L11 bài toán về số nghiệm của phương trình

Bài toán về số nghiệm của phương trình
Câu 1. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x 4 + 5 x − 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân
biệt trong khoảng (–2; 5).
Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 5x − 2 ⇒ f liên tục trên R.
Ta có: f (0) = −2, f (1) = 1, f (2) = −8, f (4) = 16
⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (0;1)
f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (1;2)
f (2). f (4) < 0 ⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3 ∈ (2; 4)

⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
x 3 + 5x − 3 = 0 .
Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 5x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
f (0) = −3, f (1) = 3 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0;1) .
Câu 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 1000 x + 0,1 ⇒ f liên tục trên R.

f (0) = 0,1 > 0
⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm
f (−1) = −1001 + 0,1 < 0 
c ∈ (−1; 0)

Câu 4. Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

6 x 3 − 3x 2 − 6 x + 2 = 0 .

Xét hàm số f ( x ) = 6 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 2 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
• f (−1) = −1, f (0) = 2 ⇒ f (−1). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (−1; 0)
• f (0) = 2, f (1) = −1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (0;1)
• f (1) = −1, f (2) = 26 ⇒ f (1). f (2) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có một nghiệm c3 ∈ (1;2)

• Vì c1 ≠ c2 ≠ c3 và PT f ( x ) = 0 là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba
nghiệm thực.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 5. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
5x 5 − 3x 4 + 4 x3 − 5 = 0

Với PT: 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 = 0 , đặt f ( x ) = 5 x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5
f(0) = –5, f(1) = 1 ⇒ f(0).f(1) < 0
⇒ Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
Câu 6. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3 − 10 x − 7 = 0
Xét hàm số: f(x) = 2 x 3 − 10 x − 7 ⇒ f(x) liên tục trên R.
• f(–1) = 1, f(0) = –7 ⇒ f ( −1) . f ( 0 ) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
c1 ∈ ( −1;0 )

• f(0) = –7, f(3) = 17 ⇒ f(0).f(3) < 0 ⇒ phương trình có nghiệm c2 ∈ ( 0;3)
• c1 ≠ c2 nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.
Câu 7. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3 − 5x 2 + x + 1 = 0 .
Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 1 ⇒ Hàm số f liên tục trên R.
Ta có:
+

f (0) = 1 > 0 
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1) .
f (1) = −1 

+

f (2) = −1 < 0 
⇒ PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3) .
f (3) = 13 > 0 

Mà c1 ≠ c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

Câu 8. Chứng minh rằng phương trình: (1 − m2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Xét hàm số f ( x ) = (1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.
Ta có: f (−1) = m 2 + 1 > 0, ∀ m; f (0) = −1 < 0, ∀ m ⇒ f (0). f (1) < 0, ∀m
⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm c ∈ (0;1) , ∀m
Câu 9. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: x 5 − x 2 − 2 x − 1 = 0
Đặt f ( x ) = x 5 − x 2 − 2 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


f(0) = –1, f(2) = 23 ⇒ f(0).f(1) < 0
⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)
Câu 10. Chứng minh rằng phương trình x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm thuộc (−1;1) .
Xét hàm số f ( x ) = x 4 + x 3 − 3 x 2 + x + 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
• f (−1) = −3, f (1) = 1 ⇒ f (−1). f (1) < 0 nên PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
(–1; 1).
Câu 11. Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
cos2 x − x = 0
 π
Đặt f(x) = cos2 x − x ⇒ f(x) liên tục trên (0; +∞) ⇒ f(x) liên tục trên  0; 

 2
π 
π 
π
f (0) = 1, f  ÷ = −
⇒ f (0). f  ÷ < 0
2
2
2
 π
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên  0; ÷
 2
Câu 12. Chứng minh rằng phương trình x 5 − 3 x − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–
1; 2).
Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R

f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f (0). f (2) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( 0;2 )
f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (−1; 0)
c1 ≠ c2 ⇒ PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2)
Câu 13. Chứng minh rằng phương trình : x 5 − 3 x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).
Gọi f ( x ) = x 5 − 3 x − 1 liên tục trên R
f (−1) = 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1). f (0) < 0
⇒ phương trình dã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 0)
Câu 14. Chứng minh rằng phương trình 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc
khoảng (–1; 1).
Gọi f ( x ) = 3 x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh

f(–1) = 5, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)
f0) = –1, f(1) = 1 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)
c1 ≠ c2 ⇒ phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( –1; 1)
Câu 15. Chứng minh phương trình: 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc (–1; 1).
Gọi f ( x ) = 2 x 4 + 4 x 2 + x − 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R
f(–1) = 2, f(0) = –3 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1 ∈ (−1; 0)
f(0) = –3, f(1) = 4 ⇒ f (0). f (1) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2 ∈ (0;1)
Mà c1 ≠ c2 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhát hai nghiệm thuộc khoảng (−1;1) .
Câu 16. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
(9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 = 0
Gọi f ( x ) = (9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
2


5 3
f (0) = −1, f (1) =  m − ÷ + ⇒ f (0). f (1) < 0
2 4

⇒ Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m
Câu 17. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0
Gọi f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 ⇒ f ( x ) liên tục trên R
f(1) = 5, f(–2) = –1 ⇒ f(–2).f(1) < 0
⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm c ∈ (−2;1), ∀m ∈ R
Câu 18. Chứng minh rằng phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm với mọi m.
Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 2mx 2 − x + m ⇒ f(x) liên tục trên R.
• f (m) = −m3 , f (0) = m ⇒ f (0). f (m) = − m 4
• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0

• Nếu m ≠ 0 thì f (0). f (m) < 0, ∀m ≠ 0 ⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0;
m) hoặc (m; 0).
Vậy phương trình x 3 − 2mx 2 − x + m = 0 luôn có nghiệm.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 20. Chứng minh phương trình x 3 − 3 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt .

Xét hàm số f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 ⇒ f(x) liên tục trên R.

• f(–2) = –1, f(0) = 1 ⇒ phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1 ∈ ( −2; 0 )
• f(0) = 1, f(1) = –1 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2 ∈ ( 0;1)

• f(1) = –1, f(2) = 3 ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3 ∈ ( 1;2 )
• Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1 , c2 , c3 phân biệt nên phương
trình đã cho có đúng ba nghiệm thực.
Câu 21. Cho y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 . Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm

phân biệt.
Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 ⇒ f(x) liên tục trên R.
• f(–1) = –2, f(0) =2 ⇒ f(–1).f(0) < 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm
c1 ∈ ( −1; 0 )

• f(1) = 0 ⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = 1 ≠ c1

• f(2) = –2, f(3) = 2 ⇒ f ( 2 ) . f ( 3) < 0 nên phương trình có một nghiệm c2 ∈ ( 2;3)
Mà cả ba nghiệm c1 , c2 ,1 phân biệt nên phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt

Câu 22. Chứng minh rằng phương trình x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm trong
khoảng (–4; 0).
Xét hàm số f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 4 x − 7 ⇒ f ( x ) liên tục trên R.
• f(–3) = 5, f(0) = –7 ⇒ f (−3). f (0) < 0 ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–3;0).
• (−3; 0) ⊂ (−4; 0) ⇒ PT f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (–4; 0).

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh