  y 3   2 x   y 3
3

  2 x  y   4 x 2  2 xy  y 2 

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bài tập tƣơng tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x6  y 6 . Gợi ý: Viết x6   x3  , y 6   y 3 
2

2

b. 4 x 2  25
c.  x  y    x  y 
2

2

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2  xy  x  y
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải bài toán
Bài toán này ta thấy có 4 số hạng, như vậy ta nghĩ ngay đến việc sẽ ghép 2
số hạng vào một sau đó tìm cách đưa chúng xuất hiện nhân tử chung để giải

quyết bài toán. Ở bài toán này dễ dàng nhóm 2 số hạng đầu và 2 số hạng cuối để
cùng xuất hiện  x  y  làm nhân tử chung.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
x 2  xy  x  y   x 2  xy    x  y   x  x  y    x  y 
  x  1 x  y 

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán bằng cách nhóm số hạng thứ
nhất và số hạng thứ ba, số hạng thứ hai và số hạng thứ tư. Cụ thể như sau:
x 2  xy  x  y   x 2  x    xy  y 
 x  x  1  y  x  1   x  y  x  1

Bài tập tƣơng tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x 2  4 x  y 2  4
b. 1  6 x  6 x2  x3
c. x3  4 x2  8x  8
20


Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 2  b2  2a  2b
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Bài toán này ta thấy xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Như
vậy nếu như ta khai triển hằng đẳng thức thì sẽ xuất hiện nhân tử chung  a  b 
và yêu cầu của bài toán đã được thực hiện.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
a 2  b2  2a  2b   a 2  b2    2a  2b 
  a  b  a  b   2  a  b 
  a  b  a  b  2 

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Bài tập tƣơng tự: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x 4  27 x
b. a 2 x2  b2 x 2  a 2 y 2  b2 x 2
c. x3  x  3x2 y  3xy 2  y3  y
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4  2 x2  3
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Ta thấy ở bài toán này không còn đơn giản để thấy ngay nhân tử chung hay
có thể ghép ngay các số hạng lại với nhau. Mà để giải được bài toán này ta phải
sử dụng phương pháp tách các hạng tử. Bài toán này ta có thể tách 3  1  2 .
Khi đó biểu thức ban đầu trở thành x4  2 x2  1  2 . Sau đó ta ghép số hạng thứ
nhất với thứ ba, thứ hai với thứ tư rồi khai triển hằng đẳng thức và đặt nhân tử
chung ta sẽ thu được kết quả của bài toán.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
x4  2 x2  3  x4  2 x2  1  2

  x 4  1   2 x 2  2 
  x 2  1 x 2  1  2  x 2  1

21


  x 2  1 x 2  3
  x  1 x  1  x 2  3

Bƣớc 3: Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
Để thực hiện được yêu cầu của bài toán trên ta có thể sử dụng rất nhiều
phương pháp khác nhau để giải, ví dụ như: ta có thể tách 2 x2  3x2  x2 sau đó

nhóm x 4 với  x 2 , tách 3  1  4  6  9 , tách x4  3x 4  2 x 4 , đặt ẩn phụ hoặc
nhẩm nghiệm rồi thực hiện phép chia đa thức.
Sau đây là giải bài toán bằng cách tách x4  3x 4  2 x 4 :
Ta có:
x 4  2 x 2  3  3x 4  2 x 4  2 x 2  3
  3 x 4  3   2 x 4  2 x 2 

 3 x 4  1  2 x 2  x 2  1
 3 x 2  1 x 2  1  2 x 2  x 2  1
  x 2  1 x 2  3
  x  1 x  1  x 2  3

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2  4 x  5
Bƣớc 1: Phân tích - Tìm lời giải
Ở bài toán này ta cũng có thể sử dụng phương pháp tách số hạng tự do như
ở ví dụ 6. Tuy nhiên ta cũng thể sử dụng cách tách số hạng 4 x  x  5x rồi
ghép x 2 với x và 5x với 5 sẽ xuất hiện nhân tử chung và bài toán đã được
giải quyết.
Bƣớc 2: Trình bày lời giải
Ta có:
x2  4 x  5  x2  x  5x  5
 x  x  1  5  x  1   x  1 x  5

22