Ung dung tich phan trong to hop

www.TaiLieuLuyenThi.com
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG TỔ HỢP
1 1
2 3

1
n

Phương pháp: nếu trong tổng dãy tổ hợp chứa hệ số là phân số 1, , ,..., ,... ta nghĩ ngay đến việc sử
dụng tích phân. Tính tích phân trong trường hợp chưa khai triển nhị thức Newton và tích phân trong trường
hợp đã khai triển. Hai kết quả bằng nhau. Thay x, a, b bằng số phù hợp.
PHẦN 1 (CƠ BẢN)
b

b

 (1  x) dx   C
n

0
n

a

 Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n dx

a
b

b

2
3
n 1
 (1  x)n1 
 0

1 x
2 x
n x


C
x

C

C

...

C
n
n
n

 n
2
3
n  1 a
 n 1  a 

 (1  x) dx   C
b

b

n

0
n

a



 Cn1 x  Cn2 x 2  ...   1 Cnn x n dx
n

a
b

b

2
3
n 1
 (1  x)n1 
 0

n

1 x
2 x
n x
 

C
x

C

C

...


1
C


n
n
n
n
n  1  a 
2
3
n  1 a


b

b

 ( x  1) dx   C x
n

0 n
n

a

 Cn1 x n1  Cn2 x n2  ...  Cnn dx

a
b

b

n
n 1
 ( x  1)n1 
 0 x n1

1 x
2 x


C

C


C
 ...  Cnn x 
n
n
n


n
n 1
 n 1  a  n 1
a

 ( x  1) dx   C x
b

b

n

0 n
n

a



 Cn1 x n1  Cn2 x n2  ...   1 Cnn dx
n

a

b

b

n
n 1
 ( x  1)n1 
 0 x n1
n
1 x
2 x
n 


C

C

C

...


1
C


n

n
n x

 n
n
n 1
 n 1  a  n 1
a

26 2
3n1  1 n
BT1: Tính 2C  4C 
Cn  ... 
Cn
3
n 1
0
n

1
n

Phân tích: tổng không đan dấu, có chứa phân số (dấu hiệu sử dụng tích phân), quan sát số hạng cuối có hệ số

3n1  1
n
, ta biết cận từ 1 đến 3. Sử dụng  (1  x) dx .
n 1
1
3

Giải:
3

3

 (1  x) dx   C
n

1

0
n

 Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n dx

1

Thầy Kiên: 01692894586


www.TaiLieuLuyenThi.com
3

3

2
3
n 1
 (1  x)n1 

 0

1 x
2 x
n x


C
x

C

C

...

C
n
n
n

 n
2
3
n  1 1
 n 1  1 
3

3

3

3

2
3
n 1
 (1  x)n1 
0 3
1 x
2 x
n x

  Cn x 1  Cn 2  Cn 3  ...  Cn n  1
n

1

1
1
1
1

4n1  2n1
26 2
3n1  1 n
0
1

 2Cn  4Cn  Cn  ... 

Cn
n 1
3
n 1
4n1  2n1
Vậy S 
n 1
Lưu ý: khi tính giá trị tích phân có gắn tổ hợp ta nên tách riêng từng tổ hợp một như BT trên để tính thì kết
quả nhanh hơn.

3 1 7 2
2n1  1 n
Cn  Cn  ... 
Cn
2
3
n 1
2n1  1
n1
n1
Hướng dẫn: như bài trên, từ hệ số
ta lấy cận từ 1 đến 2. Lưu ý: 1  1,0  0 nên đối với các
n 1
3n1  2n1
n1
n1
giá trị 1 đề sẽ ghi là 1 và 0 hay 0 thì không cần ghi, ta phải tự nhận biết. Kết quả
.
n 1
BT2: Tính S  Cn 

0

BT3: Tính S  Cn 
0

1 1 1 2
1
Cn  Cn  ... 
Cnn
2
3
n 1

Hướng dẫn: cận từ 0 đến 1.

8 2
2n1 n
BT4: Tính S  2C  2C  Cn  ... 
Cn
3
n 1
3n1  1
Kết quả:
n 1
0
n

1
n

1 2 1 1 3 2
1
 2 Cn   2 Cn  ...  (1) n 
 2n1Cnn
2
3
n 1
1
n
Phân tích: chuỗi đan dấu, hệ số phân số,
gắn với Cn , có dấu hiệu dùng tích phân, quan sát hệ số của
n 1
BT5: Tính tổng S  2Cn 
0

2

số hạng cuối ta lấy cận từ 0 đến 2, tức là

 1  x  dx .
n

0
2

Giải:

 1  x 
0

2

n





dx   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...   1 Cnn x n dx
0

Thầy Kiên: 01692894586

n


www.TaiLieuLuyenThi.com
2

2

2
3
n 1
 (1  x)n1 
 0

n
1 x
2 x

n x
 

C
x

C

C

...


1
C


n
n
n
n
n  1  0 
2
3
n  1 0


1  (1)n1
1
1

1

 2Cn0   22 Cn1   23 Cn2  ...  (1) n 
 2n1 Cnn
n 1
2
3
n 1
n
1  (1)
Vậy S 
n 1

1 1 1 2
Cnn
n
BT6: Tính tổng S  C  Cn  Cn  ...  (1) 
2
3
n 1
0
n

Hướng dẫn: tương tự bài trên, lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả S 

1
.
n 1

1

1
1
n
Cn0  Cn1 
Cn2  ...   1 Cnn
n 1
n
n 1
1
0
n
Hướng dẫn: chuỗi đan dấu, hệ số
gắn với Cn , có dấu hiệu sử dụng tích phân của ( x  1) , quan sát
n 1
n
1

hệ số đầu ta lấy cận từ 0 đến 1. Kết quả S 
.
n 1
BT7: Tính tổng S 

1
1
1
 2n1Cn0   2n Cn1 
 2n1Cn2  ...  (1)n  2Cnn
n 1
n
n 1

1  (1) n
Hướng dẫn: như bài trên. Cận từ 0 đến 2. Kết quả S 
.
n 1
BT8: Tính S 

PHẦN 2 (MỞ RỘNG)
2

Nhân thêm x, x ,...
Phương pháp: thông thường sau khi lấy tích phân hệ số chứa

1
Cnk . Nếu bài cho những hệ số dạng
k 1

1
1
Cnk ta phải nhân thêm x trước khi tích phân, dạng
Cnk ta nhân thêm x 2 trước khi tích phân,…
k2
k 3
BT9: Tính S 

1 0 1 1 1 2
1
Cn  Cn  Cn  ... 
Cnn .
2
3

4
n2

Phân tích: tổng không đan dấu, độ chênh lệch so với dạng cơ bản là 1 nên ta nhân thêm x trước khi tích
phân.
1

1

 x(1  x) dx   C x  C x
n

0

0
n

0

Thầy Kiên: 01692894586

1 2
n

 Cn2 x3  ...  Cnn x n1 dx


www.TaiLieuLuyenThi.com
1

3
4
n2
 0 x2

0
1 2
2 3
n n 1
1 x
2 x
n x


C
x

C
x

C
x

...

C
x
dx

C


C

C

...

C
n
n
n
n
n
n
n
n

0 

2
3
4
n  2  0

1
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn  S

2
3
4
n2
1

1

1

1

 x(1  x) dx   (1  x)
n

0

n 1

0

 (1  x)n2 (1  x)n1 
 (1  x) dx  

n

2
n  1  0

n

2n  2
2n1
1
1
n.2n1  1





n  2 n  1 n  1 n  2 (n  1)(n  2)
n.2n1  1
Vậy S 
(n  1)(n  2)
BT10: S 

1 0 1 1 1 2
1
Cn  Cn  Cn  ...  (1)n
Cnn
2
3
4
n2

Phân tích: tương tự như bài trên nhưng ở đây chuỗi đan dấu.
1

Giải:

1

 x(1  x) dx   C
n

n
o

0
1

Tính

x  Cn1 x 2  Cn2 x3  ...  Cnn x n1 dx

0

x  0  u  1
n
u

1

x

du


dx

.
Đặt
,
.
x
(1

x
)
dx

0
x  1  u  0
1

1

u n1
u n 2
1
1
1
x
(1

x
)
dx

(1


u
)
u
du





0
0
n  1 0 n  2 0 n  1 n  2 (n  1)(n  2)
1

1

n

1

 C

0
n

n

x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  ...  (1) n Cnn x n1 dx

0

1

 x2
x3
x4
x n2 
 Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1) n Cnn
2
3
4
n  2  0

1
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1) n
Cnn
2
3
4
n2
S
1
Vậy S 
(n  1)(n  2)
BT11: Tính S 

1 0 1 1 1 2
1
Cn  Cn  Cn  ... 
Cnn
3
4
5
n3

Thầy Kiên: 01692894586


www.TaiLieuLuyenThi.com
1

Hướng dẫn:

 x (1  x) dx
2

n

0

BT12: Tính S 

1
1
1
1

Cn0 
Cn1 
Cn2  ...  (1)n Cnn
n3
n2
n 1
3
1

Hướng dẫn: Tính

 x ( x  1) dx
2

n

0

Truy hồi tích phân
Phương pháp:
Bước 1: dùng tích phân từng phần để tính I n . Đưa I n về công thức truy hồi theo I n1 , I n2 ,... Truy hồi lần
lượt để suy ra công thức tổng quát của I n .
Bước 2: Dựa vào khai triển Newton để tính I n .
Cho 2 kết quả bằng nhau.
1



BT13: a) Tính I n  (1  x ) dx
2 n

0

Cn1 Cn2 Cn3
(1)n Cnn 2.4.6...(2n  2).2n


 ... 

b) Chứng minh rằng 1 
3
5
7
2n  1
1.3.5...(2n  1)
Giải:

2 n
2 n 1


u  1  x 
du  2nx 1  x  dx

Đặt 
vx
 dv  dx




1

1

1

n
n 1
n 1
I n  1  x 2  x   2n  x 2 1  x 2  dx  2n  (1  (1  x 2 )  1  x 2  dx

 0
0
0

1

 2n  (1  x 2 )n1  (1  x 2 ) n dx  2n  I n1  I n 
0

2n
2n 2n  2
2n 2n  2 4 2
I n1 
.
I n2 
.
... . I 0
2n  1

2n  1 2n  1
2n  1 2n  1 5 3
1
2.4.6...(2n  2).2n
Mà I 0   dx  1 nên I n 
.
1.3.5...(2
n

1)
0
 In 

Mặt khác

Thầy Kiên: 01692894586


www.TaiLieuLuyenThi.com
1

1

I n   (1  x ) dx   Cn0  Cn1 x 2  Cn2 x 4  ...  (1) n Cnn ) x 2 n  dx
2 n

0

0

1

1
1
1


 Cn0 x  Cn1 x3  Cn2 x5  ...  (1) n
Cnn ) x 2 n1 
3
5
2n  1

0
Cn1 Cn2 Cn3
(1) n Cnn
1


 ... 
3
5
7
2n  1
1
2
3
C C
C
(1)n Cnn 2.4.6...(2n  2).2n

Vậy 1  n  n  n  ... 
.

3
5
7
2n  1
1.3.5...(2n  1)
Dựa vào tích phân cho trước
Phương pháp: tính trực tiếp tích phân và tính tích phân sau khi khai triển Newton. Cho 2 kết quả bằng nhau.
1



BT14: a) Tính tích phân I  x(1  x ) dx
2 n

0

1 0 1 1 1 2
(1) n n
1
b) Chứng minh Cn  Cn  Cn  ... 
Cn 
2
4
6
2n
2(n  1)
2

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u  1  x để tính trực tiếp I.


BT15: Cho n ¢ .
1



a) Tính I  x (1  x ) dx
2

3 n

0

1 0 1 1 1 2
1
2n1  1
n
Cn 
b) Chứng minh Cn  Cn  Cn  ... 
3
6
9
3n  3
3(n  1)
3
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u  1  x để tính trực tiếp I.

Thầy Kiên: 01692894586